黏土片与球状颗粒间范德华作用的简便计算方法

申志福; 高峰; 蒋明镜; 王志华; 刘璐; 高洪梅

doi:10.11779/CJGE202104021

黏土片与球状颗粒间范德华作用的简便计算方法 English Version

1.
南京工业大学交通运输工程学院,江苏　南京　210000
2.
天津大学建筑工程学院土木工程系,天津　300350

基金项目:

国家自然科学基金青年基金项目 51908284

江苏省科技厅自然科学基金青年基金项目 BK20190667

江苏省高等学校自然科学研究面上项目 19KJB560015

国家自然科学基金重大项目 51890911

江苏高校“青蓝工程”资助项目

详细信息

作者简介:
申志福(1988—),男,四川绵阳人,工学博士,副教授,主要从事宏微观土力学方面研究。E-mail: zhifu.shen@njtech.edu.cn

通讯作者:
高洪梅, E-mail: hongmei54@163.com

中图分类号: TU431;TU47
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出版历程
- 收稿日期: 2020-04-12
- 网络出版日期: 2022-12-04
- 刊出日期: 2021-03-31

An easy method to calculate van der Waals interaction between clay plate and spherical particle

1.
School of Transportation Engineering, Nanjing Tech University, Nanjing 210000, China
2.
Department of Civil Engineering, School of Civil Engineering, Tianjin University, Tianjin 300350, China

摘要

摘要: 黏粒（黏土片）与非塑性粉粒间相互作用是控制粉质黏土/黏质粉土这一大类土体力学特性的关键因素之一,范德华力是两种颗粒间最主要的相互作用形式,也是饱和土真黏聚力的来源。然而,在土体宏微观关联理论分析、离散元模拟等研究中尚难以得到该力的解析解。为此,提出一种简便计算方法,其基本思想是将粉粒视为球体,将黏土片视为由规则排列的基本立方体构成,将问题转变为可实现的基本立方体与球状颗粒间的范德华作用求解。首先采用蒙特卡罗模拟,计算得到不同空间排列方式下基本立方体与球状颗粒间范德华作用力；随后,训练一个三层人工神经网络模型用于高精度拟合范德华力与两种颗粒空间关系参数的函数关系；最后采用叠加法即可简便求得黏土片与球状颗粒间范德华作用的合力与合力矩。结果表明,提出的简便计算方法准确性高、计算速度快,且拟合的模型参数适用于黏土片与土体中大于1 $μm$ 的球状颗粒间范德华作用计算。
- 范德华力 /
- 黏土片 /
- 球状颗粒 /
- 蒙特卡罗模拟 /
- 人工神经网络
Abstract: The interaction between clay plate and non-plastic silty particle is one of the key factors determining the mechanical behavior of silty clay and clayey silt, which form a major category of soil in geotechnical engineering. The van der Waals force is the most important interaction between clay plate and non-plastic silty particle, which is also the origin of true cohesion in saturated clay. However, it is extremely difficult to obtain the analytical solution for this force to be applied in micro-macro cross-scale correlation and discrete element method simulation of soil. An easy method is proposed in this study for this purpose. The basic idea is to view the non-plastic silty particle as the spherical particle and to divide the cubic clay plate into basic cubes. Then, the problem is simplified to obtain the van der Waals interaction between the basic cube and the spherical particle, which can be solved in the following way. First, the Monte Carlo simulation is used to collect the data of van der Waals interaction of the basic cube and the sphere with a wide range of relative position. Then, an artificial neuro network was trained to fit the function between the van der Waals force and the relative position of the two objects with high accuracy. Finally, the total force and torque applied on the clay plate are summed up over all the basic cubes constituting the clay plate. It is found that the proposed easy method has strength in both accuracy and efficiency. The model-fitting parameters can be used to calculate the van der Waals interaction between the clay plate and the spherical particle with a diameter greater than 1 m.
- van der Waals force /
- clay plate /
- spherical particle /
- Monte Carlo simulation /
- artificial neuro network

