岩石黏弹塑性损伤蠕变模型研究

张亮亮; 王晓健

doi:10.11779/CJGE202006012

岩石黏弹塑性损伤蠕变模型研究 English Version

安徽理工大学土木建筑学院,安徽　淮南　232001

基金项目:

国家自然科学基金项目 51804006

国家自然科学基金项目 51874005

安徽理工大学研究生创新基金项目 2017CX2076

详细信息

作者简介:
张亮亮(1992—),男,博士研究生,主要从事地下结构设计与支护技术等方面的研究。E-mail: zllaust@163.com

中图分类号: TU485
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出版历程
- 收稿日期: 2019-09-04
- 网络出版日期: 2022-12-07
- 刊出日期: 2020-05-31

Viscoelastic-plastic damage creep model for rock

School of Civil Engineering and Architecture, Anhui University of Science and Technology, Huainan 232001, China

摘要

摘要: 岩石蠕变力学采用在经典元件模型基础上引入非线性元件和蠕变损伤的方法,来解决经典元件模型不能描述岩石整个蠕变过程中的非线性特征问题。首先分析这类方法在模型参数辨识、损伤蠕变方程建立和屈服条件选择等方面的不严谨之处,然后根据非线性流变理论以及损伤理论采用和构建弹性体、非线性Kelvin体、黏性体和损伤黏塑性体,并将四者串联,建立能够同时描述岩石瞬时弹性应变、非线性黏弹性应变、黏性应变和非线性黏塑性应变的损伤蠕变模型。推导岩石在恒应力情况下的一维、三维微分型损伤本构方程,再根据叠加原理得到损伤蠕变方程,结合蠕变曲线特征给出简单可行的模型参数辨识方法。最后采用砂岩分级加载单、三轴压缩蠕变试验曲线与理论曲线和预测曲线进行对比来验证模型的适用性。结果表明两者吻合程度较高,黏弹塑性损伤蠕变模型不仅可以精确反映衰减、等速阶段蠕变曲线的非线性特征,而且能够描述岩石在高应力状态下的加速蠕变特征,其适用性得到验证。
- 岩石力学 /
- 加速蠕变 /
- 损伤 /
- 黏塑性 /
- 本构方程
Abstract: Based on the classical element model, the nonlinear element and the creep damage are introduced to solve the problem that the classical element model cannot describe the non-linear characteristics of rock during the whole compressive creep process. Firstly, the inaccuracies of these methods in the identification of model parameters, the establishment of equation for damage creep and the selection of yield conditions are analyzed. After that, an elastic body, a non-linear Kelvin body, a viscous body and a damage viscoplastic body are constructed based on the non-linear rheological theory and damage theory, and the four bodies are connected in series to establish a damage creep model which can simultaneously describe the instantaneous elastic strain, the non-linear viscoelastic strain, the viscous strain and the non-linear viscoplastic strain of rock. The one-dimensional and three-dimensional differential damage constitutive equations for rock under constant stress are derived, and the equation for damage creep is obtained according to the superposition principle. Considering the characteristics of creep curve, a simple and feasible identification method for model parameters is given. Finally, the applicability of the model is verified by comparing the creep test curve of sandstone under uniaxial and triaxial compressions with the theoretical curve and prediction curve. The results show that the proposed model fits well the test data. The viscoelastic-plastic damage creep model can accurately reflect the non-linear characteristics of creep curves in attenuation and steady stages and describe the accelerated creep characteristics of rocks in high stress state.
- rock mechanics /
- accelerated creep /
- damage /
- viscoplasticity /
- constitutive equation

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0. 引言

岩石蠕变特性影响结构的安全性和长期稳定性,建立能够描述岩石蠕变过程中非线性特征的蠕变模型一直是研究的热点和难点。由于经典元件蠕变模型参数都为常数,因而不论元件模型组合形式多复杂,都不能准确描述岩石的蠕变特征,尤其是应力水平超过岩石长期强度后的非线性加速蠕变^[1-2]。近年来,国内外学者针对这类问题提出以下两种解决办法：①在经典元件蠕变模型基础上,考虑模型参数的时间相关性,建立变参数蠕变模型；或在元件模型基础上串联非线性元件建立非线性蠕变模型。徐卫亚等^[3]提出一个非线性黏塑性体并与五元件黏弹性流变模型串联,建立七元件黏弹塑性流变模型（河海模型）；阎岩等^[4]以西原蠕变模型为基础,结合试验数据采用最小二乘法得到各蠕变参数与应力和时间的关系,进而得到变参数西原蠕变模型；Zhao等^[5]将非线性黏性体与广义Kelvin体串联,建立非线性黏弹性体,再与瞬时弹性体、瞬时塑性体和Kelvin串联,组成能够反应岩石蠕变和应力松弛特性的复合流变模型。②在经典元件蠕变模型基础上,考虑蠕变引起的损伤,根据Lemaitre 应变等效原理将损伤变量引入蠕变本构方程,建立损伤蠕变模型。Liu等^[6]采用Kachanov损伤理论在Bingham模型中引入损伤变量,并提出一个非线性黏性体来表征稳态蠕变阶段的非线性特性,然后在此模型基础上串联一个西原损伤体,建立一种新的非线性损伤蠕变模型；朱昌星等^[7]根据时效损伤和损伤加速门槛值的特点,在非线性黏弹塑性蠕变模型的基础上,建立了能合理描述不同应力下板岩初始蠕变损伤、稳态蠕变损伤和加速蠕变损伤的非线性蠕变模型；Fossum等^[8]采用损伤力学分析了盐岩的蠕变特性,研究损伤从试验开始到破坏过程的累积过程。

