基于相似变换法的半无限空间饱和土一维热固结解析解

韩涛; 周扬; 卢萌盟

doi:10.11779/CJGE20240206

基于相似变换法的半无限空间饱和土一维热固结解析解 English Version

韩涛^{1, 2, 3,},
周扬^{1, 3, ,},
卢萌盟¹

1.
中国矿业大学力学与土木工程学院, 江苏徐州 221116
2.
中国矿业大学深地工程智能建造与健康运维全国重点实验室, 江苏徐州 221116
3.
深地科学与工程云龙湖实验室, 江苏徐州 221116

基金项目:

国家自然科学基金项目 52178373

详细信息

作者简介:
韩涛(1981— )，男，山东淄博人，博士，副研究员，从事岩土特殊施工、岩土体热力耦合方面的研究工作。E-mail: hantaocumt@163.com

通讯作者:
周扬, E-mail：tod2006@126.com

中图分类号: TU431
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出版历程
- 收稿日期: 2024-03-07
- 网络出版日期: 2024-08-20
- 刊出日期: 2025-04-30

Analytical solutions for 1-D thermo-consolidation process of semi-infinite saturated soil using similarity transformation method

HAN Tao^{1, 2, 3,},
ZHOU Yang^{1, 3, ,},
LU Mengmeng¹

1.
School of Mechanics & Civil Engineering, China University of Mining & Technology, Xuzhou 221116, China
2.
State Key Laboratory of Intelligent Construction and Healthy Operation and Maintenance of Deep Underground Engineering, China University of Mining & Technology, Xuzhou 221116, China
3.
YunLong Lake Laboratory of Deep Underground Science and Engineering, Xuzhou 221116, China

摘要

摘要: 针对半无限空间饱和土在表面外荷载及变温作用影响下的一维热固结过程，考虑两类传热及渗流边界条件，给出了温度及超静孔压耦合演化过程的基本方程。引入组合变量对耦合方程进行了解耦，应用相似变换法获得了组合变量在半整数次幂函数边界条件下的通解，并基于该通解构建了任意幂级数形式荷载及边界条件下温度与超静孔压的解析解答。通过文献进行了对比验证，随后应用本解答计算分析了半无限空间饱和土在表面正弦温度及热流边界作用下土中温度及超静孔压的耦合响应特性，结果表明：土体变形功项对传热方程贡献很小，对温度及超静孔压演化的影响基本可以忽略；固结方程中温度化率项系数为正值时，温度变化会引起相反趋势的超静孔压变化，而该系数为负值时，温度变化则会引起相同趋势的超静孔压变化。
- 热固结 /
- 半无限空间 /
- 饱和土 /
- 解析解 /
- 相似变换
Abstract: For a 1-D thermo-consolidation process of semi-infinite saturated soil induced by external loads and changing temperature at the surface, basic equations are proposed to describe the coupled evolvement of temperature and excessive porewater pressure, and two types of heat transfer and seepage boundary conditions are considered. The combination variables are introduced to decouple the governing equations, and their general solutions under the boundary conditions in the form of half-integer power functions are developed by applying the similarity transformation method. After expanding the external loads and the boundary conditions into power series, the analytical solutions for the temperature and the excessive porewater pressure can be obtained using these general solutions directly. After their verification by certain solution in the literature, our solutions are then employed to calculate and analyze the coupled response characteristics of soil temperature and excessive porewater pressure for semi-infinite saturated soil under the effects of sinusoidal temperature and heat flux at the soil surface. The results show that, the term of soil deformation work contributes very little to the heat transfer equation, and its impact on the evolution of temperature and excessive porewater pressure can basically be ignored. When the coefficient for the term of temperature changing rate in the consolidation equation is positive, temperature changes will cause changes in the excessive porewater pressure with the opposite trend, and when the coefficient is negative, temperature changes will cause changes in the excessive porewater pressure with the same trend.
- thermo-consolidation /
- semi-infinite space /
- saturated soil /
- analytical solution /
- similarity transformation method

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0. 引言

由废旧轮胎破碎颗粒与天然砂按特定比例配合得到的混合物简称橡胶砂（RSM,rubber sand mixture）。相比于常规土,橡胶砂具有重度小、模量低、阻尼大、弹性好等特点,可应用于特殊土木工程领域,如用作桥台、挡墙、边坡的轻质填料^[1]和保温隔热填料^[2],用于膨胀土和软土治理^[3],作为生命线管道回填保护^[4],以及作为村镇房屋廉价隔震垫层等^[5-8]。由于橡胶砂在土木工程中的应用可大量消耗废旧轮胎,且不会对地下水产生二次污染^[9],是废旧轮胎资源化再利用的典范途径。对橡胶砂的力学特性展开研究,为其在土木工程中的应用奠定基础,具有重要的意义。

