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单圈孔矩形布置的大断面冻结稳态温度场解析解

洪泽群, 石荣剑, 岳丰田, 韩磊

洪泽群, 石荣剑, 岳丰田, 韩磊. 单圈孔矩形布置的大断面冻结稳态温度场解析解[J]. 岩土工程学报, 2023, 45(8): 1653-1663. DOI: 10.11779/CJGE20220700
引用本文: 洪泽群, 石荣剑, 岳丰田, 韩磊. 单圈孔矩形布置的大断面冻结稳态温度场解析解[J]. 岩土工程学报, 2023, 45(8): 1653-1663. DOI: 10.11779/CJGE20220700
HONG Zequn, SHI Rongjian, YUE Fengtian, HAN Lei. Analytical solutions of steady-state temperature field for large-section freezing with rectangular layout of single-ring holes[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2023, 45(8): 1653-1663. DOI: 10.11779/CJGE20220700
Citation: HONG Zequn, SHI Rongjian, YUE Fengtian, HAN Lei. Analytical solutions of steady-state temperature field for large-section freezing with rectangular layout of single-ring holes[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2023, 45(8): 1653-1663. DOI: 10.11779/CJGE20220700

单圈孔矩形布置的大断面冻结稳态温度场解析解  English Version

基金项目: 

国家自然科学基金项目 52108386

详细信息
    作者简介:

    洪泽群(1992—),男,工学博士,讲师,主要从事人工地层冻结法与隧道地下工程方面的教学与研究工作。E-mail: zqhong@cumt.edu.cn

  • 中图分类号: TU445;TK124

Analytical solutions of steady-state temperature field for large-section freezing with rectangular layout of single-ring holes

  • 摘要: 温度场是人工冻结理论的重要研究方向,也是评估冻结壁力学状态和封水性能的基础。对于周圈封闭布管形式的温度场,目前仅有规则环形条件下的解析解,包括单圈布置和双圈布置。但实际冻结工程中冻结管矩形布置也十分常见,特别是地铁车站冻结暗挖工程,其温度场尚无解答。根据冻结管矩形和环形布置的几何一致性,基于4根冻结管模型首先提出了矩形布管问题的“以圆代方”求解方法。进而结合稳态导热控制方程的边界可分离特性和势函数叠加原理,求解了8根管矩形布置和多根管广义矩形布置的温度场解析解。通过对比瞬态数值计算结果和模型试验结果,验证了解析求解方法的正确性和解析解的适用性。结果表明,矩形布管的温度场等值线在靠近冻结管圈径处显示出高度的矩形分布特征,随着计算点远离冻结圈,等温线逐渐向圆形转化。矩形冻结壁内侧发展速度大于外侧,内外0℃线内温度场受矩形布管影响显著,在冻结设计时应合理考虑冻结管布置形状对冻结壁几何特征的影响。
    Abstract: The temperature field is the basis for assessing the mechanical state and water-sealing performance of the frozen wall, which is an important research direction of the artificial freezing theory. For the freezing pipes in the form of a closed circumferential arrangement, there are only analytical solutions under regular annular conditions, including single-circle and double-circle models. However, the rectangular arrangement of freezing pipes is also very common in practical projects, especially for the subway station projects that use frozen concealed excavation, and the temperature field has not yet been answered. According to the geometric consistency of rectangular and annular layouts, based on the four-pipe model, a method of "replacing squares with circles" is firstly proposed for the rectangular problem. Furthermore, considering the boundary separable properties of the steady-state heat conduction control equation and the superposition principle of potential functions, the analytical solutions of the temperature field for rectangular arrangement with eight pipes and the generalized rectangular arrangement with multiple pipes are solved. By comparing with the transient numerical results the model test ones, the correctness and the applicability of the analytical solutions are verified. The results show that the temperature field exhibits a highly rectangular distribution characteristic near the pipe layout line, and the isotherm gradually transforms to a circular shape as it moves away from the freezing pipes. The inner side of the rectangular freezing wall develops faster than the outer side, and the temperature field inside and outside the 0℃ line is significantly affected. The influences of the freezing pipe arrangement on the geometric characteristics of the freezing wall should be reasonably considered in the design of freezing scheme.
  • 人工冻结作为一种地层加固方法,通过在拟建地下空间周围布置冻结管,利用人工制冷技术在地层中形成连续封闭的冻土帷幕后,再进行后续土体开挖施工。由于所形成的冻土帷幕具有良好的力学性能和隔绝地下水的能力,在富水软土地层中能够充分发挥其优越性,除传统的煤矿凿井工程以外,目前也已广泛应用于市政地下工程之中,如盾构进出洞、隧道联络通道、基坑支护等[1]

