0.   引言

堆石料作为一种筑坝材料广泛应用于土石坝工程中。用于筑坝的堆石料直径可达1 m,远远超过室内试验的粒径范围。目前堆石料力学特性试验研究主要是针对缩尺后的材料进行的。研究表明堆石料受力易破碎且具有明显的尺寸效应^[1-4],采用缩尺试验得到的本构参数不能准确计算大坝变形,进而影响对土石坝工程的安全性评估^[5]。所以堆石料尺寸效应的研究受到国内外研究者的广泛关注^[6-8]。

堆石料的尺寸效应主要表现在两个方面：一是级配缩尺方法导致的尺寸效应问题^[9-10]。不同的级配缩尺方法导致集合体结构和孔隙分布与原型试样产生差异,相同孔隙率的集合体往往具有不同的相对密度^[11-12]。一般认为相似级配可以保证集合体内颗粒的排列结构,但是颗粒的形态、表面特征、强度及物质组成可能均与颗粒粒径有关,增加了试样结构和变形的复杂性。另一方面是颗粒材料的尺寸效应问题,主要表现在颗粒形状、颗粒强度及颗粒间的摩擦特性等方面,这是目前研究的重点问题。研究者认为对单颗粒尺寸效应的研究可以从本质上探明尺寸效应机理,同时建立宏观试样强度和变形规律与单颗粒之间的关系^[13]。目前主要采用相似级配法对不同最大粒径的堆石料进行三轴试验,得出了强度和变形尺寸效应的一般规律^[14-15]。对于爆破堆石料,颗粒粒径越大,集合体剪切强度越低,压缩变形越大。对于河床砂砾料,颗粒粒径越大,集合体剪切强度越高,压缩变形越大。

Frossard等^[16]认为尺寸效应的根本原因在于单颗粒强度的粒径相关性。通过假设颗粒形状和摩擦系数与粒径无关,颗粒强度符合Weibull分布,推导了不同尺寸试样剪切强度的演化规律与单颗粒强度尺寸效应之间的关系,并通过一系列试验结果验证了该强度演化规律的合理性。Ovalle等^[2]采用相似级配法对最大粒径为40和160 mm的两种堆石料进行三轴试验,验证了Frossard提出的经验公式的有效性。Xiao等^[3]通过对最大粒径为5和10 mm的堆石料进行真三轴试验,验证了Frossard强度演化规律在复杂路径下的适用性。Nieto-Gamboa^[17],探索了不同尺寸试样之间的应力–应变曲线转化关系。关于本构参数受尺寸效应的影响研究较少,郦能惠等^[18]在一系列不同最大颗粒粒径的三轴试验基础上通过整理邓肯–张Eν模型参数变化与缩尺粒径比的关系推测了原型模型参数的值。如何快速确定尺寸效应对原型材料的强度和变形参数的影响规律是目前亟待解决的问题。

由于目前土石坝堆石料计算主要采用邓肯–张E–B模型,在前人研究成果的基础上,研究了缩尺试样和原型试样之间的应力–应变关系,在此基础上推导了不同尺寸试样之间E–B模型参数的变化规律。

1.   尺寸效应分析

1.1   单颗粒强度尺寸效应

Weibull统计分析广泛应用于描述颗粒强度分布规律^[19]。针对Weibull分布在描述强度尺寸效应不适用的情况^[20-22],Ovalle等^[2]提出了适用于非均质各向异性材料的改进Weibull分布：

式中,${\sigma }_{\text{t}}=F_{\text{f}}/d^2$为抗拉强度^[23]。在单颗粒强度试验中,F_f和d分别为颗粒破坏时对应的力和颗粒直径。${\sigma }_0$为参考直径d₀残存概率为0.37时对应的抗拉强度。m为Weibull模量,其值越大,颗粒强度分布越集中。n_d为几何相似性参数,可根据单颗粒强度试验结果确定。

