基于构造滑面正应力分布的岩质边坡三维极限平衡法与应用

卢坤林; 梅一帆; 王林飞; 贾森林; 秦涛; 朱大勇

doi:10.11779/CJGE20230753

基于构造滑面正应力分布的岩质边坡三维极限平衡法与应用 English Version

1.
合肥工业大学土木与水利学院, 安徽合肥 230009
2.
中钢集团马鞍山矿山研究院有限公司金属矿山安全与健康国家重点实验室, 安徽马鞍山 243000
3.
浙大宁波理工学院土木建筑工程学院, 浙江宁波 315100

基金项目:

国家自然科学基金项目 52079121

安徽省自然科学基金项目 2208085ME149

详细信息

作者简介:
卢坤林(1980—)，男，安徽庐江人，副教授，主要从事岩土工程方面的研究工作。E-mail: lukunlin@hfut.edu.cn

中图分类号: TU457
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出版历程
- 收稿日期: 2023-08-06
- 网络出版日期: 2024-03-24
- 刊出日期: 2024-10-31

Three-dimensional limit equilibrium method for rock slopes by constructing normal stress distribution over sliding surface and its application

1.
School of Civil Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China
2.
State Key Laboratory of Safety and Health for Metal Mines, Sinosteel Ma'anshan Institute of Mining Research Co., Ltd., Ma'anshan 243000, China
3.
School of Civil Engineering and Architecture, NingboTech University, Ningbo 315100, China

摘要

摘要: 开展岩质边坡三维稳定性分析方法研究具有重要的理论意义和工程应用前景。常规的等效Mohr-Coulomb强度参数来分析岩质边坡的稳定性，不能准确反映岩体材料强度包线呈非线性分布的特征，计算结果偏于保守。建议了一种逐点等效Mohr-Coulomb强度参数替代常规的等效Mohr-Coulomb强度参数，通过构造滑面上的正应力分布，滑面上各点的等效黏聚力和等效内摩擦角则随着滑面正应力分布而逐点变化。在此基础上，将逐点等效Mohr-Coulomb强度参数方法和基于滑面正应力修正的极限平衡法相结合，提出了一种基于构造滑面正应力分布的岩质边坡三维稳定性分析方法。算例表明该方法计算结果与已有方法相印证，适用于任意空间滑面形态。与常规等效Mohr-Coulomb强度参数相比，该方法得到稳定性系数显著偏低。进一步将该方法应用于某露天矿边坡的整体稳定性评价，效果理想，并被工程单位所采纳。该方法结果可靠，计算过程简单且易于编程，可为岩质边坡工程稳定性评价提供理论参考。
- 岩质边坡 /
- 三维稳定性 /
- 极限平衡 /
- 稳定性系数 /
- Hoek-Brown强度准则 /
- 逐点等效Mohr-Coulomb强度
Abstract: The researches on the three-dimensional stability of rock slopes are of important theoretical significance and engineering application prospect. The conventional equivalent Mohr-Coulomb strength parameters used to analyze the stability of rock slopes cannot accurately reflect the nonlinear distribution of strength envelope of rock mass, resulting in conservative results. A point-by-point equivalent Mohr-Coulomb strength parameter is proposed to replace the conventional equivalent Mohr-Coulomb strength parameters. By constructing the normal stress distribution over the sliding surface, the equivalent cohesion and internal friction angle of the sliding surface change point-by-point with the normal stress distribution over the sliding surface. On this basis, a three-dimensional stability analysis method for rock slopes is proposed by combining the point-by-point equivalent Mohr-Coulomb strength parameter and the limit equilibrium method based on constructing the normal stress distribution over the sliding surface. Some examples show that the proposed method is correct and suitable for any spatial sliding surface shape. Compared with the conventional equivalent Mohr-Coulomb strength parameters, the stability coefficient obtained by the proposed method is lower. The method has successfully applied to a practical project and achieved good results. The results are reliable, and the calculation process is simple and easy to program, which can provide a theoretical reference for the stability evaluation of rock slope engineering.
- rock slope /
- three-dimensional stability /
- limit equilibrium /
- stability coefficient /
- Hoek-Brown criterion /
- point-by-point equivalent Mohr-Coulomb strength

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0. 引言

武汉地处长江和汉江交汇地带,在大规模城市地下空间开发的背景下,其丰富的地下水资源成了地下工程建设中不可忽视的致灾元凶。现阶段武汉市对于地下水渗流规律及处理方法的研究主要集中于长江一级阶地细砂层孔隙承压含水层^[1-4],而对于在三级阶地分布较广的古河道承压含水层的研究较少。大量勘察资料表明,武汉市古河道沉积层（砂土、砂卵石层）中赋存有较高水头的承压水,水量丰富,对地下工程尤其是对深基坑开挖有较大影响,如若处理不当极易引发基坑侧壁流水、流土,坑底突涌以及周边地面大幅沉降变形等工程险情。武汉市古河道承压水的研究难点在于：一方面受限于勘察资料,对其空间分布、地层结构以及径流补给条件等地质特性难以全面掌握；另一方面由于古河道边界条件较为复杂,在考虑复杂边界条件下地下水的井流规律研究中,国内外学者们多采用数值模拟的手段^[5-8]。而中国工程设计多是基于解析计算进行的,这导致在实际涉及古河道承压水的基坑工程中仍然按照规范^[9]中推荐的仅适用于无限含水层的计算方法进行降水设计,因此,有必要对古河道基坑降水的解析计算方法进行研究。Sedghi等^[10]推导了裂隙楔形含水层地下水井流的三维半解析解；Wang等^[11]应用边界元理论和格林函数法,得到了任意边界条件下有限非均质承压含水层抽水试验半解析解；Zarei-Doudeji等^[12]推导了半岛型半无限承压含水层和非承压含水层群井系统的俘获带方程；Chuang等^[13]建立了具有河口边界条件的滨海含水层二维分析模型,通过汉克尔变换和有限正弦变换,得到了地下水流动解析解。然而现有研究成果鲜有对两侧为隔水边界的带状半无限承压含水层的井流规律进行深入研究。