    作为冻结工程的承载和挡水结构,冻土帷幕的力学强度、厚度和平均温度等关键设计指标都与其温度分布息息相关,因此冻结温度场也一直是冻结法的重要研究内容。纵观所有温度场的影响因素,除了盐水温度、地层导热系数、结冰温度等涉及材料本身热物理性质的参数外,冻结管布置形式的影响更为显著[2]。实际工程中综合考虑断面形状、工程特点和施工场地条件等因素,往往具有不同的冻结管布置方案。已有研究对局部少量管冻结、直线排管冻结和环形圈管冻结的温度场进行了系统分析,从最早前苏联的经典单管冻结和单排管冻结问题[3-4],发展到近年来的多排管、多圈管冻结问题[5-8],国内外学者通过理论计算和模型试验等方法获得了考虑冻结管壁温度[9]、冻结管偏斜[10]、地下水渗流等不同工况条件下的冻结温度分布和发展规律[12-15],并以温度场理论为基础开展了冻胀预测与控制方面的研究[16-18]

    与此同时,实际工程中冻结管矩形布置形式一直以来也十分常见,无论是在含水砂砾地层的煤矿斜井工程[19]、地铁基坑盆形冻结止水工程[20-21]或是车站附属结构施工[22]等,均有矩形断面冻结方案的应用报道。近年来,随着城市地下工程建设条件的越发复杂,以地铁车站暗挖、穿越既有线路为代表的矩形大断面冻结工程案例进一步增多,如广州地铁6号线下穿3号线冻结加固工程、上海地铁14号线下穿大连路隧道冻结暗挖工程及国内首个大断面冻结暗挖车站—18号线江浦路站等。考虑隧道断面规划限制及矩形断面本身在提高地下空间利用率等方面的优越性,矩形冻结暗挖在地下工程中的应用越来越多。然而,由于冻结管矩形布置的几何形式在数学处理上存在困难,对于其温度场研究目前还停留在室内试验和现场实测阶段,仍缺乏理论解,特别是针对大断面矩形冻结存在内外冻土边界的问题,目前温度场理论成果依然难以满足实际工程的应用需求。本文以此为背景,从矩形布管的几何特征出发,结合导热微分方程的边界分离特性和解的叠加性质,创新性的采用“以圆代方”求解方法,尝试给出了存在内外边界条件下4根管矩形布置、8根管矩形布置以及广义矩形布置的温度场解析解,并通过数值模拟和模型试验进行了对比验证,获得了大断面矩形布管条件下冻结温度场的分布特征,以期为实际工程设计与施工提供参考。

    图 1所示,最基本的矩形布管模型至少应包含4根冻结管P1(x1, y1),P2(x2, y2),P3(x3, y3),P4(x4, y4)。以4根冻结管所形成矩形的中点为原点建立平面直角坐标系,并使得x轴平行于矩形的两条边,则有x1= x4x2= x3y1= y2y3= y4。参考常见冻结工况条件,这里假设所有冻结管半径相等,均为r0;各冻结管管壁温度不相等,分别假设为Tf1Tf2Tf3Tf4。同时,对于大断面矩形冻结工程,冻结管矩形布置的边长相对较大,冻结壁内部经常存在部分未冻结区域,这也被称作内部未冻实问题。在几何模型中分别选取点M1(R, θ)和点M2(R′′, θ′′)作为冻土帷幕内外边界的控制点。

    图  1  4根冻结管矩形布置冻结模型
    Figure  1.  Model for rectangular arrangement with four pipes

    对于稳态导热而言,结合傅里叶传热定律和热力学第二定律很容易获得温度场控制方程为

    2Tr2+1rTr+1r22Tθ2=0 (1)

    式中:T(x, y)为降温区域内温度函数;rθ分别为极径和极角。

    对于图 1所示的矩形布管模型,温度场边界条件包括冻结管管壁温度边界和冻土帷幕温度边界两类边界条件。由于冻结管截面尺寸相对于所求解的温度场计算区域很小,可以近似在圆形冻结管壁上任取一点作为替代,这里取原点至相应冻结管圆心延长线与外侧冻结管壁的交点。则上述两类边界条件可以描述为

    ① 冻结管壁温度边界:

    T(Ri+r0,θi)=Tfi (i=1,2,3,) (2)

    ② 冻土帷幕温度边界:

    T(R,θ)=T0 T(R,θ)=T0 } (3)