相比于母材砂,橡胶砂宏观力学特性的改变主要是由于橡胶颗粒的掺入改变了颗粒之间的接触状态。因此,橡胶颗粒的掺量（RC,rubber content）是影响橡胶砂力学特性的主要因素,已有文献对其展开了深入的研究^[10-16]。但显而易见,橡胶–砂混合物中颗粒之间的接触状态除受橡胶颗粒质量掺量的影响外,还与橡胶颗粒与砂颗粒的粒径比（PSR,particle size ratio）有关,甚至还受两种因素的耦合影响。图1给出了在橡胶含量一定的情况下,不同胶砂颗粒粒径比时橡胶砂的颗粒组分构成示意图,可见,随着粒径比的变化,砂颗粒的接触状态、粒间空隙的填充状态均发生改变,因而其力学性能必将受到影响。

图 1 不同粒径比橡胶砂的颗粒组分构成示意图

Figure 1. Diagrams　of particle composition of rubber sand with different particle size ratios

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已有关于胶–砂粒径比对橡胶砂动力特性影响的研究报道甚少。Lee等^[17]通过有侧限固结和弯曲元试验研究了粒径比对橡胶砂受压变形和初始剪切模量的影响,但未能揭示粒径比对橡胶砂动剪模量和阻尼比随动应变幅值非线性变化特性的影响规律；Ehsani等^[18]、Li等^[19]分别在通过扭转共振柱–动三轴联合试验研究橡胶含量和砂的矿物特性对橡胶砂动剪模量的影响,以及橡胶砂的抗液化性能研究中,考虑了粒径比因素,给出了定性的试验现象,但由于所考虑粒径比工况较少,难以总结定量规律。

基于以上研究现状,本文利用GDS-RCA共振柱系统,研究4种橡胶含量、4种粒径比橡胶砂在3种围压下的动力特性,探讨粒径比对橡胶砂动剪模量和阻尼比的影响规律,分析其与橡胶含量（RC,rubber content）、围压（ $σ_{0}$ ）等因素对橡胶砂动力特性的耦合影响规律及机理,以期为后续研究和相关应用提供参考。

1. 试验介绍

1.1 试验材料

试验砂为厦门艾思欧（ISO）标准砂,颗粒粒径0.05～2 mm,平均粒径为0.64 mm,颗粒相对密度2.67；橡胶颗粒为废旧轮胎胶粒,筛取4种颗粒集,平均粒径分别为0.3,0.6,1.9和3.7 mm,相应的胶砂粒径比分别为0.5,0.9,3.0,5.8。颗粒材料的级配曲线如图2所示。橡胶颗粒相对密度为1.1。

图 2 橡胶和砂的颗粒级配曲线

Figure 2. Particle-size distribution curves of rubber and sand

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1.2 试验工况与试样制备

每种粒径比的橡胶砂考虑4种质量配比,每种质量–粒径比工况及母材砂考虑3种围压（50,100,200 kPa）,共51种试验工况,每种工况下进行3个试样测试。试样制备前实测不同质量比及粒径比橡胶砂的最大、最小干密度,根据相同的初始相对密度计算该工况下橡胶砂试样的质量。试样搅拌均匀后采用砂雨法装样,每个试样土料分5次均匀落入试模,分层压实,尽量保证试样均匀。不同配比橡胶砂的装样控制密度、试样质量及初始孔隙比如表1所示。部分配比工况下的橡胶砂混合料照片如图3所示。

表 1 不同配合比橡胶砂试样制备控制参数

Table 1. Properties of rubber-sand mixtures with different mass ratios

粒径比PSR	橡胶含量RC/%	最小干密度r_d,min/(g·cm^-3)	最大干密度r_d,max/(g·cm^-3)	控制密度r_d/(g·cm^-3)	相对密实度D_r	装样质量/mg	初始孔隙比e₀
纯砂	0	1.70	1.96	1.88	0.7	368.4	0.423
0.5	5	1.46	1.79	1.65	0.7	323.9	0.511
	10	1.29	1.70	1.55	0.7	304.5	0.507
	15	1.18	1.53	1.41	0.7	276.0	0.565
	30	0.82	1.13	1.01	0.7	198.6	0.848
0.9	5	1.49	1.75	1.66	0.7	326.2	0.500
	10	1.32	1.55	1.47	0.7	288.9	0.588
	15	1.16	1.43	1.33	0.7	262.0	0.648
	30	0.82	1.07	0.98	0.7	193.2	0.900
3.0	5	1.59	1.83	1.75	0.7	343.5	0.425
	10	1.50	1.74	1.66	0.7	326.6	0.405
	15	1.41	1.65	1.57	0.7	308.2	0.401
	30	1.14	1.31	1.25	0.7	246.4	0.490
5.8	5	1.61	1.83	1.76	0.7	345.8	0.415
	10	1.55	1.77	1.70	0.7	334.1	0.373
	15	1.43	1.69	1.61	0.7	315.4	0.369
	30	1.23	1.43	1.36	0.7	266.9	0.375

