地层侧压力系数对盾构隧道双层衬砌结构力学特性影响模型试验研究

马晓斌; 王士民; 刘畅; 钟美昀

doi:10.11779/CJGE20230909

地层侧压力系数对盾构隧道双层衬砌结构力学特性影响模型试验研究 English Version

西南交通大学交通隧道工程教育部重点实验室, 四川成都 610031

基金项目:

国家自然科学基金项目 52178398

国家自然科学基金项目 51991394

详细信息

作者简介:
马晓斌(1999—)，男，硕士研究生，主要从事盾构隧道施工及衬砌结构方面的研究工作。E-mail: Maxiaobin@my.swjtu.edu.cn

通讯作者:
王士民, E-mail: wangshimin@swjtu.edu.cn

中图分类号: U25
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出版历程
- 收稿日期: 2023-09-17
- 网络出版日期: 2024-04-17
- 刊出日期: 2025-03-31

Experimental study on influence of lateral pressure coefficient of soil strata on mechanical properties of double-layer lining structure in shield tunnels

Key Laboratory of Transportation Tunnel Engineering of the Ministry of Education, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China

摘要

摘要: 当今盾构隧道的建设规模愈发庞大，洞身穿越的地层复杂多变，单层管片衬砌结构往往难以满足隧道安全性和耐久性要求，由此双层衬砌结构得到了更加广泛的关注。为探究不同地层中盾构隧道双层衬砌结构的适用性，依托广深客运专线狮子洋盾构隧道工程，通过相似模型试验，以侧压力系数（0.5，0.6，0.7，0.8）为指标对比分析了不同地层条件下双层衬砌结构力学特性的变化规律。试验结果表明：地层侧压力系数增大，双层衬砌整体更加趋于静水压力场状态，管片衬砌与二次衬砌极限轴力值增大，弹塑性临界点与内力突变点滞后。当侧压力系数从0.5增至0.8时，双层衬砌的极限承载能力提升了66.39%，最大径向位移从15.17 mm减小为9.45 mm，管片衬砌侧向位移受限，二次衬砌辅助管片衬砌承载能力提升。高地层侧压力条件下管片衬砌裂纹发育程度下降，局部掉块现象减少，双层衬砌整体结构的可靠性提升。
- 盾构隧道 /
- 双层衬砌 /
- 模型试验 /
- 侧压力系数 /
- 力学特性
Abstract: Nowadays, the construction scale of shield tunnels is getting larger and larger, and the strata crossed by the tunnels are complicated and changeable, so it is often difficult to meet the requirements of tunnel safety and durability by using the single-layer tube lining structure, and thus the double-layer lining structure has been more widely concerned. In order to explore the applicability of the double-layer lining structure of shield tunnels in different strata, relying on the Shiziyang Tunnel Project on the Guangzhou-Shenzhen High-speed Railway, the change rules of the mechanical properties of the double-layer lining structure under different strata conditions are comparatively analyzed with the lateral pressure coefficient (0.5, 0.6, 0.7, 0.8) as an index through the similar model tests. The test results show that the lateral pressure coefficient of the strata increases, the double-layer lining as a whole tends to be more hydrostatic pressure field state, the limit axial forces of the segmental lining and secondary lining increase, and the critical point of elasticity and plasticity and the mutation point of internal force delay. When the lateral pressure coefficient increases from 0.5 to 0.8, the ultimate bearing capacity of the double-layer lining increases by 66.39%, the maximum radial displacement decreases from 15.17 to 9.45 mm, the lateral displacement of the segmental lining is limited, and the secondary lining contribute to the improvement of the bearing capacity of segmental lining. The degree of crack development of segmental lining under high lateral pressure of strata decreases, the phenomenon of localized falling block is reduced, and the reliability of the overall structure of the double-layer lining is improved.
- shield tunnel /
- double-layer lining /
- model test /
- lateral pressure coefficient /
- mechanical property

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0. 引言

场地土性质的改变会引起地震波的放大或者衰减，因此在进行地震响应的研究时要选择符合实际的场地模型。然而，以往对场地地震响应问题的研究，是将场地土简化为单相弹性地基或饱和土地基，且没有考虑热效应的影响。但是，在自然界中，非饱和土是土体更为常见的一种状态，且随着温室效应的加重，温度的变化越来越显著。此外，随着各国工业化和现代化进程的加快，以及热力学工程，化工工程和核废料管理等学科领域的大力发展，温度变化等热效应对多孔介质中波的传播特性的影响越来越受到众多学者的关注。由于热和力之间的相互耦合效应影响着波的形成和传播，并且多相介质之间的温度和应力-应变的耦合比经典情况下更复杂，这些因素叠加起来使得波的传播也更为复杂。因此，考虑热效应影响，建立一个能够反映实际场地土特性的非饱和土场地模型，并研究其地震地面运动具有重要意义。

自Biot^[1]首次提出流体饱和多孔弹性介质的动力学模型以来，针对等温条件下地震波在饱和多孔介质中的传播特性，已有大量的研究结果^[2-5]。伴随着混合物理论与多孔介质理论的发展，学者们^[6-7]结合Biot理论各自建立了非饱和多孔介质的动力方程，确定了多孔介质中存在3种压缩波和一种剪切波。另外，已有学者利用数值方法，对非饱和多孔介质的动力方程进行求解，并研究弹性波在非饱和土层分界面上的传播特性。Chen等^[8-9]研究了面波和P波在单相介质和非饱和多孔介质交界面上的波动特性，Tomar等^[10]研究了地震波在单相介质和非饱和多孔介质交界面上的透反射问题。

但是随着全球变暖趋势在逐步增强，在温度变化等热效应影响下，对于岩土介质中波的传播特性的研究逐渐进入到人们的视野中。早期的热弹性理论并不能分析有限速度热波的传播。Lord等^[11]基于前人的研究成果，建立了一种新型的热弹性理论，修正了这一缺陷。Pecker等^[12]研究了在温度变化条件下，地震波在饱和多孔弹性介质中的传播特性。Youssef^[13]结合前人的研究成果，进一步建立了广义的热弹性理论。柳鸿博等^[14]根据广义的热弹性模型，在考虑热效应和流体迂曲度的影响下，建立了非饱和多孔热弹性介质的波动方程。随后又有多位学者在前人研究的基础上，对波在多孔热弹性介质分界面上的透反射问题进行研究。郑荣跃等^[15]采用第一类Biot的理论模型，研究了平面SV波在饱和多孔热弹性介质分界面上的反射问题。柳鸿博等^[16]在热-流-固耦合动力响应模型的基础上，研究平面S波在饱和多孔热弹性介质边界上的反射特性。Zhou等^[17]结合多孔介质理论和广义热弹性模型，研究了平面SV波在非饱和多孔热弹性介质自由边界上的反射问题。Liu等^[18]采用了考虑孔隙流体与孔隙材料固相相互作用的非等温动力学模型，利用混合物理论分析了均匀平面P₁波在非饱和多孔热弹性介质边界处的反射特性。Wei等^[19]研究了各向同性、均匀的热弹性介质与多孔热弹性介质在平面界面上，由斜入射纵波所引起的反射和透射现象。Hou等^[20]研究了在任意入射角下，两种不相似的饱和多孔热弹性介质界面上，非均匀平面波的反射和透射特性。Liu等^[21]在热流-固体耦合的非饱和土波动控制方程的基础上，进一步研究了热弹性固体介质与非饱和多孔热弹性介质之间的平面界面上，由均匀平面P波入射所产生的反射和透射现象。

虽然目前国内外学者对多孔介质中波的传播，以及在多孔介质分界面上的波动响应问题做了一定的研究，但是对于地震波入射下场地的地震响应问题的研究较少。李伟华等^[22]首次将三相介质的动力模型引入到自由场地地震地面运动的分析上，研究了饱和度对地震运动的影响规律。随后，Li等^[23]基于非饱和多孔介质的波动特性，研究了平面P波和SV波对非饱和土层-基岩系统地面运动的影响。但是前人对场地地震响应的研究一直是基于等温的条件，鲜有文献对在考虑热效应作用下，平面P波入射到非饱和土自由场地对地震响应的影响问题进行研究，然而热效应对波的传播特性有着显著影响，且热效应对弹性波传播的影响关系到许多地震学和天体物理学问题，故而对考虑热效应作用下非饱和土自由场地地震响应分析的研究具有更为深远的意义。

本文对非饱和多孔热弹性介质波动方程以及单相热弹性介质波动方程进行求解，并建立非饱和土自由场地模型，采用亥姆霍兹矢量分解原理对场地波场进行分析，结合波的势函数和边界条件，求得土层中各波幅系数的解，进而确定场地中各点的位移和应力，最后研究各物理参数对场地地震响应所产生的影响。