本文通过调研大量工程勘察资料,对武汉市古河道水文地质条件进行全面分析,并据此建立古河道水文地质模型,将古河道承压水井流问题概化为带状承压含水层中地下水向抽水井的运动问题,然后基于镜像法原理,并引入吉林斯基势函数,推导出古河道承压、承压-无压完整井稳定流解析表达式。在此研究基础上,提出了适用于古河道承压含水层基坑涌水量计算方法,最后以武汉梨园广场地下停车场深基坑工程为例进行计算分析,并将计算结果与传统方法计算结果和实际监测数据分别进行对比,验证所提出计算方法的合理性。

1. 武汉长江古河道水文地质概况

1.1 平面分布情况

早更新世一中更新世时期,武汉市古河道在断裂多次切割和上游来水侵蚀冲刷的共同作用下逐渐形成、贯通；之后在中更新世新构造运动以及古气候变化的综合影响下,长江、汉江河道发生迁徙改道,废弃的河道被后来的地面物质沉积覆盖,进而形成了典型的埋藏古河道^[14]。

武汉市古河道在平面上成宽带状展布,形状近似英文字母“L”,基本发育在第四纪中—晚更新世时期堆积的长江Ⅲ级阶地上,其河床深槽部分切入基岩,贯穿古近系、白垩系、二叠系、石炭系及志留系地层。在现今长江河道鹦鹉洲附近,古河道被截断成两部分,将武汉市古河道划分成汉阳段和武昌段（见图1）。

图 1 武汉市古河道平面分布示意图

Figure 1. Plane distribution map of an ancient river in Wuhan

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汉阳段古河道总体长度约11 km,宽度约400～800 m,平均宽度约为600 m；武昌段古河道总长度约14 km,宽度约500～1500 m,平均宽度约为1000 m。武汉市古河道整体上为从汉阳流向武昌,流向由北西西向在武昌丁字桥附近折向北北东向。古河道流经的范围为：汉江古田桥—锅顶山东麓永安堂—王家湾—十里铺—七里庙—五里墩—汉阳动物园—马鹦路—鹦鹉洲—长江—张之洞路—丁字桥梅苑小区—中南路—湖北饭店—青鱼嘴—梨园—沙湖港。

1.2 地层结构特点

古河道范围内从上到下分布的地层可概化为6个单元层：①为人工填土（Q^ml）和淤泥层（Q^l）；②为一般黏性土层（Q₄^al）；③为老黏土、粉质黏土和粉质黏土夹碎石层（Q₃^al+pl）；④为中粗砂、粉细砂和黏质砂土层（Q_2-3^al+pl）；⑤为砂夹砾卵石和砾卵石层（Q_1-2^al+pl）；⑥为页岩、灰岩、泥岩、砂岩等岩层。可见古河道地层典型特征为上部覆盖黏土层,中部为砂土、砂卵石层,底部为基岩,沉积物粒度由上到下颗粒逐渐变粗,或者若干层粗细交替,呈现二元结构地层的典型特征^[15]。如图2所示,古河道河床过水断面为“U”字形,沉积物在河床区厚度最大,从古河道中心向两侧古河漫滩逐渐变薄,颗粒也逐渐变细。

图 2 汉阳段古河道地层剖面图

Figure 2. Stratigraphic profile of ancient river in Hanyang

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1.3 古河道承压含水层埋深及厚度变化情况

古河道承压含水层（砂土、砂卵石层）层顶埋深一般为13.5～35.5 m,埋深最大处在汉阳十里铺为35.5 m。整体上古河道承压含水层顺流向埋深逐渐减小,平均埋深为21 m。

古河道含水层河床区纵向厚度变化如图3所示,以地铁楚河汉街站为界,从楚河汉街到沙湖港厚度较小,一般为10～25 m；从汉阳古田桥到中南路厚度较大,一般为40～83 m,最厚处在地铁4号线玉龙站附近可达83 m。整体上古河道含水层顺流向厚度逐渐变小,平均厚度为22.5 m。

图 3 武汉古河道纵向厚度变化示意图

Figure 3. Schematic of change of longitudinal thickness of the ancient river in Wuhan

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1.4 径流补给排泄条件

古河道含水层纵向承压水位变化特点如图4所示。丰水期承压水位标高在15～23 m,水力坡度较小,约1.1‰～2.8‰；枯水期时水位比丰水期低2～3 m。整体上,古河道承压水水力坡度较为平缓,反映出在天然条件下古河道含水层地下水径流缓慢。古河道承压含水层在长江鹦鹉洲、汉江古田桥、武昌沙湖港附近尖灭在一级阶地中,与长江建立水力联系（见图1）。丰水期古河道承压水接受江水的补给,枯水期向长江排泄。古河道承压水与上覆土层中的潜水、地表湖泊等水体基本不存在直接水力联系,另外其接受基岩裂隙水的顶托补给、排泄量有限。图4中地铁楚河汉街站附近承压水位较低,水位最低处标高仅2.1 m,分析可知该处位于古河道边界附近,含水层厚度较小,富水性较差,造成该处承压水水位较低。这进一步说明了古河道边界对其承压水的渗流、补给有较大影响。

图 4 古河道承压含水层水位变化示意图

Figure 4. Schematic chart of change of water level of artesian aquifer in the ancient river

