Prediction method for ground surface settlement induced by bias tunnel based on stochastic medium theory
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摘要: 隧道开挖引起地表沉降的各种预测方法均假定隧道收敛模式为对称形式，忽略了隧道非对称收敛的影响。为对偏压隧道引起地表沉降进行预测，提出了一种新的隧道偏压收敛模式，定义了相应的偏压参数θ，γ1，γ3，基于随机介质理论，利用坐标变换和二重积分的数值化处理，得到了偏压隧道引起地表沉降的预测模型；通过实际工程案例，验证了该方法的适用性，并分析了相关参数对地表沉降的影响规律。提出的预测模型将传统对称收敛模式拓展至非对称情况，能很好预测地表沉降的非对称趋势，且更接近实际案例的监测数值。Abstract: The disturbance of the surrounding soil by tunnel excavation will inevitably lead to surface settlement. When calculating the surface settlement caused by tunnel excavation, various prediction methods have assumed that the tunnel convergence mode is bilaterally symmetrical. This assumption ignores the influences of asymmetric convergence of the tunnel, and the resulting surface settlement is also symmetrically distributed. In order to predict the surface settlement caused by a bias tunnel, a new tunnel bias convergence mode is proposed, and the corresponding bias parameters θ, γ1 and γ3 are defined. Based on the stochastic medium theory, a prediction model for the surface settlement caused by the bias tunnel is obtained using the coordinate transformation and double-integral numerical processing. Through actual engineering cases, the applicability of this method is verified, and the influences of the relevant parameters on the surface settlement are analyzed. The proposed model extends the traditional symmetric convergence mode to asymmetric situations, can well predict the asymmetric trend of surface settlement, and it is closer to the monitoring values of actual cases.
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0. 引言
隧道开挖会对围岩造成扰动，导致岩土体移动与变形、地表沉降，进而影响近接即有建（构）筑物的使用安全[1-3]。因上部建筑物、地质情况的非对称性及施工工法差异，隧道往往发生偏压变形，其引起的地表沉降也是非对称的，因此分析隧道的非对称变形收敛模式，对研究地表沉降规律具有重要工程意义。
分析隧道开挖引起地表沉降的方法有经验公式法[4-6]、理论解析法[7-8]、数值模拟法[9-10]、模型试验法[11-12]、神经网络法[13-14]和随机介质理论法[15-17]等，其中，随机介质理论适用于各类断面形状的隧道，且无需进行复杂的力学计算，所以被广泛应用于实际工程中。为研究采煤岩层与地层移动关系，Litwiniszyn[18]将岩土体视为随机介质，建立了随机介质理论。刘宝琛等[15, 19]将其推广应用到隧道建设领域。施成华等[20]推导了均匀收敛条件下圆形及直墙拱隧道的地层移动计算公式。姬永红[21]对隧道地层影响范围角β和均匀收敛值ΔA的确定进行了讨论。Song等[22]将随机介质理论引入到Peck公式中，拓宽了随机介质理论的应用范围。江帅等[23]将随机介质理论和Peck公式结合，建立了地表沉降动态预测模型。徐强等[24]将隧道看作等效开挖单元，对随机介质理论进行了积分简化。韩煊等[25]给出了不同断面隧道的均匀与不均匀收敛模式。朱洪高等[26]提出了双圆盾构（DOT）隧道的收敛模式。刘波等[16]基于最优化理论给出了影响范围角β和均匀收敛值ΔA的反分析参数确定方法，提出了圆形隧道经典不均匀收敛模式。
以上研究均假定隧道收敛为左右对称形式，基于此计算的地表沉降也呈现为对称性。而实际工程中隧道往往存在偏压现象，其地表沉降也常常呈现出非对称性特点，因此，现有收敛模式下所得地表沉降曲线与监测数据不能较好吻合[27-28]。本文通过提出隧道偏压收敛模式，定义了偏压角、椭圆化偏压参数及偏压下沉参数，基于随机介质理论建立了偏压隧道地表沉降预测模型，通过工程实例验证了模型的适用性，并进行了相应参数讨论。