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图 3 不同橡胶含量和胶砂粒径比橡胶砂混合物

Figure 3. Photos of RSMs with different rubber contents and particle size ratios

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1.3 试验设备和试验方法

试验在湖南工业大学岩土实验室GDS共振柱测试系统上进行,振动方式为扭转剪切振动。

试验步骤如下：①装样完成后施加-20 kPa的负压,保持试样稳定；②用游标卡尺量测试样初始高度和直径（量3次取平均值）；③依次装上驱动装置、位移传感器、压力室,对竖向位移进行调零处理；④分四次进行加围压、卸负压,每次加5 kPa围压、卸-5 kPa负压,确保试样稳定；⑤保持反压为0,施加目标围压,固结至试样竖向位移稳定；⑥进行共振柱试验。

2. 结果分析

2.1 动剪模量曲线

试验发现,在相同的围压和质量配比情况下,不同粒径比橡胶砂的动剪模量曲线存在显著的差异,且不同橡胶含量时,粒径比的影响规律不同,即橡胶砂动剪模量明显受橡胶含量与粒径比两者的耦合影响：

（1）当橡胶含量较小（RC=5%）时,橡胶砂动剪模量衰减曲线 $G_{d}$ – $γ_{d}$ 随粒径比增大而单调降低。

（2）当橡胶含量较大（RC≥10%）时, $G_{d}$ – $γ_{d}$ 曲线随粒径比的增大而表现先减小后增大的现象,且临界粒径比较一致地为0.9。

（3）对于橡胶含量不小于10%的橡胶砂,当粒径比超过临界值后继续增大时,动剪模量曲线回升,但其回升规律随橡胶含量不同而各异。当RC =10%时,粒径比3.0和5.8的动剪模量曲线依次增大,且均低于粒径比0.5时的动剪模量曲线。当RC =15%时,粒径比3.0和5.8的动剪模量曲线依次增大,且均高于粒径比0.5时的动剪模量曲线。当RC =30%时,粒径比3.0的动剪模量曲线显著高于粒径比0.5时的动剪模量曲线,而粒径比5.8的动剪模量曲线复又相对粒径比3.0时降低,当仍然远高于粒径比0.5时的动剪模量曲线。

不同围压下粒径比对橡胶砂动剪模量曲线的影响规律相似。限于篇幅,本文仅给出围压 $σ_{0}$ =100 kPa时的橡胶砂动剪模量随动应变幅值的衰减规律,如图4所示。

图 4 橡胶砂动剪模量随动剪应变的衰减曲线（围压100 kPa）

Figure 4. Degradation curves of dynamic shear modulus with dynamic shear strain of RSMs (

$σ_{0}$ =100 kPa)

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2.2 粒径比对橡胶砂最大动剪模量的影响

最大动剪模量是土动力特性的重要表征,也是岩土体动力响应分析的必需参数。采用经典的H-D公式对动剪模量–动剪应变试验曲线进行拟合,可得到各配比工况下的最大动剪模量。

$G_{d} = \frac{G_{dmax}}{1 + γ_{d} / γ_{ref}}$ 。

(1)

式中 $G_{dmax}$ 为最大动剪模量； $γ_{d}$ 为动剪应变, $G_{d}$ 为对应于动剪应变 $γ_{d}$ 的动剪模量, $γ_{ref}$ 为参考剪应变,其对应的动剪模量为0.5 $G_{dmax}$ 。可知, $γ_{ref}$ 越大,动剪模量的衰减速率越慢。

