One-dimensional consolidation analysis of saturated lumpy composite backfill foundation
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摘要: 用块状渣土置换软弱地基和回填低洼谷地等是处置工程渣土的有效途径。为了分析饱和块状混合回填土地基的固结性状，运用混合物理论建立了其一维固结模型。首先，假定块状土固相和充填土固相之间满足等应变条件，获得了饱和块状混合回填土中各相应变与块状土孔隙变形和充填土孔隙变形的关系式。其次，在小应变条件下，根据自由能势函数方程建立了饱和块状混合回填土的一维线弹性本构方程，再结合达西定律和应力平衡方程获得了一维固结控制方程。再次，利用分离变量法得到一维固结解析解，通过退化本文模型与已有模型进行对比，验证了本文模型的正确性。最后，基于所得解析解，分析了充填土孔隙渗透系数、块状土孔隙渗透系数以及流体交换参数等因素对饱和块状混合回填土地基固结性状的影响。分析结果表明：充填土孔隙渗透系数对饱和块状混合回填土地基整体固结性状起主导作用；在固结初期，块状土超孔压会有一定程度的上升，且3个参数具有相似的作用机理。Abstract: It is an effective way to replace the soft foundation waste and backfill the low-lying valley with the lumpy waste. In order to explore the consolidation behaviors of saturated lumpy composite backfill foundation, one-dimensional (1-D) consolidation model is established by using the mixture theory. Firstly, based on the assumption of the equal solid strain condition between lumpy soil and filling soil, the formulations are obtained between each constituent strain and pore deformations in lumpy soil and filling soil. Then, under small strain, the 1-D linear elastic constitutive equations for the saturated lumpy composite backfill soil are derived by applying the free energy potential constitutive equations, and the governing equation for 1-D consolidation is provided based on the Darcy's law and the stress equilibrium equation. Meanwhile, its analytical solution is gained by using the separation variable method, and the contrast between the degenerating model and other existing ones shows the validity of the proposed model. Finally, the influences of two pore permeability coefficients and fluid exchange parameter on the characteristics of 1-D consolidation for the saturated lumpy composite backfill foundation are studied by adopting the analytical solution. The analysis results indicate that the permeability coefficient in filling soil plays a leading role in the consolidation behaviors, and the pore pressure in the lumpy soil increases to a certain extent at the initial stage of consolidation and three parameters have the similar mechanism.
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0. 引言
随着中国经济迅速发展和城市化水平不断提高，促使旧城改造、轨道交通建设和地下空间开发蓬勃发展，产生了大量的工程渣土[1]。工程渣土的另一个来源是采矿工程的开采废料[2]，如露天矿山开采产生的块状黏土等废弃物。据统计，中国每年约产生20亿吨工程渣土[3]。以往通常采用渣土场方式处置这些工程渣土，不仅严重占用土地资源，污染环境，而且还会诱发滑坡、泥石流等地质灾害，危害人民生命安全，造成巨大财产损失[4]。为了解决渣土场地逐渐饱和、土地资源日益匮乏等问题，变废为宝，在一些发达国家和中国沿海沿湖地区，经常利用它们置换建筑物软弱地基土层，回填低洼谷地、围垦沿海沿湖滩涂，充当民用、工业和基础设施用地[5-7]。