对于给定的残存概率,抗拉强度和破坏力F_f与颗粒直径d之间满足如下关系式：

n_d/m决定了颗粒强度尺寸效应强弱程度,n_d/m=0说明颗粒强度是粒径无关的量。根据单颗粒强度试验结果,该值主要分布在0.2～0.8之间^[2-3,20-21]。

1.2   不同尺寸试样应力和应变张量关系

Frossard等^[16]在一定的假设条件下通过推导不同尺寸试样在破碎率相同时的内部应力之间的关系得到了不同尺寸集合体抗剪强度的演化公式。主要假设条件为：①不同粒径颗粒具有相同的矿物成分；②颗粒接触处的摩擦角与颗粒粒径无关；③Ⅰ型张拉破坏为颗粒破碎的主要模式；④颗粒的强度分布符合Weibull分布；⑤不同尺寸的试样之间具有几何相似性。

三维状态下,颗粒集合体的等效应力和应变张量可按如下公式计算^[24-26]：

式中,$V_{\sigma }$为应力计算区域的总体积,$f_{(\text{c/p})}$为计算区域内任意接触点c处颗粒p受到的外力,$l_{(\text{c/p})}$为接触点指向颗粒p中心的支向量。$V_{\epsilon }$为计算应变的区域对应的体积,$\Delta u^{\text{e}}$为构成边e的两个颗粒p和q中心的相对位移,$\Delta u^{\text{e}\left(\text{p,q}\right)}=u^{\text{p}}-u^{\text{q}}$,$d^e$为边e对应的面积补偿向量,$d^{\text{e}\left(\text{p,q}\right)}=\frac{1}{12}{\displaystyle \sum _{t=1}^{T_{\text{e}}}(b^{\text{qt}}-b^{\text{pt}})}$。$T_{\text{e}}$为与颗粒p和q共边的所有四面体。

下标sc表示缩尺试样,pr表示原型试样。假设原型和缩尺试样具有相似的几何特征和级配,如图1所示,原型材料和缩尺料具有相似的颗粒形状和相同的矿物成分,通过相同的制样方法达到近似相同的孔隙分布和接触状态。特征尺寸分别为d_pr和d_sc,要使这两个集合体内颗粒具有相同的破碎状态,集合体内部的接触力f_pr和f_sc需满足：

图  1  缩尺试样与原型试样的相似关系

Figure  1.  Scaled and prototype materials with similar geometry and gradation

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根据相似关系,缩尺和原型试样内相应的颗粒p对应的支向量、体积、补偿向量等均满足如下关系：

若原型试样和缩尺试样的破碎状态相同,则内部颗粒的相对位移也满足相似比例关系^[17]。

将式（4）,（5）和（6）代入式（3）中,缩尺试样和原型试样的宏观应力张量和应变张量满足如下关系式：

若缩尺试样和原型试样严格满足前面的假设条件,则可以认为不同尺寸试样在同样的破碎状态下,其广义应力和广义应变均满足式（7）。

1.3   不同尺寸试样之间的应力–应变曲线转换

已知颗粒强度分布相关的参数n_d/m和缩尺试样的应力–应变关系,对于具有相似级配的大尺寸试样,其应力–应变关系可以通过式（7）计算得到^[17]。以三轴试验为例,假设已知最大颗粒直径为60 mm围压为1000 kPa下缩尺试样的应力–应变关系曲线,且颗粒强度的相关系数n_d/m=0.3,推导原型试样最大粒径为600 mm下的应力–应变关系。这里d_sc=60 mm,d_pr=600 mm,${(d_{\text{pr}}/d_{\text{sc}})}^{-n_{\text{d}}/m}=0.501$。当缩尺试样围压为1000 kPa时,对应的原型试样围压为501 kPa。在任一轴向应变值下,相应的偏应力乘以系数0.501,体积应变则保持不变,如图2所示,换算后得到原型试样在围压为501 kPa下的应力应变曲线。

图  2  缩尺试样与原型试样应力–应变曲线的转换关系

Figure  2.  Interpretation of stress-strain relationships between scaled and prototype samples

