基于随机动力分析的高土石坝极限抗震能力研究

庞锐; 卢韵竹; 季睿; 徐斌

doi:10.11779/CJGE20230690

基于随机动力分析的高土石坝极限抗震能力研究 English Version

庞锐^{1, 2,},
卢韵竹¹,
季睿¹,
徐斌^{1, 2, ,}

1.
大连理工大学建设工程学院, 辽宁大连 116024
2.
海岸和近海工程国家重点试验室(大连理工大学), 辽宁大连 116024

基金项目:

国家自然科学基金项目 52279096

国家自然科学基金项目 52279125

国家自然科学基金项目 52379117

详细信息

作者简介:
庞锐(1989—)，男，博士，副教授，硕士生导师，主要从事水利工程和岩土工程抗震风险评价等方面的工作。E-mail: pangrui@dlut.edu.cn

通讯作者:
徐斌, E-mail: xubin@dlut.edu.cn

中图分类号: TU43
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出版历程
- 收稿日期: 2023-07-19
- 网络出版日期: 2023-12-19
- 刊出日期: 2024-09-30

Ultimate a seismic capacity of high earth-rock dams based on stochastic dynamic analysis

PANG Rui^{1, 2,},
LU Yunzhu¹,
JI Rui¹,
XU Bin^{1, 2, ,}

1.
School of Infrastructure Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China
2.
The State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China

摘要

摘要: 地震动的随机性对大坝的动力响应影响较大，极限抗震能力作为大坝抗震安全性能的重要环节，在评估过程中也应该充分考虑荷载随机性的影响。基于大量高土石坝随机动力有限元计算，探究坝顶震陷率和坝坡累计滑移量两个重要坝体变形指标之间的关系，并建议了土石坝安全控制标准。利用概率密度演化法对高土石坝进行极限抗震能力分析。结果表明：震陷率随着累计滑移量的增大而增大，二者之间符合逻辑斯蒂增长模型；取10%的超越概率，以250 m规则高面板堆石坝和高心墙堆石坝为例，极限抗震能力分别为0.7g~0.75g和0.8g~0.85g；从概率角度提出了评估大坝极限抗震能力的新方法。
- 随机动力分析 /
- 高土石坝 /
- 极限抗震能力 /
- 谱表达-随机函数法 /
- 概率密度演化法
Abstract: The randomness of seismic motion significantly affects the dynamic response of dams. The ultimate capacity is a critical factor for the seismic safety of dams, thus during the assessment process the influences of load randomness should be thoroughly considered. Based on a large number of random dynamic finite element calculations for high earth-rock dams, the relationship between the settlement rate of dam crest and the cumulative sliding displacement of slope, two important deformation indices of dams is studied. Additionally, the safety control standards for earth-rock dams are proposed. The probabilistic density evolution method is used to analyze the ultimate a seismic capacity of dams. The results indicate that the settlement rate increases with the cumulative sliding displacement and follows a logistic growth model. Taking the exceedance probability of 10% as an example, the ultimate a seismic capacities for a 250 m-high faced rockfill dam and a high-core rockfill dam are approximately 0.7g~0.75g and 0.8g~0.85g, respectively. A new probabilistic approach is proposed for evaluating the ultimate a seismic capacities of dams.
- stochastic dynamic analysis /
- high earth-rock dam /
- ultimate a seismic capacity /
- spectral expression-random function method /
- probability density evolution methed

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0. 引言

饱和松砂在静力作用下由孔隙水压上升而诱发的抗剪强度在临界状态前就出现软化甚至趋向于零的现象称为静态液化。松砂地层中的工程施工易引起液化失稳现象（如海底长缓坡流滑^[1]和松砂地层中盾构开挖面失稳破坏^[2]）。静态液化失稳具有明显的整体性和扩散性,有别于岩土材料的其他失稳模式（如应变局部化）^[3]。以边坡静态液化失稳为例,液化一般开始于土体表面,随即因超孔隙水压力无法立即消散,导致液化区快速向四周扩散,故也被称为扩散性失稳^[4]。区别于应变局部化,静态液化时无明显滑动面,不易被察觉,破坏具有突发性。而且,静态液化一旦触发,土体强度会迅速丧失并可导致范围巨大的土体流滑,对邻近基础设施和人身安全构造重大威胁。因此,准确判别与预测静态液化具有重要意义。