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0. 引言

粉质黏土/黏质粉土都是粉粒与黏粒的混合土,是岩土工程中广泛存在的一大类土体,如中国南海神狐海域天然气水合物储层^[1]、长江中下游沿岸漫滩相淤泥质粉质黏土等；其物理、力学特性与黏粒含量密切相关,本质上是非塑性粉粒和塑性黏粒间相互作用的宏观表现。以淤泥质粉质黏土为例,黏土片之间存在范德华相互作用（引力）和双电层相互作用（斥力）、黏土片与粉粒之间也存在范德华相互作用（引力）,这些分别表现为引力和斥力的物理–化学作用在复杂的微观架空结构上取得平衡；土体受力变形将引起土颗粒排列结构调整和上述物理–化学作用的相应变化,在宏观上表现出结构性、高压缩性、各向异性等一系列力学性质。其中,范德华相互作用是土体真黏聚力的来源,是粉粒与黏粒间相互作用的本质特点,对于从微观机制上认识粉质黏土/黏质粉土这一大类土体的宏观力学特性具有关键作用。

以离散单元法为代表的数值模拟方法是当前研究土体宏微观力学特性的重要手段^[2],而范德华作用计算方法是离散元模拟黏性土的关键。Jiang等^[3]推导了考虑接触宽度的圆盘、球体间范德华力以模拟月壤的真黏聚力；Yao等^[4]在三维离散元模拟黏土中采用解析方法计算矩形薄片间的范德华力。当前离散元方法主要用于模拟纯粗粒土（如净砂）或纯黏土,尚无关于同时包含黏土片和粉粒的离散元模拟报道,也无考虑黏土片与球状颗粒间范德华力的研究。为此,本文提出一种黏土片——球状颗粒间范德华作用简便计算方法,并通过典型算例说明了计算方法的精确性和高效性。

1. 宏观体间范德华作用求解方法

两分子间范德华吸引能表达式最初由London^[5]给出

u (\vec{r}) = - \frac{B}{{| \vec{r} |}^{6}}

(1)

式中,B为伦敦常数, $\vec{r}$ 为连接两分子中心的矢量, $| \vec{r} |$ 为两分子间距离。实际上,完整的范德华作用包括吸引和排斥两部分,分别与距离的6次方（如式（1））和12次方成反比,都是分子内部电荷分布不均匀在不同尺度的表现。对于离散元模拟黏性土,仅式（1）给出的吸引能具有实际意义,后文将进一步说明。

然而,式（1）只适用稀薄介质中的范德华作用。对于凝聚态物质（如土体中各类固体矿物）,范德华作用能随分子间距离的衰减比式（1）更快^[6-7]。对此,Anandarajah等^[8]对式（1）进行了修正以考虑范德华作用的迟滞效应（retardation effect）：

u (\vec{r}) = - \frac{B c}{{| \vec{r} |}^{6} (| \vec{r} | + c)}

(2)

式中,常数c=49.363 nm。

两分子间范德华力可通过能量对距离求导得到

\vec{f} (\vec{r}) = - \frac{\partial u (\vec{r})}{\partial \vec{r}}

。

(3)

对如图1所示的分子密度均匀的两宏观体,它们之间的范德华力可以通过对式（3）体积分得到^[9-10]

图 1 宏观体之间的范德华相互作用

Figure 1. Van der Waals interaction between macroscopic bodies

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\vec{F} = ρ_{1} ρ_{2} \int_{V_{1}} \int_{V_{2}} \vec{f} (\vec{r}) d Ω_{1} d Ω_{2}

(4)

式中,V₁和V₂为两个宏观体的范围, $ρ_{1}$ 和 $ρ_{2}$ 为两宏观体中的分子密度。

宏观体1受到宏观体2范德华作用形成的力矩可表示为

\vec{M} = ρ_{1} ρ_{2} \int_{V_{1}} \int_{V_{2}} \vec{l} \times \vec{f} (\vec{r}) d Ω_{1} d Ω_{2}