1. 随机介质理论计算地表沉降原理
在隧道开挖过程中，如果地层性质、隧道截面及开挖方法等一致情况下，可以将工程问题视为平面应变问题进行分析。如图 1所示坐标系，随机介质理论认为，如果地表下位于点(ξ, η)处有一微元体完全坍落，地表x处的沉降We(x)为[15]
We(x)=tanβηexp[−π tan2β(x−ξ)2η2]dξdη。 (1) 式中：(ξ, η)为所开挖微元体形心坐标；β为取决于上覆岩土层性质的主要影响角。
施工完成后，如果隧道初始断面Ω收缩为ω，根据叠加原理，地表坐标为x处下沉量W(x)为
W(x)=WΩ(x)−Wω(x) =∬ (2) 式中： {W_\varOmega }(x) 为断面 \varOmega 完全坍落引起的地表沉降； {W_\omega }(x) 为断面 \omega 完全坍落引起的地表沉降。
2. 圆形隧道经典不均匀收敛模式
对于圆形隧道，重点在于获取隧道收缩后断面 \omega 的形状及位置，即确定隧道收敛模式。目前主要采用经典不均匀收敛模式[16]，如图 2所示。该收敛模式认为隧道变形由3部分组成：①地层损失引起的径向均匀收敛u0；②围压差异引起的椭圆化变形导致半径在竖向减小u1，水平向增加u2；③受重力场影响引起的截面整体下沉u3。
经典不均匀收敛模式下，地表沉降计算时可将式（2）改写成如式（3）所示二重积分形式。若隧道半径为R，隧道中心埋深为H，则有
\begin{aligned} W(x)= & \iint\limits_{\varOmega-\omega} \frac{\tan \beta}{\eta} \exp \left[-\pi \tan ^2 \beta \frac{(x-\xi)^2}{\eta^2}\right] \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} \eta \\ = & \int\limits_a^b \int\limits_c^d \frac{\tan \beta}{\eta} \exp \left[-\pi \tan ^2 \beta \frac{(x-\xi)^2}{\eta^2}\right] \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} \eta- \\ & \int\limits_e^f \int\limits_g^h \frac{\tan \beta}{\eta} \exp \left[-\pi \tan ^2 \beta \frac{(x-\xi)^2}{\eta^2}\right] \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} \eta。 \end{aligned} (3) 式中：a，b，c，d，e，f，g，h分别代表各二重积分上下限，
\left.\begin{array}{l} a=H-R, \\ b=H+R, \\ c=-\sqrt{R^2-(\eta-H)^2}, \\ d=-c, \\ e=H+u_3-\left(R-u_0-u_2\right), \\ f=H+u_3+\left(R-u_0-u_2\right), \\ g=-\left(R-u_0+u_1\right) \sqrt{1-\frac{\left(\eta-H-u_3\right)^2}{\left(R-u_0-u_2\right)^2}}, \\ h=-g。 \end{array}\right\} (4) 3. 偏压隧道引起地表沉降的计算方法
3.1 考虑偏压影响的隧道收敛模式
实际工程中，隧道常常存在偏压现象，本文认为，偏压隧道的收敛模式也由地层损失、椭圆化及整体下沉3部分组成，但偏压隧道椭圆化和整体下沉均沿着与竖直方向成 \theta 角的方向 \vec n 进行，此角度 \theta 记为偏压角，定义当Z轴正向顺时针旋转到偏压方向 \vec n 时 \theta 为正，则90° \leqslant \theta \leqslant 90°， \theta >0°时，为右偏压， \theta <0°时则为左偏压，图 3示出了右偏压隧道的收敛模式。
定义 {\gamma _1} = {u_1}/R 和 {\gamma _2} = {u_2}/R 为隧道椭圆化偏压参数， {\gamma _3} = {u_3}/R 为隧道偏压下沉参数。在偏压收敛模式中，假定隧道面积大小的改变均来自于地层损失，椭圆化变形过程不引起地层损失，则{\gamma _2}与{\gamma _1}为非独立变量，设地层损失率为 {V_l} ，有
{\gamma _2} = \frac{{{u_2}}}{R} = \sqrt {1 - {V_l}} - \frac{{1 - {V_l}}}{{\sqrt {1 - {V_l}} + {\gamma _1}}}\text{，} (5) {V_l} = \frac{{{\text{π}}{R^2} - {\text{π}}{{(R - {u_0})}^2}}}{{{\text{π }}{R^2}}} = \frac{{2R{u_0} - {u_0}^2}}{{{R^2}}}。 (6) 3.2 偏压收敛模式下地表沉降计算
如图 4所示，以偏压隧道椭圆化后形心为原点 O' ，长轴及短轴为横、纵坐标，建立局部坐标系 X'O'Z' 。设任意点B在整体坐标系 XOZ 与局部坐标系 X'O'Z' 中的坐标分别为（ \xi , \eta ）和（ \xi ' , \eta ' ），则有