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2.   不同尺寸试样应力–应变关系验证

参数n_d/m可以根据不同粒径单颗粒强度试验确定。无单颗粒强度试验结果时可以通过两组不同尺寸三轴试验的颗粒破碎率或破坏时的大小主应力比与围压的相似关系确定。此外亦可以根据研究材料的岩性、来源等类比已有的单颗粒试验结果估算n_d/m的值。颗粒破碎率和大小主应力比的演化可以用如下关系式描述：

式中,B_m为Marsal颗粒破碎率,${({\sigma }_{\text{1}}/{\sigma }_{\text{3}})}_{\text{f}}$为破坏时的主应力比,a₁和a₂常数,可以根据围压和相关参数之间的关系拟合确定。

孔宪京等^[14]采用大连理工大学工程抗震研究所研制的超大型三轴仪对某堆石坝的爆破堆石料进行了不同尺寸试样的三轴排水试验。两种尺寸试样级配满足相似性,英安岩堆石料颗粒的最大粒径分别为60和200 mm。试验结果表明试样的强度和变形均表现出明显的尺寸相关性。根据式（8a）拟合不同尺寸试样不同围压下的颗粒破碎率演化规律。拟合结果如图3（a）所示,可以估算尺寸效应参数n_d/m=0.23。

图  3  大尺寸英安岩堆石料应力–应变曲线计算过程

Figure  3.  Calculated process of stress-strain curves for dacite rockfill materials with larger particle size

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将最大粒径为60 mm围压为400,1000,1500和2000 kPa的应力–应变曲线按图2中的方法可以得到最大粒径200 mm围压为379,758,1137和1516 kPa下的应力–应变曲线,如图3（b）所示。为了进一步得到与缩尺试样相同围压下的应力–应变曲线,根据Nieto-Gamboa提出的插值方法^[17],采用式（9）对应力和体变值进行计算。

式中,$S\text{(}{\sigma }_{\text{c}}\text{)}$为围压为${\sigma }_{\text{c}}$任一轴向应变下对应的偏应力或体积应变值。$S({\sigma }_{\text{a}})$和$S({\sigma }_{\text{b}})$分别为已知围压${\sigma }_{\text{a}}$和${\sigma }_{\text{b}}$在任一轴向应变下对应的偏应力或体积应变。

如图3（c）所示,当${\sigma }_{\text{c}}$=1000 kPa时,可根据围压${\sigma }_{\text{a}}$=758 kPa和${\sigma }_{\text{b}}$=1137 kPa对应的偏应力和体变值按式（9）计算相应的偏应力和体积应变。类似地,${\sigma }_{\text{c}}$= 2000 kPa围压下的应力–应变曲线可根据${\sigma }_{\text{a}}$=1137和${\sigma }_{\text{b}}$=1516 kPa的数据点计算得到。将通过插值计算围压为400,1000,1500和2000 kPa下对应的应力–应变曲线与室内超大三轴试验结果对比,如图3（d）所示。预测的应力–应变曲线与室内试验曲线相差不大,说明该方法可较好地预测大尺寸英安岩堆石料的变形特征。

Marachi等^[8]对用于Pyramid Dam的泥岩堆石料进行了一系列三轴试验。泥岩颗粒形状不规则,相对密度为2.62。已知最大颗粒粒径为51 mm和152 mm试样的应力–应变曲线和加载完成后的颗粒破碎率。首先根据不同尺寸试样的颗粒破碎率估算尺寸效应相关参数n_d/m=0.35,如图4（a）所示。然后通过最大颗粒粒径为51 mm的应力–应变曲线推算最大颗粒粒径为152 mm试样的应力–应变曲线,并与试验结果对比,如图4（b）所示。

图  4  Pyramid Dam的泥岩堆石料的预测曲线与试验曲线

Figure  4.  Comparison of stress-strain curves between predictions and experimental results of quarried sedimentary argillite obtained from Pyramid Dam site