    式中:T0为土体的结冰温度;Riθi分别为极坐标系下各冻结管圆心的极径和极角。

    控制方程(1)及边界条件(2),(3)一起构成了图 1所示冻结模型稳态温度场的定解问题,求解该问题即可获得待求矩形布管温度场解析解,这也是本文的研究目标。

    因冻结管边界和冻土帷幕边界条件的几何复杂性,特别是角部冻结管处矩形边界偏导的不连续,使得直接求解上述微分方程非常困难。但观察图 1几何模型还可以发现,在所选坐标系下,各冻结管到原点的距离均相等,即冻结管坐标Pi(Ri, θi)的极径Ri相等。这说明对于最简单的4根冻结管矩形布置模型,又可以看作同一圆环上布置的4根冻结管。特别地,当所成的矩形为正方形时,又等价于4根冻结管单圈等间距布置在圆环上,如图 2所示。

    图  2  4根冻结管单圈环形布置求解模型
    Figure  2.  Circular solution model for four pipes

    利用环形单圈管冻结稳态温度场一般解析解[6],考虑冻结管相对原点的环向旋转角度,可以得到图 1冻结模型的稳态温度场解析表达式为

    T=TM(M+2lnRi2RRlnRRi4lnRiRlnRRilnRlnR)+T0 (4)

    其中,

    TM=TfT0ln4r0Ri4(lnRilnR)(lnR''lnRi)(lnR''lnR') 
    M=12ln[(RRi)4+(RiR)42cos(4θπ)] 

    由于该解析解推导过程中冻土帷幕边界控制点要求在经过原点的主面上,所以式(4)推导过程中,图 2中内外冻结壁控制点M1M2坐标的极角均取π/4。

    从上述4根冻结管问题的求解过程来看,作为矩形布管的基础模型,其表现出的矩形特征并不十分明显。考虑实际工程中常见冻结管矩形分布状态,本节将对矩形边界上布置多根冻结管进行求解,在4根冻结管的基础上研究8根冻结管布置在矩形边界上的问题。

    图 3所示,8根冻结管P1(r1, θ1)~P8(r8, θ8)按照每条边3根冻结管等间距布置在矩形边界上。以矩形对角线交点为坐标原点,以经过P1冻结管圆心为x轴建立直角坐标系。同样,仍需要选择冻土帷幕内外边界控制点M1(R, θ)和点M2(R, θ)

    图  3  8根冻结管矩形布置冻结模型
    Figure  3.  Model for rectangular arrangement with eight pipes

    参考4根管矩形布置“以圆代方”的求解方法,对8根管矩形布置冻结模型进行转化,如图 4所示。按照各冻结管至坐标原点的距离进行划分,可以将8根冻结管分为两圈,内圈由冻结管P1P3P5P7组成,布置半径为R1,冻结管壁温度为Tf1;外圈由冻结管P2P4P6P8组成,布置半径为R2,冻结管壁温度为Tf2,外圈相对于内圈在圆周上逆时针错位角度为π/4。这样,求解8根管矩形布置模型就转化为求解这一特殊的双圈管冻结模型。

    图  4  8根冻结管双圈环形布置求解模型
    Figure  4.  Circular solution model for eight pipes

    假设所有冻结管半径相等均为r0,8根冻结管管壁温度分别为Tf1~Tf8,则图 4冻结模型的数学表达可以表示为

    2Tr2+1rTr+1r22Tθ2=0 T(R1+r0,π2i)=Tf1 (i=0,1,2,3)          (内圈冻结管) ,        T(R2+r0,π2j+π4)=Tf2 (j=0,1,2,3) ()T(R,θ)=0                     (T(R,θ)=0                    (} (5)

    对于式(5),若采用复变函数中保角变换的方法,将其映射至相平面内的直线双排管模型,固然可以进行求解[7],但由于映射函数选取的复杂性,当冻结管圈数增多时将难以获得解答,无法适用于矩形边界上布置有更多冻结管的情形。

    观察到稳态热传导控制方程(1)实际上为拉普拉斯方程的极坐标形式,而拉普拉斯方程的解满足线性叠加原理,故可以引入边界分离方法,将图 4中的双圈冻结模型分解为两个较简单的模型:

    模型一,

    2T1r2+1rT1r+1r22T1θ2=0 T1(R1+r0,π2i)=Tf1Ta T1(R2+r0,π2j+π4)=Tb T1(R,θ)=0 T1(R,θ)=0 } (6)

    模型二,

    2T2r2+1rT2r+1r22T2θ2=0 T2(R1+r0,π2i)=Ta T2(R2+r0,π2j+π4)=Tf2Tb T2(R,θ)=0 T2(R,θ)=0 } (7)

    式中,TaTb为新引入的待定系数。由模型一和模型二的边界条件可知,这两个模型解的线性叠加即为满足式(5)边界条件的特解,即T=T1+T2

    考察式(6),通过选择合适的参数Tb,总可以保证模型一表示以内圈冻结管为主的单圈管冻结问题。依据内圈冻结管壁温度条件Tf1-Ta和冻土内外边界条件,参考式(4)可以得到模型一温度场解的表达式为