\left[ {\eta , - \xi } \right] = \left[ {H,0} \right] + \left[ {\eta ',\xi '} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{\sin \theta } \\ {\sin \theta }&{ - \cos \theta } \end{array}} \right]。 (7) 开挖任意微小单元土体，有 {\text{d}}A = {\text{d}}\eta {\text{d}}\xi = {\text{d}}\eta '{\text{d}}\xi ' ，若忽略偏压下沉影响，隧道开挖引起的地表沉降为
\begin{aligned} W(x) & =\iint\limits_{\varOmega-\omega} \frac{\tan \beta}{\eta} \exp \left[-\pi \tan ^2 \beta \frac{(x-\xi)^2}{\eta^2}\right] \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} \eta \\ & =\int\limits_a^b \int\limits_c^d \frac{\tan \beta}{\eta} \exp \left[-\pi \tan ^2 \beta \frac{(x-\xi)^2}{\eta^2}\right] \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} \eta- \\ & \int\limits_e^f \int\limits_g^h \frac{\tan \beta}{\eta} \exp \left[-\pi \tan ^2 \beta \frac{(x-\xi)^2}{\eta^2}\right] \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} \eta\\ &=\int\limits_a^b \int\limits_c^d \frac{\tan \beta}{\eta} \exp \left[-\pi \tan ^2 \beta \frac{(x-\xi)^2}{\eta^2}\right] \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} \eta- \\ & \int\limits_{e^{\prime}}^{f^{\prime}} \int\limits_{g^{\prime}}^{h^{\prime}} \frac{\tan \beta}{H+\eta^{\prime} \cos \theta+\xi^{\prime} \sin \theta} \\ & \exp \left[-\pi \tan ^2 \beta \frac{\left(x+\eta^{\prime} \sin \theta-\xi^{\prime} \cos \theta\right)^2}{\left(H+\eta^{\prime} \cos \theta+\xi^{\prime} \sin \theta\right)^2}\right] \mathrm{d} \eta^{\prime} \mathrm{d} \xi^{\prime}。 \end{aligned} (8) 考虑偏压下沉影响，最终隧道开挖引起的地表沉降由式（9）得到，式中各积分上下限见表 1。
\begin{aligned} & W(x)=\int\limits_a^b \int\limits_c^d \frac{\tan \beta}{\eta} \exp \left[-\pi \tan ^2 \beta \frac{(x-\xi)^2}{\eta^2}\right] \mathrm{d} \xi \mathrm{~d} \eta- \\ &~~~~~~~~~~ \int\limits_{e^{\prime}}^{f^{\prime}} \int\limits_{g^{\prime}}^{h^{\prime}} \frac{\tan \beta}{H+u_3 \cos \theta+\eta^{\prime} \cos \theta+\xi^{\prime} \sin \theta}. \\ & \exp \left[-\pi \tan ^2 \beta \frac{\left(x+u_3 \sin \theta+\eta^{\prime} \sin \theta-\xi^{\prime} \cos \theta\right)^2}{\left(H+u_3 \cos \theta+\eta^{\prime} \cos \theta+\xi^{\prime} \sin \theta\right)^2}\right] \mathrm{d} \eta^{\prime} \mathrm{d} \xi^{\prime} 。 \end{aligned} (9) 表 1 偏压隧道收敛模式积分界限表Table 1. Integral limits of convergence mode of bias tunnel\varOmega -整体坐标系 \omega -局部坐标系 a H - R e' - (R - {u_0} - {u_1}) b H + R f' R - {u_0} - {u_1} c - \sqrt {{R^2} - {{(\eta - H)}^2}} g' \begin{gathered} - (R - {u_0} + {u_2}) \cdot \hfill \\ \sqrt {1 - {{\left[ {\eta '/(R - {u_0} - {u_1})} \right]}^2}} \hfill \\ \end{gathered} d \sqrt {{R^2} - {{(\eta - H)}^2}} h' \begin{gathered} (R - {u_0} + {u_2}) \cdot \hfill \\ \sqrt {1 - {{\left[ {\eta '/(R - {u_0} - {u_1})} \right]}^2}} \hfill \\ \end{gathered} 3.3 积分的数值化处理
