激振荷载作用下桩基础动力响应的现场试验分析

曹小林; 周凤玺; 戴国亮; 龚维明

doi:10.11779/CJGE2023S10008

激振荷载作用下桩基础动力响应的现场试验分析 English Version

曹小林^{1, 2,},
周凤玺^{1, 2},
戴国亮³,
龚维明³

1.
兰州理工大学土木工程学院, 甘肃兰州 730050
2.
兰州理工大学西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心, 甘肃兰州 730050
3.
东南大学土工程学院, 江苏南京 211189

基金项目:

国家自然科学基金项目 12362032

国家自然科学基金项目 51978320

兰州理工大学红柳优秀人才支撑计划

详细信息

作者简介:
曹小林(1990—)，男，讲师，硕士生导师，主要从事岩土工程方面的教学与科研工作。E-mail: xlcao@lut.edu.cn

中图分类号: TU473
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出版历程
- 收稿日期: 2023-07-06
- 网络出版日期: 2023-11-23
- 刊出日期: 2023-10-31

Field tests on dynamic response of pile foundation under excitating loads

1.
School of Civil Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China
2.
Engineering Research Center of Disaster Mitigation in Civil Engineering of Ministry of Education, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China
3.
School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China

摘要

摘要: 为了研究水平和竖向激振动力荷载作用下单桩和群桩的承载特性，设计了水平和竖向激振荷载下单桩、两桩、三桩和四桩在多层土中的动力试验方案。对现场试验数据采集得到了单桩、两桩、三桩和四桩的桩头位移，分析了桩头位移随着激振频率和桩数的变化规律。基于试验结果，给出了单桩、两桩、三桩和四桩的水平和竖向刚度，分析了桩头刚度随着桩数和激振频率的变化规律。并采用刚度得到了群桩动力效率系数，分析了动力效率系数随着群桩桩数和振动频率的变化规律。试验结果给出了位移、桩头刚度和群桩相互作用系数的变化规律，为简化理论计算方法和验证计算模型提供了宝贵的数据。
- 现场试验 /
- 桩基础 /
- 动力响应 /
- 激振荷载 /
- 群桩刚度
Abstract: To study the bearing characteristics of single pile and pile groups under horizontally and vertically excitating dynamic loads, a dynamic test plan is designed for single pile, two piles, three piles and four piles in multi-layer soil under horizontally and vertically excitating loads. The pile-head displacements of single pile, two piles, three piles and four piles are obtained from field test data, and the variation laws of the pile-head displacements with excitating frequency and pile number are analyzed. Based on the test results, the horizontal and vertical stiffnesses of single pile, two piles, three piles and four piles are given, and the variation of pile-head stiffness with the number of piles and excitating frequency is analyzed. The dynamic efficiency coefficient of the pile group is obtained through the stiffness, and its variation laws with the number of piles in the pile group and vibration frequency are analyzed. The test results may provide valuable data for simplifying the theoretical methods and verifying the relevant models through changes in displacement, pile-head stiffness and interaction coefficient of pile groups.
- field test /
- pile foundation /
- dynamic response /
- excitating load /
- group pile stiffness

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0. 引言

盾构隧道开挖将产生地层损失从而会对周围地层产生扰动，而地表下方往往存在着既有构筑物，如地铁隧道，因此新建隧道开挖不可避免地对邻近既有隧道产生附加荷载，引起隧道结构变形，严重时会导致隧道管片发生破坏。因此，如何准确评估盾构开挖对既有隧道的变形影响是目前研究的热点之一。

针对盾构开挖诱发既有隧道或管线变形的研究方法主要包括现场实测^[1-3]、模型试验^[4-6]、数值模拟^[7-9]和简化理论解^[10-16]等。其中，大多数简化理论成果将既有隧道搁置在Winkler或Pasternak地基模型上，较少考虑管片环缝接头存在的影响，而环缝接头存在对隧道刚度的削减作用不容忽视^[17-19]。如张志伟等^[17]将管片看成Euler-Bernoulli梁，用转动弹簧模拟环间接头，得到Pasternak地基模型上盾构隧道变形解答；Liu等^[18]将隧道看作由环缝接头连接而成的Euler-Bernoulli梁，假设管片环缝接头处存在虚拟力的作用，基于Pasternak地基模型求解了隧道开挖对既有隧道的影响。此外，相比于单参数Winkler地基模型或双参数Pasternak地基模型，三参数Kerr地基模型不仅能反应土体的压缩和剪切特性，且其解答形式能更好地反映地基非线性变形特性，尤其针对隧道施工扰动工况，其计算结果更为接近实际情况^[20-23]。宗翔^[21]基于Kerr地基梁理论，探究了基坑开挖卸载对下卧已建隧道影响；冯国辉等^[22]采用Kerr地基模型模拟土与隧道的相互作用，将隧道简化成Euler-Bernoulli梁，求得了既有隧道变形解答；Zhang等^[23]将隧道视为Kerr地基模型上的Timoshenko梁，对新建隧道开挖诱发既有隧道的变形进行了求解，但未考虑环缝接头的作用。

考虑到Euler-Bernoulli梁假定未考虑隧道管片的剪切变形，而实际隧道结构不仅会发生弯曲变形，还会发生剪切变形，上述既有研究成果^{[10-12, 14-15]}给研究提供重要思路。本文将既有隧道看成搁置在Kerr地基上考虑环缝接头存在的非连续梁，用Timoshenko梁模拟隧道管片部分，采用两阶段法对既有隧道的变形进行计算。然后将本文计算结果与3组工程实测值进行对比分析，验证理论解的准确性。除此之外，针对Kerr地基模型刚度影响参数（土层弹性模量）、接头刚度影响参数（等效抗弯刚度）和Timoshenko梁参数（等效抗剪刚度）进行了参数分析，为工程应用提供理论建议。