岩石蠕变力学经过大半个世纪的发展取得了丰硕的成果,但仍存在一些问题,主要表现为以下3点：①模型参数辨识不合理。一些学者采用回归分析和最小二乘法等算法确定模型参数,直接将一维蠕变方程拟合常规三轴压缩蠕变试验曲线来反演模型参数。这种方法忽略了围压对岩石蠕变模型参数的影响,因为在一维蠕变方程中不含围压项,所以根据该方法确定模型参数是不合理的。②损伤蠕变方程建立不严谨。当研究蠕变损伤且损伤变量是时间或应变的函数时,仍然根据Lemaitre应变等效原理,在模型参数为常数条件下得到蠕变方程,将其中的应力替换成有效应力,以引进损伤变量从而得到损伤蠕变方程的方法是不严谨的,而应将理论流变力学模型微分型本构方程中的应力替换成有效应力,再由此得到损伤蠕变方程。③屈服条件选择不当。当蠕变模型中含有塑性元件时,在三维应力状态下,岩石内部一点的屈服状态不仅牵涉到屈服准则的选取问题,还牵涉到塑性势函数以及流动法则。而一些研究只是简单的将一维应力状态下的应力和长期强度置换成三维应力状态下的偏应力和长期强度,仍然将偏应力与长期强度的大小关系作为判定岩石是否屈服的条件,这种直接替换的方法缺乏一定的理论依据,其合理性有待商榷。

为避免出现上述问题,同时构建能够合理描述岩石蠕变特性的力学模型,本文根据非线性流变理论和损伤理论建立能够同时考虑瞬时弹性应变、非线性黏弹性应变、黏性应变和非线性黏塑性应变的损伤蠕变模型,推导岩石在一维、三维应力状态下微分型损伤本构方程,再由叠加原理得到损伤蠕变方程,并给出模型参数确定方法。最后根据砂岩三轴压缩蠕变试验对模型适用性进行验证。

1. 黏弹塑性损伤蠕变模型的建立

1.1 模型建立

图1为不同应力水平下岩石蠕变曲线。

图 1 不同应力水平下岩石蠕变曲线

Figure 1. Creep curve of rock under different stress levels

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如图1所示,当蠕变试验初期施加应力水平小于岩石长期强度时,岩石试样在加载过程中会产生瞬时应变,由于加载时间相对于后期蠕变时间较短,可认为该弹性应变瞬间完成,其本构关系可采用弹性体描述。其后岩石经过衰减蠕变阶段进入等速蠕变阶段,应变速率逐渐减小并最终趋近于0。该阶段应变曲线具有明显的非线性特征,采用传统Kelvin模型难以精确描述,其主要原因是该模型中模型参数为常数,不随时间变化。本文考虑Kelvin模型中黏性系数的时间相关性,假定该系数在蠕变过程中与时间满足幂函数关系,从而建立非线性Kelvin黏弹性模型,微分型本构方程为

$σ = E_{2} ε_{ve} + η_{2} t^{1 - λ} {\dot{ε}}_{ve}$ ,

(1)

式中, $σ$ 为应力, $ε_{ve}$ 为黏弹性应变, $E_{2}, η_{2}$ 分别为黏弹性模型的弹性模量和黏性系数, $λ$ 为常数。

解上述微分方程得到非线性Kelvin体的蠕变方程：

$ε_{ve} = \frac{σ}{E_{2}} [1 - \exp (- \frac{E_{2}}{η_{2} λ} t^{λ})]$ 。

(2)

图2为不同 $λ$ 时非线性Kelvin体的蠕变曲线,由图可知,蠕变应变随 $λ$ 的增大而增大；而且 $λ$ 越大,岩石由衰减蠕变进入等速蠕变所需的时间越长,等速蠕变阶段的斜率越大,说明该模型能够反映不同蠕变时间和不同应力状态下岩石稳态蠕变曲线特征,适用性较传统Kelvin模型更广泛。