Hill的二阶功理论是最早的材料稳定性通用判定准则之一,认为当材料处于稳定状态时其应力增量所对应的二阶功是非负的。大量学者研究了二阶功理论对判别砂土静态液化的适用性^[4-5],发现广义剪应力达到峰值时二阶功为零。然而,二阶功判别具有一定滞后性,因其值由正转负发生在静态液化触发后一增量步。因此,严格意义上二阶功判别无法预测静态液化的触发,但可用于识别已发生液化的区域。如黄茂松等^[4]将二阶功理论应用于边值问题,分析了海底长缓坡的砂土液化范围。吕玺琳等^[6]等基于二阶功理论推导了弹塑性刚度矩阵数学特征与砂土稳定性的关系,发现弹塑性刚度矩阵对称部分行列式为零发生在静态液化触发之前,从而将此条件定义为潜在失稳条件。Andrade^[7]和Lashkari^[8]基于材料失稳时应力应变增量响应解不唯一的条件推导了液化失稳触发时所对应的塑性模量的临界值,即当材料塑性模量等于该临界值时即判定静态液化触发。但上述临界塑性模量只适用于三轴应力空间。Buscarnera等^[9]基于Nova的控制理论^[10],得到了与加载控制条件相关的材料失稳临界塑性模量的广义表达式,并应用于三轴应力路径下饱和砂土的静态液化的判定^[11]。

室内单元体试验（平面应变试验^[12]及空心圆柱扭剪试验^[13]）表明,静态液化的触发及其液化程度除了受砂土初始密实度、应力水平的影响外,与中主应力比和主应力方向旋转密切相关。然而,针对上述现有判定准则的检验往往仅是在简单三轴应力路径下进行的,关于复杂应力路径下砂土静态液化判别和预测的研究工作较为有限。其中,吕玺琳等^[14-15]基于状态相关本构模型研究了 $K_{0}$ 固结和平面应变条件下的砂土静态液化失稳特性,发现松砂中弹塑性刚度矩阵对称部分等于零对应广义剪应力达到峰值,而随着砂土密实度的增加前者会先于后者出现。Lü等^[16]进一步研究了中主应力比和主应力方向对砂土液化特性的影响,发现中主应力比b（即 $b = (σ_{2} - σ_{3}) / (σ_{1} - σ_{3})$ ）和主应力方向与沉积方向的夹角 $α$ （在下文中简称为主应力旋转角）的增大会使二阶功极小值降低,液化更易发生。

针对上述研究现状,本文的目标是探究现有准则对涉及主应力旋转和不同中主应力水平的复杂应力路径下砂土静态液化判别的适用性。为此,结合陈洲泉等^[17]提出的砂土状态相关各向异性本构模型和笔者提出的判别准则,通过与空心圆柱扭剪单元体试验对比,验证该模型模拟复杂应力路径下静态液化现象的能力。基于此模型,本文比较了二阶功、弹塑性刚度矩阵对称部分行列式和失稳模量三种判别准则预测复杂应力路径下静态液化的准确性。最后,应用失稳模量方法获得了有效平均应力-广义剪应力空间的失稳线,分析了主应力旋转、中主应力水平等因素对静态液化触发应力状态和砂土可发挥最大摩擦角的影响。