    T1=(Tf1Ta)P+2lnR12RRlnRR14lnR1RlnRR1lnRlnRln4r0R14(lnR1lnR)(lnRlnR1)lnRlnR (8)

    式中,P=12ln[(RR1)4+(R1R)42cos4θ]

    将式(6)中外圈冻结管管壁温度边界条件T1(R2+ r0, jπ/2+π/4)=Tb代入式(8)得到

    Tb=(Tf1Ta)A (9)

    其中,

    A=12ln[(R2R1)4+(R1R2)4+2]+2lnR12RRlnR2R14lnR1RlnRR1lnRlnRln4r0R14(lnR1lnR)(lnRlnR1)lnRlnR

    同理,选择合适的Ta,式(7)模型二将变成以外圈冻结管为主的单圈冻结模型。考虑外圈冻结管管壁温度Tf2-Tb和冻土内外边界条件,可以获得模型二的解的表达式为

    T2=(Tf2Tb)Q+2lnR22RRlnRR24lnR2RlnRR2lnRlnRln4r0R24(lnR2lnR)(lnRlnR2)lnRlnR (10)

    其中,Q=12ln[(RR2)4+(R2R)4+2cos4θ]

    将式(7)中内圈冻结管管壁温度边界条件T2(R1+ r0, iπ/2)=Ta代入式(10)可以得到

    Tb=(Tf1Ta)B (11)

    其中,

    B=12ln[(R1R2)4+(R2R1)4+2]+2lnR22RRlnR1R24lnR2RlnRR2lnRlnRln4r0R24(lnR2lnR)(lnRlnR2)lnRlnR

    通过联立式(9),(11)求解TaTb两参数的方程组可以得到

    Ta=ABTf1BTf2AB1Tb=ABTf2ATf1AB1

    TaTb分别代入相应的简单模型温度场解式(8),(10),再叠加即可获得待求模型式(5)的冻结温度场解析解为

    T=T1+T2=BTf2Tf1AB1P+2lnR12RRlnRR14lnR1RlnRR1lnRlnRln4r0R14(lnR1lnR)(lnRlnR1)lnRlnR+ATf1Tf2AB1Q+2lnR22RRlnRR24lnR2RlnRR2lnRlnRln4r0R24(lnR2lnR)(lnRlnR2)lnRlnR (12)

    特别地,实际冻结工程后期所有冻结管内盐水温度相差不大,当Tf1=Tf2=Tf,且考虑土体结冰温度T0(一般低于0℃)时,式(12)将变为

    T=(B1)(TfT0)AB1P+2lnR12RRlnRR14lnR1RlnRR1lnRlnRln4r0R14(lnR1lnR)(lnRlnR1)lnRlnR+(A1)(TfT0)AB1Q+2lnR22RRlnRR24lnR2R'lnRR2lnRlnRln4r0R24(lnR2lnR)(lnRlnR2)lnR''lnR+T0 (13)

    式(13)即为图 3所示8根冻结管矩形布置形式的稳态冻结温度场解析解表达式。

    更一般的,对于矩形边界上布置有更多冻结管的情形,包含冻土内外边界的冻结模型示意如图 5所示。

    图  5  多孔冻结管矩形布置模型
    Figure  5.  Rectangular layout model with multi-freezing pipes

    以冻结管所在矩形中心为原点建立平面直角坐标系,不失一般性地假设x轴和y轴分别经过一冻结管中心,如图 6。记矩形上部边界上x轴负半轴上冻结管编号分别为P1, P2, …, Pn,则该n根冻结管圆心至原点的距离均不相等,分别记为R1, R2, …, Rn

    图  6  多孔冻结管矩形布置的环形求解模型
    Figure  6.  Circular solution model for multi-freezing pipes

    以原点O为圆心,以Ri为半径作圆,当i=1或i=n时,均有4根冻结管等间距分布在圆周上;当i≠1且in时,圆周上有Pi, Qi, Mi, Ni, Pi, Qi, Mi, Ni八根冻结管,可以分成Pi, Qi, Mi, NiPi, Qi, Mi, Ni两组,每组也包含4根冻结管,且在圆周上均匀分布。因此,多根冻结管矩形布置模型可以转化为多组包含4根冻结管均匀分布的圆形布管模型的叠加。

    为描述方便,假设相邻冻结管间距为l,冻结管所在矩形边长设为a,由几何关系知a=2(n-1)l。同时,正方形PiQiMiNiPiQiMiNi的偏转角分别为

    θi=xOQi=arctannin1 θi=xOQi=arctannin1 } (14)

    所在圆周的半径为

    Ri=(ni)2l2+(a2)2 (15)