1. Kerr地基上考虑环缝接头作用的隧道纵向位移解答

1.1 计算模型及虚拟力

Kerr地基模型通过加入多参数，能够有效提高地基模型下土与结构相互作用的响应精度，因此采用Kerr地基模型对既有隧道变形进行计算，基本假定：①地基模型采用可以考虑地基非线性变形特性的Kerr地基模型；②既有隧道考虑环缝接头力学效应，并与地基土体紧密相连，其变形与接触处的地基变形协调；③考虑最不利工况，即盾构垂直下穿既有隧道。

图 1为文本研究的计算模型示意图。图 1中，x′O′z′坐标系为盾构开挖诱发自由土体沉降计算坐标系，xOz坐标系为既有隧道上的局部坐标系。w，w₁，w₂分别为既有隧道、Kerr地基模型中上层弹簧、土体剪切层的竖向位移；w₃为新建隧道开挖引起的既有隧道轴线处自由土体沉降；D，D_e分别为新建隧道及既有隧道外径；k₁，G，k₂分别为Kerr地基模型中上层弹簧刚度、土体剪切层刚度及下层弹簧刚度。H为新建隧道轴线埋深；h为既有隧道轴线埋深。

图 1 盾构隧道下穿对既有隧道影响的计算模型

Figure 1. Analysis model for impact of under-crossing shield tunnelling on existing tunnels

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对于盾构开挖引起的既有隧道轴线处自由土体沉降w₃，本文采用Loganathan等^[24]理论进行计算，在x′O′z′坐标系中，w₃可表示为

$\begin{array}{l}{w}_{3}=\frac{{D}^{2}}{4}\{-\frac{h-H}{{{x}^{\prime }}^{2}+{(h-H)}^{2}}+\frac{(3-4\mu )(h+H)}{{{x}^{\prime }}^{2}+{(h+H)}^{2}}-\\ \frac{2h\left[{{x}^{\prime }}^{2}-{(h+H)}^{2}\right]}{{\left[{{x}^{\prime }}^{2}+{(h+H)}^{2}\right]}^{2}}\}{V}_{\text{r}}\mathrm{exp}\left\{-\left[\frac{1.38{{x}^{\prime }}^{2}}{{(D/2+H)}^{2}}+\frac{0.69{h}^{2}}{{H}^{2}}\right]\right\}。\end{array}$

(1)

式中：H为新建隧道轴线埋深；D为新建隧道外径；h为既有隧道轴线埋深；μ为土层泊松比； ${V_{\text{r}}}$ 为地层损失率；x′为既有隧道上任一点与新建隧道和既有隧道轴线交点的距离。

根据Liu等^[18]研究，隧道环缝接头的作用可采用函数δ_τ(x-x_j)的二阶导数来模拟。其函数表达式可表示为

$\begin{aligned} & \delta_\tau\left(x-x_j\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} H\left(x-x_j\right) \\ & =\left\{\begin{array}{cc} 0 & \left(x < x_j-\tau \text { 或 } x>x_j-\tau\right) \\ 1 /(4 \tau) & \left(x=x_j-\tau \text { 或 } x=x_j+\tau\right) \\ 1 /(2 \tau) & \left(x_j-\tau < x < x_j+\tau\right) \end{array}\right. \end{aligned}$

(2)

式中： $\tau$ 为 ${\delta _\tau }(x - {x_j})$ 函数参量；x_j为接头j的横坐标。

根据式（2）可得 ${\delta _\tau }$ 函数的二阶导数 ${\delta ''_\tau }(x - {x_j})$ ，其可表示成3个集中力 ${Q_{\text{e}}}$ ， $- 2{Q_{\text{e}}}$ ， ${Q_{\text{e}}}$ ，如所示。其中集中力 $- 2{Q_{\text{e}}}$ 作用在环缝接头x_j处，另外两个集中力 ${Q_{\text{e}}}$ 分别作用在环缝接头两侧距接头2 $\tau$ 处。这3个集中力方向相反，则可将这3个集中力分解成一对力偶 ${M_{\text{e}}}$ ，其中力偶 ${M_{\text{e}}}$ 为隧道结构上施加的额外荷载，其自身为平衡力系，对隧道结构的整体平衡没有影响。力偶的存在使得隧道转角在接头处产生突变，更符合实际情况。令两侧隧道管片产生相对转角 $\Delta {\theta _{\text{e}}}$ ，并以接头右侧管段相对于左侧管段逆时针旋转为正。令环缝接头处虚拟力为 $e(x) =$ $C{\delta ''_\tau }(x - {x_j})$ ，C为待定常数。

图 2 环缝接头处集中力及相对转角示意图

Figure 2. Diagram of concentrated forces and relative angle at circumferential joints

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1.2 Kerr地基上非连续既有隧道Timoshenko理论解

考虑虚拟力作用时，Kerr地基模型上Timoshenko梁的位移平衡微分控制方程可表示为

$\begin{array}{l} \frac{{{{\text{d}}^6}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^6}}} - \left( {\frac{{{k_1} + {k_2}}}{G} + \frac{{{D_{\text{e}}}{k_1}}}{{{{{\text{(}}\kappa {G_{\text{e}}}A{\text{)}}}_{{\text{eq}}}}}}} \right)\frac{{{{\text{d}}^4}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^4}}} + \hfill \\ \left( {\frac{{{D_{\text{e}}}{k_1}}}{{EI}} + \frac{{{D_{\text{e}}}{k_1}{k_2}}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}G}}} \right)\frac{{{{\text{d}}^2}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^2}}} - \frac{{{D_{\text{e}}}{k_1}{k_2}}}{{EIG}}{w_2} \hfill \\ =-\frac{{D}_{\text{e}}{k}_{1}}{EIG}F+\frac{{D}_{\text{e}}{k}_{1}}{{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}G}\frac{{\text{d}}^{2}F}{\text{d}{x}^{2}}\text{，} \end{array}$