以往针对回填土地基固结特性的研究中，通常把回填土地基视为与天然地基一样的单重孔隙介质，采用经典的Terzaghi理论或Biot理论进行固结分析。然而，在实际工程中，为了提高地基强度和降低沉降，有很大一部分回填土采用的是块状黏土或块状渣土，造成孔隙在空间上不均匀分布，使得此类回填土地基具有明显的双重孔隙结构：一类是块状土内的小孔隙，另一类是块状土之间的大孔隙[8-11]，以下分别简称为块状土孔隙和块状土裂隙。与经典双重孔隙介质略有不同的是，在块状回填土的块状土裂隙中，还夹杂着丰富的充填土。本文把具有这种骨架的饱和土体称为饱和块状混合土，以区别于其它结构的土体。在国外，针对饱和块状混合回填土地基的研究已逐步突破Terzaghi理论或Biot理论的局限性，形成了独特的固结理论和固结方程，但在国内，有关饱和块状混合回填土的文献报道凤毛麟角，尚未开展有效的研究。
国外的饱和块状混合回填土固结理论主要有两种思路：
（1）借助于Barrenblatt等[12]开创的双重孔隙介质理论来展开。Aifantis[13]把Barrenblatt等[12]双重孔隙介质概念引入岩土领域，采用双有效应力理论建立了饱和双重孔隙介质的线弹性本构方程。Li等[14]和Sanchez等[15]从混合物功共轭能量方程出发，建立了非饱和双重孔隙介质的弹塑性本构模型。在本构模型的理论基础之上，一些学者开展了相关固结理论的研究。Khalili等[16]利用自身提出的饱和双重孔隙线弹性本构模型建立固结理论，运用有限差分法分析了饱和双重孔隙介质在均布荷载作用下的固结沉降特性。Yang等[17]利用Nogami等[18]提出的饱和双重孔隙介质一维固结方程，分析了考虑回填土自重影响的饱和块状回填土地基固结特性。上述固结理论均未考虑块状土裂隙中夹杂的充填土的力学性质。
（2）采用均匀化理论来研究饱和块状混合土体的固结特性。Shi等[19]将饱和块状混合土体视为均质材料，建立了它在一维条件下的固结模型，通过对比数值模拟结果和试验数据来研究饱和块状混合土体的一维固结特性。Shi等[19]的固结模型虽然考虑了块状土裂隙中充填土的影响，但忽略了混合物各组分的体积分数之和等于1这一基本条件。本文汲取上述两种固结理论的优点，结合混合物理论和双重孔隙介质理论来建立饱和块状混合回填土的本构方程，进而建立饱和块状混合回填土地基的一维固结方程，并利用分离变量法求解得到一维固结解析解。将退化后的本文模型与已有模型进行对比，验证了本文模型的正确性。最后，通过模型参数对比，分析了饱和块状混合回填土地基固结性状。
1. 饱和块状混合回填土组分体积分数
图 1给出了饱和块状混合回填土的结构特征：饱和块状混合回填土由块状土固相、块状土孔隙流相、块状土裂隙中的充填土固相和充填土孔隙流相组成。本文用L表示块状土，LS表示块状土固相，LP表示块状土孔隙流相；用F表示块状土裂隙，FS表示块状土裂隙中充填土固相，FP表示块状土裂隙中充填土孔隙流相（块状土裂隙中未被充填土固相所占有的那部分孔隙被流相全部占有）。令α∈{LS,FS,LP,FP}为各组分指标，φα表示α组分体积分数，有
φLS+φFS+φLP+φFP=1。 (1) ![]()
图 1 饱和块状混合回填土特征单元体示意图Figure 1. Schematic diagram for representative volume element of saturated lumpy composite backfill soil令ρrα是α组分的真实（材料）密度，ρα为α组分的平均密度，ρα=φαρrα。
从图 1可以看出，饱和块状混合回填土可分成块状土和充填土两部分来考虑。块状土部分可视为由块状土固相基质和块状土孔隙流相组成的饱和块状土孔隙介质，而充填土部分可视为由充填土固相基质和充填土孔隙流相组成的饱和充填土孔隙介质。再将饱和充填土孔隙介质嵌套在饱和块状土孔隙介质之间的裂隙中组合成饱和双重孔隙介质（饱和块状混合回填土）。为了记述简便，下文将饱和块状土孔隙介质简称为饱和块状土，把饱和充填土孔隙介质简称为饱和充填土，把饱和块状混合回填土称为饱和双重孔隙介质。因此，饱和块状土和饱和充填土在饱和双重孔隙介质中的体积分数分别为φL=φLS+φLP和φF=φFS+φFP，满足φL+φF=1。当把饱和块状土和饱和充填土视为两个单独的混合物时，块状土固相的体积分数为φLLS=φLS/φL，块状土孔隙流相的体积分数为φLLP=φLP/φL，满足φLLS+φLLP=1；充填土固相的体积分数为φFFS=φFS/φF，充填土孔隙流相的体积分数为φFFP=φFP/φF，满足φFFS+φFFP=1。令ρLLS为块状土固相在饱和块状土中的平均密度，ρFFS为充填土固相在饱和充填土中的平均密度，则有ρLLS=φLLSρrLS，ρFFS=φFFSρrFS。
2. 饱和块状混合回填土组分应变
在一维小应变条件下，假定竖向为x方向，应变以压为正。令εS为固相应变，εFP为充填土孔隙流相应变，εLP为块状土孔隙流相应变。为了考虑块状土孔隙和充填土孔隙变形对饱和块状混合回填土中各相变形相互耦合机制的影响，本文将εS，εFP和εLP进行分解，来获得本构建模所需的应变和应力状态变量。