1. 场地的波动方程

1.1 单相热弹性介质

基岩层采用单相热弹性介质来模拟。根据广义热弹性模型，单相热弹性介质的波动方程为^[21]

$\mu_{\mathrm{e}} \nabla^2 \boldsymbol{u}^{\mathrm{s}}+\left(\lambda_{\mathrm{e}}+\mu_{\mathrm{e}}\right) \nabla\left(\nabla \cdot \boldsymbol{u}^{\mathrm{s}}\right)-3 K_{\mathrm{b}} \beta_{\mathrm{s}} \nabla T=\rho^{\mathrm{e}} \ddot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{s}},$

(1a)

$\begin{gathered} 3 K_{\mathrm{b}} \beta_{\mathrm{s}} T_0 \nabla \cdot\left(\dot{\boldsymbol{u}}^s+\tau_{\mathrm{qe}} \ddot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{s}}\right)+\rho^{\mathrm{e}} c_{\mathrm{se}}\left(\dot{T}+\tau_{\mathrm{qe}} \ddot{T}\right) \\ =K_{\mathrm{e}} \nabla^2\left(T+\tau_{\theta \mathrm{e}} \dot{T}\right)。 \end{gathered}$

(1b)

式中：K_b= ${\lambda _{\text{e}}}$ +2μ_e/3为体积模量； ${\lambda _{\text{e}}}$ 和 ${\mu _{\text{e}}}$ 为单相介质的拉梅常量； ${\beta _{\text{s}}}$ 为热膨胀系数； ${\rho ^{\text{e}}}$ 为密度；c_se为固相比热； ${\tau _{{\text{qe}}}}$ 和 ${\tau _{\theta {\text{e}}}}$ 分别为热通量相位延迟时间和温度梯度相位延迟时间；T和 ${T_0}$ 分别为开尔文介质温度和初始温度；K_e为单相介质的热传导系数；u^s为固相位移矢量。

根据Helmholtz矢量的分解原理，固相位移矢量可分解为

$\boldsymbol{u}^{\mathrm{s}}=\nabla \psi_{\mathrm{s}}+\nabla \times \boldsymbol{H}_{\mathrm{s}}。$

(2)

式中：Ψ_s和H_s分别为固相的标量和矢量势函数。

固相介质以及热波的势函数可假设为

${\psi _{\text{s}}} = {A^{\text{s}}}\exp \left[ {{\text{i}}({k_{\text{p}}}x - \omega t)} \right] \text{，}$

(3a)

${\boldsymbol{H}_{\text{s}}} = {\boldsymbol{B}^{\text{s}}}\exp \left[ {{\text{i}}({k_{\text{s}}}x - \omega t)} \right] \text{，}$

(3b)

$T = {A^{\text{T}}}\exp \left[ {{\text{i}}({k_{\text{p}}}\boldsymbol{x} - \omega t)} \right] 。$

(3c)

式中：A，B分别为P波（包含T波）和S波的波幅系数；k_p和k_s分别为P波（包括T波）和S波的波数；ω表示频率。

将式（2）代入式（1a），（1b），并结合式（3a）~（3c），可得热弹性介质中体波的特征方程：

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{11}}}&{{k_{12}}} \\ {{k_{21}}}&{{k_{22}}} \end{array}} \right| = 0 \text{，}$

(4a)

$\left| {{\rho ^e}{\omega ^2} - {\mu _{\text{e}}}k_{\text{s}}^2} \right| = 0 。$

(4b)

其中，式（4a），（4b）分别为热弹性介质中压缩波（包含热波）和剪切波的特征方程，求解可得单相热弹性介质中各热弹性波的波数。方程中的元素详见文献[21]。

1.2 非饱和多孔热弹性介质

根据广义热弹性理论，非饱和多孔热弹性介质的波动方程为^[14]

$\begin{aligned} & \mu \nabla^2 \boldsymbol{u}^{\mathrm{s}}+(\bar{\lambda}+\mu) \nabla\left(\nabla \cdot \boldsymbol{u}^{\mathrm{s}}\right)+D_1 \nabla\left(\nabla \cdot \boldsymbol{u}^{\mathrm{f}}\right)+ \\ & D_2 \nabla\left(\nabla \cdot \boldsymbol{u}^{\mathrm{a}}\right)+D_3 \nabla T=\rho \ddot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{s}}+\rho^1 \ddot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{f}}+\rho^{\mathrm{g}} \ddot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{a}}, \end{aligned}$

(5a)

$\begin{aligned} & B_1 \nabla\left(\nabla \cdot \boldsymbol{u}^{\mathrm{s}}\right)+B_2 \nabla\left(\nabla \cdot \boldsymbol{u}^{\mathrm{f}}\right)+ \\ & B_3 \nabla\left(\nabla \cdot \boldsymbol{u}^{\mathrm{a}}\right)+B_4 \nabla T=\rho^1 \ddot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{s}}+\vartheta^{\mathrm{i}} \ddot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{f}}+v^{\mathrm{l}} \dot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{f}}, \end{aligned}$

(5b)

$\begin{aligned} & B_5 \nabla\left(\nabla \cdot \boldsymbol{u}^{\mathrm{s}}\right)+B_6 \nabla\left(\nabla \cdot \boldsymbol{u}^{\mathrm{f}}\right)+ \\ & B_7 \nabla\left(\nabla \cdot \boldsymbol{u}^{\mathrm{a}}\right)+B_4 \nabla T=\rho^{\mathrm{g}} \ddot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{s}}+\vartheta^{\mathrm{g}} \ddot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{a}}+v^{\mathrm{g}} \dot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{a}}\text{，} \end{aligned}$

(5c)

$\begin{aligned} & C_1 \nabla \cdot\left(\dot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{s}}+\tau_{\mathrm{q}} \ddot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{s}}\right)+C_2 \nabla \cdot\left(\dot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{f}}+\tau_{\mathrm{q}} \ddot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{f}}\right)+ \\ & \quad C_3 \nabla \cdot\left(\dot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{a}}+\tau_{\mathrm{q}} \ddot{\boldsymbol{u}}^{\mathrm{a}}\right)+C_4\left(\dot{T}+\tau_{\mathrm{q}} \ddot{T}\right)=K \nabla^2\left(T+\tau_\theta \dot{T}\right) 。 \end{aligned}$

(5d)

式中：λ=λ+D₀，λ和μ表示Lame常数；u^f=nS^l(u^l-u^s)为土体孔隙中液相相对于固体骨架的相对位移；u^a=nS^g(u^g-u^s)为孔隙中气相相对于固体骨架的相对位移，其中u^s，u^l和u^g为固相、液相和气相的绝对位移向量，n为土体的孔隙率；S^l为孔隙内液态水的饱和度、S^g为孔隙内气体的饱和度；ρ为非饱和多孔介质的总密度，并且满足 $\rho = {\bar \rho ^{\text{s}}} + {\bar \rho ^{\text{l}}} + {\bar \rho ^{\text{g}}}$ ，其中 ${\bar \rho ^{\text{s}}}$ ， ${\bar \rho ^{\text{l}}}$ 和 ${\bar \rho ^{\text{g}}}$ 表示固-液-气三相的表观密度，且3个表观密度可以分别表示为 ${\bar \rho ^{\text{s}}}$ =(1-n)ρ^s， ${\bar \rho ^l}$ =nS^lρ^l， ${\bar \rho ^{\text{g}}}$ = nS^gρ^g，其中ρ^s，ρ^l，ρ^g分别为固相、液相和气相的密度； ${\tau _{\text{q}}}$ 为热通量的相位延迟时间；K为热传导系数； ${\tau _\theta }$ 为温度梯度的相位延迟时间。此外，其他符号的表达式见文献[14]。

根据Helmholtz势函数分解原理，三相位移矢量可以分解为

$\boldsymbol{u}^\alpha=\nabla \psi_\alpha+\nabla \times \boldsymbol{H}_\alpha 。$

(6)

式中： ${\psi _\alpha }$ 和 ${\boldsymbol{H}_\alpha }$ 为各相介质的势函数（α=s，f，a），s表示固相、f表示液相、a表示气相。

假设平面波的势函数解如下：

${\psi _\alpha } = {A^\alpha }\exp \left[ {{\text{i}}({k_{\text{p}}}\boldsymbol{x} - \omega t)} \right] \text{，}$

(7a)

${\boldsymbol{H}_\alpha } = {\boldsymbol{B}^\alpha }\exp \left[ {{\text{i}}({k_{\text{s}}}\boldsymbol{x} - \omega t)} \right] \text{，}$

(7b)

$T = {A^{\text{T}}}\exp \left[ {{\text{i}}({k_{\text{p}}}\boldsymbol{x} - \omega t)} \right] 。$

(7c)