1. 砂土状态相关各向异性本构模型

本文使用的本构模型以陈洲泉等^[17]提出的砂土状态相关各向异性模型为基础并加以改进,现将上述基础模型的核心部分和本工作提出的改进做简要介绍。

基础模型通过黄茂松等^[3]提出的各向异性状态变量来考虑砂土固有各向异性：

$A = \frac{\overset{⌢}{R}}{M_{cs} g (\overset{⌢}{θ})} - {(\frac{\overset{⌢}{R}}{M_{cs} g (\overset{⌢}{θ})})}_{c}$ ,

(1)

式中, $M_{cs}$ 为三轴压缩应力路径下的临界状态应力比, $\overset{⌢}{θ}$ 为组合应力张量的Lode角, $\overset{⌢}{R} = \sqrt{3 {\overset{⌢}{r}}_{i j} {\overset{⌢}{r}}_{i j} / 2}$ 为组合应力比偏量的第二不变量, $g (\overset{⌢}{θ})$ 为关于Lode角的椭圆插值函数^[18]：

$g (\overset{⌢}{θ}) = \frac{4 c}{1 + c + (1 - c) \sin (3 \overset{⌢}{θ})} - \frac{1 + c - (1 - c) \sin (3 \overset{⌢}{θ})}{2} 。$

(2)

组合应力张量采用Li等^[19]给出的定义：

${\overset{⌢}{T}}_{i j} = \frac{1}{6} ({\overset{⌢}{σ}}_{i k} F_{k j}^{- 1} + F_{i k}^{- 1} {\overset{⌢}{σ}}_{k j})$ ,

(3)

式中, ${\overset{⌢}{σ}}_{k j}$ 为归一化应力张量, $F_{i j}$ 为组构张量, ${\overset{⌢}{r}}_{i j} = {\overset{⌢}{s}}_{i j} / \overset{⌢}{p}$ 为组合应力比偏量, $\overset{⌢}{p} = {\overset{⌢}{T}}_{i i} / 3$ 为组合应力第一不变量, ${\overset{⌢}{s}}_{i j} = {\overset{⌢}{T}}_{i j} - \overset{⌢}{p} δ_{i j}$ 为组合偏应力张量。归一化应力张量 ${\overset{⌢}{σ}}_{i j}$ 定义为

${\overset{⌢}{σ}}_{i j} = \frac{M_{cs} g (θ)}{η} r_{i j} + δ_{i j}$ ,

(4)

式中, $δ_{i j}$ 为Kronecker张量, $θ$ 为应力张量的Lode角, $η$ 为应力张量对应的应力比,组构张量 $F_{i j}$ 在其主应力空间下可采用Oda等^[20]给出的定义：

$F_{i j} = \frac{1}{3 + Δ} [\begin{array}{l} 1 - Δ 0 0 \\ 0 1 + Δ 0 \\ 0 0 1 + Δ \end{array}]$ ,

(5)

式中, $Δ$ 为各向异性参量,不同制样方法下所对应的 $Δ$ 取值可参见文献[21]。式（1）中 ${(\frac{\overset{⌢}{R}}{M_{cs} g (\overset{⌢}{θ})})}_{c}$ 表示三轴压缩状态下的 $\frac{\overset{⌢}{R}}{M_{cs} g (\overset{⌢}{θ})}$ 值。

为考虑砂土临界状态的各向异性^[19],将临界状态线定义为各向异性状态参数A的函数：

$e_{c} = e_{Γ} (A) - λ {(\frac{p}{p_{a}})}^{ξ}$ ,

(6)

式中, $λ$ 和 $ξ$ 为材料参数, $p$ 为有效平均应力, $p_{a}$ 为标准大气压, $e_{Γ} (A)$ 表示 $p$ 为零时的临界状态孔隙比。根据Verdugo等^[22]和Yoshimine等^[13]通过试验测得的临界状态数据（见图1）,本文建议 $e_{Γ} (A)$ 采用以下表达式：

图 1 有效平均应力为零时的临界状态孔隙比随各向异性状态参数A的变化

Figure 1. Variation of critical state void ratio with anisotropic state-parameter A

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$e_{Γ} (A) = e_{Γ} (0) - k_{Γ} {| A |}^{x}$ ,