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Varadarajan等^[15]对Purulia Dam的石英片岩堆石料采用相似级配对最大粒径为25,50和80 mm材料进行三轴排水试验。由于没有相应的单颗粒强度试验,这里通过最大颗粒粒径为25 mm和50 mm下破坏主应力比变化规律,按式8（b）估算尺寸效应参数n_d/m=0.6,如图5（a）所示。在n_d/m和最大颗粒粒径为25 mm和50 mm试样的应力–应变曲线的基础上预测最大颗粒粒径为80 mm的试样应力–应变曲线,结果如图5（b）,（c）所示。

图  5  Purulia Dam堆石料预测曲线与试验结果对比

Figure  5.  Comparison of stress-strain curves between predictions and experimental results of quarried rockfill materials obtained from Purulia Dam site

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Lee^[27]对石灰岩颗粒材料进行平板单颗粒试验,得到平均破碎力与颗粒直径的关系$F_{\text{f}}=4.51d^{1.65}$,即n_d/m=0.35。根据n_d/m的值和最大颗粒粒径为0.3 mm的石灰岩三轴试验曲线,预测最大颗粒粒径为2.5 mm的应力–应变曲线,预测结果如图6所示。

图  6  石灰岩试样的预测曲线与试验结果对比

Figure  6.  Comparison of stress-strain curves between predictions and experimental results of limestone granular materials

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值得注意的是线性插值式（9）在预测指定围压应力–应变关系曲线时由于不同围压之间的强度和变形并非线性关系,内推或外推会产生一定的误差,特别是当预测围压与已知围压相差越大,误差也会越显著。

3.   邓肯-张参数的尺寸效应规律

不同尺寸试样在相同围压下其应力–应变关系发生改变,相应导致其本构模型参数发生变化。反演法是目前常用的一种方法,通过对已建工程现场监测结果拟合确定本构模型参数,然后对比室内试验参数,为同类型工程提供参数选取依据。但是反演法由于参数多,具有一定的不确定性。邓肯–张E–B模型广泛应用于土石坝分析中,其本构参数可以通过传统三轴试验快速获取。所以研究E–B模型参数受尺寸效应的影响显得尤为重要。

3.1   初始模量与破坏比

对缩尺试样,任意围压${\sigma }_3$下偏应力与轴变的关系可以采用双曲线关系拟合。

根据式（7）的缩放关系,缩尺试样与原型试样破碎率一样时,试样内部应变一样,应力满足${\sigma }_{\text{pr}}=$${\sigma }_{\text{sc}}{(d_{\text{pr}}/d_{\text{sc}})}^{-n_{\text{d}}\text{/}m}$。原型试样在围压为${\sigma }_3{(d_{\text{pr}}/d_{\text{sc}})}^{-n_{\text{d}}\text{/}m}$对应的应力–应变关系式可以写为

对比式（11b）等式的左右两端,要想该式子在任意应变下均成立,缩尺和原型试样相应的系数a和b满足：$a_{\text{pr}}=a_{\text{sc}}{\left(\frac{d_{\text{pr}}}{d_{\text{sc}}}\right)}^{n_{\text{d}}\text{/}m}$和$b_{\text{pr}}=b_{\text{sc}}{\left(\frac{d_{\text{pr}}}{d_{\text{sc}}}\right)}^{n_{\text{d}}\text{/}m}$。

对缩尺试样,初始模量$E_{\text{i}\_\text{sc}}$和双曲线极限偏差应力${({\sigma }_1-{\sigma }_3)}_{\text{ult}\_\text{sc}}$：

根据原型试样和缩尺试样系数之间的关系,原型试样的初始模量和极限偏应力与缩尺试样之间的关系为

类似地,原型试样和缩尺试样的破坏比R_f具有相同的值。

初始模量与围压相关,缩尺试样和原型试样对应的初始模量可以写成围压相关的量：

式中,$p_{\text{a}}$为大气压力。对比15（b）可知n_sc=n_pr,参数K满足如下关系式：

3.2   体积模量

体积模量B是应力和体变的函数,根据图2可知缩尺试样中70%极限偏应力对应的轴变和体变与原型试样中70%极限偏应力对应的轴变和体变相同。这样缩尺试样和原型试样的体积模量之间的关系可表述为