图 2 不同λ岩石蠕变曲线

Figure 2. Creep curve of rock with different values of λ

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当蠕变试验施加应力水平接近岩石长期强度时,岩石经过衰减蠕变阶段后应变随时间呈线性关系,该过程应力应变关系采用黏性体描述。当施加应力水平超过岩石的长期强度后,岩石经过衰减、等速蠕变阶段很快进入加速蠕变阶段,此阶段应变和应变率迅速增加,应变曲线非线性特征明显。岩石试样内部微裂纹迅速发展并贯通,形成宏观裂缝,该过程蠕变损伤随时间急剧增大,最终发生蠕变破坏时损伤变量达到1。加速蠕变阶段应力应变关系采用损伤黏塑性体表示。

根据Lemaitre 应变等效原理,将损伤变量引入黏性体,得到损伤黏性体的本构方程为^[9]

${\dot{ε}}_{vp} = \frac{\tilde{σ}}{η_{4}} = \frac{σ}{η_{4} (1 - D)}$ ,

(3)

式中, $\tilde{σ}$ 为有效应力, $η_{4}$ 为损伤黏性体的黏性系数,D为损伤变量。

损伤变量最早出现在损伤力学中,前苏联学者Kachanvo提出损伤变量的演化方程^[10]：

$\dot{D} = C {(\frac{σ}{1 - D})}^{n}$ ,

(4)

式中,C,n为材料参数。

对上式进行积分可以得到发生蠕变破坏的时间为

$t_{f} = {[C (1 + n) σ^{n}]}^{- 1}$ ,

(5)

式中, $t_{f}$ 为岩石发生蠕变破坏的时间。

结合式（4）,（5）,得到损伤变量随时间的演化方程为

$D = 1 - {(1 - \frac{t}{t_{f}})}^{\frac{1}{1 + n}}$ 。

(6)

将式（6）代入式（3）得到损伤黏性体的本构方程为

${\dot{ε}}_{vp} = \frac{σ}{η_{4}} {(1 - \frac{t}{t_{f}})}^{- \frac{1}{1 + n}}$ 。

(7)

对式（7）进行积分,得到损伤黏性体的蠕变方程为

$ε_{vp} = - \frac{σ}{η_{4}} \frac{t_{f} (1 + n)}{n} {(1 - \frac{t}{t_{f}})}^{\frac{n}{1 + n}} + k$ ,

(8)

式中, $k$ 为积分常数。

当 $t = 0$ 时, $ε = 0$ ,得到积分常数为

$k = \frac{σ}{η_{4}} \frac{t_{f} (1 + n)}{n}$ 。

(9)

把式（9）代入式（8）得

$\begin{matrix} ε_{vp} = \frac{σ}{η_{4}} \frac{t_{f} (1 + n)}{n} [1 - {(1 - \frac{t}{t_{f}})}^{\frac{n}{1 + n}}] \\ = \frac{σ}{η_{4}} \frac{t_{f} (1 + n)}{n} [1 - {(1 - D)}^{n}] \end{matrix}$ 。

(10)

对于一维应力状态下损伤黏塑性体,只要把式（10）中的 $σ$ 换成 $σ - σ_{s}$ 就可以得到其蠕变方程：

$ε_{vp} = \frac{σ - σ_{s}}{η_{4}} \frac{t_{f} (1 + n)}{n} [1 - {(1 - \frac{t}{t_{f}})}^{\frac{n}{1 + n}}]$ ,

(11)

式中, $σ_{s}$ 为长期强度,可以通过试验获得。

将上述弹性体,非线性Kelvin体,黏性体和损伤黏塑性体串联,得到可以描述岩石瞬时弹性应变、非线性黏弹性应变、黏性应变和非线性黏塑性应变的损伤蠕变模型,力学模型见图3。

图 3 黏弹塑性损伤蠕变力学模型

Figure 3. Viscoelastic-plastic damage creep mechanical model

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1.2 黏弹塑性损伤蠕变模型一维蠕变方程

根据模型串并联应力应变关系知

$\begin{array}{l} σ = σ_{e} = σ_{ve} = σ_{v} = σ_{vp}, \\ ε = ε_{e} + ε_{ve} + ε_{v} + ε_{vp}, \end{array}}$

(12)

式中, $ε$ 为应变, $σ_{e}, σ_{ve}, σ_{v}, σ_{vp}$ 分别为弹性体,非线性Kelvin体,黏性体和损伤黏塑性体的应力, $ε_{e},$ $ε_{ve}, ε_{v}, ε_{vp}$ 分别为弹性体,非线性Kelvin体,黏性体和损伤黏塑性体的应变。