(5)

式中, $\vec{l}$ 为从力矩作用点O₁指向微元体中心的矢量。

式（4）,（5）积分只有在几种简单、规则的宏观体上才能得到解析解,如点、球体、半无限体之间^{[9, 11]}。对于薄黏土片与其他形状实体之间的解析解则难以求解。本文采用蒙特卡罗模拟近似求解式（4）,（5）。式（4）可改写为

\vec{F} = ρ_{1} ρ_{2} \int_{V_{1}} \int_{V_{2}} \frac{\vec{f} (\vec{r})}{g_{1} g_{2}} g_{1} g_{2} d Ω_{1} d Ω_{2}

(6)

式中, $g_{1}$ , $g_{2}$ 可为任意函数。

若选择合适的 $g_{1}$ , $g_{2}$ 使得 $\int_{V_{1}} g_{1} d Ω_{1} = 1$ , $\int_{V_{2}} g_{2} d Ω_{2} =$ 1,则式（6）可视为对函数 $ρ_{1} ρ_{2} \vec{f} (\vec{r}) / (g_{1} g_{2})$ 求期望,且 $g_{1}$ , $g_{2}$ 应为矢量 $\vec{r}$ 的两端点在宏观体1和宏观体2中的概率密度函数。对分子密度均匀的宏观体应有 $g_{1} = 1 / V_{1}$ , $g_{2} = 1 / V_{2}$ 。根据期望的定义,式（6）也可表达为

\vec{F} = \frac{ρ_{1} ρ_{2} V_{1} V_{2}}{N_{1} N_{2}} \lim_{\begin{array}{l} N_{1} \to \infty \\ N_{2} \to \infty \end{array}} \sum_{1}^{N_{1} N_{2}} \vec{f} (\vec{r})

(7)

式中,N₁和N₂分别为两个宏观体中的取样点数,且应有 $N_{1} : N_{2} = ρ_{1} V_{1} : ρ_{2} V_{2}$ 。

同理,式（5）可表示为

\vec{M} = \frac{ρ_{1} ρ_{2} V_{1} V_{2}}{N_{1} N_{2}} \lim_{\begin{array}{l} N_{1} \to \infty \\ N_{2} \to \infty \end{array}} \sum_{1}^{N_{1} N_{2}} \vec{l} \times \vec{f} (\vec{r})

。

(8)

蒙特卡罗模拟的思想是通过计算式（7）,（8）近似得到 $\vec{F}$ 和 $\vec{M}$ 。本研究将黏土片简化为薄片状长方体,粉粒简化为球体,如图2所示。然而,由于 $\vec{f} (\vec{r})$ 对距离非常敏感,在黏土片和球体两个宏观体上采样计算式（7）,（8）将导致巨大的计算量。为此,采用以下方法大幅度降低计算量：

图 2 黏土片与球体间相对几何关系

Figure 2. Geometric relationship between clay plate and sphere

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（1）将黏土片视为由规则排列的基本立方体构成,如图2所示。根据范德华作用的可叠加性,只需求得基本立方体受到的球体颗粒的范德华作用,再将构成黏土片的所有基本立方体所受作用求和,即可得到整个黏土片受到的范德华作用。因此,待求解问题转变为求解基本立方体与球体间的范德华作用。

（2）借助点与球体间范德华作用的解析解,计算式（7）,（8）时只需在基本立方体上采样即可,由此避免了在球体上采样。

此处将黏土片视为立方体的集合系基于以下考虑。水化后的黏土矿物一般由多个晶层堆叠而成,层间还可能存在阳离子与水分子。当不关心晶层间相互作用细节时,可将晶层和层间可能存在的阳离子与水分子视为薄片状整体,此即黏土片；而计算范德华力所需的哈梅克常数A（见后文公式（12）,（13））可视为黏土片内各成分的某种加权平均。