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2. 古河道承压水井流理论研究

2.1 古河道水文地质模型

为研究古河道承压水井流理论,根据前文对武汉市古河道含水层水文地质特性的描述,建立古河道承压含水层水文地质模型。以隔水边界及抽水实井方位为基准建立平面直角坐标系,为一般化起见,设该抽水实井位于含水层任意位置,其与隔水边界的距离为a,古河道含水层宽度为l,如图5所示。值得注意的是,虽然古河道含水层两侧隔水边界是倾斜的,但是由于在尺寸上古河道水平宽度远远大于其深度,并且为了简化计算,故可以将古河道含水层左右倾斜的隔水边界简化成竖直的。

图 5 古河道承压含水层水文地质模型

Figure 5. Hydrogeological model for artesian aquifer in ancient river

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模型的假定条件如下：①含水层为均质、各向同性、等厚且水平分布的含水介质,含水层为弹性体；②渗流满足Darcy定律；③抽水井为完整井,假定地下水沿井壁均匀进水；④古河道含水层概化为侧向为平直隔水边界的带状含水层；⑤无垂向补给、排泄量。

2.2 古河道承压含水层稳定井流公式

古河道承压水井流问题本质上是承压水向隔水边界附近井的运动问题。利用镜像法原理,可将有界井流问题转化为无界井流问题,即通过镜像投影,将古河道有界含水层转化为无限含水层,得到无限个关于隔水边界对称的同步工作的抽水虚井^[16]。这样带状含水层中一口抽水实井就变成了无限含水层中一组无限井排,如图6所示。

图 6 古河道承压含水层抽水井的镜像投影

Figure 6. Mirror projection of pumping well of artesian aquifer in the ancient river

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根据降深叠加原理^[16],古河道含水层中抽水井降水漏斗受隔水边界影响等价于无限井排降落漏斗对其影响的叠加（如图7所示）。古河道中任一点p(x,y)的降深等于无限井排在p(x,y)点产生降深之和,即p(x,y)点降深方程为

$s_{p} = \sum_{i = 1}^{n = \infty} s_{p i} = \sum_{i = 1}^{n = \infty} \frac{Q_{}}{2 π T} \ln \frac{R_{i}}{r_{p i}}$ ,

(1)

图 7 古河道含水层抽水井降水漏斗

Figure 7. Precipitation funnel of pumping well of artesian aquifer in the ancient river

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式中,Q为单井定流量,由于虚井是抽水实井的镜像,则虚井流量与实井流量均为Q,R_i为第i口井的影响半径,r_pi为第i口井到p点的距离。

对于无限井排运用式（1）求解p(x,y)点降深困难较大。并且在现实中,在承压含水层疏干排水或抽水过程中,由于水头降深较大经常使抽水井水位降低到承压含水层顶板以下,而形成承压—无压井流。本文建立的古河道承压含水层水文地质模型同样面临承压—无压井流问题,为克服这一难题,本文引入吉林斯基势函数对古河道承压水稳定井流公式进行推导。吉林斯基势函数最初定义为水平层状介质的势。在该水文地质模型中,对于承压含水层区段,吉林斯基势函数可以写成

$φ = K M (H - M / 2)$ 。

(2)

对于无压含水层段,吉林斯基势函数可以写成

$φ = K h^{2} / 2$ 。

(3)

式中 $φ$ 为吉林斯基势函数；K为渗透系数；M和H分别为承压含水层的厚度和地下水头高度；h为无压含水层的饱和厚度。

对于轴对称等厚承压含水层单井径向抽水来说,其流量可用吉林斯基势函数表示

$Q = 2 π r K M \frac{d H}{d r} = 2 π r \frac{d φ}{d r}$ 。

(4)

对于无压含水层来说,流量可写为

$Q = 2 π r K h \frac{d h}{d r} = 2 π r \frac{d φ}{d r}$ 。

(5)

可见利用吉利斯基势函数可以使承压区和无压区具有统一表示形式^[17]。上式积分得

$φ = \frac{Q}{2 π} \ln r + c$ 。

(6)

式中 Q为抽水井单井流量；r为距抽水井距离；c为积分常数,可由边界条件确定。

由势的叠加原理可知,对于含水层上任一点p（x,y）的势等于所有抽水虚实井各自势的叠加：

$ϕ = ϕ_{1} + ϕ_{2} + ... + ϕ_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} ϕ_{n}$ 。

(7)

如图6所示,为方便计算,根据对称性,将无限井排分成两组分别进行计算,最后将两组的叠加势求和,即得点p（x,y）的势。一组为“右井排”,各井到p点的距离为 $r^{'}$ , ${r^{'}}_{\pm 1}$ , ${r^{'}}_{\pm 2}$ ..... ${r^{'}}_{\pm n}$ ,其叠加势为 $ϕ^{'}$ ；另一组为“左井排”,各井到p点的距离为 $r^{″}$ , ${r^{″}}_{\pm 1}$ , ${r^{″}}_{\pm 2}$ ..... ${r^{″}}_{\pm n}$ ,其叠加势为 $ϕ^{″}$ 。将两组的叠加势求和即得点p（x,y）的势：

$ϕ = ϕ^{'} + ϕ^{″}$ 。

(8)

接下来以右井排为例,对势函数 $ϕ^{'}$ 进行推导。

对于右井排的叠加势函数：

$\begin{matrix} ϕ^{'} = ϕ^{'} + {ϕ^{'}}_{1} + {ϕ^{'}}_{- 1} ... + {ϕ^{'}}_{n} + {ϕ^{'}}_{- n} = \\ ϕ^{'} + \sum_{n = 1}^{\infty} ({ϕ^{'}}_{n} + {ϕ^{'}}_{- n}) \end{matrix}$ 。

(9)

将式（6）代入式（9）,可得

$\begin{matrix} φ^{'} = \frac{Q}{2 π} \ln r^{'} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{Q}{2 π} \ln {r^{'}}_{n} {r^{'}}_{- n} + C^{'} = \\ \frac{Q}{4 π} \ln ({r^{'}}^{2} \cdot \prod_{n = 1}^{\infty} {r^{'}}_{n}^{2} {r^{'}}_{- n}^{2}) + C^{'} \end{matrix}$ ,