各部分的本构关系如下：

$\begin{array}{l} σ_{e} = E_{1} ε_{e}, \\ σ_{ve} = E_{2} ε_{ve} + η_{2} t^{1 - λ} {\dot{ε}}_{ve}, \\ σ_{v} = η_{3} {\dot{ε}}_{ve}, \\ σ_{vp} = η_{4} (1 - D) {\dot{ε}}_{vp} + σ_{s}, \end{array}}$

(13)

式中, $E_{1}$ 为弹性体的弹性模量, $η_{3}$ 为黏性体的黏性系数。

根据式（12）,（13）可以得到黏弹塑性损伤蠕变模型的微分型本构方程。

（1） $\dot{ε} (t \to \infty) = 0, σ_{0} < σ_{s}$ 时,

$\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{1} η_{2} t^{1 - λ}} σ + \frac{1}{E_{1}} \dot{σ} = \dot{ε} + \frac{E_{2}}{η_{2} t^{1 - λ}} ε$ 。

(14)

（2） $\dot{ε} (t \to \infty) > 0, σ_{0} < σ_{s}$ 时,

$\begin{array}{l} \frac{\ddot{σ}}{E_{1}} + \frac{E_{1} + E_{2} + η_{2} (1 - λ) t^{- λ}}{E_{1} η_{2} t^{1 - λ}} \dot{σ} + \frac{\dot{σ}}{η_{3}} + \\ \frac{E_{2} + η_{2} (1 - λ) t^{- λ}}{η_{2} η_{3} t^{1 - λ}} σ = \ddot{ε} + \frac{E_{2} + η_{2} (1 - λ) t^{- λ}}{η_{2} t^{1 - λ}} \dot{ε} \end{array}$ 。

(15)

（3） $σ_{s} \leq σ_{0}$ 时,

$\begin{array}{l} \frac{\ddot{σ}}{E_{1}} + \frac{1}{η_{2} t^{1 - λ}} \dot{σ} + \frac{E_{2} + η_{2} (1 - λ) t^{- λ}}{E_{1} η_{2} η_{3} t^{1 - λ}} \dot{σ} + \\ \frac{E_{2} + η_{2} (1 - λ) t^{- λ}}{η_{2} η_{3}^{2} t^{1 - λ}} \dot{σ} + \frac{E_{2} + η_{2} (1 - λ) t^{- λ}}{η_{2} η_{3} t^{1 - λ} η_{4} (1 - D)} (σ - σ_{s}) + \\ \frac{\dot{σ}}{η_{4} (1 - D)} + \frac{\dot{D} (σ - σ_{s})}{η_{4} {(1 - D)}^{2}} = \ddot{ε} + \frac{E_{2} + η_{2} (1 - λ) t^{- λ}}{η_{2} η_{3} t^{1 - λ}} \dot{ε} \end{array}$ 。

(16)

黏弹塑性损伤蠕变模型的蠕变方程可以根据叠加原理得到

$ε = {\begin{cases} \frac{σ}{E_{1}} + \frac{σ}{E_{2}} [1 - \exp (- \frac{E_{2}}{η_{2} λ} t^{λ})] \\ (\dot{ε} (t \to \infty) = 0, σ_{0} < σ_{s}) \\ \frac{σ}{E_{1}} + \frac{σ}{E_{2}} [1 - \exp (- \frac{E_{2}}{η_{2} λ} t^{λ})] + \frac{σ}{η_{3}} t \\ (\dot{ε} (t \to \infty) > 0, σ_{0} < σ_{s}) \\ \frac{σ}{E_{1}} + \frac{σ}{E_{2}} [1 - \exp (- \frac{E_{2}}{η_{2} λ} t^{λ})] + \frac{σ}{η_{3}} t + \\ \frac{σ - σ_{s}}{η_{4}} \frac{t_{f} (1 + n)}{n} [1 - {(1 - \frac{t}{t_{f}})}^{\frac{n}{1 + n}}] \\ (σ_{s} \leq σ_{0}) \end{cases}$ 。

(17)

1.3 黏弹塑性损伤蠕变模型三维蠕变方程

在实际岩体工程中,岩石往往处于复杂的三维应力状态下,而且室内蠕变试验一般采用的是常规三轴分级加载方法。因此为了便于与试验结果进行对比分析,需建立岩石在三维应力状态下蠕变本构关系。建立之前,首先进行如下合理假设：

（1）岩石为各项同性材料,假定各个方向上损伤一致。

（2）在衰减和等速蠕变阶段不引起损伤,只有在加速蠕变阶段才产生。

（3）损伤时间与蠕变时间在在加速蠕变阶段保持一致。

在三维应力状态下,假设黏弹塑性损伤蠕变模型总应变为 $ε_{i j}^{t}$ ,弹性体的应变为 $ε_{i j}^{e}$ ,非线性Kelvin体的应变为 $ε_{i j}^{ve}$ ,黏性体的应变为 $ε_{i j}^{v}$ ,损伤黏塑性体的应变为 $ε_{i j}^{vp}$ ,根据叠加原理得