2. 基本立方体与球体间范德华作用

2.1 点与球体间范德华作用

参考Anandarajah等^[8]给出的两球体间的范德华力,可方便推得图3中点P受到球体的范德华引力 ${\vec{f}}_{1} (\vec{r})$ ,其方向从点P指向球心。图3中d_n表示点与球表面的净距。

图 3 点与球体间范德华力

Figure 3. Van der Waals force between point and sphere

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点与球体间范德华力大小为

| {\vec{f}}_{1} (\vec{r}) | = \frac{b_{1} + b_{2}}{3 c^{4} d^{2} {(d^{2} - R^{2})}^{4}}

(9)

式中,d为点到球心距离,R为球体半径,

\begin{array}{l} b_{1} = 2 c R (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + 3 R^{8}), \\ b_{2} = 3 a_{5} (c^{2} - d^{2} - R^{2}) {(d^{2} - R^{2})}^{4}, \\ a_{1} = 3 (c - d) d^{7}, \\ a_{2} = d^{3} (3 c + 2 d) (4 c^{2} - 6 c d + 3 d^{2}) R^{2}, \\ a_{3} = 3 c (4 c - d) d^{2} R^{4}, \\ a_{4} = (- 2 c^{2} + 3 c d - 6 d^{2}) R^{6}, \\ a_{5} = \log [\frac{(d - R) (c + d + R)}{(d + R) (c + d - R)}] 。 \end{array}

图4为P点与半径为1 m的球体之间的范德华引力。图4表明,点与球体间范德华力随净距增大而快速非线性减小；当净距超过4 nm后,范德华力小到可以忽略。当净距趋近0时,范德华力将趋近无穷大。但实际上,当净距小于1 nm后,范德华斥力将快速增长并成为主导力,表现为对两宏观体相互贯入的排斥,故而当净距小于1 nm后范德华引力精确值对求解土颗粒间相互作用意义不大。Yao等^[4]在采用离散元模拟黏土时则假设净距小于0.9 nm后范德华引力保持恒定。

图 4 点与球体间范德华力与净距的关系

Figure 4. Relationship between van der Waals force and net distance between point and sphere

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图5给出了点与不同大小球体间范德华力的关系。可以看到,在相同净距下,点与半径大于1 $μm$ 的球体间范德华力基本与半径无关,这是由于范德华吸引能与距离的6次方成反比,图3中点P与球体内最靠近该点的局部小范围分子间作用对整个范德华力的贡献最大,而较远位置处的分子贡献几乎为零。

图 5 球体半径对点与球体间范德华力的影响

Figure 5. Effects of sphere radius on van der Waals force between point and sphere

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2.2 基本立方体与球体间范德华相互作用

在式（9）的点与球体间范德华力解析解基础上,本节采用蒙特卡罗模拟计算边长L=10 nm的基本立方体受到半径为R=1 $μm$ 球体的范德华作用。以立方体中心为原点建立图6所示坐标系,通过改变球心位置反映立方体与球体间不同的相对位置关系。为便于表达,图6中几何体尺寸未按比例绘制。原则上,本文方法适用于任何尺寸的基本立方体且精度均可保证,而此处选择立方体边长为10 nm是考虑以下物理意义和计算效率两方面因素：①黏土片厚度一般在几十纳米范围,边长10 nm的立方体可方便地构建出一系列不同厚度的黏土片,若基本立方体再大则其构建黏土片的灵活性将降低；②若基本立方体尺寸更小,对图2中众多基本立方体与球体相互作用求和将非常费时。

图 6 基本立方体与球体间几何关系示意图

Figure 6. Geometric relationship between basic cube and sphere

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此处选择半径为1 $μm$ 的球体基于以下两点考虑：①土体中非塑性颗粒半径一般不会小于1 $μm$ ；②根据图5可推知,边长为10 nm的基本立方体与半径大于1 $μm$ 的球体之间的范德华作用基本与半径无关（由于基本立方体与球体相比体积非常小）,这使得本文的研究结果适用于黏土片与土体中任意粒径非塑性颗粒间范德华相互作用。