(3)

$w = {w_1} + {w_2} = \left( {1 + \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}}} \right){w_2} - \frac{G}{{{k_1}}}\frac{{{{\text{d}}^2}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^2}}} \text{，}$

(4)

$F = q(x) + e(x) 。$

(5)

式中：w，w₁，w₂分别为既有隧道、上层弹簧、土体剪切层竖向位移；k₁，k₂，G分别为Kerr地基模型上、下层弹簧刚度及剪切层刚度，可根据Kerr^[20]研究进行取值： $G = 2{E_{\text{s}}}h/9(1 + \mu )$ ， ${k_2} = {{4{E_{\text{s}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{4{E_{\text{s}}}} 3}} \right. } 3}h$ ， ${k_1} = 3{k_2}$ ， ${E_{\text{s}}}$ 为土体弹性模量， $h$ 为既有隧道轴线埋深， $\mu$ 为土体泊松比；EI， ${(\kappa {G_{\text{e}}}A)_{{\text{eq}}}}$ 分别为既有隧道等效抗弯刚度、等效抗剪刚度，可分别根据Shiba等^[25]、Wu等^[26]研究取值： $EI = {{{E_{\text{c}}}{I_{\text{c}}}{{\cos }^3}(\varphi )} \mathord{\left/ {\vphantom {{{E_{\text{c}}}{I_{\text{c}}}{{\cos }^3}(\varphi )} {\left[ {\cos (\varphi ) + (\varphi + {\text{π /}}2)\sin (\varphi )} \right]}}} \right. } {\left[ {\cos (\varphi ) + (\varphi + {\text{π /}}2)\sin (\varphi )} \right]}}$ ， ${(\kappa {G_{\text{e}}}A)_{{\text{eq}}}} = {{\lambda {l_{\text{s}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\lambda {l_{\text{s}}}} {\left[ {{{{l_{\text{b}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{l_{\text{b}}}} {({n_{\text{b}}}{\kappa _{\text{b}}}{G_{\text{b}}}{A_{\text{b}}}) + {{({l_{\text{s}}} - {l_{\text{b}}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({l_{\text{s}}} - {l_{\text{b}}})} {({\kappa _{\text{c}}}{G_{\text{c}}}{A_{\text{c}}})}}} \right. } {({\kappa _{\text{c}}}{G_{\text{c}}}{A_{\text{c}}})}}}}} \right. } {({n_{\text{b}}}{\kappa _{\text{b}}}{G_{\text{b}}}{A_{\text{b}}}) + {{({l_{\text{s}}} - {l_{\text{b}}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({l_{\text{s}}} - {l_{\text{b}}})} {({\kappa _{\text{c}}}{G_{\text{c}}}{A_{\text{c}}})}}} \right. } {({\kappa _{\text{c}}}{G_{\text{c}}}{A_{\text{c}}})}}}}} \right]}}} \right. } {\left[ {{{{l_{\text{b}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{l_{\text{b}}}} {({n_{\text{b}}}{\kappa _{\text{b}}}{G_{\text{b}}}{A_{\text{b}}}) + {{({l_{\text{s}}} - {l_{\text{b}}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({l_{\text{s}}} - {l_{\text{b}}})} {({\kappa _{\text{c}}}{G_{\text{c}}}{A_{\text{c}}})}}} \right. } {({\kappa _{\text{c}}}{G_{\text{c}}}{A_{\text{c}}})}}}}} \right. } {({n_{\text{b}}}{\kappa _{\text{b}}}{G_{\text{b}}}{A_{\text{b}}}) + {{({l_{\text{s}}} - {l_{\text{b}}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({l_{\text{s}}} - {l_{\text{b}}})} {({\kappa _{\text{c}}}{G_{\text{c}}}{A_{\text{c}}})}}} \right. } {({\kappa _{\text{c}}}{G_{\text{c}}}{A_{\text{c}}})}}}}} \right]}}$ 。 ${E_{\text{c}}}$ 为管片弹性模量； ${I_{\text{c}}}$ 为隧道纵向惯性矩； $\varphi$ 为隧道纵向弯曲中性轴所在位置角度； $\lambda$ 为修正系数，本文取为1^[27]； ${l_{\text{s}}}$ 为管片环宽； ${l_{\text{b}}}$ 为螺栓长度； ${n_{\text{b}}}$ 为螺栓个数； ${G_{\text{b}}}$ ， ${A_{\text{b}}}$ ， ${G_{\text{c}}}$ ， ${A_{\text{c}}}$ 分别为别螺栓和隧道管片的剪切刚度、截面面积； ${\kappa _{\text{b}}}$ ， ${\kappa _{\text{c}}}$ 分别为螺栓、管片的Timoshenko系数，分别取为0.9，0.5^[26]； $q(x)$ 为新建隧道开挖引起的附加荷载， $q(x) = {k_1}{w_3}$ ， ${w_3}$ 由式（1）计算得到； $e(x)$ 为既有隧道环缝接头处的虚拟力。