$ε_{i j}^{t} = ε_{i j}^{e} + ε_{i j}^{ve} + ε_{i j}^{v} + ε_{i j}^{vp}$ 。

(18)

对于弹性体,岩石在三维应力状态下内部任一点的应力张量 $σ_{i j}$ 可以分为球应力张量 $σ_{m} δ_{i j}$ 和偏应力张量 $S_{i j}$ ；同理,内部任一点的应变张量 $ε_{i j}$ 也可以分成球应变张量 $ε_{m} δ_{i j}$ 和偏应变张量 $e_{i j}$ ^[11]。因此得

$\begin{matrix} σ_{i j} = S_{i j} + δ_{i j} σ_{m}, \\ ε_{i j} = e_{i j} + δ_{i j} ε_{m}, \end{matrix}}$

(19)

式中, $δ_{i j}$ 为Kronecker张量。

根据广义胡克定律：

$\begin{array}{l} σ_{m} = 3 K_{1} ε_{m}, \\ S_{i j} = 2 G_{1} e_{i j}, \end{array}}$

(20)

式中,K₁为体积模量,G₁为剪切模量。

因此弹性体的三维蠕变方程可以表示为^[12]

$ε_{i j}^{e} = \frac{1}{2 G_{1}} S_{i j} + \frac{1}{3 K_{1}} δ_{i j} σ_{m}$ ,

(21)

非线性Kelvin体的三维蠕变方程为

$ε_{i j}^{ve} = \frac{S_{i j}}{2 G_{2}} [1 - \exp (- \frac{G_{2}}{η_{2} λ} t^{λ})]$ 。

(22)

式中, $G_{2}$ 为开尔文体的剪切模量。

黏性体的三维蠕变方程为^[13]

$ε_{i j}^{v} = \frac{S_{i j}}{2 η_{3}} t$ 。

(23)

损伤黏塑性体的三维蠕变方程为^[14]

$ε_{i j}^{vp} = \frac{t_{f} (1 + n) [1 - {(1 - D)}^{n}]}{2 η_{4} n} 〈 Φ (\frac{F}{F_{0}}) 〉 \frac{\partial Q}{\partial σ_{i j}}$ 。

(24)

式中 $〈 Φ (\frac{F}{F_{0}}) 〉 = {\begin{cases} Φ (\frac{F}{F_{0}}) (F \geq 0) \\ 0 (F < 0) \end{cases}$ , $〈 • 〉$ 为开关函数； $F$ 为岩石屈服函数； $F_{0}$ 为岩石屈服函数初始值,为计算简便,一般取1^[15]； $Φ (\frac{F}{F_{0}})$ 一般为幂函数,即 $Φ (\frac{F}{F_{0}}) = {(\frac{F}{F_{0}})}^{k}$ ,k为指定常数,一般取1^[16]； $Q$ 为塑性势函数；为方便计算,采用相关联流动法则,即 $F = Q$ ^[17]。

岩石屈服准则采用较多的有Mohr-Coulomb屈服准则和Von-Mises屈服准则。但是Mohr-Coulomb准则不能考虑中间主应力 $σ_{2}$ 对岩石屈服的影响,而Von-Mises屈服准则忽视了球应力对岩石,特别是软岩蠕变特性的影响^[18]。因此本文采用Drucker-Prager屈服准则,该准则可以很好地弥补前两种屈服准则的不足,其表达式为

$F = \sqrt{J_{2}} - α I_{1} - k$ ,

(25)

式中, $J_{2}$ 为应力偏量第二不变量, $I_{1}$ 为应力张量第一不变量, $α, k$ 为材料参数,

$\begin{array}{l} α = \frac{\sin φ}{\sqrt{3} \sqrt{3 + \sin^{2} φ}}, \\ k = \frac{\sqrt{3} c \cos φ}{\sqrt{3 + \sin^{2} φ}}, \end{array}}$

(26)

其中, $φ$ 为岩石材料的内摩擦角, $c$ 为岩石材料的黏聚力。

在常规三轴分级加载压缩蠕变试验中,

$\begin{array}{l} σ_{1} > σ_{2} = σ_{3}, \\ σ_{m} = \frac{σ_{1} + σ_{2} + σ_{3}}{3} = \frac{σ_{1} + 2 σ_{3}}{3}, \\ \sqrt{J_{2}} = \frac{σ_{1} - σ_{3}}{\sqrt{3}}, \\ I_{1} = σ_{1} + σ_{2} + σ_{3} = σ_{1} + 2 σ_{3}, \\ S_{11} = σ_{1} - σ_{m} = \frac{2 (σ_{1} - σ_{3})}{3}, \\ \frac{\partial F}{\partial σ_{11}} = \frac{\sqrt{3} - 3 α}{3} 。 \end{array}}$