(10)

式中, ${r^{'}}_{i}$ 为右井排中第i口井距任一点p（x,y）的距离。

如图6所示,其直角坐标关系式如下：

$r^{'} = \sqrt{{(x - a)}^{2} + y^{2}}$ ； ${r^{'}}_{n} = \sqrt{{(x - a - 2 n l)}^{2} + y^{2}}$ ； ${r^{'}}_{- n} = \sqrt{{(x - a + 2 n l)}^{2} + y^{2}}$ 。

则将式（10）代入直角坐标关系式换算得

$\begin{matrix} φ^{'} = \frac{Q}{4 π} \ln {\begin{cases} \end{cases} [{(x - a)}^{2} + y^{2}] \cdot \\ \prod_{n = 1}^{\infty} [{(x - a - 2 n l)}^{2} + y^{2}] [{(x - a + 2 n l)}^{2} + y^{2}] \begin{array}{l} \end{array}} + C^{'} 。 \end{matrix}$

(11)

对式（11）引入虚数将平方和写成积的形式：

$\begin{array}{l} φ^{'} = \frac{Q}{4 π} \ln {[{(x - a)}^{2} + y^{2}] \cdot \\ \prod_{n = 1}^{\infty} [{(x - a - 2 n l)}^{2} + y^{2}] [{(x - a + 2 n l)}^{2} + y^{2}]} + C^{'} \\ = \frac{Q}{4 π} \ln {{(\frac{2 l}{π})}^{2} \frac{(x - a + y i) π}{2 l} \cdot \\ \prod_{n = 1}^{\infty} [1 - \frac{{(x - a + y i)}^{2}}{{(2 n l)}^{2}}] \times \frac{(x - a - y i) π}{2 l} \cdot \prod_{n = 1}^{\infty} [1 - \frac{{(x - a - y i)}^{2}}{{(2 n l)}^{2}}]} + C^{'} 。 \end{array}$

(12)

当x为任意值时有

$\sin x = x \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{n^{2} π^{2}})$ 。

(13)

将式（13）代入式（12）,可得

$\begin{matrix} φ^{'} = \frac{Q}{4 π} \ln [{(\frac{2 l}{π})}^{2} \sin \frac{(x - a + y i) π}{2 l} \cdot \sin \frac{(x - a - y i) π}{2 l}] + C^{'} \\ = \frac{Q}{4 π} \ln {{(\frac{2 l}{π})}^{2} \cdot \frac{1}{2} [\cos \frac{y i π}{l} - \cos \frac{(x - a) π}{l}]} + C^{'} 。 \end{matrix}$

(14)

根据欧拉公式,可得到 $\cos (i x) = \cosh x$ 。可将上式中虚数消除。式中cosh为双曲余弦函数,也可用ch表示, $ch x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 。

则可推导出右井排对古河道含水层中任一点p的叠加势函数为

$φ^{'} = \frac{Q}{4 π} \ln {{\frac{2 l}{π^{2}}}^{2} \cdot [ch \frac{y π}{l} - \cos \frac{(x - a) π}{l}]} + C^{'} 。$

(15)

同理可推导出,左井排对古河道含水层中任一点p的叠加势函数为

$φ^{″} = \frac{Q}{4 π} \ln {{\frac{2 l}{π^{2}}}^{2} \cdot [ch \frac{y π}{l} - \cos \frac{(x + a) π}{l}]} + C^{″} 。$

(16)

将式（15）,（16）代入式（8）中,得到点p(x,y)处势函数表达式：

$\begin{matrix} φ = \frac{Q}{4 π} \ln {{\frac{4 l}{π^{4}}}^{4} \cdot [ch \frac{y π}{l} - \cos \frac{(x - a) π}{l}] \cdot \\ [ch \frac{y π}{l} - \cos \frac{(x + a) π}{l}]} + C 。 \end{matrix}$

(17)

式（17）即为在古河道含水层中任一点的势函数表达式。

根据边界条件：

①当p（x,y）点位于x轴,且位于抽水井壁,即 $x = a - r_{ω}$ , $y = 0$ 时：

$φ_{ω} = \frac{Q}{4 π} \ln {{\frac{4 l}{π^{4}}}^{4} \cdot [1 - \cos \frac{r_{ω} π}{l}] \cdot [1 - \cos \frac{(2 a - r_{ω}) π}{l}]} + C,$

(18)

式中, $φ_{ω}$ 为抽水井井壁处势函数, $r_{ω}$ 为抽水井井径。

②设p（x,y）点与抽水井横坐标一致,且水位 $H = H_{0}$ ,恰好稳定在初始水头,即 $x = a$ , $y = R$ ：

$φ_{R} = \frac{Q}{4 π} \ln {{\frac{4 l}{π^{4}}}^{4} \cdot [ch \frac{R π}{l} - 1] \cdot [ch \frac{R π}{l} - \cos \frac{2 a π}{l}]} + C,$

(19)

式中, $ϕ_{R}$ 为抽水井影响半径以外势函数,R为影响半径。

由式（17）式与式（18）相减,可得

$φ - φ_{ω} = \frac{Q}{4 π} \ln \frac{(ch \frac{y π}{l} - \cos \frac{(x - a) π}{l}) \cdot (ch \frac{y π}{l} - \cos \frac{(x + a) π}{l})}{(1 - \cos \frac{r_{ω} π}{l}) \cdot (1 - \cos \frac{(2 a - r_{ω}) π}{l})} 。$

(20)

对于承压段含水层完整井稳定流：

$φ - φ_{ω} = K M (H - H_{ω})$ 。

(21)