则弯矩 $M$ 和剪力 $Q$ 为

$\begin{array}{l} M = - EI\left[ {\frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{x^2}}} + \frac{{\left[ {F - {p_1}} \right]{D_{\text{e}}}}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}}}} \right] \hfill \\ = - EI\left( {1 + \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}} + \frac{{G{D_{\text{e}}}}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}}}} \right)\frac{{{{\text{d}}^2}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^2}}} + \frac{{EIG}}{{{k_1}}}\frac{{{{\text{d}}^4}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^4}}} + \hfill \\ \frac{EI{k}_{2}{D}_{\text{e}}}{{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}}{w}_{2}-\frac{EI{D}_{\text{e}}}{{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}}F\text{ }\text{，} \end{array}$

(6)

$\begin{array}{l} Q = \frac{{{\text{d}}M}}{{{\text{d}}x}} \hfill \\ = - EI\left( {1 + \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}} + \frac{{G{D_{\text{e}}}}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}}}} \right)\frac{{{{\text{d}}^3}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^3}}} + \frac{{EIG}}{{{k_1}}}\frac{{{{\text{d}}^5}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^5}}} + \hfill \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{EI{k}_{2}{D}_{\text{e}}}{{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}}\frac{\text{d}{w}_{2}}{\text{d}x}-\frac{EI{D}_{\text{e}}}{{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}}\frac{\text{d}F}{\text{d}x}\text{，} \end{array}$

(7)

${p_1} = - G\frac{{{{\text{d}}^2}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^2}}} + {k_2}{w_2} 。$

(8)

式中：弯矩 $M$ 以使梁下侧受拉为正；剪力 $Q$ 以使截面右侧梁段产生顺时针转动为正；F取值见式（5）。

假设只有虚拟力 $e(x)$ 作用在隧道环缝接头 $x = {x_i}$ 处，接头处抗弯刚度小于隧道主体结构抗弯刚度。令环缝接头处抗弯刚度为 $\alpha EI$ ， $\alpha$ 为环缝接头抗弯刚度折减系数， $\alpha < 1$ 。则环缝接头处虚拟弯矩可表示为

$\begin{array}{l} {M_{\text{e}}}({x_j}) = - (1 - \alpha )EI\left( {1 + \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}} + \frac{{G{D_{\text{e}}}}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}}}} \right)\frac{{{{\text{d}}^2}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^2}}} + \hfill \\ \frac{{(1 - \alpha )EIG}}{{{k_1}}}\frac{{{{\text{d}}^4}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^4}}} + \frac{{(1 - \alpha )EI{k_2}{D_{\text{e}}}}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}}}{w_2} - \hfill \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{(1-\alpha )EI{D}_{\text{e}}}{{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}}e(x)。 \end{array}$

(9)

式中：当 $\alpha$ =0时，表示环缝接头的抗弯刚度为0，接头可自由转动；当 $\alpha$ =1时，表示不考虑环缝接头的作用，此时虚拟力产生的虚拟弯矩 ${M_{\text{e}}}({x_j}) = 0$ 。

根据式（9）带可得在环缝接头 ${x_j}$ 处虚拟力 $e({x_j})$ 的表达式为

$\begin{array}{l}e({x}_{j})=\frac{-{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}2\tau (1-\alpha )EI{{\delta }^{″}}_{\tau }(x-{x}_{j})}{{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}+2\tau EI{{\delta }^{″}}_{\tau }(x-{x}_{j})(1-\alpha ){D}_{\text{e}}}\cdot \\ \left[\left(1+\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}+\frac{G{D}_{\text{e}}}{{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}}\right)\frac{{\text{d}}^{2}{w}_{2}}{\text{d}{x}^{2}}-\frac{G}{{k}_{1}}\frac{{\text{d}}^{4}{w}_{2}}{\text{d}{x}^{4}}-\frac{{k}_{2}{D}_{\text{e}}}{{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}}{w}_{2}\right]。\end{array}$

(10)

采用有限差分法对式（3）进行求解，如图 3所示，将每个环缝接头视为一个节点（图中红色圆点），并将相邻环缝接头间的管片离散成n₁段，则隧道共被离散成n段及 $n + 1$ 个节点。将节点依次编号为0，1，···，i，i+1，···，n-1，n，每段隧道长度为l，并令l= $2\tau$ 。同时在隧道两端各增加3个虚拟节点（图中蓝色圆点），节点编号依次为-3，-2，-1和n+1，n+2，n+3。令接头处节点编号为j，则接头处前后相邻节点编号分别为j+1和j-1，其中j=n₁，2n₁，···n-2n₁，n-n₁，见图 3。

图 3 隧道离散示意图

Figure 3. Discretization of tunnel

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则对于式（3），等号前面公式可写成如下差分形式：

$\begin{array}{l} \frac{{{{\text{d}}^6}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^6}}} - \left( {\frac{{{k_1} + {k_2}}}{G} + \frac{{{D_{\text{e}}}{k_1}}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}}}} \right)\frac{{{{\text{d}}^4}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^4}}} + \hfill \\ \left( {\frac{{{D_{\text{e}}}{k_1}}}{{EI}} + \frac{{{D_{\text{e}}}{k_1}{k_2}}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}G}}} \right)\frac{{{{\text{d}}^2}{w_2}}}{{{\text{d}}{x^2}}} - \frac{{{D_{\text{e}}}{k_1}{k_2}}}{{EIG}}{w_2} \hfill \\ = {\zeta _1}{({w_2})_{i - 3}} + {\zeta _2}{{\text{(}}{w_2})_{i - 2}} + {\zeta _3}{({w_2})_{i - 1}} + \hfill \\ \ \ \ \ \ {\zeta }_{4}{({w}_{2})}_{i}+{\zeta }_{3}{({w}_{2})}_{i+1}+{\zeta }_{2}{({w}_{2})}_{i+2}+{\zeta }_{1}{({w}_{2})}_{i+3}\text{ }\text{，} \end{array}$