2.1 固相应变表达式
在双重孔隙介质中，固相应变可拆分为块状土固相应变和充填土固相应变来考虑。令εLS为块状土固相应变，εFS为充填土固相应变。假定固相和流相之间不存在质量交换，根据混合物理论[20-21]可知，块状土固相和充填土固相的质量守恒方程分别为
dρLSdt−ρLSdvLSdx=dρLSdt−ρLS˙εLS=0， (2) dρFSdt−ρFSdvFSdx=dρFSdt−ρFS˙εFS=0， (3) 式中，vLS和vFS分别为块状土固相和充填土固相的速度。先来推导块状土固相应变的表达式，求解式（2）并根据初始应变为零可得
εLS=lnρLSρLS0。 (4) 式中，ρLS0为块状土固相的初始平均密度，令φL0为块状土整体的初始体积分数，φLLS0为块状土固相在块状土中的初始体积分数，ρrLS0为块状土固相的初始真实密度，将ρLS=φLSρrLS，φLLS=φLS/φL代入式（4）得
εLS=lnφLφL0+lnφLLSφLLS0+lnρrLSρrLS0。 (5) 式（5）中的ln(φL/φL0)与块状土整体在双重孔隙介质中的体积分数有关，鉴于块状土整体在双重孔隙介质中起到骨架作用，而块状土裂隙体积分数φF与块状土整体的体积分数φL之和等于1，故称εH=ln(φL/φL0)为块间裂隙骨架应变；类似地，εD=ln(φLLS/φLLS0)可称为块状土孔隙骨架应变；ϑLS=ln(ρrLS/ρrLS0)可称为块状土固相基质应变，则式（5）可表示为
εLS=εH+εD+ϑLS。 (6) 式（6）表明，块状土固相应变可分解为块间裂隙骨架应变εH、块状土孔隙骨架应变εD和块状土固相基质应变ϑLS之和。
同理，求解式（3）可以得到充填土固相应变的表达式为
εFS=εF+εC+ϑFS， (7) 式中，εF=ln(φF/φF0)为块间裂隙应变，φF0为充填土整体的初始体积分数，εC=ln(φFFS/φFFS0)为充填土孔隙骨架应变，φFFS0为充填土中固相组分的初始体积分数，ϑFS为充填土固相基质应变，ρrRS0为充填土固相的初始真实密度。由式（7）可知，充填土固相应变可分解为块间裂隙应变、充填土孔隙骨架应变和充填土固相基质应变之和。
根据定义，εC与充填土孔隙流相的体积分数相关，εD与块状土孔隙流相的体积分数相关，同时，由于φL与φF之和为1，故从式（5）和式（7）的推导过程可知式（5）中εH与式（7）中εF相关联。式（5）和（7）的应变分解方式有利于突显块状土孔隙变形和充填土孔隙变形在双重孔隙介质各相耦合机制中的纽带作用。由于块状土和充填土排列紧密，两者之间可近似认为不存在相对位移，因而本文假定块状土固相和充填土固相满足等应变条件，即εLS=εFS。根据混合物的均匀化理论[22]，固相应变可表示为
εS=φLεLS+φFεFSφL+φF=εLS=εFS。 (8) 2.2 流相应变表达式
令εFP为充填土孔隙流相应变，εLP为块状土孔隙流相应变。根据混合物理论[20-21]可知，充填土孔隙流相和块状土孔隙流相的质量守恒方程为
dρFPdt−ρFPdvFPdx=dρFPdt−ρFP˙εFP=cFP， (9) dρLPdt−ρLPdvLPdx=dρLPdt−ρLP˙εLP=cLP， (10) 式中，vFP和vLP分别表示充填土孔隙流相和块状土孔隙流相的速度，cFP和cLP分别表示充填土孔隙流相和块状土孔隙流相的质量交换率，且两者满足cFP+cLP=0。求解式（9）和式（10）并根据初始应变为零可得
εFP=lnρFPρFP0−∫t0cFPρFPdt， (11) εLP=lnρLPρLP0−∫t0cLPρLPdt， (12) 式中，ρFP0和ρLP0分别为充填土孔隙流相和块状土孔隙流相的初始平均密度。令φFP0和φLP0分别为充填土孔隙流相和块状土孔隙流相的初始体积分数，ρrFP0和ρrLP0分别为充填土孔隙流相和块状土孔隙流相的初始真实密度。利用ρFP=φFPρrFP和ρLP=φLPρrLP，式（11）和式（12）可表示为
εFP=lnφFPφFP0+lnρrFPρrFP0−∫t0cFPφFPρrFPdt， (13) εLP=lnφLPφLP0+lnρrLPρrLP0−∫t0cLPφLPρrLPdt。 (14) 根据式（5）和式（7）并在小应变情况下略去高阶项得
εH=ln(φL/φL0)≈(φL−φL0)/φL0， (15) εF=−(φL0/φF0)εH， (16) εD=ln(φLLS/φLLS0)≈(φLLS−φLLS0)/φLLS0， (17) εC=ln(φFFS/φFFS0)≈(φFFS−φFFS0)/φFFS0。 (18) 小应变条件下充填土孔隙流相和块状土孔隙流相基质应变分别为
ϑFP=ln(ρrFP/ρrFP0)， (19) ϑLP=ln(ρrLP/ρrLP0)。 (20) 将式（15）~（20）代入式（13）和式（14），结合小应变情况下φFP≈φFP0、φLP≈φLP0可得
εFP=−φL0φF0εH−φFS0φFP0εC+ϑFP−∫t0cFPφFP0ρrFPdt， (21) εLP=εH−φLS0φLP0εD+ϑLP−∫t0cLPφLP0ρrLPdt。 (22) 在实际工程中，流体的流出量和流入量更具普适性，定义充填土孔隙流相渗入量ζFP=φFP0(εFP−εS)，块状土孔隙流相渗入量ζLP=φLP0(εLP−εS)，结合式（8）和式（21）, （22）可得ζFP和ζLP的表达式分别为