由式（20）和式（21）联立可得

$\begin{array}{l} H - H_{ω} = s_{ω} - s = \frac{Q}{4 π K M} \cdot \\ \ln \frac{(ch \frac{y π}{l} - \cos \frac{(x - a) π}{l}) \cdot (ch \frac{y π}{l} - \cos \frac{(x + a) π}{l})}{(1 - \cos \frac{r_{ω} π}{l}) \cdot (1 - \cos \frac{(2 a - r_{ω}) π}{l})} 。 \end{array}$

(22)

进而推导出

$s = s_{ω} + \frac{Q}{4 π K M} \ln \frac{(1 - \cos \frac{r_{ω} π}{l}) \cdot (1 - \cos \frac{(2 a - r_{ω}) π}{l})}{(ch \frac{y π}{l} - \cos \frac{(x - a) π}{l}) \cdot (ch \frac{y π}{l} - \cos \frac{(x + a) π}{l})} 。$

(23)

式中 s为p点水位降深； $s_{ω}$ 为抽水井水位降深；a为抽水井距古河道边界距离； $l$ 为古河道宽度。

式（23）即为古河道承压水完整井稳定流解析表达式。

另外根据边界条件①、②,将式（18）和式（19）式联立,可得

$φ_{R} - φ_{ω} = \frac{Q}{4 π} \ln \frac{(ch \frac{R π}{l} - 1) \cdot (ch \frac{R π}{l} - \cos \frac{2 a π}{l})}{(1 - \cos \frac{r_{ω} π}{l}) \cdot (1 - \cos \frac{(2 a - r_{ω}) π}{l})} 。$

(24)

进而推导出

$s_{ω} = \frac{Q}{4 π K M} \ln \frac{(ch \frac{R π}{l} - 1) \cdot (ch \frac{R π}{l} - \cos \frac{2 a π}{l})}{(1 - \cos \frac{r_{ω} π}{l}) \cdot (1 - \cos \frac{(2 a - r_{ω}) π}{l})} 。$

(25)

式中参数如前文所述。

该式即为考虑含水层影响半径时,古河道承压水完整井稳定流解析表达式。

对于无压段含水层完整井稳定流：

$φ_{R} - φ_{ω} = \frac{1}{2} K [(2 H_{0} - M) M - h^{2}]$ 。

(26)

将上式代入式（24）可导出

$\begin{array}{l} (2 H_{0} - M) M - h^{2} \\ = \frac{Q}{2 π K} \ln \frac{(ch \frac{R π}{l} - 1) \cdot (ch \frac{R π}{l} - \cos \frac{2 a π}{l})}{(1 - \cos \frac{r_{ω} π}{l}) \cdot (1 - \cos \frac{(2 a - r_{ω}) π}{l})} 。 \end{array}$

(27)

上式即为古河道承压—无压完整井稳定流解析表达式。

3. 基坑降水计算方法研究

基坑降水设计计算的核心是基坑涌水量的估算,最终需要得到的设计方案是降水井的数量和布置^[18]。而对古河道承压含水层中基坑涌水量的计算难点在两方面,一方面是对水文地质参数（含水层渗透系数和影响半径）的确定；另一方面,工程中广泛采用的传统大井法理论推导的计算公式并不适用于古河道承压含水层。如对于承压-无压完整井基坑涌水量的计算,其公式^[9]如下：

$Q = \frac{π K [(2 H_{0} - M) M - h^{2}]}{\ln \frac{r_{0} + R}{r_{0}}} 。$

(28)

式中 Q为基坑涌水量；H₀为基坑初始水位至含水层底板的深度；h为基坑动水位至含水层底板的深度；r₀为基坑等效半径, $r_{0} = \sqrt{A / π}$ 。

3.1 水文地质参数计算

对于古河道承压含水层中水文地质参数的计算,根据前文对古河道承压水井流理论的研究,利用古河道承压水稳定井流公式（23）,可进一步推导出：在古河道承压完整井多孔抽水试验中,仅有一个观测孔（井）的试验资料时,含水层渗透系数的计算公式如下式：

$\begin{matrix} K = \frac{Q}{4 π M (s_{ω} - s)} \cdot \\ \ln \frac{(ch \frac{y π}{l} - \cos \frac{(x - a) π}{l}) \cdot (ch \frac{y π}{l} - \cos \frac{(x + a) π}{l})}{(1 - \cos \frac{r_{ω} π}{l}) \cdot (1 - \cos \frac{(2 a - r_{ω}) π}{l})} 。 \end{matrix}$

(29)

运用该式进行渗透系数计算时,需按照图6所示建立直角坐标系,确定观测孔（井）的横纵坐标x,y；根据勘察资料确定抽水井距古河道边界的距离a、古河道宽度l、含水层厚度M；式中其他参数取值按抽水试验实测数据为准。

对于古河道承压含水层影响半径的计算,建议采用经验公式——吉尔哈特式求取：

$R = 10 s_{w} \sqrt{K}$ 。（30）

3.2 基坑涌水量计算

以大井法理论为基础,即将基坑概化为一口大井,结合前文推导的式（25）,（27）可进一步导出古河道承压含水层基坑涌水量计算公式。

（1）承压水完整井基坑涌水量计算式

$Q = \frac{4 π K M S}{\ln \frac{(ch \frac{R π}{l} - 1) \cdot (ch \frac{R π}{l} - \cos \frac{2 a π}{l})}{(1 - \cos \frac{r_{0} π}{l}) \cdot (1 - \cos \frac{(2 a - r_{0}) π}{l})}} 。$

(31)

（2）承压-无压完整井基坑涌水量计算式

$Q = \frac{2 π K [(2 H_{0} - M) M - h^{2}]}{\ln \frac{(ch \frac{R π}{l} - 1) \cdot (ch \frac{R π}{l} - \cos \frac{2 a π}{l})}{(1 - \cos \frac{r_{0} π}{l}) \cdot (1 - \cos \frac{(2 a - r_{0}) π}{l})}},$