式（9）中被积函数均为不可积函数，为了获得这些积分值，对其进行数值化处理，分别记为
{W_\varOmega }(x) = \int\limits_a^b {\int\limits_c^d {\frac{{\tan \beta }}{\eta }} \exp \left[ { - \pi {{\tan }^2}\beta \frac{{{{(x - \xi )}^2}}}{{{\eta ^2}}}} \right]{\text{d}}\xi {\text{d}}\eta } \text{，} (10) \begin{aligned} & W_\omega(x)=\int\limits_{e^{\prime}}^{f^{\prime}} \int\limits_{g^{\prime}}^{h^{\prime}} \frac{\tan \beta}{H+u_3 \cos \theta+\eta^{\prime} \cos \theta+\xi^{\prime} \sin \theta} . \\ & \exp \left[-\pi \tan ^2 \beta \frac{\left(x+u_3 \sin \theta+\eta^{\prime} \sin \theta-\xi^{\prime} \cos \theta\right)^2}{\left(H+u_3 \cos \theta+\eta^{\prime} \cos \theta+\xi^{\prime} \sin \theta\right)^2}\right] \mathrm{d} \eta^{\prime} \mathrm{d} \xi^{\prime}。 \end{aligned} (11) 现以较为复杂的 {W_\omega }(x) 为例说明积分的计算方法。令 \eta ' = f' \cdot {t_1} ， \xi ' = h' \cdot {t_2} ，对式（11）换元，并采用Legendre-Gauss求积法对其进行数值化处理，便可通过式（12）得到 {W_\omega }(x) 。对 {W_\varOmega }(x) 进行相同的数值化处理，便可得到偏压隧道开挖引起地表沉降曲线
W(x)=W_{\varOmega}(x)-W_\omega(x)。 \begin{aligned} W_\omega(x) & \xrightarrow[\xi^{\prime}=h^{\prime} \cdot t_2]{\eta^{\prime}= f^{\prime}\cdot t_1^{\prime}}=\int\limits_{-1}^1 \int\limits_{-1}^1 \varphi\left(t_1, t_2\right) \mathrm{d} t_1 \mathrm{~d} t_2 \\ & =\int_{-1}^1 \sum\limits_{i=1}^n A_i \varphi\left(\lambda_i, t_2\right) d t_2=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n A_i A_j \varphi\left(\lambda_i, \lambda_j\right) 。 \end{aligned} (12) 式中： {\lambda _i} 和 {\lambda _j} 分别为两次分步积分下Legendre多项式 {L_n}(\lambda ) = \frac{1}{{{2^n} \cdot n!}} \cdot \frac{{{d^n}\left[ {{{({\lambda ^2} - 1)}^n}} \right]}}{{d{\lambda ^n}}} 的根； {A_i} 和 {A_j} 为对应的Gauss加权系数：A_k=\frac{2}{\left(1-\lambda_k^2\right)\left[L_n^{\prime}\left(\lambda_k\right)\right]^2}，（k=i，j）；n为插值点数； \varphi ({t_1},{t_2}) 为换元后的被积函数，其表达式见下式：
\begin{aligned} & \varphi\left(t_1, t_2\right)=\frac{f^{\prime} \cdot h^{\prime} \cdot \tan \beta}{H+u_3 \cos \theta+f^{\prime} \cdot t_1 \cos \theta+h^{\prime} \cdot t_2 \sin \theta}. \\ & \exp \left[-\pi \tan ^2 \beta \frac{\left(x+u_3 \sin \theta+f^{\prime} \cdot t_1 \sin \theta-h^{\prime} \cdot t_2 \cos \theta\right)^2}{\left(H+u_3 \cos \theta+f^{\prime} \cdot t_1 \cos \theta+h^{\prime} \cdot t_2 \sin \theta\right)^2}\right] 。 \end{aligned} (13) 4. 偏压隧道地表沉降预测方法的验证