ζFP=φFP0(−φF0φFP0εC+ϑFP−ϑFS)−∫t0cFPρrFPdt， (23) ζLP=φLP0(−φL0φLP0εD+ϑLP−ϑLS)−∫t0cLPρrLPdt。 (24) 3. 饱和块状混合回填土本构方程
3.1 各组分应力关系
在一维小应变条件下，令σ为饱和块状混合回填土的总应力，σα为α组分的应力，则有
σ = σLS+σFS+σLP+σFP。 (25) 令PLS和PFS分别为块状土固相基质和充填土固相基质的真实应力，PLP和PFP分别为块状土孔隙流相和充填土孔隙流相孔压。根据混合物理论[20-21]，各组分应力和基质真实应力存在以下关系：σα=φαPα，则式（25）可表示为
σ = φLSPLS+φFSPFS+φLPPLP+φFPPFP。 (26) 先考虑块状土，它由块状土固相和块状土孔隙流相组成，令PL为块状土整体所受的总应力，则相应的应力关系为
PL = (φLS0PLS + φLP0PLP)/φL0=φLLS0PLS + φLLP0PLP， (27) 同理可得，充填土相应的应力关系为
PF = (φFS0PFS + φFP0PFP)/φF0=φFFS0PFS + φFFP0PFP， (28) 式中，PF为充填土整体所受的总应力。最后考虑双重孔隙介质，它可视为由块状土整体作为基质和充填土整体作为块状土裂隙组成，则其应力关系满足：
σ = φL0PL0+φF0PF0。 (29) 3.2 内能方程
由于不考虑温度场影响，在推导过程中可以忽略热流项和热源项。根据混合物理论[20-21]，饱和双重孔隙介质在小应变条件下的内能方程为
˙ξ=σLS˙εLS+σFS˙εFS+σLP˙εLP+σFP˙εFP+FP∑α=LSˆεα， (30) 式中，等号右侧前四项分别为各组分的机械能，最后一项为固相和流相之间相对运动产生的能量供给量。利用σα=φαPα、式（6）~（8）和式（21），（22），式（30）可进一步表示为
˙ξ=˜PH˙εH+φL0˜PD˙εD+φF0˜PC˙εC+FP∑α=LSφα0Pα˙ϑα+PLPcLPρrLP+PFPcFPρrFP+FP∑α=LSˆεα， (31) 式中，˜PH=σ−PF表示饱和块间裂隙介质有效应力，˜PD=PL−PLP表示饱和块状土有效应力，˜PC=PF−PFP表示饱和充填土有效应力。
3.3 本构方程
假定受力过程满足热力学局部平衡假定[20]，则内能可表示为ξ=ξ(η,εH,εD,εC,ϑα)，对ξ求全微分后由式（31）和理性力学的Coleman关系式[23]可得
θ = ∂ξ∂η，˜PH=∂ξ∂εH，φL0˜PD=∂ξ∂εD， (32) φF0˜PC=∂ξ∂εC，φα0Pα=∂ξ∂ϑα， (33) θ˙η=PLPcLPρrLP+PFPcFPρrFP+FP∑α=LSˆεα。 (34) 引入Helmhotlz自由能ψ=ψ(θ,εH,εD,εC,ϑα)，它与内能之间的关系为ψ=ξ−θη，对ψ求全微分后由式（32）~（34）得
η = −∂ψ∂θ，˜PH=∂ψ∂εH，φL0˜PD=∂ψ∂εD， (35) φF0˜PC=∂ψ∂εC，φα0Pα=∂ψ∂ϑα， (36) 式（35），（36）中ψ为自由能势函数，就热力学性质而言是可逆的，故式（35），（36）是饱和双重孔隙介质在一维小应变条件下的一般弹性本构关系。
假定温度恒定，饱和双重孔隙介质的初始平衡态为(θ,εH,εD,εC,ϑα)=(θ0,0,0,0,0)，在受到微小扰动后到达一个新的平衡态为(θ0,εH,εD,εC,ϑα)。为了简化本构方程达到工程实用目的，在饱和双重孔隙介质的本构模型研究中，通常根据介质的孔隙组合结构和变形机制来选择应力和应变状态变量，由此各应变状态变量产生的机械能可以近似地假定相互独立。故小应变线弹性情况下自由能ψ可表示为
ψ=12EHεH2+φL02EDεD2+φF02ECεC2+12FP∑α=LSφα0Eαϑα2， (37) 式中，等式右边的前三项分别是块间裂隙骨架、块状土孔隙骨架和充填土孔隙骨架变形引起的机械能，EH，ED和EC分别为块间裂隙骨架、块状土孔隙骨架和充填土孔隙骨架的压缩模量，等式右边的最后一项反映的是块状土和充填土固相基质（土颗粒）、块状土和充填土流相基质（孔隙中流体）变形引起的机械能，ELS和EFS分别为块状土和充填土固相基质的压缩模量，ELP和EFP分别为块状土孔隙和充填土孔隙流相基质的压缩模量。由于假定温度保持不变，故式中不含温度变量。把式（37）代入式（35），（36）再求逆可得
εH=˜PH/EH， (38) εD=˜PD/ED， (39) εC=˜PC/EC， (40) ϑα=Pα/Eα,α∈{LS,FS,LP,FP}。 (41) 令ES为饱和双重孔隙介质整体的压缩模量，结合（5）~（8）、式（26）~（28）、式（38）~（41）和˜PH，˜PD，˜PC的定义可得
εS=a11σLS+a12σFS+a13PFP+a14PLP， (42) b11σFS=b12σLS+b13PFP+b14PLP， (43) 式中，a11=1EH+1φL0ED+1φLS0ELS，a12=−φL0φF01EH，a13=−φL0φFP0φF01EH，a14=φLP0EH−φLS0φL0ED，b11=φL0φF01EH+1EC+φF0φFS0EFS，b12=1EH+φF0φL01ED+φF0φLS0ELS，b13= −φFP0φL0φF0EH+φFS0EC，b14=φLP0EH−φLS0φF0φL0ED。
结合式（42），（43）和式（26）并化简可得