式中： ${A^\alpha }$ 和 ${\boldsymbol{B}^\alpha }$ （α=s，f，a）分别为各相中P波（包括T波）和S波对应的势函数幅值；k_p和k_s分别为压缩波（包括热波）和剪切波的复波数；ω为角频率。

将式（6）代入式（5a）~（5d），并结合式（7a），（7b），（7c），可得到热弹性体波的特征方程如下：

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}}&{{b_{12}}}&{{b_{13}}}&{{b_{14}}} \\ {{b_{21}}}&{{b_{22}}}&{{b_{23}}}&{{b_{24}}} \\ {{b_{31}}}&{{b_{32}}}&{{b_{33}}}&{{b_{34}}} \\ {{b_{41}}}&{{b_{42}}}&{{b_{43}}}&{{b_{44}}} \end{array}} \right| = 0 \text{，}$

(8a)

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{11}}}&{{c_{12}}}&{{c_{13}}} \\ {{c_{21}}}&{{c_{22}}}&{{c_{23}}} \\ {{c_{31}}}&{{c_{32}}}&{{c_{33}}} \end{array}} \right| = 0 。$

(8b)

式（8a），（8b）分别为压缩波（包括热波）和剪切波的特征方程，方程中的元素详见文献[14]。通过求解方程，可得非饱和土层中各热弹性波的波数。

2. 波场分析

假设频率为ω的平面P波，从基岩层以任意角度θ_ip入射至单相热弹性介质和非饱和多孔热弹性介质的分界面上时，在基岩层中产生如图 1所示的3种反射波（反射P波、反射S波、反射T波）和非饱和土层中5种透射波（透射P₁波、透射P₂波、透射P₃波、透射T波、透射S波），随着地震波在非饱和土层中继续传播，在非饱和土层和地表交界面处产生反射P₁波、反射P₂波、反射P₃波、反射T波、反射S波。

图 1 非饱和土自由场地简化模型

Figure 1. Simplified model for free site of unsaturated soils

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2.1 波的势函数

基岩层和非饱和土层中的波场函数如下所示：

（1）单相热弹性介质中体波的势函数

$\begin{gathered} \mathrm{P} \text { 波: } \psi_{\mathrm{e}}=A_{\mathrm{ip1}}^{\mathrm{s}} \exp \left[\mathrm{i} k_{\mathrm{ip1}}\left(l_{\mathrm{ip1}} x-n_{\mathrm{ip1}} z-c_{\mathrm{ip1}} t\right)\right]+ \\ \sum\limits_{q=1}^2 A_{\mathrm{1rpq} q}^{\mathrm{s}} \exp \left[\mathrm{i} k_{\mathrm{1rpq}}\left(l_{\mathrm{1rpq}} x+n_{\mathrm{1rpq} q} z-c_{\mathrm{1rpq}} t\right)\right], \end{gathered}$

(9a)

$\begin{gathered} &T 波：T_{\mathrm{e}}=A_{\mathrm{ip1}}^{\mathrm{s}} \delta_{\mathrm{Tp} 1}^{\mathrm{e}} \exp \left[\mathrm{i} k_{\text {ip1 }}\left(l_{\mathrm{ip1}} x-n_{\mathrm{ipl}} z-c_{\mathrm{ip1}} t\right)\right]+\\ &\sum\limits_{q=1}^2 A_{ \mathrm{1rpq}}^{\mathrm{s}} \delta_{\mathrm{Tpq}}^{\mathrm{e}} \exp \left[\mathrm{i} k_{\mathrm{1rpq}}\left(l_{\mathrm{1rpq}} x+n_{\mathrm{1rpq}} z-c_{\mathrm{1rpq}} t\right)\right], \end{gathered}$

(9b)

$S波： {H_{\text{e}}} = {B_{{\text{1rs}}}}\exp \left[ {{\text{i}}{k_{1rs}}({l_{{\text{1rs}}}}x + {n_{{\text{1rs}}}}z - {c_{{\text{1rs}}}}t)} \right] 。$

(9c)

（2）非饱和土层中体波的势函数

$\begin{aligned} & \mathrm{P} \text { 波: } \psi_{\mathrm{u}}^\alpha=\sum\limits_{n=1}^4 A_{\mathrm{tp} n}^\alpha \exp \left[\mathrm{i} k_{\mathrm{tp} n}\left(l_{\mathrm{tp} n} x-n_{\mathrm{tp} n} z-c_{\mathrm{tp} n} t\right)\right]+ \\ & \sum\limits_{n=1}^4 A_{2 \mathrm{rp} n}^\alpha \exp \left[\mathrm{i} k_{2 \mathrm{rp} n}\left(l_{2 \mathrm{rp} n} x+n_{2 \mathrm{rp} n} z-c_{2 \mathrm{rp} n} t\right)\right], \end{aligned}$

(10a)

$\begin{aligned} & \mathrm{T} \text { 波: } T_{\mathrm{u}}=\sum\limits_{n=1}^4 A_{\mathrm{tp} n}^{\mathrm{s}} \delta_{\mathrm{Tp} n} \exp \left[\mathrm{i} k_{\mathrm{t p} n}\left(l_{\mathrm{tp} n} x-n_{\mathrm{tp} n} z-c_{\mathrm{tp} n} t\right)\right]+ \\ & \sum\limits_{n=1}^4 A_{2 \mathrm{rp} n}^{\mathrm{s}} \delta_{\mathrm{Tp} n} \exp \left[\mathrm{i} k_{2 \mathrm{rp} n}\left(l_{2 \mathrm{rp} n} x+n_{2 \mathrm{rp} n} z-c_{2 \mathrm{rp} n} t\right)\right], \end{aligned}$

(10b)

$\begin{gathered} \mathrm{S} \text { 波: } H_{\mathrm{u}}^\alpha=B_{2 \mathrm{ts}}^\alpha \exp \left[\mathrm{i}k_{2 \mathrm{ts}}\left(l_{2 \mathrm{ts}} x-n_{2 \mathrm{ts}} z-c_{2 \mathrm{ts}} t\right)\right]+ \\ B_{2 \mathrm{rs}}^\alpha \exp \left[\mathrm{i} k_{2 \mathrm{rs}}\left(l_{2 \mathrm{rs}} x+n_{2 \mathrm{rs}} z-c_{2 \mathrm{rs}} t\right)\right] \quad 。 \end{gathered}$

(10c)

式中： $\alpha$ 取s，f，a，表示固、液、气三相；下标i，r，t分别表示入射波、反射波和透射波；下标e和1代表基岩层，u和2代表上覆非饱和土层；q表示单相热弹性介质中不同的反射和透射P波(包括T波)，其中q=1，2，分别代表单相热弹性介质中的反射P波、反射T波；n表示的是非饱和土层中不同的反射和透射P波（包括T波），其中n=1，2，3，4，分别代表反射（透射）P₁波、反射（透射）P₂波、反射（透射）P₃波和反射（透射）T波。k_ip1，c_ip1分别表示入射P波的波数和波速；k_1rpq，k_1rs，c_1rpβ，c_1rs分别表示半无限基岩层中2种反射压缩波（P波、T波）和1种反射剪切波（S波）的波数以及对应的波速；k_tpn，k_2ts分别表示非饱和土层中4种透射波（包括P波和T波）和1种透射S波的波数；c_tpn，c_2ts分别表示非饱和土层中4种透射纵波（包括热波）和1种透射S波的波速；k_2rpn、k_2rs分别表示非饱和土层中4种反射波（包括P波和T波）和1种反射S波的波数；c_2rpn，c_2rs分别表示非饱和土层中4种反射波（包括P波和T波）和1种反射S波的波速；l，n分别表示x，z方向的方向矢量； ${\text{i}} = \sqrt { - 1}$ 。

由Snell定理可得

$\begin{aligned} l_{\mathrm{ip1} } k_{\mathrm{ip} 1} & =l_{1 \mathrm{rp1} } k_{1 \mathrm{p} 1}=l_{\mathrm{1rp} 2} k_{1 \mathrm{rp} 2}=l_{\mathrm{1rs}} k_{1 \mathrm{rs}}=l_{\mathrm{tp1} } k_{\mathrm{tp} 1} \\ & =l_{\mathrm{tp} 2} k_{\mathrm{tp} 2}=l_{\mathrm{tp} 3} k_{\mathrm{tp} 3}=l_{\mathrm{tp} 4} k_{\mathrm{tp} 4}=l_{2 \mathrm{ts}} k_{2 \mathrm{ts}} 。 \end{aligned}$

(11)

由式（4a），（4b）经过推导可得单相热弹性介质中P波和T波的势函数幅值比例为

${\delta }_{\text{Tp}n}^{\text{e}}=\frac{{A}_{\text{T}}}{{A}_{\text{s}}}=-\frac{{k}_{11}}{{k}_{12}}(n=1,2\text{) }。$