各试验工况下动剪模量曲线的拟合曲线以细实线绘制于图4,可见拟合曲线与试验散点规律吻合较好,相应的拟合参数值列如表2所示。

表 2

$G_{d}$ –

$γ_{d}$ 试验曲线拟合参数

Table 2. Fitting parameters of tested

$G_{d}$ –

$γ_{d}$ curves

$σ_{0}$		50 kPa		100 kPa		200 kPa
PSR	RC	$G_{dmax}$ /MPa	$γ_{ref}$ /%	$G_{dmax}$ /MPa	$γ_{ref}$ /%	$G_{dmax}$ /MPa	$γ_{ref}$ /%
─	0%	83.27	0.02039	122.27	0.02826	180.90	0.03991
0.5	5%	64.29	0.02950	112.26	0.02687	153.51	0.03752
	10%	45.34	0.02947	72.60	0.03879	113.57	0.04766
	15%	24.03	0.09993	43.57	0.06420	63.82	0.09913
	30%	6.49	0.09960	8.97	0.28200	16.22	0.21900
0.9	5%	64.67	0.02915	89.00	0.03805	142.21	0.04431
	10%	32.68	0.04994	50.45	0.05680	73.06	0.07777
	15%	18.99	0.09165	30.65	0.08097	47.95	0.09669
	30%	3.74	0.33000	5.99	0.24900	10.09	0.28700
3.0	5%	60.16	0.03119	84.43	0.03773	122.28	0.04588
	10%	42.88	0.03583	60.24	0.04407	86.22	0.05868
	15%	30.32	0.03836	43.39	0.05078	65.01	0.06049
	30%	14.59	0.05607	17.85	0.08775	26.71	0.07472
5.8	5%	57.43	0.02244	83.92	0.03000	128.09	0.04353
	10%	46.27	0.03382	65.02	0.03875	92.49	0.04964
	15%	34.53	0.03496	48.58	0.04771	71.33	0.06941
	30%	13.01	0.05787	17.75	0.09621	24.95	0.14200

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图5给出了不同橡胶含量、不同围压下,橡胶砂最大动剪模量 $G_{dmax}$ 随粒径比PSR的变化规律。可见,在橡胶含量相同的情况下,不同围压下最大动剪模量随粒径比的变化曲线近似平行,说明粒径比与围压对动剪模量的耦合影响效应较小。而橡胶含量与粒径比对橡胶砂最大动剪模量的影响存在较明显的耦合影响。当橡胶含量为5%时, $G_{dmax}$ 随粒径比增大而近似单调减小。当橡胶含量在10%～15%时, $G_{dmax}$ 随粒径比增大先减小而后增大,粒径比0.9时达到最小值。当橡胶含量达到30%时, $G_{dmax}$ 随粒径比增大出现反S形变化,先减小并在粒径比0.9时达到最小值,而后在粒径比3.0时达到最大值,然后随着粒径比增大至5.8再次缓慢下降。

图 5 橡胶砂最大动剪模量随粒径比的变化规律

Figure 5. Maximum dynamic shear moduli of RSMs

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以粒径比0.9（接近1.0）时的工况为参照,可分析不同橡胶含量下粒径比对橡胶砂 $G_{dmax}$ 的影响程度,如图6所示。可见,当橡胶含量小于15%时,不同围压下的 $G_{dmax} / G_{dmax, PSR = 0.9}$ –PSR试验散点较为接近,说明粒径比与围压对最大动剪模量的耦合影响效应较小；当橡胶含量为30%时,不同围压下的 $G_{dmax} / G_{dmax, PSR = 0.9}$ –PSR试验点离散性稍大,但变化趋势相同。

图 6

$G_{dmax} / G_{dmax,PSR = 0.9}$ –PSR关系

Figure 6. Relationship between

$G_{dmax} / G_{dmax,PSR = 0.9}$ and PSR

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由不同围压下的 $G_{dmax} / G_{dmax,PSR=0 .9}$ –PSR平均趋势线对比可见,随着橡胶含量的增大,粒径比对 $G_{dmax}$ 的影响程度亦越大。当橡胶含量为5%时,粒径比从0.5变化至5.8,所引起的最大动剪模量变化在0.2倍以内,当橡胶含量为30%时,同样的粒径比变化所引起的最大动剪模量变化可达到3～4倍。可见,粒径比对橡胶砂动剪模量的影响不能忽略。由上述分析可知,胶砂粒径比与橡胶含量、围压一样,是影响橡胶砂最大动剪模量的主要因素。下面,将研究如何在已知上述条件的情况下,对橡胶砂的最大动剪模进行预测。

2.3 橡胶砂最大动剪模量经验公式

在土动力学领域,Hardin等^[20]建议的常规土最大动剪模量经验公式得到了大量实践验证与广泛应用：

$G_{dmax} = A F (e) {OCR}^{k} p_{a}^{1 - n} σ_{0}^{n}$ ,

(2)

式中,A为无量纲模量参数, $F (e)$ 为孔隙比函数,OCR为超固结比, $p_{a}$ 为标准大气压力, $σ_{0}$ 为围压,k,n为指数参数。对于重塑非黏性土试样OCR可取1,故指数k可暂不研究。

大量研究表明,n可取0.5。图7给出了不同橡胶含量、不同粒径比时,用 ${OCR}^{k} {(p_{a} σ_{0})}^{0.5}$ 对 $G_{dmax}$ 进行归一化,得到的无量纲系数 $A F (e)$ 与围压 $σ_{0}$ 的关系曲线。可见,当n取0.5时,不同橡胶含量、不同粒径比橡胶砂的无量纲模量系数 $A F (e)$ 与围压 $σ_{0}$ 的关系曲线均大致呈水平状,说明其与围压无关,亦即用 ${OCR}^{k} {(p_{a} σ_{0})}^{0.5}$ 可对 $G_{dmax}$ 进行良好的归一化。