εS=σ/ES−A12PFP−A13PLP， (44) 同理，将式（38）~（41）代入式（23），（24）后，再结合˜PH，˜PD，˜PC的定义、式（26）~（28）以及式（43）并化简可得
ζFP=−A12σ+A22PFP+A23PLP−∫t0(cFP/ρrFP)dt， (45) ζLP=−A13σ+A23PFP+A33PLP−∫t0(cLP/ρrLP)dt。 (46) 式中
1ES=c11c12φF0(c11+c12)−φL0φF01EH， (47) A12=−c12c13c11+c12，A13=−c11c14c11+c12， (48) A22=c21+c13(c22−φFP0c12)c11+c12，A23=φF0c13c14c11+c12， (49) A33=c23−c14φLP0c11+c24c11+c12。 (50) 式中，c11=b11，c12=b12，c13=−1EC−φFP0φFS0EFS，c14= −1ED−φLP0φLS0ELS，c21=φFS0EC+φFP0EFP，c22=−φL0φFP0φF0EH+φFS0EC，c23 = φLS0ED+φLP0ELP, c24 = φLP0EH−φF0φLS0φL0ED。
cFP和cLP根据文献[24]可表示为
cFP=χ(ρrLPPLP−ρrFPPFP)， (51) cLP=χ(ρrFPPFP−ρrLPPLP)。 (52) 式中χ为与渗透和孔隙尺寸有关的流体交换参数，式（44）~（46）是饱和双重孔隙介质的固相、充填土孔隙流相和块状土孔隙流相渗入量的线弹性本构方程。
将应力用应变表示，式（44）~（46）可转换得
σ=ESεS+A12ESPFP+A13ESPLP， (53) ζFP=−A12ESεS+(A22−A122ES)PFP+(A23−A12A13ES)PLP−∫t0χ(PLP−PFP)dt， (54) ζLP=−A13ESεS+(A23−A12A13ES)PFP+(A33−A132ES)PLP−∫t0χ(PFP−PLP)dt。 (55) 4. 固结控制方程及其求解
4.1 固结控制方程
由于固结方程不考虑体力和加速度，则饱和双重孔隙介质的应力平衡方程为
∂σ∂x=0， (56) 将式（53）代入式（56），再利用εS=−∂u/∂x可得
−ES∂2u∂x2+A12ES∂PFP∂x+A13ES∂PLP∂x=0， (57) 式中，u表示饱和双重孔隙介质整体沿x方向的位移。
根据混合物理论，饱和双重孔隙介质中充填土孔隙流相和块状土孔隙流相的动量守恒方程可简化为
∂σFP∂x + ˆpFP=0， (58) ∂σLP∂x + ˆpLP=0， (59) 式中，ˆpFP和ˆpLP表示充填土孔隙流相和块状土孔隙流相的动量供给量，且已忽略体力和加速度相关项。
充填土孔隙流相和块状土孔隙流相动量供给量满足ˆpβ=Pβ∇φβ−φβφβ0(vβ−vS)γw/kβ，将它代入式（58）, （59）并利用σβ = φβPβ可得
kβγw∂Pβ∂x+φβ0(vβ−vS)=0， (60) 式中，β∈{FP,LP}，vS和vβ分别表示固相、充填土孔隙流相和块状土孔隙流相的速度，kβ为充填土孔隙流相和块状土孔隙流相的渗透系数。对式（60）求微分再结合渗入量ζβ的定义以及˙εβ=∇vβ，˙εS=∇vS可得
kβγw∂2Pβ∂x2=˙ζβ。 (61) 再将式（54），（55）代入式（61）可得
kFPγw∂2PFP∂x2=A12ES∂2u∂x∂t+(A22−A122ES)∂PFP∂t−(A12A13ES−A23)∂PLP∂t−χ(PLP−PFP)， (62) kLPγw∂2PLP∂x2=A13ES∂2u∂x∂t−(A12A13ES−A23)∂PFP∂t+(A33−A132ES)∂PLP∂t−χ(PFP−PLP)， (63) 式（57）和（62），（63）便是一维小应变条件下的固结控制方程。
4.2 解析解
本文采用高度为h的饱和块状混合回填土地基模型来进行一维固结性状分析，如图 2所示，顶面(x=0)施加均布荷载，初始总应力σ0，该顶面假定自由排水，而底面(x=h)假定为刚性不透水，且渗透系数保持恒定。由此可得边界条件为
PFP(0,t)=PLP(0,t)=0，∂u(0,t)∂x=−1ESσ0， (64) ∂PFP(h,t)∂x=∂PLP(h,t)∂x=0，u(h,t)=0， (65) 初始条件为
ζFP = ζLP=0，PFP(x,0)=PFP0，PLP(x,0)=PLP0， (66) 其中初始孔压PFP0和PLP0可结合ζFP = ζLP=0和式（44）~（46）得到。
现在来推导固结方程的解析解，先将式（57）对x求积分，代入式（64），再对时间t求导后，将其代入式（62）和（63）可得
∂2PFP∂x2+χFP(PLP−PFP) = 1CFF∂PFP∂t+1CFL∂PLP∂t， (67) ∂2PLP∂x2+χLP(PFP−PLP) = 1CLF∂PFP∂t+1CLL∂PLP∂t， (68) 式中，χFP=χγw/kFP，χLP=χγw/kLP，CFF=kFP/ (γwA22)，CFL=kFP/(γwA23)，CLF=kLP/(γwA23)，CLL=kLP/(γwA33)。
对式（67），（68）作傅里叶变换，再结合式（66）可求解得
PFP(x,t)=2h∞∑n=0[CFPexp(r1t)+CLPexp(r2t)]sin(mx)， (69) PLP(x,t)=2h∞∑n=0[(CFPr1−AFFCFP)/AFLexp(r1t)+(CLPr2−AFFCLP)/AFLexp(r2t)]sin(mx)， (70) 式（44）表明，孔压变化引起的应变为