(12)

由式（8a），（8b）经过推导可得非饱和多孔热弹性介质中势函数的幅值比例关系为

${\delta }_{\text{fp}n}=\frac{{A}_{}^{\text{f}}}{{A}_{}^{\text{s}}}=\frac{{d}_{11}^{}{d}_{15}^{}-{d}_{12}^{}{d}_{16}^{}}{{d}_{13}^{}{d}_{16}^{}-{d}_{14}^{}{d}_{15}^{}}\text{ }(n=1,2,3,4)\text{ }\text{，}$

(13a)

${\delta }_{\text{ap}n}=\frac{{A}_{}^{\text{a}}}{{A}_{}^{\text{s}}}=\frac{{d}_{21}^{}{d}_{25}^{}-{d}_{22}^{}{d}_{26}^{}}{{d}_{23}^{}{d}_{26}^{}-{d}_{24}^{}{d}_{25}^{}}\text{ }(n=1,2,3,4)\text{ }\text{，}$

(13b)

${\delta }_{\text{Tp}n}=\frac{{A}_{}^{\text{T}}}{{A}_{}^{\text{s}}}=\frac{{d}_{31}^{}{d}_{35}^{}-{d}_{32}^{}{d}_{36}^{}}{{d}_{33}^{}{d}_{36}^{}-{d}_{34}^{}{d}_{35}^{}}\text{ }(n=1,2,3,4)\text{ }\text{，}$

(13c)

${\delta }_{\text{fs}}=\frac{{B}_{}^{\text{f}}}{{B}_{}^{\text{s}}}=-\frac{{c}_{12}}{{c}_{22}},{\delta }_{\text{as}}=\frac{{B}_{}^{a}}{{B}_{}^{\text{s}}}=\frac{{c}_{21}{c}_{12}-{c}_{11}{c}_{22}}{{c}_{13}{c}_{22}}\text{ }。$

(13d)

式中：元素d₁₁~d₃₆的表达式详见文献[21]。

2.2 边界条件

（1）为保证非饱和土层与基岩层的边界处（z=H）紧密接触，两种不同介质边界处的应力和位移是连续的。此外，该边界在两种不同介质下的等温条件通过温度和热通量的连续性来保证。由于不可渗透的热弹性介质的存在，非饱和多孔热弹性介质中的孔隙流体不可渗透通过该分界面，故适用于该界面的边界条件可以表示如下^[21]：

交界面上应力连续：

${\sigma }_{zz}={\sigma }_{zz}^{\text{e}},{\sigma }_{xz}={\sigma }_{xz}^{\text{e}}\text{ }。$

(14a)

交界面上位移连续：

${u}_{z}^{\text{s}}={u}_{z}^{\text{e}},{u}_{x}^{\text{s}}={u}_{x}^{\mathrm{e}}\text{ }。$

(14b)

交界面上温度以及温度变化率连续：

$T={T}^{\text{e}},K\frac{\partial T}{\partial z}={K}^{\text{e}}\frac{\partial {T}^{\text{e}}}{\partial z}\text{ }。$

(14c)

交界面上液相、气相相对于固体骨架的法向位移为0：

${u}_{z}^{\text{f}}={u}_{z}^{\text{a}}=0\text{ }。$

(14d)

（2）考虑自由地表为自由透水、透气和绝热的边界。由于地球表面弹性波的反射，一般认为该边界表面没有外力，孔隙内的液体和气体可以在边界表面自由流动，介质内外的温度在边界表面绝缘^[17-18]，因此适用于该界面的边界条件如下所示：

交界面上正应力、剪应力、液相压力、气相压力以及温度变化率为0

${\sigma _{zz}} = {\sigma _{xz}} = {p_{\text{w}}} = {p_{\text{a}}} = \frac{{\partial T}}{{\partial z}} = 0。$

(15)

单相介质中的应力位移表达式为

$u_x^{\text{e}} = \frac{{\partial {\psi _{\text{e}}}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {H_{\text{e}}}}}{{\partial z}} \text{，}$

(16a)

$u_z^{\text{e}} = \frac{{\partial {\psi _{\text{e}}}}}{{\partial z}} + \frac{{\partial {H_{\text{e}}}}}{{\partial x}} \text{，}$

(16b)

$\sigma _{xz}^{\text{e}} = {\mu _{\text{e}}}\left( {2\frac{{{\partial ^2}{\psi _{\text{e}}}}}{{\partial x\partial z}} + \frac{{{\partial ^2}{H_{\text{e}}}}}{{\partial {x^2}}} - \frac{{{\partial ^2}{H_e}}}{{\partial {z^2}}}} \right) \text{，}$

(16c)

${\sigma }_{zz}^{\text{e}}={\lambda }_{\text{e}}\left(\frac{{\partial }^{2}{\psi }_{\text{e}}}{\partial {x}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}{\psi }_{\text{e}}}{\partial {z}^{2}}\right)+2{\mu }^{\text{e}}\left(\frac{{\partial }^{2}{\psi }_{\text{e}}}{\partial {z}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}{H}_{\text{e}}}{\partial x\partial z}\right)-3{K}_{\text{b}}{\beta }_{\text{T}}T\text{ }。$

(16d)

非饱和多孔介质中的应力位移表达式为

$u_x^\alpha = \frac{{\partial \psi _{\text{u}}^\alpha }}{{\partial x}} - \frac{{\partial H_{\text{u}}^\alpha }}{{\partial z}} \text{，}$

(17a)

$u_z^\alpha = \frac{{\partial \psi _\rm u^a}}{{\partial z}} + \frac{{\partial H_{\text{u}}^\alpha }}{{\partial x}} \text{，}$

(17b)

$\begin{gathered} \sigma_{z z}=\bar{\lambda}\left(\frac{\partial^2 \psi_\rm u^{\mathrm{s}}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{\mathrm{u}}^{\mathrm{s}}}{\partial z^2}\right)+2 \mu\left(\frac{\partial^2 \psi_{\mathrm{u}}^{\mathrm{s}}}{\partial z^2}+\frac{\partial^2 H_{\mathrm{u}}^{\mathrm{s}}}{\partial x \partial z}\right)+ \\ D_1\left(\frac{\partial^2 \psi_{\mathrm{u}}^{\mathrm{f}}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{\mathrm{u}}^{\mathrm{f}}}{\partial z^2}\right)+D_2\left(\frac{\partial^2 \psi_{\mathrm{u}}^{\mathrm{a}}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{\mathrm{u}}^{\mathrm{a}}}{\partial z^2}\right)+D_3 T_{\mathrm{u}}, \end{gathered}$

(17c)

${\sigma _{xz}} = \mu \left( {2\frac{{{\partial ^2}\psi _{\text{u}}^{\text{s}}}}{{\partial x\partial z}} + \frac{{{\partial ^2}H_{\text{u}}^{\text{s}}}}{{\partial {x^2}}} - \frac{{{\partial ^2}H_{\text{u}}^{\text{s}}}}{{\partial {z^2}}}} \right) \text{，}$

(17d)

$\begin{aligned} p_g= & -B_5\left(\frac{\partial^2 \psi_\rm u^{\mathrm{s}}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_\rm u^{\mathrm{s}}}{\partial z^2}\right)-B_6\left(\frac{\partial^2 \psi_\rm u^{\mathrm{f}}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_\rm u^{\mathrm{f}}}{\partial z^2}\right)- \\ & B_7\left(\frac{\partial^2 \psi_\rm u^{\mathrm{a}}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_\rm u^{\mathrm{a}}}{\partial z^2}\right)-B_8 T_\rm u\text{，} \end{aligned}$

(17e)

$\begin{aligned} p_{\mathrm{w}}= & -B_1\left(\frac{\partial^2 \psi_{\mathrm{u}}^{\mathrm{s}}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{\mathrm{u}}^{\mathrm{s}}}{\partial z^2}\right)-B_2\left(\frac{\partial^2 \psi_{\mathrm{u}}^{\mathrm{f}}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{\mathrm{u}}^{\mathrm{f}}}{\partial z^2}\right)- \\ & B_3\left(\frac{\partial^2 \psi_{\mathrm{u}}^{\mathrm{a}}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{\mathrm{u}}^{\mathrm{a}}}{\partial z^2}\right)-B_4 T_{\mathrm{u}}。 \end{aligned}$

(17f)

将波场函数（9a）~（9c）以及（10a）~（10c）代入边界条件（14a）~（14d）以及（15）可求得如下线性方程组：

$\boldsymbol{F N}=A_{\mathrm{ip}} \boldsymbol{G}。$

(18)