    根据8根管矩形布置的双圈叠加求解方法,图 6所示的广义矩形布管模型的温度场表达式应为2(n-1)圈包含4根管圆形冻结模型温度场的叠加,描述如下:

    T(R,θ)=ni=1CiTi(Ri,θi)+n1i=2CiTi(Ri,θi) (16)

    式中:CiCi′为待定系数;TiTi′)表示半径为Ri,错位角为θiθi′)的第i圈4根冻结管分项温度场,与式(14)相同,

    Ti=TM(M+2lnRi2RRlnRRi4lnRiRlnRRilnRR)+T0
    Ti=TM(M+2lnRi2RRlnRRi4lnRiRlnRRilnRR)+T0

    其中,

    M=12ln[(RRi)4+(RiR)42cos4(θθi)]
    M=12ln[(RRi)4+(RiR)42cos4(θθi)]

    将式(14),(15)代入式(16),得到包含待定系数C1~CnC2~Cn1以及冻土帷幕内半径R′和外半径R′′共计2n个未知参数的方程组,求解温度场的显式表达同样需要2n个边界条件,描述如下:

    T(Ri+r0,θi)=Tfi (i=1,2,3,,n) T(Ri+r0,θi)=Tfi (i=2,3,4,,n1) T(RM1,θM1)=TM1 T(RM2,θM2)=TM2 } (17)

    式中:TfiTfi为冻结管壁温度,可近似取为相同值,均等于盐水温度;M1M2分别为冻土帷幕内外侧的温度监测点;TM1TM2为测点温度。

    实际工程中结合现场温度监测,式(17)的2n个边界条件均为已知值,代入式(16)即可获得不同时刻的矩形布管温度场分布表达式。需要指出的是,本节矩形布孔准确来说属于标准正方形布孔,对于实际冻结工程的断面为一般矩形特别是长方形时,“以圆代方”的求解方法依然适用,只需要将所叠加的等间距圈管模型替换为环向不等间距的圈管模型即可,如本文后续的模型试验部分,这里不再赘述。

    土体冻结过程实际上是包含冻结锋面移动的瞬态过程,为了验证本文矩形冻结管布置温度场解析解的准确性,采用瞬态导热数值模拟方法进行对比。以图 3中8根冻结管矩形布置为例,按照冻结工程常用的冻结参数进行计算,选取冻结管半径r0=0.054 m,相邻冻结管间距l=2 m,冻结管壁温度Tf=−30℃,各冻结管位置参数如表 1所示。土体热力学性质参数参照《长江口土层人工冻土力学性能试验报告》进行选取,如表 2所示[24]

    表  1  冻结管坐标
    Table  1.  Coordinates of freezing pipes
    编号 R/m θ Tf1/℃
    P1 2 0 −30
    P2 2.83 π/4 −30
    P3 2 π/2 −30
    P4 2.83 3π/4 −30
    P5 2 π −30
    P6 2.83 5π/4 −30
    P7 2 3π/2 −30
    P8 2.83 7π/4 −30
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    表  2  瞬态模拟土体热物理性质参数
    Table  2.  Thermal properties of soil adopted in transient simulation
    参数 温度/
    导热系数/
    (W·m-1·K-1)
    密度/ (kg·m-3) 比热/ (J·kg-1·K-1) 焓值/
    (kJ·m-3)
    冻土 -28 1.74 1870 1650 0
    -10 55714.4
    -4 115302.2
    冰点 -2.1 1.74 1870 1650 199526.7
    融土 18.0 1.42 1870 1650 247954.0
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    数值模型中初始地温取20℃,冻结管坐标按照表 1参数确定,计算区域为半径20 m的圆域,经试算该区域边界足够大,几何边界不会对温度场发展产生影响。网格划分采用平面自由三角形网格,冻结管矩形位置进行加密处理,如图 7所示。选择冻结工程中特征时间节点30 d进行分析,温度分布如图 8所示。

    图  7  数值模型网格划分示意图
    Figure  7.  Schematic diagram of numerical model meshing
    图  8  基于数值模拟的温度分布图
    Figure  8.  Temperature distribution based on numerical simulation

    为对比数值与解析结果,根据矩形冻结管布置模型的对称性,选取两个特征截面的温度数据,分别是极角为0°的截面1和极角为45°的截面2,特征截面位置示意如图 9所示。

    图  9  特征截面位置示意图
    Figure  9.  Schematic diagram of characteristic cross-sections