图 7 最大动剪模量的围压归一化

Figure 7. Normalization of

$G_{dmax}$ with confining pressure

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无量纲模量系数 $A F (e)$ 为仅与孔隙比e相关的函数。Hardin给出了常规土的经验式^[20]

$A F (e) = 123 {(2.973 - e)}^{2} / (1 + e)$ 。

(3)

Feng等^[21]给出了橡胶砂的经验式：

$A F (e) = A / (0.3 + 0.7 e^{2})$ 。

(4)

上两式所对应的 $A F (e)$ –e关系曲线绘制于图8（a）,可见,两个经验公式所给出的无量纲模量系数 $A F (e)$ 均随着e的增大而单调减小。

图 8 最大动剪模量的围压归一化

Figure 8. Normalization of

$G_{dmax}$ with confining pressure

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关于橡胶砂孔隙比的确定存在两种观点。第一种观点,将橡胶颗粒当作混合土的一部分,孔隙比等于孔隙体积与砂颗粒体积和橡胶颗粒体积之和的比值,即

$e = V_{viod} / (V_{sand} + V_{rubber})$ ,

(5)

式中, $e$ 为孔隙比, $V_{viod}$ , $V_{sand}$ , $V_{rubber}$ 分别为孔隙体积、砂颗粒体积和橡胶颗粒体积。

第二种观点认为,由于橡胶颗粒模量远小于砂颗粒模量,且橡胶体积不可压缩（橡胶材料的泊松比近似为0.5）,因此橡胶颗粒本身应视为孔隙的一部分^[21-22]。相应的孔隙比为

$e = (V_{viod} + V_{rubber}) / V_{sand}$ ,

(6)

式中各符号的意义与式（5）相同。

本文试验发现,当按常规方法确定橡胶砂孔隙比（即按式（5）计算孔隙比）时,不同粒径比橡胶砂 $A F (e)$ –e关系表现出明显差异且无规律性,与图8（a）所示常规土 $A F (e)$ 随e单调减小的已知认识不符,如图8（b）所示。而当将橡胶颗粒体积计入孔隙（即按式（6）计算孔隙比）时,不同粒径比橡胶砂的 $A F (e)$ –e关系曲线高度集中,且表现出明显的与常规土类似的规律性,如图8（c）所示。可知,本文试验表明,当将橡胶颗粒体积视为孔隙体积的一部分时,则Hardin针对常规土所提出的最大动剪模量经验公式仍然可适用于橡胶砂这种人工混合土。此结论也再次验证了Feng等^[21]的研究发现。

经对比,经验公式（4）能更好地模拟橡胶砂无量纲模量系数 $A F (e)$ 与孔隙比e（按式（6）计算,后同）的关系,且拟合得到系数A=530,拟合曲线与试验点的对比关系示于图8（d）。

图9给出了不同质量配比及粒径比对橡胶砂孔隙比的影响曲线。可见,随着橡胶含量的增加,孔隙比呈加速增大趋势。不同粒径比时,孔隙比增大速率不同。粒径比接近1时, $e$ – $RC$ 关系曲线最高,粒径比越远离1, $e$ – $RC$ 关系曲线越低。设橡胶砂 $e$ – $RC$ 关系可用下式进行描述：

$e = e_{s} [1 + p \cdot RC + q \cdot {RC}^{2}]$ ,

(7)

式中, $e_{s}$ 为橡胶含量为零时（即母材纯砂）的孔隙比,取0.423；p,q为无量纲拟合参数。式（7）的拟合曲线一同绘于图9中,可见与试验散点规律吻合良好。相应的拟合参数p,q值列于表3所示。

图 9 橡胶砂孔隙比随橡胶含量和粒径比的变化规律

Figure 9. Variation of void ratio of RSMs with rubber content and particle size ratio

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表 3

$e$ –

$RC$ 关系曲线拟合参数

Table 3. Parameters values of

$e$ –

$RC$ relationships

PSR	$p$	$q$	R²
0.5	10.52	25	0.995
0.9	11.64	25	0.999
3.0	5.37	25	0.998
5.8	3.83	25	0.989

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由表3可见,参数q为与粒径比PSR无关的定值,参数p则表现出类似以粒径比PSR=1为中心的正态分布的形式,即PSR值越靠近1,p值越大,PSR值越远离1,p值越小。因此,设参数p与粒径比PSR之间的关系可用Gauss函数表达：

$\begin{matrix} p = p_{0} + \frac{B}{ω \sqrt{π / 2}} exp [- 2 {(\frac{x - c}{ω})}^{2}] \\ x = {\begin{cases} PSR PSR \geq 1 \\ 1 / PSR PSR < 1 \end{cases} \end{matrix}$ ,

(8)