εCS = A12(PFP0−PFP)+A13(PLP0−PLP)， (71) 将式（69），（70）代入式（71）后沿深度积分可得t时刻的固结沉降为
uCS(t)=∫h0εCSdx=−A12m2h∞∑n=0[CFPexp(r1t)+CLPexp(r2t)]−A13m2h∞∑n=0[(CFPr1−AFFCFP)/AFLexp(r1t)+(CLPr2−AFFCLP)/AFLexp(r2t)]+A12PFP0h+A13PLP0h， (72) 按沉降定义的平均固结度为
U=uCS(t)/uCS(∞)， (73) 式中，uCS(t)为t时刻的固结沉降，uCS(∞)为最终固结沉降。式（72）中
m=(2n+1)π /2h， AFF=(−m2−χFP)CFFCFLCLF−χLPCFFCLFCLLCFLCLF−CFFCLL， AFL=χFPCFFCFLCLF+(m2+χLP)CFFCLFCLLCFLCLF−CFFCLL， ALF=(m2+χFP)CFFCFLCLL+χLPCFLCLFCLLCFLCLF−CFFCLL， ALL=−χFPCFFCFLCLL+(−m2−χLP)CFLCLFCLLCFLCLF−CFFCLL， CFP=PLP0AFL/(m√(AFF−ALL)2+4AFLALF)+PFP0[(AFF−ALL)/√(AFF−ALL)2+4AFLALF+1]/2m,CLP=PFP0/m−CFP, r1=(AFF+ALL)/r1=(AFF+ALL)2+2+√(AFF−ALL)2+4AFLALF/√(AFF−ALL)2+4AFLALF22， r2=(AFF+ALL)/r2=(AFF+ALL)2−2−√(AFF−ALL)2+4AFLALF/√(AFF−ALL)2+4AFLALF22。 5. 固结性状分析
5.1 固结模型验证
为了验证本文固结模型的准确性，忽略块状土间裂隙中的充填土，将本文模型建立的固结控制方程退化为Khalili等[16]获得的固结控制方程。当忽略充填土时，有φFS0→0且当φFS0→0时ϑFS→0。结合式（8），（16），（28），（40）和˜PC的定义可得
limφFS0→0˜PC=limφFS0→0φFS0φF(PFS−PFP)=0， (74) 再根据ϑFS→0和式（4），（7）和式（16）有εC→(εH/ φF0)+εD+ϑLS，由于(εH/φF0)+εD+ϑLS≠0，故εC存在不等于零的极限，把它和式（74）代入式（40）得
limφFS0→0EC=limφFS0→0φFS0(PFS−PFP)φF[(εH/φF0)+εD+ϑLS]=0， (75) 当φFS0→0时ϑFS→0，故可取φFS0EFS>0，由式（75）、c11表达式可知c11是与1/EC同阶的无穷大。
1ES=limφFS0→0c12φF0(1+c12/c11)−φL0φF01EH=c12φF0−φL0φF01EH=1EH+1φL0ED+1φLS0ELS。 (76) 根据式（75）和c13表达式可知c13是与−1/EC同阶的负无穷大，因而有
A12ES=limφFS0→0−c12ESc11/c13+c12/c13=c12ES=ESEH + φF0φL0ESED+φF0ESφLS0ELS=1−ESED−ESφLLS0ELS， (77) A13ES=limφFS0→0−c14ES1+c12/c11 = −c14ES = ESED + φLP0ESφLS0ELS = ESED + ESφLLS0ELS−ESELS。 (78) 同理，当φFS0→0时ϑFS→0可以得到
(A22−A122ES)=(1−A12ES)(1ES−1ED−1φLLS0ELS) + φFP0(1EFP−1ED−1φLLS0ELS)， (79) (A23−A12A13ES)=(A12ES−φFP0)(1ED+1φLLS0ELS−1ELS)， (80) (A33−A132ES)=(1−φFP0−A13ES)(1ED+1φLLS0ELS−1ELS)+φLP0(1ELP−1ELS)。 (81) 再将式（76）~（81）代入式（57），（62）和式（63）可得
−ES∂2u∂x2+α1∂P1∂x+α2∂P2∂x=0， (82) kFPγw∂2PFP∂x2=α2∂2u∂x∂t−α21∂PLP∂t + α22∂PFP∂t−χ(PLP−PFP) (83) kLPγw∂2PLP∂x2=α1∂2u∂x∂t−α11∂PLP∂t−α12∂PFP∂t+χ(PLP−PFP)， (84) 式中，α1 = cPc−cSc，α2 = 1−cPc，α11 = φLP0(cf−cS)+(1−α1−φFP0)(cP−cS)，α22 = φFP0(cf−cP)+(1−α2)(c−cP)，α12 = α21 = (α2−φFP0)(cP−cS)，cP = 1/ED+1/(φLLS0ELS)，cS = 1/ELS，c = 1/ES，cf=1/EFP = 1/ELP。易对比，式（82）、式（83）和式（84）分别与文献[16]的式（1）、式（3）和式（2）完全相同。
采用Khalili等[16]的模型参数，具体数值见表 1，边界条件同上节所述。将本文退化模型计算所得到的固结度曲线与文献[16]图 2的固结度曲线作对比，如图 3所示。从图 3中可以看出，本文的计算结果与Khalili等[16]中图 2的计算结果较为吻合。