式中：

$N={\left[{A}_{\text{1rp1}}^{\text{s}},{A}_{\text{1rp2}}^{\text{s}},{B}_{\text{1rs}}^{\text{s}},{A}_{\text{tp1}}^{\text{s}},{A}_{\text{tp2}}^{\text{s}},{A}_{\text{tp3}}^{\text{s}},{A}_{\text{tp4}}^{\text{s}},{B}_{\text{2ts}}^{\text{s}},{A}_{\text{2rp1}}^{\text{s}},{A}_{\text{2rp2}}^{\text{s}},{A}_{\text{2rp3}}^{\text{s}},{A}_{\text{2rp4}}^{\text{s}},{B}_{\text{2rs}}^{\text{s}}\right]}^{T}，$ 矩阵F和矩阵G中的元素在附录A中给出。

3. 自由地表的位移

波幅系数确定后，场地各点的应力和位移均可确定。将式（10a）~（10c）代入到水平方向位移u_x和竖直方向位移u_z的表达式中可得

$\begin{aligned} u_x= & A_{\mathrm{tp1}}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{\mathrm{tp} 1} l_{\mathrm{tp} 1}+A_{\mathrm{tp} 2}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{\mathrm{tp} 2} l_{\mathrm{tp} 2}+A_{\mathrm{tp} 3}^{\mathrm{s}} k_{\mathrm{tp} 3} l_{\mathrm{tp} 3}+A_{\mathrm{tp} 4}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{\mathrm{tp} 4} l_{\mathrm{tp} 4}+ \\ & A_{2 \mathrm{rp} 1}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{2 \mathrm{rp} 1} l_{2 \mathrm{rp} 1}+A_{2 \mathrm{rp} 2}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{2 \mathrm{rp} 2} l_{2 \mathrm{rp} 2}+A_{2 \mathrm{r} 3}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{2 \mathrm{rp} 3} l_{2 \mathrm{rp} 3}+ \\ & A_{2 \mathrm{rp} 4}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{2 \mathrm{rp} 4} l_{2 \mathrm{rp} 4}+B_{2 \mathrm{ts}}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{2 \mathrm{ts}} n_{2 \mathrm{ts}}-B_{2 \mathrm{rs}}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{2 \mathrm{rs}} n_{2 \mathrm{rs}}, \end{aligned}$

(19a)

$\begin{aligned} u_z= & -A_{\mathrm{tp} 1}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{\mathrm{tp} 1} n_{\mathrm{tp} 1}-A_{\mathrm{tp} 2}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{\mathrm{tp} 2} n_{\mathrm{tp} 2}-A_{\mathrm{tp} 3}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{\mathrm{tp} 3} n_{\mathrm{tp} 3}-A_{\mathrm{tp} 4}^{\mathrm{s}} k_{\mathrm{tp} 4} n_{\mathrm{tp} 4}+ \\ & A_{2 \mathrm{rp} 1}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{2 \mathrm{rp} 1} n_{2 \mathrm{rp} 1}+A_{2 \mathrm{rp} 2}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{2 \mathrm{rp} 2} n_{2 \mathrm{rp} 2}+A_{2 \mathrm{rp} 3}^{\mathrm{s}} k_{2 \mathrm{rp} 3} n_{2 \mathrm{rp} 3}+ \\ & A_{2 \mathrm{rp} 4}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{2 \mathrm{rp} 4} n_{2 \mathrm{rp} 4}+B_{2 \mathrm{ts}}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{2 \mathrm{ts}} l_{2 \mathrm{ts}}+B_{2 \mathrm{rs}}^{\mathrm{s}} \mathrm{i} k_{2 \mathrm{rs}} l_{2 \mathrm{rs}}。 \end{aligned}$

(19b)

本文采用自由场表面的水平和竖向位移放大系数(u_x/u₀和u_z/u₀)来表征非饱和土自由场地的表面位移，其中位移放大系数用对应方向的位移幅值与入射波的位移幅值u₀之比来表示。

4. 数值算例

4.1 验证

本文的模型是基岩上覆厚度为H的非饱和土自由场地简化模型。在厚度为H的非饱和土层中，当平面P波从基岩入射，各热弹性波将在基岩和非饱和土层分界面处，以及非饱和土层和地表交界面处产生多种反射波和透射波。由P波入射激发的自由场中的平面波如图 1所示。为了验证本文求解过程的正确性，令本文模型中的非饱和土层厚度H→∞，此时本文的模型退化为与文献[21]一致的模型，即P波在热弹性介质与非饱和多孔热介质交界面上的透反射模型，非饱和土层处于半空间中，同时本文的解可以退化为当P波入射到热弹性介质与非饱和多孔热弹性介质交界面时，各反射波和透射波振幅反射率和透射率的解。在验证计算中取与上述文献[21]相同的物理参数，通过与上述文献的对比，由图 2可以看出，本文的计算结果与文献解答相比，透射P₁波和透射S波的振幅透射率的计算结果基本一致，进而说明了本文方法的正确性。

图 2 本文数值解与文献解的比较

Figure 2. Comparison between numerical solutions in this study and literature solutions

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随后通过数值计算，研究热效应作用下P波入射非饱和土自由场地的地震响应问题，具体分析了非饱和土层中的介质温度等热物性参数对场地地震响应所产生的影响，在数值计算中所取的热物性参数^[21]如表 1，2所示。本文分析中采用无量纲频率ω₀，其中ω₀=ω/ω₁，ω₀=1，ω₁为上覆土层完全饱和时的固有频率, 土层厚度H=20 m。

表 1 单相热弹性介质的物理力学参数

Table 1. Physical-mechanical parameters of single-phase thermoelastic media

参数	λ_e/Pa	μ_e/Pa	ρ^e/(kg·m^-3)	β_s/K^-1	K_e/(J·s^-1·m^-1·K^-1)
量值	12.0×10⁹	8.0×10⁹	2700	4.0×10^-4	2.5

参数	T_e/K	τ_qe/s	τ_θe/s	T₀/K	c_se/(J·kg^-1·K^-1)
量值	293.2	2.0×10^-7	1.5×10^-7	300	1000

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表 2 非饱和热弹性介质的物理力学参数

Table 2. Physical-mechanical parameters of unsaturated thermoelastic media

参数	λ/Pa	μ/Pa	ρ^s/(kg·m^-3)	β_T/K^-1	K/(J·s^-1·m^-1·K^-1)
量值	4.4×10⁹	2.8×10⁹	2650	1.0×10^-4	0.6

参数	T/K	τ_q/s	τ_θ/s	T/K	c_s/(J·kg^-1·K^-1)
量值	293.2	2.0×10^-7	1.5×10^-7	300	1000

参数	c_l/(J·kg^-1·K^-1)	c_g/(J·kg^-1·K^-1)	β_ST/K^-1	β_WT/K^-1	β_WP/(Pa^-1)
量值	4180	1900	7.8×10^-6	2.1×10^-4	4.58×10^-10

参数	S^l	S_sat	S_res	n	k/m²
量值	0.6	1.0	0.05	0.4	1.0×10^-10

参数	ρ^l/(kg·m^-3)	K_s/kPa	P_g/kPa	m	d
量值	1000	3.5×10⁷	101.3	0.5	2

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4.2 热传导系数的影响

热传导系数表征了岩石的导热性，不仅是研究地壳热状态的重要参数，也被广泛应用于地震勘探和采矿等领域。为了研究不同热传导系数下和等温模型下地表位移放大系数随入射角的变化曲线，忽略热效应的影响，令波动控制方程中温度的变化量以及温度随时间的导数为0，此时本文的热弹性模型退化成等温模型，即本文的解退化成等温模型下的解^[24]。图 3给出了不同热传导系数下地表位移放大系数随入射角的变化曲线。首先从图 3中可以看出在考虑热效应和不考虑热效应两种理论模型下所得到的位移放大系数有着明显差异，在热效应条件下，水平和竖向位移放大系数的变化趋势与无热效应时的趋势相似，但热效应作用下的水平和竖向位移放大系数较小。这是因为介质中的温度与应力应变之间的耦合效应相比于等温情况下更为复杂。在等温模型中，温度变化量和温度梯度及温度随时间的导数均为0，且忽略了热传导方程，而热波（T波）又是随着热的传导而产生的。由于热波的出现，热效应条件下波的波速、透反射的能量有别于等温时的情况，使得热效应和无热效应两种理论模型下波的传播特性有明显的不同，然而波的传播特性又影响着场地的地震响应。因此，这些因素相互叠加导致了热效应条件下位移放大系数与等温条件下有显著不同。其次，从图 3中可以发现，地表水平和竖向位移放大系数均随着入射角的增大，先增大后减小，水平和竖向位移放大系数分别在入射角θ=45°和θ=5°时达到峰值。