(32)

式中,S为基坑地下水位的设计降深。

4. 工程实例

4.1 工程概况及岩土工程条件

下文将以武昌梨园广场公共停车场基坑工程为例,验证前文所提出计算方法的合理性。拟建工程位于武汉市北环路、南环路、东湖路及环湖路之间。项目主体南北向长约125 m,东西向长约165 m,占地面积约20531 m²,地面标高在23.0～25.3 m,基坑开挖深度为10.4～14.65 m。

研究区地貌单元属于长江冲洪积三级阶地,地势较为平坦。区内表层为人工填土层,其下地层呈现典型古河道地层结构特点,从上到下依次为第四系全新统一般黏性土层、上更新统冲洪积老黏土层及上更新统圆砾层,下伏志留系泥岩。区内基岩面起伏较大,使得（12-2）圆砾层厚度分布不均,在2.8～35.4 m。场地地层分布详见图8。

图 8 梨园广场停车场地层剖面图

Figure 8. Stratigraphic profile of underground parking lot of Liyuan Plaza

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场地内地下水主要为上层滞水、孔隙承压水及基岩裂隙水。影响基坑开挖的主要是赋存于圆砾层中的孔隙承压水,据前文对武汉市古河道水文地质概况研究可知,场地内承压水通过长江一级阶地与长江发生水力联系。测得场地内枯水期承压水位标高为16～16.40 m,年度变幅5～6 m,对拟建工程影响较大。基坑开挖后坑底标高为10.65 m,位于（12-2）层圆砾层中。

4.2 抽水试验过程及结果

因场地（12-2）圆砾层厚度分布由西到东厚度逐渐变大,故在基坑东侧含水层厚度较大处进行抽水试验。试验井设计实管长度均为17 m,滤管长度为14～23 m,均为完整井。本次试验共施工5口试验井,井位布置顺古河道流向,井位布置如图9所示。共进行1组1个落程的抽水试验,其中J24号井作为抽水井,J23、J08、J25、J26 共4口降水井作为观测井。抽水试验期间同步观测4口观测井的水位变化,试验井水位及降深见表1。单井涌水量较为稳定,约45 m³/h（见图10）。从试验井降深随时间变化曲线（见图11）可知,其降深值在较短时间内便稳定,形成稳定流。

图 9 井位布置图

Figure 9. Layout of wells

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表 1 单井抽水试验数据表

Table 1. Data table of single-well pumping test (m)

类别	井编号	静水位标高	水位降深	稳定水位标高
抽水井	J24	17.60	11.98	5.62
观测井	J23	17.55	4.40	13.15
	J08	17.55	4.82	12.71
	J25	17.60	4.26	13.34
	J26	17.60	2.12	15.48

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图 10 单井抽水试验s-t图

Figure 10. s-t diagram of single-well pumping tests

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图 11 单井抽水试验Q-t图

Figure 11. Q-t diagram of single-well pumping test

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4.3 基坑降水设计

（1）水文地质参数求取

根据现场抽水试验数据,采用式（29）求取含水层综合渗透系数。计算参数取值：单井流量取Q=1080 m³/d；含水层厚度取最不利钻孔M=35.4 m；观测井到抽水井距离r据实测确定；基坑东侧临近古河道边界,根据勘察资料,确定基坑距古河道边界距离a=100 m,古河道宽度l=1000 m；以古河道东侧边界为y轴,过抽水井J24确定x轴,建立直角坐标系,以确定各试验井横纵坐标。其他参数取值及计算结果如表2所示,算得古河道承压含水层综合渗透系数为K=3.48 m/d。用经验公式（30）计算含水层影响半径R=223 m。

表 2 渗透系数计算表

Table 2. Calculation of permeability coefficient

井号	Q/(m³·d^-1)	r/m	s/m	a/m	l/m	M/m	x	y	K/(m·d^-1)
J24	1080	0.125	11.98	100	1000	35.4	105	0	—
J23	—	21.227	4.4	—	—	—	112	21	3.41
J08	—	19.357	4.82	—	—	—	101	16	3.11
J25	—	25.621	4.26	—	—	—	111	26	3.51
J26	—	48.941	2.12	—	—	—	112	49	4.90
均值	—								3.48

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（2）基坑涌水量计算

考虑到基坑基底坐落于（12-2）圆砾层中,基坑降水拟采用疏干减压法,以保证降深达到安全水位（基底以下1 m）。需要说明的是,由于含水层的厚度分布不均,不可避免实际布井中少部分降水井为非完整井,但是考虑降水井大多数为完整井以及含水层计算厚度取最大值,所以该基坑降水井群可视为完整井井群。则基坑涌水量的计算采用前文所推导的古河道含水层承压-无压完整井基坑涌水量计算公式（32）进行计算。同时采用传统大井法计算公式（28）进行对比计算。计算参数取值：基坑设计降深S=12.75 m；按最不利钻孔数据基岩面标高-21.4 m,静水位取丰水期最高水标高位22.4 m,以计算H₀,h。其他参数取值及两种方法基坑涌水量计算结果如表3所示。

表 3 基坑涌水量计算表

Table 3. Calculation of water inflow of foundation pit

方法	K/(m·d^-1)	M/m	H₀/m	h/m	R/m	r₀/m	A/m	l/m	Q/(m³·d^-1)
本文计算方法	3.48	35.4	43.8	31.05	223	81	100	1000	4898.2
传统大井法	3.31	35.4	43.8	31.05	218	81	100	1000	7044.7