4.1 工程实例验证
成都地铁5号线福宁路—五块石工程区间里程为DK15+449.34—DK16+160.04，隧道标准段半径3 m，拱顶埋深在16.03~31.75 m。区间采用盾构法施工，各地层基本呈水平分布。工程平面图及地质剖面图分别如图 5，6所示，各土层相关参数见表 2。
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图 5 福宁路—五块石区间工程平面图Figure 5. Layout plan of Funinglu Station-Wukuaishi Station project表 2 土体物理力学参数表Table 2. Physical and mechanical parameters of soils土层名称 重度 \gamma /(kN·m-3) 弹性模量E/MPa 泊松比 \nu 黏聚力c/kPa 内摩擦角 \varphi /(°) 人工填土 18 7 0.3 8 10 粉质黏土 19.5 15 0.3 20 16.5 细砂 18.5 4 0.27 0 20 松散卵石 20 20 0.26 0 30 稍密卵石 21 23 0.28 0 35 中密卵石 22 32 0.25 0 40 密实卵石 23 43 0.22 0 45 中砂 19 5.5 0.26 0 22 利用里程为DK15+620、DK15+770和DK15+830处3个横断面进行本文所提出方法的验证，各断面隧道收敛参数均由现场变形监测所得，偏压计算参数见表 3所示， \beta 按下式进行取值[24]：
\tan \beta = \frac{H}{{\sqrt {2{\text{π }}} \cdot (1 - 0.02\phi )(H - kz)}}。 (14) 表 3 成都地铁五号线典型偏压断面计算参数表Table 3. Parameters of typical section of Chengdu Metro Line 5断面 里程 H{\text{/m}} R{\text{/m}} \beta /(^\circ {\text{ }}) {V_{\text{l}}}/\% \theta /(^\circ {\text{ }}) {\gamma _1}/\% {\gamma _3}/\% DK1 DK15+620 19.5 3 34.5 2 43 0.97 0.33 DK2 DK15+770 26.5 3 34.7 2 45 0.73 0.29 DK3 DK15+830 21.4 3 35.0 2 12 0.76 0.21 式中： \phi 为隧道拱顶以上各层土体的内摩擦角按厚度计算的加权平均值；k为考虑地层土质情况的参数，本工程中取k=0.45；z为上覆地层的埋深。
以隧道中轴线为横坐标原点，图 7给出了DK1、DK2和DK3三个断面地表沉降监测值和偏压随机介质理论预测曲线。从监测数据可以看出，3个断面右侧沉降均大于左侧沉降，沉降分布不对称，为右偏压隧道。偏压收敛预测模型显示，断面DK1、DK2、DK3最大沉降分别为19.52，11.35，17.37 mm，最大沉降点并不发生于隧道正上方，各最大沉降点相对于隧道中心的偏移量分别为\Delta X=0.58 m、\Delta X=0.66 m和\Delta X=0.02 m。可见，该偏压预测模型从趋势上和数值上都很好的反映了地表沉降的分布规律。
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图 7 各断面偏压隧道地表沉降预测Figure 7. Prediction of surface settlement of bias tunnel at each section4.2 与传统对称收敛模式的比较
以往文献中均是按照传统对称收敛模式进行预测分析，并无部分偏压参数，采用反分析法[16]对相关隧道参数进行反演分析，定义目标函数：
F(X) = \sum\limits_{i = 1}^n {{{[{W_i} - {W_i}(X)]}^2}} 。 (15) 式中： {W_i} 为地表第i个沉降监测点监测值； {W_i}(X) 为地表第i个沉降监测点预测值； X = \left\{ {\theta ,{\gamma _1},{\gamma _3}} \right\} 为隧道偏压参数矩阵。
通过求解使得 F(X) 取得最小值时的一组参数 {X_{\min }} 即可，各隧道偏压参数见表 4所示。
表 4 研究隧道计算参数表Table 4. Parameters of tunnels隧道 H{\text{/m}} R{\text{/m}} \beta /(^\circ {\text{ }}) {V_{\text{l}}}/\% \theta /(^\circ {\text{ }}) {\gamma _1}/\% {\gamma _3}/\% 巴西快速交通隧道 14.0 4.8 37.60 8.52 38 0.36 0.17 台湾三义一号隧道 23.5 5.5 41.67 1.77 -29 0.56 0.14 某215工程隧道 19.5 3.0 51.11 0.28 23 0.33 0.09 图 8为巴西快速交通隧道、某215工程隧道和台湾三义隧道的地表沉降监测数据，同时用传统对称收敛模式[29]和本文所提出偏压收敛模式对各隧道引起地表沉降进行预测。采用本文预测方法，得到巴西快速交通隧道为右偏压隧道，最大沉降值为342 mm，最大沉降点相对隧道中心的水平偏移量为\Delta X=1.03 m。215工程隧道地表最大沉降值为4.21 mm，出现在\Delta X=-0.52 m处，为左偏压隧道。