为遍历基本立方体与球体间可能的相对位置关系并考虑到对称性,图6中 $γ$ 和 $β$ 的范围均为 $[0, 0.5 π]$ ,球心位置用3个参数（m,n,d）表征,其中m= $γ$ /(0.5π) $\in [0, 1]$ ,n= $β$ /(0.5π) $\in [0, 1]$ ,d为球心与基本立方体中心距离。对 $γ$ , $β$ 分别均匀划分为20份,在各 $γ$ , $β$ 组合下,以d₀表示基本立方体与球体刚好接触时两者中心距离,d的取值为d₀+10^0.065i nm,i $\in [0, 20]$ ,d取值超出此范围后范德华作用几乎为零,不必再考虑。对3个参数逐一遍历计算,总算例数为21³=9261个。

借助式（9）,采用蒙特卡罗模拟法计算式（7）,（8）时不需在球体上采样,而仅需在立方体上采样。故式（7）,（8）变形为

\vec{F} = ρ_{1} V_{1} \lim_{N_{1} \to \infty} \frac{1}{N_{1}} \sum_{1}^{N_{1}} {\vec{f}}_{1} (\vec{r})

(10)

\vec{M} = ρ_{1} V_{1} \lim_{N_{1} \to \infty} \frac{1}{N_{1}} \sum_{1}^{N_{1}} \vec{l} \times {\vec{f}}_{1} (\vec{r})

(11)

式中, $\vec{l}$ 为从立方体中心指向立方体中采样点的矢量。

为便于后续分析,定义量纲归一化力和力矩为

{\vec{F}}^{*} = \frac{c}{A} \vec{F}

(12)

{\vec{M}}^{*} = \frac{1}{A} \vec{M}

(13)

式中, $A = π^{2} B ρ_{1} ρ_{2}$ 为哈梅克常数,与黏土矿物类型、黏土孔隙介质有关^[11]。

用蒙特卡罗模拟法求解式（10）,（11）的方法是在基本立方体内随机采样N₁个点,计算这些点处 ${\vec{f}}_{1} (\vec{r})$ 、 $\vec{l} \times {\vec{f}}_{1} (\vec{r})$ 的平均值；当采样点数N₁越大,计算结果越逼近真实解。试算发现,立方体与球体间距越小,所需采样点越多。本文采用以下方法确定蒙特卡罗模拟在基本立方体中的采样点数：进行10次平行模拟,计算所得范德华力的大小误差在±0.5%范围内即可认为采样点足够；检验表明,此时蒙特卡罗模拟结果可认为收敛。经试算,采样点数需满足以下条件：立方体与球体间净距离小于等于1.2 nm时,取5×10⁶个采样点；当净距大于1.2 nm而小于1.5 nm时,取1×10⁶个采样点；当净距大于等于1.5 nm时取2×10⁵个采样点。以存在解析解的半径为 $R^{'}$ =5 nm的球体（基本立方体的内切球）与半径为 $1 μm$ 的球体间范德华力为例（此时采样仅在半径为5 nm的球体内进行）,图7给出了5次平行模拟的结果与解析解的对比。结果表明,上述采样点数的选择是合理的,保证了蒙特卡罗模拟具有预期的精度。

图 7 蒙特卡罗模拟与解析解对比

Figure 7. Comparison between Monte Carlo simulation and analytical solution

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图8为采用蒙特卡罗模拟得到的基本立方体与球体间范德华作用。图8（a）中m=n=0,即球体位于立方体正上方（+z方向）,立方体受到的范德华引力沿+z方向,当距离d－R超过10 nm后范德华力小到可以忽略；x,y方向作用力以及3个方向的力矩几乎为零,与预期相符。图8（b）中m=0.2,n=0.8,球体对立方体的范德华作用表现为3个方向的力与力矩,当距离d-R超过15 nm后范德华力作用小到可以忽略。对比图8（a）和（b）可知,两宏观体之间的范德华作用大小与两者相对距离（d）和位置（m,n）都有关系。