(27)

联立式（18）～（27）,根据叠加原理得到岩石在三维应力状态下损伤黏弹塑性蠕变方程。

(28)

2. 参数辨识及模型验证

2.1 参数辨识

（1） $G_{1}, K_{1}$ 的确定

式（28）三维蠕变方程中的 $G_{1} = \frac{E}{2 (1 + μ)},$ $K_{1} =$ $\frac{E}{3 (1 - 2 μ)}$ 分别为剪切模量和体积模量,根据岩石同等围压下常规三轴压缩试验得到的弹性模量E和泊松比 $μ$ 可以确定。

（2） $G_{2}, η_{2}, λ$ 的确定

$t \to \infty$ 时,式（28）第一式为

$ε_{11}^{t} (t \to \infty) = \frac{σ_{1} + 2 σ_{3}}{9 K} + \frac{σ_{1} - σ_{3}}{3 G} + \frac{σ_{1} - σ_{3}}{3 G_{2}}$ 。

(29)

将式（28）第一式减去式（29）并两边取对数为

$\ln [ε_{11}^{t} (t \to \infty) - ε_{11}^{t}] = - \frac{G_{2}}{η_{2} λ} t^{λ} + \ln \frac{σ_{1} - σ_{3}}{3 G_{2}}$ 。

(30)

令 $f (t_{i}) = \ln [ε_{11}^{t} (t \to \infty) - ε_{11}^{t} (t_{i})], a_{0} = - \frac{G_{2}}{η_{2} λ}, b_{0} =$ $λ,$ $c_{0} =$ $\ln \frac{σ_{1} - σ_{3}}{3 G_{2}}$ ,则式（30）为

$f (t_{i}) = a_{0} t_{i}^{b_{0}} + c_{0}$ 。

(31)

通过对一系列的 $[t_{i}, f (t_{i})]$ 试验数据进行非线性拟合,得到拟合参数 $a_{0}, b_{0}, c_{0}$ ,从而得到 $G_{2}, η_{2},$ $λ$ 为

$\begin{array}{l} λ = b_{0}, \\ G_{2} = \frac{σ_{1} - σ_{3}}{{3e}^{c_{0}}}, \\ η_{2} = - \frac{σ_{1} - σ_{3}}{3 a_{0} b_{0} e^{c_{0}}} 。 \end{array}}$

(32)

（3） $η_{3}$ 的确定

根据试验结果确定岩石从衰减蠕变阶段进入等速蠕变阶段的时刻 $t_{a}$ 及此时刻对应的应变 $ε_{a}$ ,该应变之后蠕变曲线斜率为k,

$k = \frac{σ_{1} - σ_{3}}{3 η_{3}}$ 。

(33)

由式（33）可得

$η_{3} = \frac{σ_{1} - σ_{3}}{3 k}$ 。

(34)

（4） $t_{f}, n, η_{4}$ 的确定

$t_{f}$ 可根据蠕变试验获得；参数 $n, η_{4}$ 需要采用最小二乘法确定。首先假定一组模型参数初始值 $n^{0}, η_{4}^{0}$ ,试验可得m组 $(t_{i}, ε_{i})$ 试验值,在初始模型参数确定的情况下将每一个 $t_{i}$ 代入损伤蠕变方程得到一个初始理论值 ${\tilde{ε}}_{i}$ ,为使理论值与试验值尽可能的接近,则m组试验数据与理论值的差的平方和取最小值,

$\begin{array}{l} \frac{\partial \sum_{i = 1}^{m} {[ε_{i} - \tilde{ε_{i}} (t_{i}, n^{0}, η_{4}^{0})]}^{2}}{\partial n^{0}} = 0, \\ \frac{\partial \sum_{i = 1}^{m} {[ε_{i} - \tilde{ε_{i}} (t_{i}, n^{0}, η_{4}^{0})]}^{2}}{\partial η_{4}^{0}} = 0 。 \end{array}}$

(35)

上述参数确定方法会出现模型参数初始值选取不恰当而导致迭代不收敛的情况,因此在迭代的过程中采用Levenberg-Marquardt算法,该算法通过引入阻尼因子对最小二乘法进行改进,避免出现迭代不收敛的情况^[19]。

2.2 模型验证

本文采用文献[20]的砂岩常规三轴分级加载压缩蠕变试验数据对黏弹塑性损伤蠕变模型的适用性进行验证。试验采用RLW–2000岩石材料试验机对重庆地区某深基坑砂岩进行围压分别为0,5,10 MPa下的压缩蠕变试验,加载级数为6级,每级的应力水平见表1。