表 1 Khalili等的模型参数Fig 1 Model parameters of Khalili et alh/m σ0/kPa ES/kPa ED/kPa φFP0 10 100 1.0×104 1.111×104 0.06 kLP/(m·s-1) kFP//(m·s-1) χ/(kPa−1⋅s−1) φLP0 1.0×10−4 1.0×10−1 1.001×10−4 0.54 φFS0EFS/kPa EC/kPa 100 1.0×10−8 ![]()
图 3 本文计算结果与Khalili等计算结果对比图Figure 3. Comparison of calculated results by authors and Khalili et al5.2 固结性状分析
从第3节分析可知，固结分析总计需要11个基本参数：4个骨架压缩模量（EH，ED，EC，ES），4个组分体积分数（φLS0，φFS0，φLP0，φFP0），两个渗透系数（kLP，kFP）和流体交换参数χ，各下标含义同上文。其余上文涉及的参数均可由这11个基本参数计算得到。在工程应用时，上述模型参数可按照文献[16，19，25，26]所述方法测得。
根据文献[19]所给的各组分初始孔隙比数据确定各组分体积分数，根据文献[19]中的式（20），（21）和渗透参数（A和ξ）确定渗透系数kFP和kLP，根据文献[19]中压缩实验数据（如图 4所示），采用压力间隔100~200 kPa的孔隙比[27]计算块状混合回填土、块状土和充填土的压缩系数aS，aD和aC，从而得到ES，EH则可由式（47）反算得到，具体参数值见表 2。接下来分别讨论kFP，kLP和χ对饱和块状混合回填土地基模型的一维固结性状的影响，下文均考虑模型中距顶面2 m处（x=2 m）的超孔压和固结度。
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图 4 充填土、块状土、块状混合回填土压缩曲线图Figure 4. Compression curves of filling soil, lumpy soil and lumpy backfill soil表 2 饱和块状混合回填土地基模型的模型参数Table 2. Model parameters of samples of saturated lumpy composite backfill foundationσ0/kPa ES/kPa EH/kPa ED /kPa 100 1577.2 1627 1607.6 EC/kPa φLS0 φFS0 kLP/(m·s-1) 1141.8 0.226 0.154 5.03×10−11 kFP/(m·s-1) φLP0 φFP0 χ/(kPa−1⋅s−1) 1.22×10−9 0.271 0.349 1.0×10−9 （1）充填土孔隙渗透系数kFP的影响
本小节分析kFP对饱和块状混合回填土地基固结性状的影响。图 5（a）和图 5（b）显示，在固结过程中，充填土超孔压PFP先迅速消散，而后消散速度逐渐降低。块状土超孔压PLP的消散过程则呈现出阶段性特征：在固结初期，PLP有一定程度地提高，这是由于kLP和kFP相差几个数量级，PFP先迅速消散，而PLP几乎未消散。在这一过程中，部分荷载从充填土转移到块状土上，致使PLP相应升高。kFP越大，PFP消散越快，荷载转移到块状土的速率越快，PLP上升幅度越明显。在固结中期，随着kFP不断减小，超孔压差(PLP−PFP)逐渐增大，块状土孔隙水更快地流向充填土孔隙，使得PLP消散速度加快。kFP越大，PFP消散越快，超孔压差(PLP−PFP)增大越快，PLP下降速率越大。在固结后期，PFP和PLP都处于较小值，且两者间的差值也逐渐减小，超孔压消散速度变得缓慢。图 5（c）表明增大kFP会提高饱和块状混合回填土地基整体的固结速度，这是因为本文考虑孔隙之间流体的相互交换，增大渗透系数意味着两者间流体交换的速率加快，从而提高了整体的固结速度。
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图 5 不同kFP下的超孔压图和固结度图Figure 5. Diagram of excess pore pressure and consolidation degree for varying permeability in filling soil（2）块状土孔隙渗透系数kLP的影响
本小节分析kLP对饱和块状混合回填土地基固结性状的影响。图 6（a）和图 6（b）显示，随着kLP的增大，充填土超孔压PFP和块状土超孔压PLP的消散速度均加快。随着kLP和kFP的差异逐渐减小，PLP和PFP消散速度逐渐接近，PLP在固结初期未出现上升现象，但PFP的消散速度仍快于PLP。图 6（c）表明，增大kLP，饱和块状混合回填土地基的固结速度也会相应提高。
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图 6 不同kLP下超孔压图和固结度图Figure 6. Diagram of excess pore pressure and consolidation degree for varying permeability in lumpy soil（3）流体交换参数χ的影响
本小节分析流体交换参数χ对饱和块状混合回填土地基固结性状的影响。图 7（a）和图 7（b）表明，在固结初期，随着χ的减小，PFP的消散速度加快。这是因为减小χ，也就减小了块状土孔隙流体和充填土孔隙流体的交换速率，使得从块状土孔隙流向充填土孔隙的流体减少，因而PFP消散变快。