(11)

$\left[\begin{array}{c}{\zeta }_{1}\\ {\zeta }_{2}\\ {\zeta }_{3}\\ {\zeta }_{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -6& -1& 0& 0\\ 15& 4& 1& 0\\ -20& -6& -2& -1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1/{l}^{6}\\ \frac{\left(\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{G}+\frac{{D}_{\text{e}}{k}_{1}}{{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}}\right)}{{l}^{4}}\\ \frac{\left(\frac{{D}_{\text{e}}{k}_{1}}{EI}+\frac{{D}_{\text{e}}{k}_{1}{k}_{2}}{{\left(\kappa {G}_{\text{e}}A\right)}_{\text{eq}}G}\right)}{{l}^{2}}\\ {D}_{\text{e}}{k}_{1}{k}_{2}/(EIG)\end{array}\right]。$

(12)

根据式（5）可知既有隧道所受荷载 $F$ 由两部分组成，第一部分为新建隧道开挖产生的附加荷载，第二部分为环缝接头处的虚拟力。对于式（5）等号右边第一部分新建隧道开挖产生的附加荷载，其可写成如下差分形式：

$\begin{array}{l} - \frac{{{D_{\text{e}}}{k_1}}}{{EIG}}q(x) + \frac{{{D_{\text{e}}}{k_1}}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}G}}\frac{{{{\text{d}}^2}q(x)}}{{{\text{d}}{x^2}}} \hfill \\ = \frac{{{D_{\text{e}}}k_1^2}}{{{l^2}{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}G}}{({w_3})_{i + 1}} - \frac{{{D_{\text{e}}}k_1^2(2EI + {l^2}{{{\text{(}}\kappa {G_{\text{e}}}A{\text{)}}}_{{\text{eq}}}})}}{{{l^2}{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}EIG}} \cdot \hfill \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {({w}_{3})}_{i}+\frac{{D}_{\text{e}}{k}_{1}^{2}}{{l}^{2}{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}G}{({w}_{3})}_{i-1}。 \end{array}$

(13)

对于第二部分虚拟力的计算表达式需分情况讨论，当i=j-1及i=j+1时，虚拟力部分可表示为如下差分形式：

$\begin{array}{l} - \frac{{{D_{\text{e}}}{k_1}}}{{EIG}}e({x_j}) + \frac{{{D_{\text{e}}}{k_1}}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}G}}\frac{{{{\text{d}}^2}e({x_j})}}{{{\text{d}}{x^2}}} = \frac{{{N_1}{D_{\text{e}}}}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}}} \cdot \hfill \\ \left[ {\frac{{{{({w_2})}_{i + 3}} - 6{{({w_2})}_{i + 2}} + 15{{({w_2})}_{i + 1}} - 20{{({w_2})}_{i + 1}}}}{{{l^6}}}} \right. + \hfill \\ \left. {\frac{{15{{({w_2})}_{i - 1}} - 6{{({w_2})}_{i - 2}} + {{({w_2})}_{i - 3}}}}{{{l^6}}}} \right] + \left( {\frac{{{N_1}{D_{\text{e}}}}}{{EI}} + \frac{{{N_1}{N_2}{D_{\text{e}}}{k_1}}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}G}}} \right) \cdot \\ \frac{{{{({w_2})}_{i + 2}} - 4{{({w_2})}_{i + 1}} + 6{{({w_2})}_i} - 4{{({w_2})}_{i - 1}} + {{({w_2})}_{i - 2}}}}{{{l^4}}} + \\ \left( {\frac{{{N_1}D_{\text{e}}^2{k_1}{k_2}}}{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)_{{\text{eq}}}^2G}} - \frac{{{N_2}{N_1}{D_{\text{e}}}{k_1}}}{{EIG}}} \right)\frac{{{{({w_2})}_{i + 1}} - 2{{({w_2})}_i} + {{({w_2})}_{i - 1}}}}{{{l^2}}} + \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{{N}_{1}{D}_{\text{e}}^{2}{k}_{1}{k}_{2}}{{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}EIG}{({w}_{2})}_{i}\text{，} \end{array}$

(14)

${N_1} = \frac{{ - {{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}(1 - \alpha )EI}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}{l^2} + EI(1 - \alpha ){D_{\text{e}}}}} \text{，}$

(15)

${N_2} = \left( {1 + \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}} + \frac{{G{D_{\text{e}}}}}{{{{{\text{(}}\kappa {G_{\text{e}}}A{\text{)}}}_{{\text{eq}}}}}}} \right) 。$

(16)