表 1 压缩蠕变试验分级加载各级荷载拟定值

Table 1. Loading values of compression creep tests under step loading

围压/MPa	应力水平/MPa
围压/MPa	第一级	第二级	第三级	第四级	第五级	第六级
0	8.15	16.31	24.46	32.61	40.76	48.92
5	10.63	21.27	31.90	42.53	53.17	63.80
10	13.09	26.17	39.26	52.35	65.43	78.52

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根据试验结果,采用2.1节模型参数确定方法得到不同围压下蠕变模型参数见表2,3。围压为0,5 MPa时,前三级应力水平下,砂岩等速蠕变阶段的速率基本为0,此时采用式（28）的第一式进行描述；第四、五级应力水平下,砂岩应变不仅包括弹性、黏弹性应变还包括黏性应变,此时采用式（28）的第二式进行描述；第六级应力水平超过了砂岩的长期强度,故采用式（28）的第三式进行描述。描述结果如图4,5所示。

表 2 单轴压缩蠕变模型参数

Table 2. Parameters of uniaxial compression creep model

应力水平/MPa	E₁/GPa	E₂/GPa	$η_{2}$ /(GPa·h^λ)	$λ$	$η_{3}$ /(GPa·h)	$η_{4}$ /(MPa·h)	$t_{f}$ /h	$n$
8.15	4.312	51.258	26.519	0.767	—	—	—	—
16.31	4.556	64.722	15.318	0.773	—	—	—	—
24.46	4.941	84.637	85.397	0.530	—	—	—	—
32.61	5.277	93.707	119.044	0.440	2885.841	—	—	—
40.76	5.500	100.891	15.102	1.030	427.792	—	—	—
48.92	5.406	0.098	1.443	0.958	0.041	31.561	20.436	0.6

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表 3 围压为5 MPa压缩蠕变模型参数

Table 3. Parameters of compression creep model at

$σ_{3}$ of 5 MPa

应力水平/MPa	K₁/GPa	G₁/GPa	G₂/GPa	$η_{2}$ /(GPa·h^λ)	$λ$	$η_{3}$ /(GPa·h)	$η_{4}$ /(MPa·h)	$t_{f}$ /h	$n$
10.63	10.333	4.769	43.960	19.318	0.608	—	—	—	—
21.27			64.105	48.972	0.476	—	—	—	—
31.90			68.162	83.841	0.482	—	—	—	—
42.53			82.904	50.306	0.629	1172.594	—	—	—
53.17			94.273	75.936	0.732	784.218	—	—	—
63.80			2.174	21.822	0.766	0.165	0.102	26.52	0.5

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图 4 围压为0 MPa时理论曲线与试验曲线的对比图

Figure 4. Comparison between creep test and theoretical curves at

$σ_{3}$ of

$0$ MPa

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图 5 围压为5 MPa时理论曲线与试验曲线的对比图

Figure 5. Comparison between creep test curves and theoretical curves at

$σ_{3}$ of 5 MPa

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图4,5分别是围压为0,5 MPa时砂岩分级加载压缩蠕变试验曲线与黏弹塑性损伤蠕变模型理论曲线对比结果,由图可知,无论是一维应力状态下还是三维应力状态下,试验曲线和理论曲线的吻合程度非常高。一方面由于本文建立的复合蠕变模型能够全面反应岩石不同阶段的蠕变特性,另一方面由于岩石试样在静载条件下试验曲线较光滑波动较小,因而模型理论曲线与试验曲线基本一致。同时,也可看出黏弹塑性损伤蠕变模型不仅可以精确描述低应力水平下砂岩的衰减、等速蠕变特性,而且能够描述砂岩在高应力状态下的加速蠕变特征,验证了模型的适用性。

为进一步验证本文所建蠕变模型的可行性,根据围压为5 MPa的模型参数,对围压为10 MPa时的砂岩蠕变曲线进行预测。由于试样取自同一基坑,且都属于砂岩,因此认为试样的蠕变参数近似相同,只有应力水平和蠕变时间与围压为5 MPa时不同,得到的预测曲线与试验曲线对比结果见图6。

图 6 围压为10 MPa时预测曲线与试验曲线的对比图

Figure 6. Comparison between creep test and predicted curves at

$σ_{3}$ of

$10$ MPa

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由图6可知,围压为10 MPa砂岩的蠕变曲线与预测曲线存在一定的误差,这是由于试样之间不可避免的差异性导致的。但应变与蠕变时间的变化趋势两者基本一致,因此,本文所建立的岩石蠕变模型用于描述不同应力状态下蠕变特性是合理可行的。