    根据数值计算结果冻结第30天的温度数据,在图 9坐标系下,截面1上内外侧温度为0℃的测点坐标分别为M1(1.16, 0)和M2(2.67, 0),也即矩形冻土侧壁内侧厚0.84 m,外侧厚0.67 m。截面2上内外侧温度为0℃的测点坐标分别为M1′(1.64, π/4)和M2′(3.41, π/4),即矩形角部内侧冻结壁厚1.18 m,外侧厚0.52 m,均符合封闭布管的冻结壁发展规律。

    在解析计算中,冻结管壁温度Tf,结冰温度T0等冻结参数和数值模型相同,冻结管坐标由表 1知内圈布置半径R1=2 m,外圈布置半径R2=22m。对于截面1,将数值结果M1M2的坐标和温度值代入8根管矩形布置温度场表达式(13),计算得冻结30 d的温度分布解析解为

    T(R,θ)=4.47 + 5.23ln[124(R424+24R4)123cos4θ]+  6.05ln[124(R4224+224R4)+123cos4θ]+25.65lnR (18)

    基于式(18)绘制的温度场分布云图如图 10所示。由解析和数值结果的二维云图都可以看出,矩形布管温度场具有明显特征,等温线在冻结管附近表现出波浪形状态,随着与冻结管所在矩形边界距离的增加,波浪形逐渐消失,等温线首先过度到圆角矩形,随后向圆形转变,冻结壁内外侧均有此特征。这说明矩形布管的形状效应会明显影响冻结圈附近的温度场,而对于距离较远的温度场影响相对较小。另一个直观解释是,若将8根冻结管整体看作一个大冻结管,在距离大冻结管很远处,温度场必然成极坐标系下的径向对称分布,也就是圆形分布,而在靠近大冻结管边界附近,则受到管壁温度的影响较大,故而成矩形。由二维云图中代表低温的蓝色区域也可以看出,内外侧0℃等温线之间的冻土帷幕圈处于距离冻结管较近的位置,因此,实际工程中不能忽视冻结管布置形状对冻结壁性状参数的影响,在冻结壁承载能力设计和冻结效果评估时应考虑矩形布管造成的温度场差异。

    图  10  基于解析解的温度分布图
    Figure  10.  Temperature distribution based on analytical simulation

    另外,由相邻等温线之间距离可以发现,无论是冻结圈内侧或是外侧,等温线间隔都随着与冻结管距离增大而增大,说明距离冻结管越远,温度梯度越小,降温越缓慢。由0℃等温线分布位置发现,内侧等温线到冻结管布置轮廓线的距离要明显大于外侧,在图 810中外侧0℃线还处于波浪状态时,内侧等温线已到达矩形,这说明对于矩形封闭布管形式,内侧冻土发展速度大于外侧的现象依然明显,解析云图也较好地反映了这一特征。

    为对比特征截面上解析解和数值解的差异,在式(18)中令极角θ=0°可得截面1的解析温度分布T=T(R, 0),与数值计算结果对比曲线如图 11(a)所示。同样,截面2上的解析结果可由冻土内外边界控制点M1′和M2′计算得到,与数值计算结果的对比情况如图 11(b)所示。

    图  11  特征截面上解析与数值结果的温度对比
    Figure  11.  Comparison between analytical and numerical results on characteristic cross-sections

    图 11可以看出,特征截面上解析解和数值解温度曲线总体上具有较高的一致性,在冻结壁厚度方向上温度分布规律相近,特别是冻结管轴线外侧,解析曲线与数值曲线几乎完全重合。在冻结管轴线内侧,解析解与数值解存在一定误差,解析结果低于数值结果,截面1上最大差值为1.63℃,出现在R=1.6 m处,截面2上最大差值为约为2.29℃,出现在R=2.2 m处,均能控制在3℃以内。同时可以发现,在冰点温度线上,解析解和数值解曲线均十分吻合,也说明利用温度场解析解预测冻土边界将具有较高的精度。在实际冻结工程中,冻结圈内侧的冻土常随着通道开挖施工而被去除,外侧冻土在冻结壁承载和封水的有效厚度计算中通常占据较大的比重。本文所获解析解与数值解在冻结管轴线外侧的高度吻合特征也使得其用在评估实际矩形布管的冻结效果时更加可靠。

    以广州地铁6号线下穿3号线冻结暗挖工程为背景,开挖断面尺寸为12.2 m×7.45 m,采用矩形断面以便与车站段进行对接[23]。冻结施工阶段,首先沿隧道轮廓线外侧布设一圈矩形分布的冻结管,待形成封闭冻结帷幕后再进行内部土体开挖作业。同时,为了保证大断面冻结壁开挖时内侧土体的稳定性,断面中部增设了两列纵向冻结孔,示意图如图 12所示。

    图  12  矩形断面冻结加固示意图
    Figure  12.  Diagram of frozen reinforcement of rectangular section