式中： ${({w_2})_i}$ 为在节点i处土体剪切层的竖向位移。

当i=j时，虚拟力部分可表示为如下差分形式：

$\begin{array}{l} - \frac{{{D_{\text{e}}}{k_1}}}{{EIG}}e({x_j}) + \frac{{{D_{\text{e}}}{k_1}}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}G}}\frac{{{{\text{d}}^2}e({x_j})}}{{{\text{d}}{x^2}}} = \frac{{{N_3}{D_{\text{e}}}}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}}} \cdot \hfill \\ \left[ {\frac{{{{({w_2})}_{i + 3}} - 6{{({w_2})}_{i + 2}} + 15{{({w_2})}_{i + 1}} - 20{{({w_2})}_{i + 1}}}}{{{l^6}}} + } \right. \hfill \\ \left. {\frac{{15{{({w_2})}_{i - 1}} - 6{{({w_2})}_{i - 2}} + {{({w_2})}_{i - 3}}}}{{{l^6}}}} \right] + \left( {\frac{{{N_3}{D_{\text{e}}}}}{{EI}} + \frac{{{N_3}{N_2}{D_{\text{e}}}{k_1}}}{{{{\left( {\kappa {G_{\text{e}}}A} \right)}_{{\text{eq}}}}G}}} \right) \cdot \hfill \\ \frac{{{{({w_2})}_{i + 2}} - 4{{({w_2})}_{i + 1}} + 6{{({w_2})}_i} - 4{{({w_2})}_{i - 1}} + {{({w_2})}_{i - 2}}}}{{{l^4}}} + \hfill \\ \left( {\frac{{{N_3}D_{\text{e}}^2{k_1}{k_2}}}{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)_{{\text{eq}}}^2G}} - \frac{{{N_2}{N_3}{D_{\text{e}}}{k_1}}}{{EIG}}} \right)\frac{{{{({w_2})}_{i + 1}} - 2{{({w_2})}_i} + {{({w_2})}_{i - 1}}}}{{{l^2}}} + \hfill \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{{N}_{3}{D}_{\text{e}}^{2}{k}_{1}{k}_{2}}{{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}EIG}{({w}_{2})}_{i}\text{，} \end{array}$

(17)

${N_3} = \frac{{2{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}(1 - \alpha )EI}}{{{{(\kappa {G_{\text{e}}}A)}_{{\text{eq}}}}{l^2} - 2EI(1 - \alpha ){D_{\text{e}}}}} 。$

(18)

需要注意的是，在环缝接头j处的虚拟力 $e({x_j})$ 只在环缝接头相邻节点内产生作用，在i≠j-1，j，j+1时虚拟力 $e({x_j})$ 产生的作用为0。

当距新建隧道轴线较远时，隧道开挖对既有隧道产生的影响极小，可忽略不计，此时既有隧道两端可简化成自由状态，边界条件为节点0及n处两端弯矩M=0，剪力Q=0，土体剪切层弯矩M_s=0，即

$\left.\begin{array}{l}{M}_{\text{s0}}={-EI\frac{{\text{d}}^{2}{w}_{2}}{\text{d}{x}^{2}}|}_{i=0}=0\text{ }\text{，}\hfill \\ {M}_{0}={-EI\left(\frac{{\text{d}}^{2}w}{\text{d}{x}^{2}}+\frac{\left[F-{p}_{1}\right]{D}_{\text{e}}}{{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}}\right)|}_{i=0}=0\text{ }\text{，}\hfill \\ {Q}_{0}={\frac{\text{d}{M}_{0}}{\text{d}{x}^{}}|}_{i=0}=0\text{ }。\hfill \end{array}\right\}$

(19)

$\left.\begin{array}{l}{M}_{\text{s}n}={-EI\frac{{\text{d}}^{2}{w}_{2}}{\text{d}{x}^{2}}|}_{i=n}=0\text{ }\text{，}\hfill \\ {M}_{n}={-EI\left(\frac{{\text{d}}^{2}w}{\text{d}{x}^{2}}+\frac{\left[F-{p}_{1}\right]{D}_{\text{e}}}{{(\kappa {G}_{\text{e}}A)}_{\text{eq}}}\right)|}_{i=n}=0\text{ }\text{，}\hfill \\ {Q}_{n}={\frac{\text{d}{M}_{n}}{\text{d}{x}^{}}|}_{i=n}=0\text{ }。\hfill \end{array}\right\}$

(20)

式中： ${M_{{\text{s0}}}}$ ， ${M_0}$ ， ${Q_0}$ 为节点0处土体剪切层弯矩、既有隧道弯矩及剪力； ${M_{{\text{s}}n}}$ ， ${M_n}$ ， ${Q_n}$ 为节点n处土体剪切层弯矩、既有隧道弯矩及剪力。

隧道两侧不存在环缝接头，即隧道两端虚拟力为零。式（3）可写成如下矩阵形式：

$\left( {{\boldsymbol{K}_1} - {\boldsymbol{K}_2} - {\boldsymbol{K}_3} - {\boldsymbol{K}_4} - {\boldsymbol{K}_5}} \right)\left\{ {{w_2}} \right\} = {\boldsymbol{Q}_1} + {\boldsymbol{Q}_2} - {\boldsymbol{Q}_3} 。$

(21)

式中： ${\boldsymbol{K}_1}$ 为既有隧道刚度矩阵，通过式（11），（12）求得； ${\boldsymbol{K}_2}$ ， ${\boldsymbol{K}_3}$ ， ${\boldsymbol{K}_4}$ ， ${\boldsymbol{K}_5}$ 为环缝接头虚拟应力e(x)产生的刚度矩阵，通过式（14）~（18）求得； ${\boldsymbol{Q}_1}$ ， ${\boldsymbol{Q}_2}$ 为附加应力q(x)产生的列向量，通过式（13）求得； ${\boldsymbol{Q}_3}$ 为补充列向量，通过式（19），（20）求得。

当新建隧道产生的土体位移w₃在求出情况下，由式（21）可求得土体剪切层位移 ${w_2}$ ，然后由式（4）求得考虑环缝接头作用的既有隧道变形 $w$ 。进而可得环缝接头处、不含环缝接头处的隧道弯矩值以及环缝接头处的相对转角。需要注意的是，令Kerr地基模型中k₁，G为0即为Winkler地基模型上的退化理论解；令环缝接头处虚拟力为0即为不考虑环缝接头存在的退化理论解。