图 8 基本立方体与球体间范德华作用计算结果

Figure 8. Van der Waals interactions between basic cube and sphere

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对所有算例结果统计分析表明,立方体与球体间范德华力方向几乎沿着两者中心连线方向,这是由于基本立方体与球体相比非常小,立方体本身的尺寸对范德华力方向影响极小；但范德华力的大小与m,n,d三个参数都密切相关。将基本立方体受到的力矩大小与范德华力的大小比值定义为名义力臂。图9表明,名义力臂范围在0～2 nm,且绝大多数分布在0～1 nm,相对于立方体边长（10 nm）而言比较小。后文结果将表明,在黏土片与球体间相互作用简便计算方法中,不考虑这种力矩引起的误差很小。

图 9 名义力臂分布直方图

Figure 9. Histogram of nominal force arm

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2.3 人工神经网络模型拟合

为获得范德华力大小与m,n,d三个参数之间的函数关系,此处基于蒙特卡罗模拟结果训练一个人工神经网络模型来拟合这种函数关系。将9261个算例结果构成的数据集划分为70%训练集,15%验证集和15%测试集,经过多次尝试后确定的网络结构包括一个输入层（3个神经元,分别为m,n,d）,一个隐藏层（10个神经元）和一个输出层（1个神经元,即范德华力的大小）,采用Levenberg-Marquardt算法,经过279轮训练后均方误差稳定在10^-4附近。图10给出了测试集目标值（即真实值）与神经网络预测值的比较。可以看到,数据点分布在斜率为1的直线附近很小范围,说明训练得到的神经网络模型拟合精确度足够高。

图 10 神经网络预测值精度验证

Figure 10. Accuracy verification of neural network fitting

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为便于读者编程实现,此处给出神经网络模型的运算过程与模型参数：

x_{1, 3 \times 1} = x_{gain, 3 \times 3} (x_{in, 3 \times 1} - x_{offset, 3 \times 1}) + x_{b, 3 \times 1}

(14a)

x_{2, 10 \times 1} = W_{1, 10 \times 3} x_{1, 3 \times 1} + b_{1, 10 \times 1}

(14b)

{x^{'}}_{2, 10 \times 1} = \tanh (x_{2, 10 \times 1})

(14c)

y = W_{2, 1 \times 10} {x^{'}}_{2, 10 \times 1} + b_{2}

(14d)

y_{out} = (y - y_{b}) / y_{gain} + y_{offset}

(14e)

其中, $x_{i n, 3 \times 1} = {[m, n, d]}^{T}$ 为输入数据,y_out为输出的预测值, $x_{1, 3 \times 1}$ , $x_{2, 10 \times 1}$ , ${x^{'}}_{2, 10 \times 1}$ ,y为中间变量,其余为通过神经网络训练得到的模型参数：

至此,基本立方体与球体间的范德华力大小和方向全部确定,并可忽略力矩作用。

3. 黏土片与球体间范德华作用简便计算方法

以图2为例说明黏土片与球体间范德华作用简便计算方法步骤。①将黏土片划分为边长为10 nm的立方体集合。②对每个立方体建立如图6所示局部坐标系,求得m,n,d 3个参数；当球心不位于局部坐标系的第一象限（x≥0,y≥0,z≥0）时,可利用坐标变换将球心变换至第一象限。③利用神经网络模型计算各立方体受到球体作用的范德华引力,并在整体坐标系下计算整个黏土片受到的合力与合力矩。