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4.4 计算结果对比

由表3可知,按本文提出适用于古河道承压含水层的基坑涌水量计算方法,得到Q=4898.2 m³/d与按照传统大井法计算所得Q=7044.7 m³/d,相对误差达到在43.8%,可见两种方法计算结果相差较大。而根据实际监测数据,当基坑动水位达到设计降深时（基底以下约1 m）,最多开启19口降水井同时抽水,其单井抽水量为240 m³/d,简单计算可知基坑实际涌水量约为4560 m³/d。

运用本文所述计算方法所得结果与基坑实际涌水量相对误差仅为7.4%,而用传统大井法方法计算所得相对误差达到54.5%。可见本文所述计算方法更适用于古河道承压含水层中基坑涌水量计算,据此进行的基坑降水设计更为准确合理。对基坑涌水量的合理估算,既可以避免因对其预估过大,增加不必要的施工成本,又能防止基坑降水过程中承压水超降而引起周边地面沉降过大。

5. 结论

（1）从古河道承压含水层平面分布、地层结构特点、层顶埋深、厚度变化及其径流补给排泄条件等方面介绍了武汉市古河道水文地质概况,并据此建立了古河道承压含水层水文地质模型,将古河道承压水井流问题概化为带状承压含水层中地下水向抽水井的运动问题,然后结合镜像法原理,引入吉林斯基势函数,推导出古河道承压、承压—无压完整井稳定流解析表达式。

（2）基于大井法理论,应用古河道承压含水层完整井稳定流解析表达式,优化古河道基坑工程降水设计方法,提出一整套适用于古河道承压含水层的渗透系数计算公式和基坑涌水量计算公式,并结合工程实例进行验证,将计算结果与传统方法计算结果和实际基坑涌水量分别进行对比。结果表明采用传统计算方法对基坑涌水量预估过大,这不但导致降水设计过于保守,增加不必要的浪费,而且存在对基坑承压水超降而引起周边地面沉降过大的风险；而采用优化后古河道基坑工程降水设计方法,基坑涌水量计算误差更小,降水设计更为准确合理,兼具经济性和安全性。

（3）当古河道承压含水层厚度较大时,采用非完整井降低承压水头更为实际可行。本文对于古河道承压含水层非完整井流公式的研究尚有欠缺。

图 1 H-B逐点等效M-C等效方式示意

Figure 1. Schematic of H-B strength parameters by point-by-point equivalent M-C strength parameter

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图 2 3D滑面及条柱受力

Figure 2. 3D slip surface and forces acting on a column

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图 3 稳定性系数计算流程图

Figure 3. Flow chart of calculation of stability coefficient

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图 4 算例1计算模型

Figure 4. Computational model for example 1

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图 5 算例2计算模型

Figure 5. Computational model for example 2

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图 6 迭代过程图

Figure 6. Diagram of iterative process

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图 7 构造滑面正应力分布

Figure 7. Distribution of constructed normal stress of sliding surface

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图 8 逐点等效黏聚力分布

Figure 8. Distribution of point-by-point equivalent cohesion

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图 9 逐点等效内摩擦角分布

Figure 9. Distribution of point-by-point equivalent internal friction angle

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图 10 算例3计算模型

Figure 10. Computational model for example 3

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图 11 算例4计算模型（n=5）

Figure 11. Computational model for example 4(n=5)

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图 12 不同正应力分布对应的稳定性系数

Figure 12. Stability coefficient corresponding to different normal stress distributions