    以此为工程原型进行室内模型试验,研究矩形断面的冻结壁温度场分布规律。如图 13所示,试验采用Cl =7.71的几何缩比,矩形断面长边上水平向布置7根冻结管,短边上竖向布置4根冻结管,两列纵向增补冻结孔将整个矩形断面分成Ⅰ区、Ⅱ区、Ⅲ区3个部分。相邻管间距均为130 mm(实际对应间距1000 mm),冻结管半径7 mm(实际对应半径54 mm)。

    图  13  模型试验冻结方案及测点布置
    Figure  13.  Layout of freezing pipes and monitoring points in model tests

    试验用土为富水淤泥质砂土,从冻结施工现场取回,含水率约为45%,天然密度为1700 kg/m3,冰点约为-0.5℃。考虑到模型箱不同位置的保温差异可能对温度场产生影响,在矩形断面侧壁、顶部和底部各布置两根测温电缆,编号C1~C6,分别沿冻结管主面和界面敷设。每根电缆上布置5个温度传感器,间距58 mm。为叙述方便,所有传感器按照从矩形内部向外依次编号,如图 13(a)所示。

    为了模拟实际工程盐水温度降低规律,将试验过程总时长50 h分为两个阶段:第一阶段维持冷却液温度为-15℃,冻结28 h后冻土帷幕交圈,之后进入第二阶段,降低冷却液温度至-25℃持续冻结至试验结束。选择冻结第40 h交圈并达到稳定之后的温度数据与解析解进行对比。因试验中3个矩形冻结分区尺寸一致,解析计算以任意一区为基础建立包含10根冻结管的矩形冻结模型,坐标原点取矩形中心点,结合前述解析计算原理,按照各冻结管与原点距离的不同又可转化为三圈管模型,三圈冻结管分布半径分别为R1=14.5 cm,R2=23.4 cm和R3=19.5 cm。

    以侧壁界面上C1为例,具体对比方法为:选择C1-1测点和C1-5测点作为冻土帷幕内外控制点M1M2,将其坐标和实测温度值作为冻土边界条件代入式(17),联合冻结管温度边界和其他冻结参数Tf=−25℃,T0=−0.6℃,求解式(16)温度场表达式的各待定系数,得到解析解的结果为

    T(R,θ)=41.8 + 1.15ln[122(R214.52+14.52R2)12cos2(θθ1)]+1.15ln[122(R214.52+14.52R2)12cos2(θ+θ1)]+1.77ln[122(R223.42+23.42R2)12cos2(θθ2)]+1.77ln[122(R223.42+23.42R2)12cos2(θ+θ2)]+1.24ln[122(R219.52+19.52R2)12cos2(θπ2)]+13.32lnR (19)

    式中,θ1θ2分别为第一圈和第二圈冻结管相对原点的旋转角,满足tanθ1=0.5,tanθ2=1.5。第三圈冻结管旋转角为π/2。

    将C1截面的其他测点坐标代入式(19)即可获得温度场的解析计算值,对比模型试验的实测温度数据[23],如表 3所示。

    表  3  C1界面5个测点坐标及温度对比
    Table  3.  Comparison of coordinates and temperatures of 5 measuring points on interface C1
    测点 坐标/
    (cm, cm)
    实测值/
    解析解/
    绝对
    误差/℃
    相对
    误差/℃
    C1-1 (-1.4, 0) -9.9 -9.92 0.02 0.20
    C1-2 (-7.2, 0) -10.0 -11.32 1.32 13.20
    C1-3 (-13, 0) -12.2 -10.78 1.42 11.64
    C1-4 (-18.8, 0) -5.8 -6.86 1.06 18.27
    C1-5 (-24.6, 0) -2.0 -1.99 0.01 0.50
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    通过主面与界面温度的实测值与解析解的对比结果可以看出,两者的绝对误差均不超过2℃,相对误差也都在20%以内,解析解精度能够满足实际工程的误差要求。

    其他截面的温度场解析计算过程与C1完全相同,限于文章篇幅,并区别于界面C1,这里仅再列出主面C2的对比情况,如表 4所示。

    表  4  C2主面5个测点坐标及温度对比
    Table  4.  Comparison of coordinates and temperatures of 5 measuring points on main surface C2
    测点 坐标/
    (cm, cm)
    实测值/
    解析解/
    绝对
    误差/℃
    相对
    误差/%
    C2-1 (-1.4, 6.5) -11.6 -11.62 0.02 0.17
    C2-2 (-7.2, 6.5) -11.4 -11.99 0.59 5.17
    C2-3 (-13, 6.5) -13.5
    C2-4 (-18.8, 6.5) -6.2 -7.14 0.94 15.16
    C2-5 (-24.6, 6.5) -2.1 -2.08 0.02 0.95
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    本文以人工地层冻结工程中广泛采用的矩形冻结管布置为背景进行温度场的解析研究,得到以下4点结论。