式中,x为Gauss函数自变量。当 $PSR \geq 1$ 时, $x = PSR$ ,当 $PSR < 1$ 时, $x = 1 / PSR$ 。 $p_{0}$ ,B, $ω$ ,c均为Gauss函数参数,其中 $c = 1$ 。

用上式对表3中参数p与粒径比PSR之间的关系进行拟合,如图10所示。图中,实心散点为真实试验点,空心散点为试验点以PSR=1为镜像轴的虚拟约束点,实线为用上述两种点按式（8）拟合得到的曲线,拟合得到的Gauss函数参数分别 $p_{0} = 3.65$ , $B = 26$ , $ω = 2.46$ 。

图 10 参数p与粒径比PSR之间的关系

Figure 10. Relationship between p and PSR

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图11给出了根据式（2）～（8）预测的橡胶砂最大动剪模量与实测值的对比。可见本文所提公式能较好地预测橡胶砂最大动剪模量随橡胶砂质量配比、粒径比以及围压的变化规律。

图 11 橡胶砂最大动剪模量预测值与实测值对比

Figure 11. Comparison between predicted

$G_{dmax}$ of RSMs and test values

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2.4 阻尼比

图12给出了橡胶砂的阻尼比试验曲线,其中各子图分别将相同橡胶含量和围压、不同粒径比工况的阻尼比曲线绘制在同一坐标系,以便观察粒径比对阻尼比曲线的影响。由图可见：

图 12 粒径比对橡胶砂阻尼比的影响

Figure 12. Effects of size ratios on damping ratio of RSMs

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（1）当橡胶含量较低（RC =5%）时,橡胶砂阻尼比较小,与纯砂接近,不同粒径比橡胶砂阻尼比曲线亦较为接近。

（2）随着橡胶含量的增大（RC≥10%）,橡胶砂阻尼比明显高于纯砂,不同粒径比橡胶砂阻尼比曲线之间的差异也逐渐增大。

（3）在试验所涉及12种橡胶含量和围压组合工况中,有10种工况下,橡胶砂阻尼比曲线随粒径比的增大表现出先降低后升高的规律,临界粒径比为0.9,亦即当粒径比接近1时,橡胶砂阻尼比最小。

（4）随着围压增大,相同橡胶含量的橡胶砂阻尼比逐渐减小,但随着橡胶含量增加,围压对阻尼比的影响减弱。

（5）不同围压下,阻尼比曲线随粒径比变化的规律相似,说明围压与粒径比对橡胶砂阻尼比特性的影响无明显耦合效应。

2.5 机理分析

橡胶砂中主要存在3种接触形式：砂–砂接触、胶–砂接触和胶–胶接触。橡胶砂力学特性变化的微观机制就是由于这3种接触所组成的力链分布改变所致。由图1的示意图可知,橡胶含量和胶砂粒径比均会改变混合物中橡胶颗粒和砂颗粒的分布状态和颗粒接触状态,因此两者对橡胶砂动力特性存在耦合影响效应。

当橡胶含量较小（如RC=5%）时,橡胶颗粒数量少而离散分布于砂颗粒中。此时,粒径比越小,橡胶颗粒越分散,且分布于砂颗粒间的空隙,基本不参与整体受力,力链主要由砂–砂接触所组成,故橡胶砂表现出较大的动剪模量；随着粒径比增大,橡胶颗粒数量减小但尺寸增大,超出砂颗粒间空隙尺寸后则参与受力,使得部分力链上的砂–砂接触被胶–砂接触所代替,因而动剪模量降低。

随着橡胶含量增多,混合物中橡胶组分增大。当粒径比远小于1时,橡胶组分的分布弥散,相当部分小橡胶颗粒填充于砂颗粒间的空隙未能参与整体受力,削弱了其对混合物抵抗变形能力衰减作用,故动剪模量仍较大。当粒径比接近1时,橡胶颗粒与砂颗粒尺寸相近,两者的接触最为充分,原力链中的砂–砂接触最大限度地被砂–胶接触所替代,故动剪模量达到最小值。当粒径比超过1继续增大时,橡胶组分的分布更加集中而形成少数大的橡胶颗粒悬浮于砂颗粒中。由于橡胶材料的不可压缩性,这些大的橡胶颗粒被砂颗粒包围而不可被嵌入,从而形成拱效应,使得力链能绕过它而继续通过砂–砂接触传递。这解释了当粒径比超过0.9后,动剪模量回升的原因。粒径比越大,橡胶组分的集中程度越大,力链所需绕过的“不可压缩空腔”的数量也就越少,因而动剪模量回升越多。但当橡胶含量足够多时,可能形成连续相邻的“空腔”,进而削弱力链拱的侧向约束,从而使橡胶颗粒参与力链的传导。这解释了橡胶含量为30%时,当粒径比从3.0增加至5.8时,橡胶砂动剪模量再次降低的试验现象。