(7)

式中, $k_{Γ}$ 和 $x$ 为材料参数, $e_{Γ} (0)$ 为三轴压缩路径下（即 $A = 0$ ） $e_{Γ}$ 的取值。基础模型的剪胀和硬化法则均是各向异性状态变量A的函数^[17]：

$D = \frac{d ε_{v}^{p}}{d ε_{s}^{p}} = \frac{d (A)}{M_{cs}} (M_{d} - \frac{q}{p g (θ)})$ ,

(8)

$\frac{\partial M}{\partial ε_{s}^{p}} = \frac{h (A) G}{p} \frac{M_{p} - M}{M}$ 。

(9)

式中 $M_{d}$ 和 $M_{p}$ 分别为相变应力比和峰值应力比,两者均为关于Been等^[23]提出的状态参数ψ的函数； $h (A)$ , $d (A)$ 的具体表达式为

$d (A) = d_{0} (1 - k_{d} A)$ ,

(10)

$h (A) = (h_{1} - h_{2} e) (1 + k_{h} A)$ ,

(11)

式中, $d_{0}$ , $k_{d}$ , $h_{1}$ , $h_{2}$ 和 $k_{h}$ 为模型参数。

2. 静态液化判定准则

根据Hill^[24]给出的稳定性条件,当材料发生失稳时二阶功需满足

$d^{2} w = d σ_{i j} d ε_{i j} \leq 0, \exists ‖ d ε ‖ \neq 0$ ,

(12)

式中, $d σ_{i j}$ 和 $d ε_{i j}$ 分别为应力和应变增量。对于饱和砂处于不排水条件时,式（12）可用以判定静态液化是否已经发生。然而,当砂土为非饱和或其排水条件为部分排水时,上述条件仅是静态液化触发的必要条件^[25]。

2.1 弹塑性刚度矩阵对称部分行列式

吕玺琳等^{[6, 14-15]}提出了二阶功准则需要两个附加条件,以全面判别不同饱和度和排水状态下砂土的静态液化：

$\partial Q / \partial σ_{i j} δ_{i j} > 0$ ,

(13a)

$\partial F / \partial σ_{i j} δ_{i j} < 0$ ,

(13b)

式中, $F$ 为屈服函数, $Q$ 为塑性势函数。上述两个附加条件分别表征了静态液化发生时土体需要处于剪缩状态以及应力状态处屈服面需朝静水压力轴正方向张开。由于二阶功由正转负发生在静态液化触发后一增量步,滞后于液化点,因此并不能严格地称其为液化判别准则。

基于二阶功失稳理论,吕玺琳等^{[6, 14-15]}进一步提出了可以根据弹塑性刚度矩阵的数学特性预判静态液化的触发。将应力应变关系代入式（12）可得

$d^{2} w = d ε_{i j} D_{i j k l}^{ep} d ε_{k l}$ ,

(14)

式中,弹塑性刚度矩阵 $D_{i j k l}^{ep}$ 可分解成对称部分 ${[D_{i j k l}^{ep}]}_{s}$ 和反对称部分 ${[D_{i j k l}^{ep}]}_{s k}$ 之和。又因为应变增量 $d ε_{i j}$ 为对称二阶张量,其与刚度矩阵反对称部分 ${[D_{i j k l}^{ep}]}_{s k}$ 所构成的二次型 $d ε_{i j} {[D_{i j k l}^{ep}]}_{s k} d ε_{k l}$ 恒等于零,因此二阶功可写为

$d^{2} w = d ε_{i j} {[D_{i j k l}^{ep}]}_{s} d ε_{k l}$ 。

(15)

式（15）表明当弹塑性刚度矩阵对称部分为半正定矩阵时,则必然能找到一条应变路径（其方向为 ${[D_{i j k l}^{ep}]}_{s}$ 的一个特征向量）使得二阶功等于零。进一步,由于半正定矩阵必为非满秩矩阵,故可将行列式