图 3 不同热传导系数下位移放大系数随入射角度变化的曲线

Figure 3. Variation curves of displacement magnification factor with incident angle under different thermal conductivities

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随着热传导系数的增大，地表水平位移放大系数逐渐增大，而竖向位移放大系数几乎不发生变化。图 3所表现出的位移放大系数在热效应和无热效应条件下变化趋势的一致性以及两者在数值上的差异，既验证了本文结果的有效性，又说明在非等温条件下研究自由场地地震响应具有重要意义。

4.3 饱和度的影响

为了分析热效应下饱和度变化对地表位移放大系数的影响规律，图 4给出了不同饱和度下地表位移放大系数随入射角的变化曲线。首先从图 4可知，随着入射角的增大，水平位移放大系数和竖向位移放大系数均呈现先增加后减小的趋势，分别在θ=45°和θ=5°时达到峰值，另外当入射角θ=0°时，地表水平位移放大系数为0，而当入射角θ=90°时，地表水平位移和竖向位移放大系数均为0。其原因是：平面P波的能量主要沿着传播的方向传递，当平面P波沿着基岩和非饱和土层的分界面水平入射时（θ=90°），由于没有垂直于分界面的分量，非饱和土层中的反射和透射波消失^[21]，故非饱和土表面不会产生位移。其次，从图 4可以发现随着饱和度的增大，地表水平位移放大系数逐渐减小，竖向位移放大系数逐渐增大。其原因是：P₂波是由液相的作用产生的，P₃波是由孔隙液体和气体的压力差产生的，当土体接近完全饱和时，土体孔隙中液相的作用力达到最大，P₂波的波速达到最大值，而随着气体的不断消散，P₃波的波速减小到最小值。此外，入射P波的能量主要分配给P₁波和S波，而多孔介质孔隙中存在的流体相会阻碍P₁波和S波的传播，液相的阻碍能力强于气相^[24]。因此这些因素的共同作用使得不同饱和度下的土体，由于气体含量的不同对场地地震地面运动的影响也有所不同。此外，本文所得的这一变化趋势与文献[25]所得到的等温条件下饱和度变化对地表位移放大系数的影响规律一致。由此可见，图 4所表现出的地表位移放大系数随饱和度变化的规律，再一次验证了本文计算结果的有效性，又说明非饱和土中气相的存在对地表位移放大系数的影响不可忽视。把场地土视为饱和土地基从而没有考虑土体饱和度对场地地震地面运动的影响，这与实际现象是有出入的。

图 4 不同饱和度下位移放大系数随入射角度变化的曲线

Figure 4. Variation curves of displacement amplification coefficient with incident angle under different saturation

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4.4 热膨胀系数的影响

热膨胀系数主要涉及描述固相应力应变关系的物理方程和描述热传导的热传导方程，为了分析热膨胀系数变化对地表位移放大系数的影响规律，图 5给出了不同热膨胀系数下位移放大系数随入射角的变化曲线。首先从图 5可知，地表水平位移放大系数和竖向位移放大系数随着入射角度的增大，均呈现先增加后减小的趋势。其次，从图 5可以看出，随着热膨胀系数的增大，水平位移放大系数逐渐增大，竖向位移放大系数也逐渐减小，且变化的幅值较大。Liu等^[21]研究发现反射P波、反射S波以及透射P₁波和透射S波所占据的能量较多，且当热膨胀系数β_T增加1×10^-4 K⁻¹时，透射P₁波的振幅比和能量比分别增加约5%和3%，透射S波的振幅比和能量比分别减少约0.5%和0.07%，而反射P波的振幅比和能量最多分别下降了约3%和4%，但反射S波的振幅比和能量比几乎不受影响。这些因素的共同作用产生了图 5所示的不同热膨胀系数下地表位移放大系数随入射角度变化的曲线。因此，热膨胀系数对地表位移放大系数有明显的影响，在工程选址，大型小区建设等实际工程中，应关注热膨胀系数的影响。

图 5 不同热膨胀系数下位移放大系数随入射角度变化的曲线

Figure 5. Variation curve of amplification factor of displacement with incident angle for different coefficients of thermal expansion

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4.5 介质温度的影响

为了分析介质温度变化对地表位移放大系数的影响规律，图 6给出了不同介质温度下地表位移放大系数随入射角的变化曲线。首先由图 6可知，地表水平和竖向位移放大系数均随着入射角的增大先增大后减小，当温度较低时水平和竖向位移放大系数分别在入射角θ=45°和θ=5°达到峰值。当介质温度达到313.2 K时，水平位移放大系数在θ=55°时达到峰值。其次，从图 6可以发现，随着介质温度的不断增大，地表水平位移放大系数逐渐减小，竖向位移放大系数逐渐增大，其中水平位移放大系数减小的幅值较大而竖向位移放大系数增大的幅值较小。其原因是：介质温度的变化，影响着各热弹性波的传播特性，从而影响着场地的地震地面运动。介质温度的变化对非饱和土层中的透射P₂波、透射P₃波、透射T波和反射T波的能量比和振幅比均产生显著影响，即随着温度的增大，其振幅比和能量比显著增加。但是，随着介质温度的增大，透射P₁波和S波以及反射的P波和S波的振幅比和能量比基本保持不变^[21]。这些因素的共同作用使得介质温度增大时，水平位移放大系数减小的幅值较大，而竖向位移放大系数增大的幅值较小。因此，在实际工程中，应关注土层的温度变化情况。

图 6 不同温度下位移放大系数随入射角度变化的曲线

Figure 6. Variation curve of displacement amplification coefficient with incident angle at different temperatures

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4.6 热通量相位延迟时间的影响

相对于等温条件下的多孔介质理论，在多孔热弹性介质理论下将会产生T波。热通量相位延迟时间作用于决定热波（T波）的波动方程式（5d），对T波的波速产生影响。为了分析热通量相位延迟时间变化对地表位移放大系数的影响规律，保持其他参数不变，图 7给出了不同热通量相位延迟时间下地表位移放大系数随入射角的变化曲线。

图 7 不同热通量相位延迟时间下位移放大系数随入射角度变化的曲线

Figure 7. Variation curves of displacement amplification coefficient with incident angle under different phase lags of heat flux

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首先从图 7可知，地表水平位移放大系数和竖向位移放大系数随着入射角度的增大，均呈现先增加后减小的趋势。其次，从图 7中可以发现，随着热通量相位延迟时间的增大，水平位移放大系数和竖向位移放大系数仅发生微小变化。其原因是：热通量相位延迟时间仅作用于决定T波的波动控制方程式（5d），对P波和S波的传播特性几乎不产生影响，且T波占据的能量和振幅比P波和S波的小好几个数量级。因此，热通量相位延迟时间的变化对位移放大系数的影响较小。

4.7 土层深度变化对土层应力的影响

为了分析土层深度变化对土层应力的影响，图 8给出了土层竖向应力随土层深度变化的曲线。图 8考虑了4种土层深度，分别为H=5，10，15，20 m。首先，应力的幅值随入射角的增大而增大，在入射角θ=58°时达到峰值。其次，随着土层深度H的增大，竖向应力逐渐增大。值得注意的是，当H=5 m时，相比于其他土层深度的情况，此时的应力较小。由此可见，在热效应条件下，土层的深度变化对应力变化的影响显著，当土层深度较小时，应力较小，当土层深度较大时，应力较大。因此，在实际工程抗震设计中，要关注土层深度的影响。

图 8 土层竖向应力随深度变化的曲线

Figure 8. Variation curves of vertical stress of soil layers with depth

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5. 结论

本文基于非饱和多孔热弹性介质和单相热弹性介质中波的传播理论，研究平面P波入射非饱和土自由场地的地震响应，分析了热传导系数等热物性参数变化对场地地震响应所产生的影响，主要得到以下3点结论。

（1）有热效应和无热效应两种理论模型下所得到的位移放大系数有显著的差距。热膨胀系数的增大将引起水平和竖向位移放大系数分别增大和减小。

（2）随着介质温度的增大，地表水平位移放大系数逐渐减小，竖向位移放大系数逐渐增大。热通量相位延迟时间对地表位移放大系数的影响较小。此外，随着土层深度的增大，土层中的竖向应力逐渐增大。

（3）随着饱和度的增大，地表水平位移放大系数逐渐减小，而竖向位移放大系数逐渐增大，说明非饱和土中气相对场地地震响应的影响不可忽视。

本文的研究结果可以为干旱、半干旱、土坝、铁路、港口平台以及海相沉积土分布等地区提供抗震理论指导，以便给地震小区划分和工程选址等工作提供理论依据，从而防范温室效应作用下场地的工程地震灾变风险，是保障工程抗震设计可靠性的基础科学手段，对工程应用具有重要的指导价值和现实意义。