2. 算例验证

Zhang等^[23]介绍了上海市某隧道下穿既有隧道工程案例。两条隧道接近正交，空间位置关系如图 4所示。新建隧道轴线埋深20.1 m，外径为6.2 m，地层损失率为0.75 %。既有隧道轴线埋深9.1 m，隧道外径为6.2 m，厚0.35 m，环宽1.2 m，管片弹性模量为3.45×10⁴ MPa，泊松比取为0.25。环与环之间通过17个螺栓连接，螺栓外径为30 mm，长度为400 mm，弹性模量为2.06×10⁵ MPa，泊松比为0.3。按场地土体加权平均压缩模量确定土层弹性模量，本文弹性模量取为28 MPa，泊松比取为0.3，环缝接头刚度折减系数取为0.8。

图 4 隧道位置关系示意图

Figure 4. Diagram of tunnel position relationship

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图 5（a）为既有隧道竖向位移计算值与实测值对比图，同时也进行了Winkler地基模型（令Kerr地基模型中k₁，G为0）及不考虑隧道环缝接头存在（令环缝接头处虚拟力为0）的退化解析结果的对比分析。从图中可以看出，考虑环缝接头力学效应的本文计算方法与实测值较为接近，不考虑环缝接头存在计算出的隧道竖向位移小于实测值，而基于Winkler地基计算出的结果大于实测值。

图 5 变形与内力计算结果

Figure 5. Calculated results of deformation and internal force

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图 5（b），5（c）为既有隧道不同工况下弯矩及纵缝相对转角对比图。其中，弯矩使隧道下侧受拉为正；接头处相对转角右侧管段相对于左侧管段逆时针旋转为正。从图 5中可以看出，环缝接头处弯矩小于接头两侧隧道管片的弯矩，这是由于环缝接头处刚度较小，从而该处弯矩较小。同时，不考虑环缝接头存在时，隧道弯矩大于考虑环缝接头存在时计算结果，而环缝接头处相对转角小于考虑环缝接头存在时计算结果，这是由于不考虑环缝接头存在时是把由接头和管片组成的盾构隧道等效为均匀连续梁，忽略了环缝接头弱化的影响，进而高估了开挖卸载引起的隧道弯矩，并且不会产生接头相对转角。而由于Winkler地基无法考虑地基弹簧之间的剪切联系，因此相较于本文Kerr地基而言，其计算结果相差较大。

3. 敏感参数分析

针对土层弹性模量、既有隧道抗弯刚度及抗剪刚度进行参数分析。计算基本参数：新建隧道与既有隧道轴线正交，新建隧道轴线埋深20 m，外径为6.2 m，地层损失率取为0.5%。既有隧道轴线埋深9 m，隧道外径为6.2 m，厚0.35 m，环宽1.2 m，等效抗弯刚度为7.8×10⁷ kN⋅m²，等效抗剪刚度取为2×10⁶ kN/m。土层弹性模量取为20 MPa，泊松比取为0.3，同时，环缝接头处刚度折减系数分别取0.8，0.5进行对比分析。

3.1 不同土层弹性模量的影响

保持其他相关参数不变，计算弹性模量分别取为10，20，30，40 MPa时隧道变形及内力变化情况，其结果如图 6所示。

图 6 不同土层弹性模量影响下隧道内力及变形对比

Figure 6. Comparison of internal forces and deformations of tunnel under influences of different elastic moduli of strata

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图 6（a）~（d）分别为土层弹性模量取不同值时隧道位移、管片和接头弯矩及环缝接头转角示意图。从图 6中可以看出，随着土层弹性模量的增大，隧道位移、管片和环缝接头弯矩及环缝接头处相对转角增大。既有隧道位移、环缝接头相对转角、管片及环缝接头处弯矩均在距新建隧道轴线为0 m处时达到最大值，但既有隧道位移随着距离的增加其值减小，而环缝接头相对转角、管片及环缝接头处弯矩随着与新建隧道轴线距离的增大呈先减小后增大趋势，并在距新建隧道轴线为20 m左右处达到最小值。同时从图 6中可以看出，环缝接头刚度折减系数对隧道位移影响较小，而对隧道弯矩及环缝接头相对转角影响较大，表现为随着环缝接头刚度折减系数的增大，管片和环缝接头处弯矩增大，而环缝接头处相对转角减小。当环缝接头刚度折减系数为0.5时，管片与环缝接头处弯矩差距较大，当其值增加到0.8时，环缝接头处弯矩与管片处弯矩接近。

3.2 不同既有隧道等效抗弯刚度的影响

保持其他相关参数不变，计算既有隧道等效抗弯刚度分别取为7.8×10⁴，7.8×10⁵，7.8×10⁶，7.8×10⁷ kN⋅m²时隧道变形及内力变化情况，其结果如图 7所示。

图 7 不同既有隧道等效抗弯刚度影响下隧道内力及变形对比

Figure 7. Comparison of internal forces and deformations of tunnel under influences of different equivalent bending stiffnesses of existing tunnel