图 13 不同粒径比时颗粒细观分布及接触示意图

Figure 13. Description of particle distribution and contact diagram of RSMs with different particle size ratios

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橡胶砂的阻尼主要由振动过程中颗粒间的摩擦、砂颗粒去棱角化破碎、橡胶颗粒的变形发热等能量耗散所组成。粒径比接近1时,橡胶颗粒与砂颗粒接触最为充分,砂–砂刚性接触减少,砂颗粒间的去棱角化破碎耗能得到最大程度减小。这解释了在绝大多数工况下,粒径比0.9时橡胶砂阻尼比最小的原因。但即便如此,由于橡胶颗粒的摩擦、变形耗能以及振动发热效应,仍然比纯砂的阻尼比大。

3. 结论

（1）橡胶含量和胶砂粒径比均会改变混合物中橡胶颗粒和砂颗粒的分布状态和颗粒接触状态,并共同影响混合土孔隙比,因此橡胶含量和粒径比对橡胶砂的动力特性存在耦合效应。

（2）当橡胶含量较小（RC =5%）时,随着粒径比的增大,由于试样内部力链中部分砂–砂接触逐渐转变为胶–砂接触,橡胶砂动剪模量衰减曲线 $G_{d} - γ_{d}$ 会有所降低；当橡胶含量较大（RC≥10%）时,试样内部橡胶颗粒增多,在粒径比为0.5时相当部分橡胶颗粒处于砂颗粒间隙间,未参与受力,在粒径比接近1时胶–砂接触最为充分,而在粒径比继续增大时由于橡胶颗粒增大且不可压缩而产生拱效应,因此 $G_{d} - γ_{d}$ 曲线随粒径比的增大而表现先减小后增大的现象,临界粒径比约为1。

（3）随着橡胶含量的增多,参考剪应变增大,橡胶砂动剪模量随动应变的衰减变缓；当橡胶含量小于10%时,粒径比对参考剪应变的影响较小,当橡胶含量大于10%时,粒径比对参考剪应变的影响较为明显,后者随着前者的粒径比减小而增大。

（4）当橡胶含量较低（RC =5%）时,橡胶砂阻尼比较小,与纯砂接近,不同粒径比橡胶砂阻尼比曲线亦较为接近；随着橡胶含量的增大（RC≥10%）,橡胶砂阻尼比明显高于纯砂,不同粒径比橡胶砂阻尼比曲线之间的差异也逐渐增大；橡胶砂阻尼比曲线随粒径比的增大表现出先降低后升高的规律,临界粒径比为0.9,亦即当粒径比接近1时,橡胶砂阻尼比最小。

（5）当将橡胶颗粒视作孔隙时,Hardin常规土最大动剪模量经验公式仍可适用于橡胶砂,结合本文所提橡胶砂孔隙比试验拟合式,可对不同质量配比和粒径比橡胶砂的最大动剪模量进行合理预测。

图 1 半无限空间饱和土-维热固结过程示意图

Figure 1. Schematic diagram for 1-D thermo-consolidation process of semi-infinite saturated soil

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图 2 两组解答温度分布对比

Figure 2. Comparison of temperature distributions for two solutions

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图 3 两组解答超静孔压分布对比

Figure 3. Comparison of excessive porewater pressure distributions for two solutions

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图 4 边界Ⅰ不同深度温度随时间变化

Figure 4. Variation of temperature with time at different depths for type Ⅰ boundary condition

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图 5 边界Ⅰ不同深度超静孔压随时间变化

Figure 5. Variation of excessive porewater pressure with time at different depths for type Ⅰ boundary condition

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图 6 边界Ⅱ不同深度温度随时间变化

Figure 6. Variation of temperature with time at different depths for type Ⅱ boundary condition

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图 7 边界Ⅱ不同深度超静孔压随时间变化

Figure 7. Variation of excessive porewater pressure with time at different depths for type Ⅱ boundary condition

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图 8 边界Ⅰ与边界Ⅱ下不同深度温度随时间的变化

Figure 8. Variation of temperature at different depths for type Ⅰ and type Ⅱ boundary conditions

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图 9 边界Ⅰ不同深度超静孔压随时间的变化

Figure 9. Variation of excessive porewater pressure at different depths for type Ⅰ boundary condition

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图 10 边界Ⅱ不同深度超静孔压随时间的变化

Figure 10. Variation of excessive porewater pressure at different depths for type Ⅱ boundary condition

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参考文献(14)