$\det ({[D_{i j k l}^{ep}]}_{s}) = 0$

(16)

作为砂土进入潜在失稳状态的判定条件^[6]。

笔者已经成功地应用式（16）对饱和砂土在三轴应力路径下^{[6, 15]}和平面应变路径下^[14]以及高饱和含气砂在三轴应力路径^[26]下的静态液化现象进行了研究。本文将进一步分析上述判定准则对复杂应力路径下静态液化失稳的预测效果。

2.2 失稳模量

当利用弹塑性刚度矩阵特性进行静态液化失稳判定时,失稳条件的具体表达式不依赖特定的应力-应变路径或加载控制条件,因此该方法具有良好的通用性。另一方面,这种通适的判定准则因没有考虑静态液化现象所蕴含的力学特征（如材料无体变）而造成对失稳触发的过于严判^[6]。另一类判定理论则显式地考虑静态液化触发时的应力-应变控制条件,进而获得了静态液化触发时弹塑性本构关系中塑性模量的临界值,即当塑性模量K_p达到这一临界值时,即判定静态液化失稳。

Andrade^[27]从应力应变增量响应解不唯一出发,推导了三轴应力路径下静态液化触发时塑性模量的临界值：

$H_{χ} = - \frac{\partial F}{\partial p} K \frac{\partial Q}{\partial p}$ ,

(17)

式中, $H_{χ}$ 为临界塑性模量, $K$ 为体变模量。当土体的塑性模量达到上述临界值时,在不排水条件下对应于任意广义剪应力增量 $d q$ 的解不唯一或不存在,即判定静态液化触发。值得注意的是,式（17）成立同时对应于Nova^[10]给出的三轴应力下不排水剪切加载路径可控性丧失的条件。

同样从加载路径是否可控的角度,Buscarnera等^[9]推导了复杂加载控制条件下岩土材料发生失稳时塑性模量所需满足的临界值的广义形式：

$H_{χ} = - {(\frac{\partial F}{\partial σ_{β}})}^{T} (D_{β β}^{e} - D_{β α}^{e} {(D_{α α}^{e})}^{- 1} D_{α β}^{e}) \frac{\partial Q}{\partial σ_{β}}$ 。

(18)

式中 F为屈服函数；Q为塑性势函数； $D_{i j}^{e}$ 为弹性刚度矩阵的子矩阵（i,j= $α$ , $β$ ）, $D_{α β}^{e}$ 联系应变增量 $d ε_{β}$ 与应力增量 $d σ_{α}$ , $D_{β α}^{e}$ 联系应变增量 $d ε_{α}$ 与应力增量 $d σ_{β}$ ,其中 $σ_{α}$ 和 $ε_{β}$ 作为加载时所控制的应力和应变分量, $σ_{β}$ 和 $ε_{α}$ 为对应的响应应力和应变分量。当塑性模量等于式（18）给出的临界值时,则在给定的加载控制路径下塑性乘子的取值不唯一或不存在。当以体应变为零和广义剪应力（或某一特定剪应力分量）单调递增作为控制条件时,式（18）具体化为静态液化触发时塑性模量的临界值。三轴条件下,以广义剪应力 $q$ 和体应变 $ε_{v}$ 为控制变量,对应的广义剪应变 $ε_{q}$ 和有效平均应力p为响应变量,相应的失稳模量就退化为式（17）的形式。对于常中主应力比和常主应力旋转角扭剪试验,其所控制的剪应力分量 $τ_{z θ}$ 与q同时达到峰值,因此可以继续使用式（17）判定静态液化的触发。对单剪路径判定静态液化时,由于 $b$ 不是常数,Lode角变化的影响不能忽略,因此需要直接以剪应力 $τ_{z θ}$ 和体应变为控制变量,此时失稳模量可表示为

$H_{χ} = - \frac{\partial F}{\partial σ_{i j}} D_{i j k l}^{e} \frac{\partial Q}{\partial σ_{k l}} + \frac{\partial F}{\partial τ_{z θ}} 2 G \frac{\partial Q}{\partial τ_{z θ}}$ ,