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图 8 本文方法与传统对称收敛模型的比较Figure 8. Comparison between proposed method and traditional symmetric convergence model对于台湾三义隧道，偏压收敛模式预测最大沉降值为62.56 mm，出现在\Delta X=-0.48 m处，为左偏压隧道。虽然监测数据显示其最大沉降点在右侧\Delta X=5.24 m位置，但除最大沉降点A附近受特殊因素影响，致使其沉降较大外，对于大部分对称监测点，左侧沉降要大于右侧，本隧道明显为左偏压隧道，偏压收敛模式对于地表整体沉降预测较为合理。
比较可知，传统收敛模式所得沉降曲线均为左右对称，虽整体上能反映地表沉降大小，但最大沉降点始终位于隧道轴线正上方，不能体现地表沉降的非对称特性。相反，本文提出的方法能较好反映地表沉降的非对称性，且预测值和监测数据也更为贴近。
4.3 偏压参数对最大沉降值及其位置的影响
由偏压隧道收敛模式可知，当H，R，\beta 和地层损失率{V_{\text{l}}}一定时，地表沉降主要受\theta ，{\gamma _1}和{\gamma _3} 3个参数影响。同时考虑到埋深与隧道半径比H/R对地表沉降的影响[22, 27]，本节以成都地铁5号线DK1（DK15+620）断面隧道基本偏压参数为基准，分别分析各偏压参数\theta ，{\gamma _1}，{\gamma _3}以及H/R对地表最大沉降值Smax和最大沉降点偏移量\Delta X的影响规律。
（1）偏压角\theta 的影响
\theta 是区分对称收敛和偏压收敛的关键参数，从式（13）看，\theta 的改变会引起被积函数 \varphi ({t_1},{t_2}) 的变化，从而影响到最终地表沉降预测曲线。左右偏压互为对称，本节以0°<\theta \leqslant 90°右偏压情况为例进行分析。
不同\theta 下地表沉降曲线见图 9，结合图 10可知，\theta 的增加使得隧道左侧部分形心相对右侧上升，地表左右两侧沉降差异增加，最大沉降点逐渐向右侧移动，从而\Delta X随着\theta 的增加而增大。当\theta >45°后，随着\theta 的增加，\Delta X增速减缓，当\theta =75°时，最大沉降点偏移量\Delta X达到最大值0.610 m。而Smax随着\theta 的增加而减小，相比于最大沉降量，当\theta 从0°增加到90°，Smax的变化量仅为3.1%~3.4%，\theta 对Smax的影响较小。
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图 9 不同 \theta 下地表沉降曲线Figure 9. Curves of surface settlement under different values of \theta![]()
图 10 \Delta X及Smax随 \theta 变化规律Figure 10. Variation trends in \Delta X and Smax with \theta（2）椭圆化偏压参数 {\gamma _1} 的影响
从图 11，12可以看出，因为偏压角\theta 的存在，{\gamma _1}的增加引起隧道左右两侧形心纵坐标差异增大，从而最大沉降点向右侧移动。当{\gamma _1}由0.1%增加到0.9%时，\Delta X从0.423 m逐渐增大到0.700 m。随着{\gamma _1}从0.1%增至1%，Smax虽逐渐变大，但变化量不到0.03 mm，仅占总沉降量的0.13%~0.14%，{\gamma _1}主要影响最大沉降点偏移量\Delta X，而对Smax的影响可以忽略。
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图 11 不同 {\gamma _1} 下地表沉降曲线Figure 11. Curves of surface settlement under different values of {\gamma _1}![]()
图 12 \Delta X及Smax随 {\gamma _1} 变化规律Figure 12. Variation trends in \Delta X and Smax with {\gamma _1}（3）偏压下沉参数 {\gamma _3} 的影响
不同 {\gamma _3} 下的地表沉降曲线如图 13所示。从图 14可见，随着 {\gamma _3} 的增大，\Delta X和Smax均呈线性增加，当从 {\gamma _3} 从0.2%增加到1%时，Smax增大约6.4%，\Delta X从0.273 m增大至1.108 m，增加191%， {\gamma _3} 的变化主要影响\Delta X的大小。尽管相同变化量下， {\gamma _3} 对\Delta X和Smax的影响要比{\gamma _1}大，但根据成都地铁5号线监测数据，可知 {\gamma _3} 取值一般在（0.1~0.65）{\gamma _1}，这和对称收敛[27]中 {\gamma _3} 和{\gamma _1}的关系基本一致，所以实际工程中 {\gamma _3} 的变化范围远小于{\gamma _1}，其对地表沉降影响较{\gamma _1}小。