附录A

$\begin{aligned} & \left.f_{11} \sim f_{12}=\left[-\left(\lambda^{\mathrm{e}}+2 \mu^{\mathrm{e}} n_{1 r p n}^2\right) k_{1 r p n}^2-3 k_b^{\mathrm{e}} \beta_T^{\mathrm{e}} \delta_{T p q}^{\mathrm{e}}\right)\right] \exp \left(\mathrm{i} k_{1 r p q} n_{1 r p q} H\right), \\ & f_{13}=-2 \mu^{\mathrm{e}} l_{1 r s} n_{1 r s} k_{1 r s}^2 \exp \left(\mathrm{i} k_{1 r s} n_{1 r s} H\right), \end{aligned}$

$\begin{aligned} & f_{14} \sim f_{17}=\left[\left(\bar{\lambda}+2 \mu n_{t p n}^2+D_1 \delta_{f p n}+D_2 \delta_{a p n}\right) k_{t p n}^2-D_3 \delta_{T p n}\right] . \\ & \exp \left(-\mathrm{i} k_{t p n} n_{t p n} H\right), \\ & f_{18}=-2 \mu l_{2 t s} n_{2 t s} k_{2 t s}^2 \exp \left(-\mathrm{i} k_{2 t s} n_{2 t s} H\right), \end{aligned}$

$\begin{aligned} & f_{19} \sim f_{1(12)}=\left[\left(\bar{\lambda}+2 \mu n_{2 r p n}^2+D_1 \delta_{2 r p n}+D_2 \delta_{2 r p n}\right) k_{2 r p n}^2-D_3 \delta_{Tp n}\right] . \\ & \exp \left(\mathrm{i} k_{2 r p n} n_{2 r pn} H\right), \\ & f_{1(13)}=2 \mu l_{2 r s} n_{2 r s} k_{2 r s}^2 \exp \left(\mathrm{i} k_{2 r s} n_{2 r s} H\right) \text {, } \\ & f_{21} \sim f_{22}=2 \mu^{\mathrm{e}} l_{1 rp q} n_{1 r p q} k_{1 r p q}^2 \exp \left(\mathrm{i} k_{1 r p q} n_{1 r p q} H\right), \\ & f_{23}=\mu^{\mathrm{e}}\left(l_{1 r s}^2-n_{1 r s}^2\right) k_{1 r s}^2 \exp \left(\mathrm{i}_{1 r s} n_{1 r s} H\right), \\ & f_{24} \sim f_{27}=2 \mu l_{ {tpn }} n_{ {tpn }} k_{ {tpn }}^2 \exp \left(-\mathrm{i} k_{ {tpn }} n_{ {tpn }} H\right), \\ & f_{28}=\mu\left(n_{2 t s}^2-l_{2 ts}^2\right) k_{2 ts}^2 \exp \left(-\mathrm{i} k_{2 ts} n_{2 ts} H\right) \text {, } \\ & f_{29} \sim f_{2(12)}=-2 \mu l_{2 r p n} n_{2 r pn} k_{2 { rpn }}^2 \exp \left(\mathrm{i} k_{2 r pn } n_{2 r p n} H\right) \text {, } \\ & f_{2(13)}=\mu\left(n_{2 r s}^2-l_{2 r s}^2\right) k_{2 r s}^2 \exp \left(\mathrm{i} k_{2 r s} n_{2 rs} H\right) \text {, } \\ & f_{31} \sim f_{32}=n_{1 r p q} k_{1 rp n} \exp \left(\mathrm{i} k_{1 rpq} n_{1 r p q} H\right) \text {, } \\ & f_{33}=l_{1 r s} k_{1 r s} \exp \left(\mathrm{i} k_{1 r s} n_{1 r s} H\right) \text {, } \\ & f_{34} \sim f_{37}=n_{ {tpn }} k_{t p n} \exp \left(-\mathrm{i} k_{t p n} n_{t p n} H\right), \\ & f_{43}=n_{1 r s} k_{1 r s} \exp \left(\mathrm{i} k_{1 r s} n_{1 r s} H\right) \text {, } \\ & f_{38}=-l_{2 t s} k_{2 t s} \exp \left(-\mathrm{i} k_{2 t s} n_{2 t s} H\right) \text {, } \\ & f_{39} \sim f_{3(12)}=-n_{2 r p n} k_{2 rpn} \exp \left(\mathrm{i}_{2 rpn} n_{2 r p n} H\right), \\ & f_{3(13)}=-l_{2 rs} k_{2 rs} \exp \left(\mathrm{i}_{2 rs} n_{2 r s} H\right) \text {, } \\ & f_{41} \sim f_{42}=-l_{1 rpq} k_{1 rpq} \exp \left(\mathrm{i} k_{1 rpq} n_{1 rpq} H\right), \\ & f_{44} \sim f_{47}=l_{t p n} k_{t p n} \exp \left(-\mathrm{i} k_{t p n} n_{t p n} H\right), \\ & f_{48}=n_{2 t s} k_{2 t s} \exp \left(-\mathrm{i} k_{2 ts} n_{2 t s} H\right) \text {, } \\ & f_{49} \sim f_{4(12)}=l_{2 r p n} k_{2 r p n} \exp \left(i k_{2 r p n} n_{2 r p n} H\right), \\ & f_{4(13)}=-n_{2 rs} k_{2 r s} \exp \left(\mathrm{i} k_{2 r s} n_{2 r s} H\right) \text {, } \\ & f_{51} \sim f_{52}=-\delta_{Tpq}^{\mathrm{e}} \exp \left(\mathrm{i} k_{1 r p q} n_{1 r p q} H\right), \\ & f_{54} \sim f_{57}=\delta_{T p n} \exp \left(-\mathrm{i} k_{t p n} n_{t p n} H\right), \\ & f_{59} \sim f_{5(12)}=\delta_{Tp n} \exp \left(\mathrm{i} k_{2 r p n} n_{2 r p n} H\right), \\ & f_{53}=0, \quad f_{58}=0, \quad f_{5(13)}=0 \text {, } \\ & f_{61} \sim f_{62}=K^{\mathrm{e}} n_{1 r p q} k_{1 r p q} \delta_{T p q}^{\mathrm{e}} \exp \left(\mathrm{i} k_{1 rp q} n_{1 r p q} H\right), \quad f_{63}=0, \\ & f_{64} \sim f_{67}=K n_{t p n} k_{t p n} \delta_{T p n} \exp \left(-\mathrm{i} k_{t p n} n_{t p n} H\right), \\ & f_{68}=0, f_{6(13)}=0 \text {, } \\ & f_{69} \sim f_{6(12)}=-K n_{2 r p n} k_{2 r p n} \delta_{T p n} \exp \left(i k_{2 r p n} n_{2 r p n} H\right), \\ & f_{71}=f_{72}=f_{73}=0 \text {, } \\ & f_{74} \sim f_{77}=n_{t p n} k_{t p n} \delta_{f p n} \exp \left(-\mathrm{i} k_{\mathrm{tpn}} n_{t p n} H\right), \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\begin{aligned} & f_{7 8}=-l_{2 t s} k_{2 t s} \delta_{f s} \exp \left(-\mathrm{i} k_{2 ts} n_{2 t s} H\right), \\ & f_{79} \sim f_{7(12)}=-n_{2 r p n} k_{2 r p n} \delta_{f p n} \exp \left(\mathrm{i} k_{2 r p n} n_{2 r pn} H\right) \text {, } \\ & f_{7(13)}=-l_{2 r s} k_{2 r s} \delta_{f s} \exp \left(i k_{2 r s} n_{2 r s} H\right), \quad f_{81} \sim f_{83}=0 \text {, } \\ & f_{84} \sim f_{87}=n_{t p n} k_{t pn} \delta_{a p n} \exp \left(-\mathrm{i} k_{t p n} n_{t p n} H\right) \text {, } \\ & f_{88}=-l_{2 t s} k_{2 t s} \delta_{a s} \exp \left(-\mathrm{i} k_{2 t s} n_{2 t s} H\right) \text {, } \\ & f_{89} \sim f_{8(12)}=-n_{2 r p n} k_{2 r p n} \delta_{a p n} \exp \left(\mathrm{i} k_{2 r p n} n_{2 r p n} H\right) \text {, } \\ & f_{8(13)}=-l_{2 r s} k_{2 r s} \delta_{a s} \exp \left(i k_{2 r s} n_{2 r s} H\right), \quad f_{91} \sim f_{93}=0 \text {, } \\ & f_{94} \sim f_{97}=\left(\bar{\lambda}+2 \mu n_{t p n}^2+D_1 \delta_{f p n}+D_2 \delta_{a p n}\right) k_{ {tpn }}^2-D_3 \delta_{T p n} \text {, } \\ & f_{98}=-2 \mu l_{2 t s} n_{2t s} k_{2t s}^2 \text {, } \\ & f_{99} \sim f_{9(12)}=\left(\bar{\lambda}+2 \mu n_{2 r p n}^2+D_1 \delta_{f p n}+D_2 \delta_{a p n}\right) k_{2 r p n}^2-D_3 \delta_{Tp n} \text {, } \\ & f_{9(13)}=2 \mu l_{2 r s} n_{2 r s} k_{2 r s}^2, \quad f_{10(1)} \sim f_{10(3)}=0 \text {, } \end{aligned}\\ &\begin{aligned} & f_{10(4)} \sim f_{10(7)}=2 \mu l_{t p n} n_{t p n} k_{t p n}^2,\\ & f_{10(8)}=\mu\left(1-2 l_{2 ts}^2\right) k_{2 ts}^2, \quad f_{10(9)} \sim f_{10(12)}=-2 \mu l_{2r p n} n_{2 r p n} k_{2 r p n}^2 \text {, } \\ & f_{10(13)}=\mu\left(1-2 l_{2 r s}^2\right) k_{2 r s}^2, \quad f_{11(1)}=f_{11(2)}=f_{11(3)}=0 \text {, } \\ & f_{11(4)} \sim f_{14(7)}=\left(B_1+B_2 \delta_{f p n}+B_3 \delta_{a p n}\right) k_{t p n}^2-B_4 \delta_{T_{p n}} \text {, } \\ & f_{11(8)}=0 \text {, } \\ & f_{11(9)} \sim f_{11(12)}=\left(B_1+B_2 \delta_{f p n}+B_3 \delta_{\text {apn }}\right) k_{2 r p n}^2-B_4 \delta_{Tp n} \text {, } \\ & f_{11(13)}=0, \quad f_{12(1)}=f_{12(2)}=f_{12(3)}=0 \text {, } \\ & f_{12(4)} \sim f_{12(7)}=\left(B_5+B_6 \delta_{f p n}+B_7 \delta_{a p n}\right) k_{t p n}^2-B_8 \delta_{Tp n} \text {, } \\ & f_{12(8)}=0 \text {, } \\ & f_{12(9)} \sim f_{12(12)}=\left(B_5+B_6 \delta_{f p n}+B_7 \delta_{a p n}\right) k_{2 r p n}^2-B_8 \delta_{Tp n} \text {, } \\ & f_{12(13)}=0, \quad f_{13(1)}=f_{13(2)}=f_{13(3)}=0 \text {, } \\ & f_{13(4)} \sim f_{13(7)}=n_{t p n}^2 k_{tpn}^2 \delta_{Tp n} \text {, } \\ & f_{13(8)}=0, \quad f_{13(9)} \sim f_{13(12)}=n_{2 r p n}^2 k_{2 r p n}^2 \delta_{Tp n}, \quad f_{13(13)}=0 \text {, } \\ & g_1=\left(\lambda^{\mathrm{e}}+2 \mu^{\mathrm{e}} n_{i p 1}^2\right) k_{i p 1}^2 \exp \left(-\mathrm{i} k_{i p 1} n_{i p 1} H\right)+3 K_b^{\mathrm{e}} \beta_T^{\mathrm{e}} \delta_{T p 1}^{\mathrm{e}} . \\ & \exp \left(-\mathrm{i} k_{i p 1} n_{i p 1} H\right), \quad g_2=2 \mu^{\mathrm{e}} l_{i p 1} n_{i p 1} k_{i p 1}^2 \exp \left(-\mathrm{i} k_{i p 1} n_{i p 1} H\right) \text {, } \\ & g_3=k_{i p 1} n_{i p 1} \exp \left(-\mathrm{i} k_{i p 1} n_{i p 1} H\right) \text {, } \\ & g_4=l_{i p 1} k_{i p 1} \exp \left(-\mathrm{i} k_{i p 1} n_{i p 1} H\right), \quad g_5=\delta_{T p 1}^{\mathrm{e}} \exp \left(-\mathrm{i} k_{i p 1} n_{i p1} H\right) \text {, } \\ & g_6=K^{\mathrm{e}} n_{i p 1} k_{i p 1} \delta_{T p 1}^{\mathrm{e}} \exp \left(-\mathrm{i} k_{i p 1} n_{i p 1} H\right), \quad g_7 \sim g_{13}=0 \text { 。 } \end{aligned}\\ &\text { 式中：} q=1,2 ; n=1,2,3,4 \text { 。 } \end{aligned}$