对比可得缩尺试样与原型试样之间的参数满足如下关系：$K_{\text{b\_pr}}=K_{\text{b\_sc}}{(d_{\text{pr}}/d_{\text{sc}})}^{(m_{b\text{\_sc}}\text{-}1)n_{\text{d}}\text{/}m}$,$m_{\text{b\_sc}}=m_{\text{b\_pr}}$。

3.3   抗剪强度参数

任一围压下,摩擦角可以写为

对公式（18）整理可得$\sin \phi =1/(1+2{\sigma }_3/{\tau }_{\text{f}})$。同一围压下,缩尺试样的剪切强度大于原型试样的,相应的缩尺试样摩擦角也大于原型试样的。缩尺试样与原型试样破碎率一样时,试样内部应力满足${\sigma }_{\text{pr}}={\sigma }_{\text{sc}}{(d_{\text{pr}}/d_{\text{sc}})}^{-n_{\text{d}}\text{/}m}$。整理原型和缩尺样之间的摩擦角关系,有

式（19）表明缩尺围压为${\sigma }_3$内摩擦角与原型试样围压为${\sigma }_3{(d_{\text{pr}}/d_{\text{sc}})}^{-n_{\text{d}}\text{/}m}$时的内摩擦角相同。缩尺和原型试样的摩擦角均可写成围压的函数：

要保证${\phi }_{\text{sc}}\ge {\phi }_{\text{pr}}$在任意围压下均成立,根据（20a）和（20b）可知,当缩尺试样和原型试样围压均为$p_{\text{a}}$时,$\phi \text{=}{\phi }_0$,则有${\phi }_{0\_\text{sc}}\ge {\phi }_{0\_\text{pr}}$。当缩尺试样围压为$p_{\text{a}}$且原型围压为$p_{\text{a}}{(d_{\text{pr}}/d_{\text{sc}})}^{\text{-}{n}_{\text{d}}/m}$时,${\phi }_{0\_\text{sc}}={\phi }_{0\_pr}-$$\Delta {\phi }_{\text{pr}}\lg ({(d_{\text{pr}}/d_{\text{sc}})}^{-n_{\text{d}}/m})$,整理可以得到$\Delta {\phi }_{\text{pr}}=({\phi }_{0\_pr}-$${\phi }_{0\_\text{sc}})/\lg ({(d_{\text{pr}}/d_{\text{sc}})}^{-n_{\text{d}}\text{/}m})$。同理当缩尺围压为$p_{\text{a}}(d_{\text{pr}}/$$d_{\text{sc}}{)}^{n_{\text{d}}/m}$且原型试样围压为$p_{\text{a}}$时,$\Delta {\phi }_{\text{sc}}=$$({\phi }_{0\_pr}-$${\phi }_{0\_\text{sc}})/\lg ({(d_{\text{pr}}/d_{\text{sc}})}^{-n_{\text{d}}\text{/}m})$。即缩尺试样和原型试样的强度参数之间满足${\phi }_{0\_\text{sc}}\ge {\phi }_{0\_\text{pr}}$,$\Delta {\phi }_{\text{pr}}=\Delta {\phi }_{\text{sc}}=$$({\phi }_{0\_pr}-$${\phi }_{0\_\text{sc}})/$$\lg ({(d_{\text{pr}}/d_{\text{sc}})}^{-n_{\text{d}}\text{/}m})$。

4.   已有试验E–B模型参数规律

由第3节中的公式和小尺寸三轴试验的E–B模型参数可以预测大尺寸三轴试验的模型参数。表1汇总了不同材料的E–B模型参数值及相应的预测值。对同种材料,预测的${\phi }_0$值随粒径的增加而减小,与试验得到的${\phi }_0$值变化规律相同,但降低的幅度没有试验结果增加的大。预测的Δφ值保持不变,试验得到的Δφ的没有明显的粒径相关性。试验和预测得到的K和K_b均随着最大颗粒粒径的增加而减小。试验得到的指数n值、m_b值和破坏应力比R_f随粒径的变化规律并不显著,可以认为是与粒径无关或受粒径影响较小的量。孔宪京等^[14]提出体积模量指数m_b是与粒径无关的量。汇总可知R_f,n和m_b是尺寸效应无关或尺寸效应不明显的量,${\phi }_0$,K和K_b是尺寸效应相关的量。该规律可以为考虑尺寸效应参数的变化规律提供参考,降低了反演参数的个数。