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图 7（a）~（d）分别为既有等效抗弯刚度取不同值时既有隧道位移、管片和接头弯矩及环缝接头转角示意图。从图 7中可以看出，随着既有隧道等效抗弯刚度的增大，隧道位移、管片弯矩、环缝接头处弯矩以及环缝接头相对转角均减小，这是由于既有隧道等效抗弯刚度增大，其抵抗变形的能力增大，使得既有隧道在外部附加荷载作用下产生较小的变形。随着隧道等效抗弯刚度的增加，其对既有隧道位移、管片和接头弯矩及环缝接头处相对转角的影响越来越小。当等效抗弯刚度达到7.8×10⁷ kN⋅m²时，其值增加对既有隧道变形及内力影响不大。既有隧道位移、环缝接头相对转角、管片及环缝接头处弯矩均在距新建隧道轴线为0 m处时达到最大值，环缝接头相对转角、管片及环缝接头处弯矩随着与新建隧道轴线距离的增大呈先减小后增大趋势，在距新建隧道轴线为20 m左右处达到最小值；而既有隧道位移随着距离的增加其值减小。环缝接头刚度折减系数对隧道位移影响较小，而对管片和环缝接头处弯矩及环缝接头相对转角影响较大；接头刚度折减系数的增大使管片和环缝接头处弯矩增大，而环缝接头处相对转角减小。

3.3 不同既有隧道等效抗剪刚度的影响

保持其他相关参数不变，计算既有隧道剪切刚度分别取为2×10⁶，12×10⁶，22×10⁶，32×10⁶ kN/m时隧道变形及内力变化情况，其结果如图 8所示。

图 8 不同既有隧道等效抗剪刚度影响下隧道内力及变形对比

Figure 8. Comparison of internal forces and deformations of tunnel under influences of different equivalent shear stiffnesses of existing tunnel

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图 8（a）~（d）分别为既有隧道等效抗剪刚度取不同值时隧道位移、管片和接头弯矩及环缝接头转角示意图。从图 8中可以看出，随着既有等效抗剪刚度的增大，隧道位移减小，而管片和环缝接头处弯矩以及环缝接头相对转角均增大。当等效抗剪刚度达到32×10⁶ kN/m时，其值增加对既有隧道变形及内力影响不大。环缝接头相对转角、管片及环缝接头处弯矩随着与新建隧道轴线距离的增大呈先减小后增大趋势，并均在距新建隧道轴线为0 m处时达到最大值，在距新建隧道轴线为20 m左右处达到最小值。同样，环缝接头刚度折减系数对隧道位移影响较小，而对管片及接头处弯矩及环缝接头相对转角影响较大。当环缝接头刚度折减系数为0.5时，管片与环缝接头处弯矩差距较大，当其值增加到0.8时，环缝接头处弯矩与管片处弯矩接近。

4. 结论

通过两阶段分析法，首先基于Loganathan和Poulos理论求得新建隧道下穿开挖下既有隧道轴线处土体竖向位移；然后将既有隧道看成搁置在Kerr地基模型上考虑环缝接头存在的非连续Timoshenko梁，采用有限差分法求得新建隧道下穿开挖诱发既有盾构隧道纵向变形理论解答。

（1）不考虑环缝接头存在时计算出的隧道竖向位移小于实测值，而采用没有考虑地基连续性的Winkler地基模型计算出的结果大于实测值，约为实测值的2.5倍。本文计算方法与实测值较为接近。由于既有隧道环缝接头的存在，在管片环缝接头处弯矩小于接头两侧隧道管片的弯矩。同时，不考虑环缝接头存在时隧道弯矩大于考虑环缝接头存在时计算结果，而环缝接头相对转角小于考虑环缝接头存在时计算结果。

（2）土体弹性模量和等效抗弯刚度的减小会使隧道位移、环缝接头相对转角、管片及环缝接头处弯矩均增大。而随着既有隧道等效抗剪刚度的减小，既有隧道位移增加，而既有隧道管片和环缝接头处弯矩以及环缝接头处相对转角减小。环缝接头相对转角、管片及环缝接头处弯矩均在距新建隧道轴线为0 m处时达到最大值，而在距新建隧道轴线为20 m左右处其值最小。当等效抗弯刚度达到7.8×10⁷ kN⋅m²、等效抗剪刚度达到32×10⁶ kN/m时，其值增加对既有隧道变形及内力影响不大。

（3）不同环缝接头刚度折减系数对环缝接头弯矩及相对转角的影响较大，而对既有隧道位移及管片弯矩影响较小。环缝接头刚度折减系数从0.5增大到0.8时，既有隧道管片及环缝接头处弯矩增大，而既有隧道位移及环缝接头相对转角减小。

图 1 加载系统实物图

Figure 1. Diagram of loading system

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图 2 桩的布置及现场加载实物图

Figure 2. Layout of piles and on-site loading

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图 3 水平位移幅值曲线

Figure 3. Curves of horizontal displacement amplitude

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图 4 竖向位移幅值曲线

Figure 4. Curves of vertical displacement amplitude

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图 5 单桩和群桩的水平刚度随着频率的变化规律

Figure 5. Variation of horizontal stiffness of single pile and pile groups with vibration frequency

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图 6 单桩和群桩竖向刚度随着频率的变化规律

Figure 6. Variation of vertical stiffness of single pile and pile groups with vibration frequency

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图 7 水平群桩动力效率系数随着频率的变化规律

Figure 7. Variation of horizontal dynamic efficiency coefficient of pile groups with vibration frequency

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图 8 竖向群桩动力效率系数随着频率的变化规律

Figure 8. Variation of vertical dynamic efficiency coefficient of pile groups with vibration frequency

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表 1 土层力学参数

Table 1 Mechanical parameters of soil layers

层号	含水率w/%	相对质量密度G_s	重度γ /(kN·m^-3)	干重度γ_d/(kN·m^-3)	孔隙比e	塑性指数I_P	液性指数I_L
2-2	42.3	2.73	17.4	12.2	1.20	15.2	1.21
2-3	26.2	2.69	18.5	14.7	1.00	8.0	0.78

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