    (1)以4根冻结管为基础,根据矩形布管的几何特征,提出了矩形布管模型“以圆代方”的温度场求解方法。

    (2)结合调和方程边界分离解法,获得了8根管矩形布置解析解,并在常见冻结参数下与瞬态数值模拟进行了对比,特征截面上温度曲线吻合程度较高,表明了解析求解方法的正确性。

    (3)基于多圈管叠加原理,给出了广义矩形布管模型的温度场定解方程,并利用物理模型试验数据分析了实测值与解析解的误差,验证了解析解的工程适用性。

    (4)矩形布管模型所形成的温度场,特别是内外侧0℃线以内的温度分布受冻结管布置的形状影响显著,在冻结壁设计时应予以考虑。

  • 图  1   4根冻结管矩形布置冻结模型

    Figure  1.   Model for rectangular arrangement with four pipes

    图  2   4根冻结管单圈环形布置求解模型

    Figure  2.   Circular solution model for four pipes

    图  3   8根冻结管矩形布置冻结模型

    Figure  3.   Model for rectangular arrangement with eight pipes

    图  4   8根冻结管双圈环形布置求解模型

    Figure  4.   Circular solution model for eight pipes

    图  5   多孔冻结管矩形布置模型

    Figure  5.   Rectangular layout model with multi-freezing pipes

    图  6   多孔冻结管矩形布置的环形求解模型

    Figure  6.   Circular solution model for multi-freezing pipes

    图  7   数值模型网格划分示意图

    Figure  7.   Schematic diagram of numerical model meshing

    图  8   基于数值模拟的温度分布图

    Figure  8.   Temperature distribution based on numerical simulation

    图  9   特征截面位置示意图

    Figure  9.   Schematic diagram of characteristic cross-sections

    图  10   基于解析解的温度分布图

    Figure  10.   Temperature distribution based on analytical simulation

    图  11   特征截面上解析与数值结果的温度对比

    Figure  11.   Comparison between analytical and numerical results on characteristic cross-sections

    图  12   矩形断面冻结加固示意图

    Figure  12.   Diagram of frozen reinforcement of rectangular section

    图  13   模型试验冻结方案及测点布置

    Figure  13.   Layout of freezing pipes and monitoring points in model tests

    表  1   冻结管坐标

    Table  1   Coordinates of freezing pipes

    编号 R/m θ Tf1/℃
    P1 2 0 −30
    P2 2.83 π/4 −30
    P3 2 π/2 −30
    P4 2.83 3π/4 −30
    P5 2 π −30
    P6 2.83 5π/4 −30
    P7 2 3π/2 −30
    P8 2.83 7π/4 −30
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    表  2   瞬态模拟土体热物理性质参数

    Table  2   Thermal properties of soil adopted in transient simulation

    参数 温度/
    导热系数/
    (W·m-1·K-1)
    密度/ (kg·m-3) 比热/ (J·kg-1·K-1) 焓值/
    (kJ·m-3)
    冻土 -28 1.74 1870 1650 0
    -10 55714.4
    -4 115302.2
    冰点 -2.1 1.74 1870 1650 199526.7
    融土 18.0 1.42 1870 1650 247954.0
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    表  3   C1界面5个测点坐标及温度对比

    Table  3   Comparison of coordinates and temperatures of 5 measuring points on interface C1

    测点 坐标/
    (cm, cm)
    实测值/
    解析解/
    绝对
    误差/℃
    相对
    误差/℃
    C1-1 (-1.4, 0) -9.9 -9.92 0.02 0.20
    C1-2 (-7.2, 0) -10.0 -11.32 1.32 13.20
    C1-3 (-13, 0) -12.2 -10.78 1.42 11.64
    C1-4 (-18.8, 0) -5.8 -6.86 1.06 18.27
    C1-5 (-24.6, 0) -2.0 -1.99 0.01 0.50
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    表  4   C2主面5个测点坐标及温度对比

    Table  4   Comparison of coordinates and temperatures of 5 measuring points on main surface C2

    测点 坐标/
    (cm, cm)
    实测值/
    解析解/
    绝对
    误差/℃
    相对
    误差/%
    C2-1 (-1.4, 6.5) -11.6 -11.62 0.02 0.17
    C2-2 (-7.2, 6.5) -11.4 -11.99 0.59 5.17
    C2-3 (-13, 6.5) -13.5
    C2-4 (-18.8, 6.5) -6.2 -7.14 0.94 15.16
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出版历程
  • 收稿日期:  2022-05-31
  • 网络出版日期:  2023-02-26

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