表  1  不同尺寸试样的邓肯-张E-B模型参数汇总

Table  1.  Parameters of Duncan-chang's E-B models for samples with different sizes

来源		dmax/mm	φ0/(°)	Δφ /(°)	K	n	Rf	Kb	mb
英安岩堆石料[14]	试验	60	54.3	8.5	1200	0.45	0.80	900	0.06
	试验	200	52.2	7.6	980	0.41	0.74	650	0.01
	预测	60→200	53.3	8.5	1030	0.45	0.80	693	0.06
Pyramid dam泥岩[8]	试验	51	49.8	8.40	404	0.44	0.66	65.7	0.58
	试验	152	49.0	8.44	314	0.48	0.66	56.3	0.59
	预测	51→152	48.4	8.40	325	0.44	0.66	55.9	0.58
Purulia Dam石英片岩[15]	试验	25	48.3	6.86	613	0.45	0.64	792	0.003
	试验	50	46.3	5.89	487	0.51	0.66	574	0.06
	试验	80	45.0	5.93	443	0.51	0.70	422	0.13
	预测	25→80	46.3	6.86	417	0.45	0.64	395	0.003
	预测	50→80	45.62	5.89	424	0.51	0.66	440	0.06
石灰岩[27]	试验	0.3	44.68	7.63	112	0.13	0.77	36.8	0.19
	试验	2.5	40.65	10.46	47.6	0.14	0.63	17.45	0.02
	预测	0.3→2.5	42.22	7.63	59	0.13	0.77	20.17	0.19
Parbati Dam[15]	试验	20	48.4	5.99	509	0.78	0.67	457	0.60
	试验	40	46.86	4.90	401	0.83	0.67	365	0.6
	试验	80	46.67	5.36	330	0.85	0.66	336	0.56
Kol Dam[15]	试验	25	50.39	7.67	687	0.51	0.76	640	0.21
	试验	50	49.87	7.78	603	0.55	0.76	486	0.28
	试验	80	49.27	8.82	546	0.55	0.71	399	0.30
砂岩过渡料[28]	试验	60	46.2	5.6	850	0.35	0.82	400	0.13
	试验	100	43.6	2.9	780	0.25	0.80	140	0.48

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5.   结论

基于前人的试验成果,推导并验证了考虑尺寸效应的应力–应变张量关系的合理性,进一步总结了尺寸效应对邓肯–张E–B模型各个参数的影响规律。主要有如下结论：

（1）大尺寸试样的应力–应变曲线可以根据尺寸效应系数n_d/m和缩尺试样应力–应变曲线插值得到,通过与试验曲线对比验证了该方法的合理性。

（2）根据推导可知邓肯–张E–B模型参数中参数${\phi }_0$,K和K_b具有显著的尺寸效应,R_f,n和m_b是尺寸效应无关或尺寸效应不显著的量。n和m_b与尺寸效应无关说明压硬性没有尺寸效应。

本文提出的方法可以为原型试样的邓肯–张参数变化规律提供参考,降低反演参数的个数。在没有足够大尺寸试验的条件下可以根据单颗粒强度尺寸效应和一组室内缩尺试验曲线大致估算原型试样的应力–应变关系,由缩尺试验推求原型试样的粒径比宜限制在15以内。考虑到该方法是在一定的假设基础上推导的,关于颗粒形状和接触特性的尺寸效应并未涉及,仅适用于爆破堆石料这类易破碎材料的尺寸效应变化规律,而对砂砾料这类不易破碎的材料需要考虑颗粒形状和接触特性的粒径相关性。