图 1 狮子洋盾构隧道双层衬砌分块示意

Figure 1. Schematic diagram of double-layer lining of Shiziyang tunnel

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图 2 模型试验加载装置示意

Figure 2. Schematic diagram of loading devices for model tests

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图 3 模型结构及加载示意

Figure 3. Schematic diagram of model structure and loading

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图 4 盾构隧道管片衬砌接头处理示意

Figure 4. Treatment of segmental sheet lining joint of shield tunnel

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图 5 接合面为复合类型的双层衬砌结构示意

Figure 5. Schematic diagram of double-lining structure with composite type at joint surface

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图 6 测试元件排布方式示意

Figure 6. Schematic diagram of arrangement of test components

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图 7 不同侧压力系数条件下管片衬砌内力随加载变化曲线

Figure 7. Variation curves of internal force of segmental lining with loading under different lateral pressure coefficients

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图 8 不同侧压力系数条件下二次衬砌内力随加载变化图

Figure 8. Variation of internal force of secondary lining with loading under different lateral pressure coefficients

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图 9 不同侧压力系数条件下衬砌变形随加载变化图

Figure 9. Variation of lining deformation with loading under different lateral pressure coefficients

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图 10 不同侧压力系数下加载全过程声发射信息

Figure 10. Acoustic emission information of whole loading process with different lateral pressure coefficients

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图 11 管片衬砌破坏形态素描

Figure 11. Sketch of damage pattern of segmental lining

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表 1 相似关系表

Table 1 Ratios of similarities

物理量	符号	相似比	单位
强度	R	${C_R} = 20$	Pa
弹性模量	$E$	${C_E} = 20$	Pa
应力	$\sigma$	${C_\sigma } = 20$	Pa
黏聚力	c	${C_c} = 20$	Pa
内摩擦角	$\varphi$	${C_\varphi } = 1$	(°)

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表 2 土体材料物理力学参数表

Table 2 Physical and mechanical parameters of soil materials

名称	γ/(kN·m^-3)	E/MPa	c/kPa	φ/(°)
原型值	18.7~20.3	15.0~25.0	0	20.0~32.0
模型值	20.0	1.0	0	28.0

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表 3 试验加载参数表

Table 3 Loading parameters for tests

加载步	千斤顶油压/MPa	模型拱顶地层压力/kPa	模拟等效覆土厚度/m
0	0.0	0.00	0
1	0.6	1.44	3
2	1.0	5.52	11
3	1.4	8.67	17
4	1.8	11.86	25
5	2.2	14.46	30
6	2.6	18.70	37
7	3.0	21.79	43
8	3.4	24.95	50
9	3.8	29.29	60
10	4.2	33.96	70
11	4.6	41.88	85
12	5.0	47.31	95
13	5.4	52.83	105
14	5.8	57.34	115
15	6.2	61.33	125
16	6.6	65.37	135
17	7.0	70.04	145
18	7.4	75.96	155
19	7.8	81.39	165
20	8.2	86.91	175
21	8.6	91.42	185
22	9.0	95.41	195
23	9.4	99.45	205
24	9.8	103.58	215

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表 4 试验工况表

Table 4 Test conditions

试验组号	侧压力系数		二衬厚度/cm	水头高度/m
1		0.5	30	30
2		0.6
3		0.7
4		0.8

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表 5 双层衬砌失稳变形统计

Table 5 Instability deformation statistics of double-layer lining

侧压力系数	失稳荷载等级	失稳位置	失稳变形/mm
0.5	14	拱底	15.17
0.6	14	拱底	10.68
0.7	21	拱底	10.59
0.8	22	拱底	9.45

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表 6 双层衬砌结构试验结果汇总

Table 6 Summary of test results for double-layer structures

二次衬砌失效时衬砌结构试验数据	侧压力系数
二次衬砌失效时衬砌结构试验数据	0.5	0.6	0.7	0.8
竖向外荷载/kPa	57.34	57.34	91.42	95.41
最大径向位移/mm	15.17	10.68	10.59	9.45
最大弯矩值/(kN·m)	954.26	885.52	845.73	750.54
最大轴力值/kN	4322.43	5699.15	8030.46	9421.30
最大偏心距/mm	220.77	155.54	105.32	79.66
二次衬砌轴力分配比例/%	24.5	26.4	19.9	32.7

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