3. 结论

（1）采用Kachanov蠕变损伤理论,将损伤变量引入黏性体微分本构方程,导出了损伤黏塑性体的微分本构关系和蠕变方程,从而改进了用有效应力直接代替蠕变方程中的应力来建立损伤蠕变方程的方法。

（2）根据非线性流变理论以及损伤理论,同时考虑Kelvin体黏性系数的时间相关性和加速蠕变阶段的蠕变损伤,提出非线性Kelvin体和损伤黏塑性体,并与弹性体和黏性体串联建立能够同时描述岩石瞬时弹性应变、非线性黏弹性应变、黏性应变和非线性黏塑性应变的损伤蠕变模型。推导岩石在恒应力情况下的一维、三维微分型损伤本构方程,再根据叠加原理得到蠕变损伤方程,并给出简单可行的模型参数辨识方法。

（3）采用不同围压和不同应力水平下砂岩常规三轴压缩蠕变试验数据对黏弹塑性损伤蠕变模型适用性进行验证,结果表明该蠕变模型不仅可以精确反映衰减、等速阶段蠕变曲线的非线性特征,而且能够描述岩石在高应力状态下的加速蠕变特征。

（4）黏弹塑性损伤蠕变模型可用于预测硐室或隧道开挖后围岩随时间推移的变形趋势,为围岩支护和衬砌施工提供理论依据。同时,也可以结合工程实例,对受不同围压作用下围岩变形进行数值模拟分析,为施工过程的合理性与安全性提供建议。

图 1 不同应力水平下岩石蠕变曲线

Figure 1. Creep curve of rock under different stress levels

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图 2 不同λ岩石蠕变曲线

Figure 2. Creep curve of rock with different values of λ

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图 3 黏弹塑性损伤蠕变力学模型

Figure 3. Viscoelastic-plastic damage creep mechanical model

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图 4 围压为0 MPa时理论曲线与试验曲线的对比图

Figure 4. Comparison between creep test and theoretical curves at $σ_{3}$ $σ_{3}$ of $0$ $0$ MPa

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图 5 围压为5 MPa时理论曲线与试验曲线的对比图

Figure 5. Comparison between creep test curves and theoretical curves at $σ_{3}$ $σ_{3}$ of 5 MPa

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图 6 围压为10 MPa时预测曲线与试验曲线的对比图

Figure 6. Comparison between creep test and predicted curves at $σ_{3}$ $σ_{3}$ of $10$ $10$ MPa

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表 1 压缩蠕变试验分级加载各级荷载拟定值

Table 1 Loading values of compression creep tests under step loading

围压/MPa	应力水平/MPa
围压/MPa	第一级	第二级	第三级	第四级	第五级	第六级
0	8.15	16.31	24.46	32.61	40.76	48.92
5	10.63	21.27	31.90	42.53	53.17	63.80
10	13.09	26.17	39.26	52.35	65.43	78.52

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表 2 单轴压缩蠕变模型参数

Table 2 Parameters of uniaxial compression creep model

应力水平/MPa	E₁/GPa	E₂/GPa	$η_{2}$ $η_{2}$ /(GPa·h^λ)	$λ$ $λ$	$η_{3}$ $η_{3}$ /(GPa·h)	$η_{4}$ $η_{4}$ /(MPa·h)	$t_{f}$ $t_{f}$ /h	$n$ $n$
8.15	4.312	51.258	26.519	0.767	—	—	—	—
16.31	4.556	64.722	15.318	0.773	—	—	—	—
24.46	4.941	84.637	85.397	0.530	—	—	—	—
32.61	5.277	93.707	119.044	0.440	2885.841	—	—	—
40.76	5.500	100.891	15.102	1.030	427.792	—	—	—
48.92	5.406	0.098	1.443	0.958	0.041	31.561	20.436	0.6

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表 3 围压为5 MPa压缩蠕变模型参数

Table 3 Parameters of compression creep model at $σ_{3}$ $σ_{3}$ of 5 MPa

应力水平/MPa	K₁/GPa	G₁/GPa	G₂/GPa	$η_{2}$ $η_{2}$ /(GPa·h^λ)	$λ$ $λ$	$η_{3}$ $η_{3}$ /(GPa·h)	$η_{4}$ $η_{4}$ /(MPa·h)	$t_{f}$ $t_{f}$ /h	$n$ $n$
10.63	10.333	4.769	43.960	19.318	0.608	—	—	—	—
21.27			64.105	48.972	0.476	—	—	—	—
31.90			68.162	83.841	0.482	—	—	—	—
42.53			82.904	50.306	0.629	1172.594	—	—	—
53.17			94.273	75.936	0.732	784.218	—	—	—
63.80			2.174	21.822	0.766	0.165	0.102	26.52	0.5

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