(19)

式中,G为弹性剪切模量, $D_{i j k l}^{e}$ 为弹性刚度矩阵。

下文中,笔者将具体分析基于塑性模量临界值的判定方法对复杂路径下静态液化失稳的预测效果,以及其与笔者提出的基于弹塑性刚度矩阵对称部分行列式进行判定的异同。

3. Toyoura砂静态液化模拟及判别

本文使用Toyoura砂单元体试验的数据来验证本构模型重现复杂应力路径下砂土静态液化的能力。为此需要标定两类材料参数。前一类描述水平沉积砂土在三轴压缩路径下的基础力学特性（表1中左侧四列）,而后一类则控制主应力方向偏离沉积方向时以及中主应力比变化时土体力学特征的改变（表1中第五列）。对于前一类参数,本文采用了Li等^[28]基于Verdugo等^[22]进行的三轴试验所标定的参数。Toyoura砂各向异性材料参数则基于Yoshimine等^[13]进行的空心圆柱扭剪试验获得（如图1所示）。具体标定过程可参考文献[17,28]。

表 1 Toyoura砂模型参数

Table 1. Model parameters of Toyoura sand

弹性参数	临界状态参数	剪胀参数	硬化参数	各向异性参数
G₀=125, $ν$ =0.05	M_cs=1.25, e_г=0.934, λ_c=0.019, ξ=0.7	d₀=0.88, m=3.5	h₁=3.15, h₂=3.05, n=1.1	Δ=0.214, K_г=0.13, k_d=1.8, k_h=0.9, c=0.75, x=0.5,

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3.1 常规不排水三轴压缩试验

不排水三轴压缩试验下,实测与模拟的Toyoura砂的有效应力路径和应力-应变关系如图2（a）和图2（b）所示。从图2中可见,模拟曲线与试验曲线吻合较好。初始有效平均应力 $p_{0}$ 较大的两组试样均出现静态液化现象,但 $p_{0}$ 为100 kPa的试样的不排水强度单调上升。其原因是降低初始围压导致砂土初始状态在e-p平面上向临界状态线靠近,抑制了液化现象发生。图2（a）,（b）还表明当塑性模量等于失稳模量时（即 $K_{p} = H_{χ}$ ）,广义剪应力达到峰值,即静态液化触发。而且,静态液化触发后下一增量步对应的二阶功非正。另一方面,弹塑性刚度矩阵对称部分行列式等于零要早于（见 $p_{0}$ 为1000 kPa的试样）或同于（参见 $p_{0}$ 为2000 kPa的试样）静态液化触发。当液化现象越弱时（峰值强度后的强度软化越弱时）,两者的差别趋于增大。对 $p_{0}$ 为100 kPa的试样,弹塑性刚度矩阵方法判定存在潜在失稳的可能性。即吕玺琳等^[6]定义的潜在失稳区。这意味着在当前应力状态下存在一条潜在的应变路径使得土体丧失稳定性,但这条路径并非试验控制条件下的路径。

图 2 不排水三轴压缩路径下试验与模拟结果对比

Figure 2. Comparison between measured and simulated responses in undrained triaxial compression tests