由于黏土片与球体间范德华作用无法求得解析解,为验证本文简便方法的可靠性,图11对比了简便计算方法与蒙特卡罗模拟得到的结果,其中黏土片尺寸为长度L=200 nm,宽度W=200 nm,厚度H=10 nm,球心x,y坐标分别为80,20 nm。为保证模拟精度,此处蒙特卡罗模拟在黏土片中的采样点数为边长10 nm立方体中采样点数的400倍（即两者的体积比）。图11表明,随着黏土片与球体净距的增大,范德华力和力矩均快速减小；当净距超过10 nm后,两实体间范德华作用小到可以忽略。图11还表明,简便计算方法尽管忽略了基本立方体与球体间的力矩作用,且神经网络模型拟合也必然存在一定误差,但其计算结果与蒙特卡罗模拟结果基本一致；相对误差较大处的范德华力和力矩本身已较小。图11中简便计算方法耗时约为蒙特卡罗模拟耗时的万分之一。因此,本文提出的简便算法精度高且能极大节省计算时间,对大规模高效率离散元数值模拟的实现具有重要价值。

图 11 黏土片受到球体的范德华作用

Figure 11. Van der Waals action of sphere on clay plate

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图12进一步讨论了黏土片尺寸与其所受范德华力的关系。图中,黏土片保持L=W=20H的三向尺寸比例,与球体净距离保持为1.82 nm,黏土片厚度从10 nm增长到70 nm,涵盖黏土片的常见尺寸范围。图12表明,当黏土片尺寸增大时,所受的范德华力呈现增长率渐增的非线性增长趋势。当参数A取1×10^-19 J（高岭石—水—氯化钠电解质体系典型值）^[5],黏土矿物密度取为2.63 g/cm³时,黏土片所受范德华引力与其自身重力的比值在10⁷～10⁸量级,可见准确计算范德华引力对离散元模拟黏性土的准确性至关重要。

图 12 黏土片尺寸对其所受范德华力的影响

Figure 12. Effects of clay plate size on van der Waals force

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4. 结语

本文针对黏土片与球形颗粒间范德华作用难以解析求解的困难,提出一种简便计算方法,其本质是计算构成黏土片的各基本立方体与球状颗粒间的范德华力,最后矢量求和获得黏土片受到的合力、并计算合力矩。各基本立方体与球状颗粒间的范德华力可采用基于蒙特卡罗模拟数据集训练得到的神经网络模型快捷计算得到。由此避开了解析解不可得的难题,也避免了重复进行蒙特卡罗模拟。采用简便方法计算的典型算例表明,对平面尺寸为200 nm×200 nm、厚度为10 nm的黏土片,与球状颗粒的最小净距在10 nm范围内应考虑两者间范德华作用。

本文给出了简便计算所需的所有参数,包括哈梅克常数A（可参考文献[11]确定）、常数c（c=49.363 nm）及公式（14）中的拟合参数（已由神经网络训练得到）,读者可植入任何程序开发使用。后续研究将应用本文方法进行粉质黏土/黏质粉土的大规模（数十万颗粒）离散元数值模拟,以解决离散元模拟计算量巨大的难题。

图 1 宏观体之间的范德华相互作用

Figure 1. Van der Waals interaction between macroscopic bodies

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图 2 黏土片与球体间相对几何关系

Figure 2. Geometric relationship between clay plate and sphere

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图 3 点与球体间范德华力

Figure 3. Van der Waals force between point and sphere

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图 4 点与球体间范德华力与净距的关系

Figure 4. Relationship between van der Waals force and net distance between point and sphere

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图 5 球体半径对点与球体间范德华力的影响

Figure 5. Effects of sphere radius on van der Waals force between point and sphere

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图 6 基本立方体与球体间几何关系示意图

Figure 6. Geometric relationship between basic cube and sphere

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图 7 蒙特卡罗模拟与解析解对比

Figure 7. Comparison between Monte Carlo simulation and analytical solution

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图 8 基本立方体与球体间范德华作用计算结果

Figure 8. Van der Waals interactions between basic cube and sphere

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图 9 名义力臂分布直方图

Figure 9. Histogram of nominal force arm

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图 10 神经网络预测值精度验证

Figure 10. Accuracy verification of neural network fitting

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图 11 黏土片受到球体的范德华作用

Figure 11. Van der Waals action of sphere on clay plate

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图 12 黏土片尺寸对其所受范德华力的影响

Figure 12. Effects of clay plate size on van der Waals force

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参考文献(11)

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