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图 13 不同 {\gamma _3} 下地表沉降曲线Figure 13. Curves of surface settlement under different values of {\gamma _3}![]()
图 14 \Delta X及Smax随 {\gamma _3} 变化规律Figure 14. Variation trends in \Delta X and Smax with {\gamma _3}（4）埋深与隧道半径比 H/R 的影响
由图 15可知，R=3 m时，尽管H从9 m增大到27 m，最大沉降位置相对于隧道中心偏移量\Delta X仅相差0.151 m，但最大沉降量Smax却从40.02 mm减小到13.27 mm，沉降量减小66.84%。可见其余参数不变情况下，随着隧道埋深的增加，沉降影响范围变大，而地层损失率不变，必然导致上部地表沉降变小。
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图 15 不同 H{\text{/}}R 下地表沉降曲线Figure 15. Curves of surface settlement under different values of H{\text{/}}R同时从图 16可知，不同R下，\Delta X和Smax都随着H{\text{/}}R的增大而减小，相同H{\text{/}}R下，R越大\Delta X和Smax越大。且不同R下，随着H{\text{/}}R的变化，各曲线基本平行，说明在不同隧道半径下，随着埋深与隧道半径比的增加，\Delta X及Smax均呈减小趋势，且减小速率基本相同。
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图 16 \Delta X及Smax随 H{\text{/}}R 变化规律Figure 16. Variation trends in \Delta X and Smax with H{\text{/}}R5. 结论
本文提出了一种隧道的偏压收敛模式，并建立了偏压隧道地表沉降预测模型。主要得到以下4点结论。
（1）为计算偏压隧道引起的地表沉降，提出了隧道的一种偏压收敛模式，该收敛模式由地层损失引起的均匀收敛、非对称压力下的椭圆化变形及偏压压力下的整体沉降3部分组成。
（2）定义了偏压角\theta 、椭圆化偏压参数{\gamma _1}及偏压下沉参数{\gamma _3}，采用坐标变换和数值化处理，得到基于随机介质理论的偏压隧道地表沉降预测方法。
（3）偏压参数\theta ，{\gamma _1}，{\gamma _3}主要影响地表最大沉降点偏移量\Delta X，对最大沉降量Smax影响范围仅为0.13%~6.4%。本参数分析案例中，\theta =75°时，\Delta X达到最大值0.61 m，同时\Delta X随着{\gamma _1}和{\gamma _3}的增大而增加。而较小的H{\text{/}}R会明显增加最大沉降值Smax，施工中，应特别注意浅埋隧道的偏压角与椭圆化变形。
（4）实际工程应用表明，相对于传统对称收敛模式，偏压收敛模式所得预测曲线更能体现地表沉降的非对称性，也能准确预测最大沉降值及其出现位置。
本文提出的隧道偏压收敛模式中，假定隧道面积大小的改变均来自于地层损失，未考虑开挖土体回弹及再固结影响，同时在富水地质条件下还应考虑地下水影响，这也是笔者今后的重点研究方向。
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图 5 福宁路—五块石区间工程平面图
Figure 5. Layout plan of Funinglu Station-Wukuaishi Station project
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图 7 各断面偏压隧道地表沉降预测
Figure 7. Prediction of surface settlement of bias tunnel at each section
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图 8 本文方法与传统对称收敛模型的比较
Figure 8. Comparison between proposed method and traditional symmetric convergence model
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图 9 不同 \theta 下地表沉降曲线
Figure 9. Curves of surface settlement under different values of \theta
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图 10 \Delta X及Smax随 \theta 变化规律
Figure 10. Variation trends in \Delta X and Smax with \theta
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图 11 不同 {\gamma _1} 下地表沉降曲线
Figure 11. Curves of surface settlement under different values of {\gamma _1}