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图 13 不稳定坡体区域全貌

Figure 13. Overall view of slope

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图 14 三维边坡计算模型

Figure 14. Computational model for three-dimensional slope

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图 15 迭代过程图

Figure 15. Diagram of iterative process

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图 16 滑面正应力分布

Figure 16. Distribution of normal stress of sliding surface

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图 17 逐点等效黏聚力分布

Figure 17. Distribution of point-by-point equivalent cohesion

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图 18 逐点等效内摩擦角分布

Figure 18. Distribution of point-by-point equivalent internal friction angel

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表 1 符号对应具体表达式

Table 1 Symbols corresponding to specific expressions

简写符号	表达式	简写符号	表达式	简写符号	表达式
${D_1}$	$\iint { - {S_y}{\sigma _0}{\text{d}}x{\text{d}}y}$	${A_{14}}$	$\iint {{S_x}}{\sigma _0}{\text{d}}x{\text{d}}y$	${A_{31}}$	$\iint {{\sigma _0}(x + }S \cdot {S_x}){\text{d}}x{\text{d}}y$
${D_2}$	$\iint { - {S_y}{\sigma _0}x{\text{d}}x{\text{d}}y}$	${A'_{14}}$	$\iint { - (c + {\sigma _0}\tan \varphi )\frac{\mathit{\Delta }}{{{\mathit{\Delta } '}}}}{\text{d}}x{\text{d}}y$	${A'_{31}}$	$\iint {(x{S_x} - S)\frac{\mathit{\Delta }}{{{\mathit{\Delta } '}}}\tan \varphi {\sigma _0}}{\text{d}}x{\text{d}}y$
${D_3}$	$\iint { - {S_y}{\sigma _0}y{\text{d}}x{\text{d}}y}$	${A_{21}}$	$\iint {{\sigma _0}{\text{d}}x{\text{d}}y}$	${A_{32}}$	$\iint {{\sigma _0}(x + }S \cdot {S_x})x{\text{d}}x{\text{d}}y$
${D_4}$	$\iint {{S_y}{\sigma _0}{\text{d}}x{\text{d}}y}$	${A'_{21}}$	$\iint {{S_x}\frac{\mathit{\Delta }}{{{\mathit{\Delta } '}}}\tan \varphi }{\sigma _0}{\text{d}}x{\text{d}}y$	${A'_{32}}$	$\iint {(x{S_x} - S)\frac{\mathit{\Delta }}{{{\mathit{\Delta } '}}}\tan \varphi {\sigma _0}}x{\text{d}}x{\text{d}}y$
${A_{11}}$	$\iint { - {S_x}}{\sigma _0}{\text{d}}x{\text{d}}y$	${A_{22}}$	$\iint {{\sigma _0}x{\text{d}}x{\text{d}}y}$	${A_{33}}$	$\iint {{\sigma _0}(x + }S \cdot {S_x})y{\text{d}}x{\text{d}}y$
${A'_{11}}$	$\iint {\frac{\mathit{\Delta }}{{{\mathit{\Delta } '}}}\tan \varphi }{\sigma _0}{\text{d}}x{\text{d}}y$	${A'_{22}}$	$\iint {{S_x}\frac{\mathit{\Delta }}{{{\mathit{\Delta } '}}}\tan \varphi }{\sigma _0}x{\text{d}}x{\text{d}}y$	${A'_{33}}$	$\iint {(x{S_x} - S)\frac{\mathit{\Delta }}{{{\mathit{\Delta } '}}}\tan \varphi {\sigma _0}}y{\text{d}}x{\text{d}}y$
${A_{12}}$	$\iint { - {S_x}}{\sigma _0}x{\text{d}}x{\text{d}}y$	${A_{23}}$	$\iint {{\sigma _0}y{\text{d}}x{\text{d}}y}$	${A_{34}}$	$M - \iint {{\sigma _0}(x + }S \cdot {S_x}){\text{d}}x{\text{d}}y$
${A'_{12}}$	$\iint {\frac{\mathit{\Delta }}{{{\mathit{\Delta } '}}}\tan \varphi }{\sigma _0}x{\text{d}}x{\text{d}}y$	${A'_{23}}$	$\iint {{S_x}\frac{\mathit{\Delta }}{{{\mathit{\Delta } '}}}\tan \varphi }{\sigma _0}y{\text{d}}x{\text{d}}y$	${A'_{34}}$	$\iint { - (c + {\sigma _0}\tan \varphi )(x{S_x} - S)\frac{\mathit{\Delta }}{{{\mathit{\Delta } '}}}}{\text{d}}x{\text{d}}y$
${A_{13}}$	$\iint { - {S_x}}{\sigma _0}y{\text{d}}x{\text{d}}y$	${A_{24}}$	$W - \iint {{\sigma _0}{\text{d}}x{\text{d}}y}$
${A'_{13}}$	$\iint {\frac{\mathit{\Delta }}{{{\mathit{\Delta } '}}}\tan \varphi }{\sigma _0}y{\text{d}}x{\text{d}}y$	${A'_{24}}$	$\iint { - (c + {\sigma _0}\tan \varphi ){S_x}\frac{\mathit{\Delta }}{{{\mathit{\Delta } '}}}}{\text{d}}x{\text{d}}y$

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表 2 岩体参数

Table 2 Material parameters of rock mass

参数	滑面ABC	滑面ABD
重度γ/(kN·m^-3)	25.0	25.0
单轴抗压强度σ_ci/MPa	0.818	0.682
完整岩石材料参数m_i	20	15
地质强度指标GSI	100	75
扰动因子D	0	0
m_b	20	6.142
s	1	6.22×10^-2
a	0.5	0.501

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表 3 算例1稳定性系数计算结果

Table 3 Calculated results of stability coefficient of example 1

计算方法	计算结果	误差/%
逐点等效M-C(本文方法)	3.562
广义H-B（Deng^[20]）	3.593	0.86
等效M-C（Deng^[20]）	4.657	23.51

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表 4 岩体参数及H-B计算参数

Table 4 Parameters of rock mass and Hoek-Brown criterion

参数	取值
重度γ/(kN·m^-3)	25.0
单轴抗压强度σ_ci/MPa	0.4
完整岩石材料参数m_i	8
地质强度指标GSI	60
扰动因子D	0
m_b	1.917
s	1.17×10^-2
a	0.503
σ_tm/kPa	2.44
A	0.5630
B	0.6933

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表 5 算例2稳定性系数计算结果

Table 5 Calculated results of stability coefficient of example 2

计算方法	计算结果	误差/%
逐点等效M-C(本文方法)	1.614
常规等效M-C(卢坤林等^[8])	1.913	15.63
常规等效M-C（三维楔形体法）	1.921	15.98

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表 6 算例3稳定性系数计算结果

Table 6 Calculated results of stability coefficient of example 3

计算方法	计算结果	误差/%
逐点等效M-C(本文方法)	2.547
常规等效M-C（朱大勇等^[3]）	2.922	12.83

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表 7 岩体参数

Table 7 Material parameters of rock mass

参数	取值
重度γ/(kN·m^-3)	23.0
单轴抗压强度σ_ci/MPa	0.081
完整岩石材料参数m_i	15
地质强度指标GSI	70
扰动因子D	0
m_b	5.138
s	3.57×10^-2
a	0.501
σ_tm/kPa	0.842
A	0.7771
B	0.7101

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表 8 算例4稳定性系数计算结果

Table 8 Calculated results of stability coefficient of example 4

n	逐点等效M-C（本文）	常规等效M-C（朱大勇等^[3]）	二维（Li等^[21]）	误差/%
1	1.100	1.210		9.15
2	1.079	1.179		8.46
5	1.073	1.170		8.27
10	1.072	1.168		8.23
20	1.072	1.168		8.22
∞			1.002

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表 9 岩体参数

Table 9 Material parameters of rock mass

参数	取值
重度γ/(kN·m^-3)	28.0
单轴抗压强度σ_ci /MPa	10
完整岩石材料参数m_i	6
地质强度指标GSI	26
扰动因子D	0.8
m_b	0.0733
s	1.4×10^-5
a	0.529

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表 10 不稳定坡体稳定性系数计算结果

Table 10 Calculated results of stability coefficient of landslide area

计算方法	计算结果	误差/%
逐点等效M-C(本文方法)	0.942
常规等效M-C（朱大勇等^[3]）	1.154	18.37

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