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3.2 定中主应力比或定主应力方向的不排水空心圆柱试验

不排水定主应力方向剪切试验的实测与模拟结果如图3所示。不排水定中主应力比剪切试验的实测与模拟结果如图4所示。上述对比表明所使用的本构模型可以较好反映主应力方向和中主应力比对砂土静态液化的影响,具体表现为随着主应力方向逐渐偏离沉积方向和中主应力比的增大,静态液化更易被触发。从不同判定准则的应用效果看,失稳模量方法可以预测广义剪应力峰值（即静态液化触发点）,且失稳点后一增量步的二阶功非正。然而,弹塑性刚度矩阵对称部分行列式取值为零或同于（α=60°,b=0.5,e=0.828；α=45°,b=0.5,e=0.855和α=45°,b=0.75,e=0.849的试样）或早于（α=75°,b=0.5,e=0.823；α=45°,b=0,e=0.853和α=45°,b=1,e=0.861的试样）广义剪应力峰值点,且预判早于实际失稳的倾向随着液化现象的减弱而加强。另外,对于未出现静态液化的三组试验（α=15°,b=0.5,e=0.825；α=30°,b=0.5,e=0.824和α=45°,b=0.5,e=0.821）,行列式方法也判定出有失稳的可能。

图 3 不排水定主应力方向剪切试验的试验与模拟结果对比

Figure 3. Comparison between measured and simulated responses in undrained shear tests with fixed directions of principal stresses

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图 4 不排水定中主应力比剪切试验的试验与模拟结果对比

Figure 4. Comparison between measured and simulated stress paths in undrained shear tests with fixed intermediate principal stress ratios

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3.3 空心圆柱单剪试验

图5,6分别表示本构模型针对等向固结和 $K_{0}$ 固结（ $K_{0}$ =0.5）不排水单剪试验的模拟和试验结果。不同判定方法对静态液化触发预测的效果与之前分析的剪切路径大致相同。需要特别注意的是在单剪试验中 $σ_{1} - σ_{3}$ 的峰值与判别的失稳点不再重合,这种不重合现象在 $K_{0}$ 固结单剪中更为明显。这是因为单剪路径所控制的是剪应力分量 $τ_{z θ}$ （定义见图5）,因此该路径下静态液化触发的标志是 $τ_{z θ}$ 达到峰值,而非最大主应力差 $σ_{1} - σ_{3}$ 。后者是剪应力 $τ_{z θ}$ 和中主应力比b的函数,因而只有当 $b$ 固定时, $τ_{z θ}$ 与 $σ_{1} - σ_{3}$ 才同时取到峰值。在等向固结单剪试验中 $τ_{z θ}$ 达到峰值之前中主应力比基本稳定,所以静态液化失稳点与 $σ_{1} - σ_{3}$ 峰值近似重合。但在 $K_{0}$ 固结单剪试验中 $τ_{z θ}$ 在加载初期即达到峰值,此时中主应力比还在快速下降,因此判定失稳点与 $σ_{1} - σ_{3}$ 峰值有显著差异。

图 5 等向固结单剪试验与模拟结果

Figure 5. Comparison between measured and simulated stress paths in undrained hollow cylindrical simple shear tests following isotropic consolidation

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图 6 　K₀固结单剪试验与模拟结果（K₀=0.5）

Figure 6. Comparison between measured and simulated stress paths in undrained hollow cylindrical simple shear tests following K₀ consolidation

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上述结果表明,复杂应力路径下二阶功和失稳模量方法判定的静态液化触发对应于由加载控制条件所决定的某一特定剪应力分量达到峰值。这是因为二阶功和失稳模量的取值都是控制条件相关的,即二阶功理论内含了当前的应变路径,而失稳模量理论则是基于特定的控制条件推导得到的。相比之下,弹塑性刚度矩阵对称部分行列式判定结果则与控制条件无关,其考量的不是特定加载路径,而是是否存在任意一种加载路径使土体丧失稳定性。

4. 静态液化失稳线

失稳线作为p-q应力空间内静态液化触发所对应应力状态的集合,定义了饱和砂土（特别是松砂）在不排水状态下可发挥抗剪强度的上限。松砂剪缩特性引起的不排水剪切下孔压的急剧上升,使砂土在发挥出临界状态摩擦角之前便出现不排水强度下降,即静态液化触发（见图2（a））。因此,基于失稳线的稳定性分析较传统的基于摩擦角的稳定性分析可更准确地预判实际工程中岩土构筑物的失稳与破坏^[25]。由第3节的分析可知失稳模量理论因考虑了静态液化现象与加载控制条件的相关性,可较为准确地预测复杂路径下静态液化的触发。本文应用失稳模量理论得到了有效平均应力-广义剪应力空间内的静态液化失稳线,并归纳了砂土密实度、有效平均应力、中主应力比及主应力方向对静态液化失稳线的影响。