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图 12 \Delta X及Smax随 {\gamma _1} 变化规律
Figure 12. Variation trends in \Delta X and Smax with {\gamma _1}
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图 13 不同 {\gamma _3} 下地表沉降曲线
Figure 13. Curves of surface settlement under different values of {\gamma _3}
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图 14 \Delta X及Smax随 {\gamma _3} 变化规律
Figure 14. Variation trends in \Delta X and Smax with {\gamma _3}
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图 15 不同 H{\text{/}}R 下地表沉降曲线
Figure 15. Curves of surface settlement under different values of H{\text{/}}R
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图 16 \Delta X及Smax随 H{\text{/}}R 变化规律
Figure 16. Variation trends in \Delta X and Smax with H{\text{/}}R
表 1 偏压隧道收敛模式积分界限表
Table 1 Integral limits of convergence mode of bias tunnel
\varOmega -整体坐标系 \omega -局部坐标系 a H - R e' - (R - {u_0} - {u_1}) b H + R f' R - {u_0} - {u_1} c - \sqrt {{R^2} - {{(\eta - H)}^2}} g' \begin{gathered} - (R - {u_0} + {u_2}) \cdot \hfill \\ \sqrt {1 - {{\left[ {\eta '/(R - {u_0} - {u_1})} \right]}^2}} \hfill \\ \end{gathered} d \sqrt {{R^2} - {{(\eta - H)}^2}} h' \begin{gathered} (R - {u_0} + {u_2}) \cdot \hfill \\ \sqrt {1 - {{\left[ {\eta '/(R - {u_0} - {u_1})} \right]}^2}} \hfill \\ \end{gathered} 
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表 2 土体物理力学参数表
Table 2 Physical and mechanical parameters of soils
土层名称 重度 \gamma /(kN·m-3) 弹性模量E/MPa 泊松比 \nu 黏聚力c/kPa 内摩擦角 \varphi /(°) 人工填土 18 7 0.3 8 10 粉质黏土 19.5 15 0.3 20 16.5 细砂 18.5 4 0.27 0 20 松散卵石 20 20 0.26 0 30 稍密卵石 21 23 0.28 0 35 中密卵石 22 32 0.25 0 40 密实卵石 23 43 0.22 0 45 中砂 19 5.5 0.26 0 22
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表 3 成都地铁五号线典型偏压断面计算参数表
Table 3 Parameters of typical section of Chengdu Metro Line 5
断面 里程 H{\text{/m}} R{\text{/m}} \beta /(^\circ {\text{ }}) {V_{\text{l}}}/\% \theta /(^\circ {\text{ }}) {\gamma _1}/\% {\gamma _3}/\% DK1 DK15+620 19.5 3 34.5 2 43 0.97 0.33 DK2 DK15+770 26.5 3 34.7 2 45 0.73 0.29 DK3 DK15+830 21.4 3 35.0 2 12 0.76 0.21
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表 4 研究隧道计算参数表
Table 4 Parameters of tunnels
隧道 H{\text{/m}} R{\text{/m}} \beta /(^\circ {\text{ }}) {V_{\text{l}}}/\% \theta /(^\circ {\text{ }}) {\gamma _1}/\% {\gamma _3}/\% 巴西快速交通隧道 14.0 4.8 37.60 8.52 38 0.36 0.17 台湾三义一号隧道 23.5 5.5 41.67 1.77 -29 0.56 0.14 某215工程隧道 19.5 3.0 51.11 0.28 23 0.33 0.09
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