[1]	PAASWELL R E. Temperature effects on clay soil consolidation[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, 1967, 93(3): 9-22. doi: 10.1061/JSFEAQ.0000982
[2]	BIOT M A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics[J]. Journal of Applied Physics, 1956, 27(3): 240-253. doi: 10.1063/1.1722351
[3]	ZHOU Y, RAJAPAKSE R K N D, GRAHAM J. A coupled thermoporoelastic model with thermo-osmosis and thermal-filtration[J]. International Journal of Solids and Structures, 1998, 35(34/35): 4659-4683.
[4]	MCTIGUE D F. Thermoelastic response of fluid-saturated porous rock[J]. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 1986, 91(B9): 9533-9542. doi: 10.1029/JB091iB09p09533
[5]	BLOND E, SCHMITT N, HILD F. Response of saturated porous media to cyclic thermal loading[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2003, 27(11): 883-904. doi: 10.1002/nag.301
[6]	白冰. 循环温度荷载作用下饱和多孔介质热-水-力耦合响应[J]. 工程力学, 2007, 24(5): 87-92. doi: 10.3969/j.issn.1000-4750.2007.05.015 BAI Bing. Thermo-hydro-mechanical responses of saturated porous media under cyclic thermal loading[J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(5): 87-92. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1000-4750.2007.05.015
[7]	吴瑞潜, 谢康和, 程永锋. 变荷载下饱和土一维热固结解析理论[J]. 浙江大学学报(工学版), 2009, 43(8): 1532-1537. WU Ruiqian, XIE Kanghe, CHENG Yongfeng. Analytical theory for one-dimensional thermal consolidation of saturated soil under time-dependent loading[J]. Journal of Zhejiang University (Engineering Science), 2009, 43(8): 1532-1537. (in Chinese)
[8]	BAI B. Fluctuation responses of saturated porous media subjected to cyclic thermal loading[J]. Computers and Geotechnics, 2006, 33(8): 396-403. doi: 10.1016/j.compgeo.2006.08.005
[9]	王路君, 艾智勇. 衰变热源作用下饱和多孔介质热固结问题的扩展精细积分法[J]. 力学学报, 2017, 49(2): 324-334. WANG Lujun, AI Zhiyong. Epim for thermal consolidation problems of saturated porous media subjected to a decaying heat source[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2017, 49(2): 324-334. (in Chinese)
[10]	钮家军, 凌道盛, 王秀凯, 等. 饱和单层土体一维热固结精确解[J]. 岩土工程学报, 2019, 41(9): 1715-1723. doi: 10.11779/CJGE201909016 NIU Jiajun, LING Daosheng, WANG Xiukai, et al. Exact solutions for one-dimensional thermal consolidation of single-layer saturated soil[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2019, 41(9): 1715-1723. (in Chinese) doi: 10.11779/CJGE201909016
[11]	钮家军, 王秀凯, 凌道盛, 等. 半无限空间饱和土一维热固结精确积分解[J]. 岩土工程学报, 2021, 43(8): 1426-1433. doi: 10.11779/CJGE202108007 NIU Jiajun, WANG Xiukai, LING Daosheng, et al. Exact integral solutions for one-dimensional thermal consolidation of semi-infinite saturated soils[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2021, 43(8): 1426-1433. (in Chinese) doi: 10.11779/CJGE202108007
[12]	ZHOU Y, ZHANG L Y, XU C, et al. Analytical solution for classical one-dimensional thaw consolidation model considering unfrozen water effect and time-varying load[J]. Computers and Geotechnics, 2020, 122: 103513. doi: 10.1016/j.compgeo.2020.103513
[13]	周扬, 武子寒, 许程, 等. 高温下饱和冻土一维融化热固结模型及解答[J]. 岩土工程学报, 2021, 43(12): 2190-2199. doi: 10.11779/CJGE202112005 ZHOU Yang, WU Zihan, XU Cheng, et al. One-dimensional thaw thermo-consolidation model for saturated frozen soil under high temperature and its solution [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2021, 43(12): 2190-2199. (in Chinese) doi: 10.11779/CJGE202112005
[14]	COLE K D, BECK J V, HAJI-SHEIKH A, et al. Heat Conduction Using Green's Functions[M]. 2nd ed. Boca Raton: CRC Press, 2010.

施引文献(13)

期刊类型引用(3)

1.	谢二伟，孙得志，郭俊庆，杨永康，李明祥，刘亚龙. 空孔孔径对深部岩石爆破裂纹扩展影响规律的数值模拟研究. 矿业研究与开发. 2023(07): 116-122 . 百度学术
2.	高维廷，朱哲明，朱伟，邹明. 动荷载下岩石裂纹动态扩展行为实验研究综述. 爆炸与冲击. 2023(08): 3-29 . 百度学术
3.	王磊，朱哲明，周磊，董玉清，牛草原，杨正艳. 冲击载荷作用下圆孔缺陷对裂纹动态扩展行为的影响规律. 爆炸与冲击. 2021(08): 78-91 . 百度学术