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图 7 不同χ下的超孔压图和固结度图Figure 7. Diagram of excess pore pressure and consolidation degree for varying fluid exchange parameter图 7（a）和图 7（b）还显示，在固结后期，PLP和PFP都处于较小值。此时χ越小，PFP消散速度也越慢；在固结初期，PLP有一定程度地提高，且χ越小，升高幅度越大。这是因为χ越小，PFP消散越快，荷载从充填土转移到块状土上的速率越快，PLP升高幅度也越明显。图 7（c）表明，减小流体交换参数χ的值，饱和块状混合回填土地基的整体固结速度也随之减小。此外，由于本文考虑到两个孔隙之间流体的交换，整体固结度的变化应该与平均孔压的变化进行对比。因而，在图 7（b）和图 7（c）的χ2和χ3情况中，出现了PLP的消散滞后于整体固结度的变化的现象。
6. 结论
（1）充填土孔隙渗透系数kFP、块状土孔隙渗透系数kLP和流体交换参数χ均影响着饱和块状混合回填土地基的固结特性，随着3个因素的增大，饱和块状混合回填土地基的透水性越好，固结速度越快。在固结过程中，kFP占主导作用，它不仅直接影响PFP的消散，还改变了块状土孔隙和充填土孔隙之间的孔压差(PLP−PFP)，进而影响着PLP的消散。
（2）在饱和块状混合回填土地基固结初始阶段，当kFP和kLP存在较大差异时，PFP先迅速消散，而PLP几乎未消散，部分荷载从充填土转移到块状土上，致使PLP有一定程度提升，且上升幅度随两个渗透系数差值的增大和流体交换参数减小而增大。
（3）渗透系数和流体交换参数对饱和块状混合回填土地基固结性状的影响具有相似的机理：较大的渗透系数和流体交换参数加快了充填土孔隙和块状土孔隙之间流体的交换速率，促进了PLP和PFP的消散，从而提高了饱和块状混合回填土地基整体的固结速度。
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图 1 饱和块状混合回填土特征单元体示意图
Figure 1. Schematic diagram for representative volume element of saturated lumpy composite backfill soil
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图 3 本文计算结果与Khalili等计算结果对比图
Figure 3. Comparison of calculated results by authors and Khalili et al
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图 4 充填土、块状土、块状混合回填土压缩曲线图
Figure 4. Compression curves of filling soil, lumpy soil and lumpy backfill soil
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图 5 不同下的超孔压图和固结度图
Figure 5. Diagram of excess pore pressure and consolidation degree for varying permeability in filling soil
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图 6 不同下超孔压图和固结度图
Figure 6. Diagram of excess pore pressure and consolidation degree for varying permeability in lumpy soil
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图 7 不同下的超孔压图和固结度图
Figure 7. Diagram of excess pore pressure and consolidation degree for varying fluid exchange parameter
表 1 Khalili等的模型参数Fig 1 Model parameters of Khalili et al
h/m ES/kPa ED/kPa 10 100 0.06 kLP/(m·s-1) kFP//(m·s-1) 0.54 EC/kPa 100 
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表 2 饱和块状混合回填土地基模型的模型参数
Table 2 Model parameters of samples of saturated lumpy composite backfill foundation
ES/kPa EH/kPa ED /kPa 100 1577.2 1627 1607.6 EC/kPa kLP/(m·s-1) 1141.8 0.226 0.154 kFP/(m·s-1) 0.271 0.349
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