静态液化失稳线是通过令塑性模量（可通过式（9）联合屈服面一致性条件得到）等于失稳模量（即式（17））得到。如图7所示,失稳线在有效平均应力小于一定值时是不存在的（如 $e$ 等于0.88的例子）,即因砂土初始状态接近临界状态抑制了静态液化的发生。另外,随着密实度的下降、 $b$ 值或 $α$ 角度的增大,失稳线会发生下移,且失稳线下限边界所对应的有效平均应力降低,导致液化在低围压条件下也可发生。除较难液化的砂的失稳线在起始段有较明显的弯曲之外,失稳线可被近似考虑为直线。因而,失稳线的斜率,即砂土发生液化失稳前可发挥的最大摩擦角,从工程应用角度可考虑为不受有效围压影响,而仅随密实度降低、主应力旋转及中主应力比增大而降低。

图 7 有效平均应力-广义剪应力空间内静态液化失稳线

Figure 7. Instability lines in space of effective mean normal stress and deviatoric stress

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5. 结论

基于状态相关各向异性本构模型,本文研究了涉及主应力方向旋转和中主应力比变化的复杂应力路径下的砂土静态液化,重点讨论了现有判定准则对复杂三维应力路径下静态液化的预测效果,并分析了密实度、围压、主应力方向和中主应力等因素与静态液化触发时应力状态的相关性,得到以下4点结论。

（1）要真实模拟复杂应力路径下的静态液化现象,需要在本构模型中考虑砂土状态相关特性和固有各向异性。

（2）基于二阶功和失稳模量的静态液化判别都显式地考虑了加载过程的控制条件,因此在复杂应力路径下失稳模量理论判别的液化失稳点与二阶功给出的失稳位置相同,并与土体真实失稳点一致。

（3）弹塑性刚度矩阵对称部分行列式判定方法与控制条件无关,其考量的不是当前的加载路径,而是是否存在一种加载路径触发失稳。故其判别结果同于或早于真实静态液化失稳点。

（4）失稳时已发挥的最大土体摩擦角主要受材料密实度、中主应力比和主应力方向影响,而对有效围压不敏感,材料密实度越小、中主应力比越大或主应力方向旋转角越大,液化时土体已发挥的摩擦角越小。

图 1 I₀场地的演化功率谱函数

Figure 1. Evolution power spectral function of I₀ site

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图 2 样本反应谱、均值和标准差与目标值对比

Figure 2. Comparison between response spectrum, mean and standard deviation and target values

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图 3 典型混凝土面板堆石坝、心墙堆石坝二维有限元模型

Figure 3. 2D finite element models for typical concrete face rockfill dam and core wall rockfill dam

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图 4 面板堆石坝震陷率与累计滑移量拟合

Figure 4. Fitting of settlement rate and cumulative sliding displacement of concrete face rockfill dam

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图 5 心墙堆石坝震陷率与累计滑移量拟合

Figure 5. Fitting of settlement rate and cumulative slding displacement of core wall rockfill dam

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图 6 混凝土面板堆石坝和心墙堆石坝震陷率超越概率曲面图

Figure 6. Exceedance probability surfaces of settlement rate of concrete face rockfill dam and core wall rockfill dam

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图 7 面板堆石坝和心墙堆石坝震陷率超越概率等值线图

Figure 7. Contours of exceedance probability of settlement rate of concrete face rockfill dam and core wall rockfill dam

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表 1 I₀场地演化功率谱密度函数的参数

Table 1 Parameters of power spectral density function of I₀ site

参数	ω₀/s^-1	ξ₀	a/s^-1	b	c/s	d	γ	T/s
I₀场地	27.5	0.65	20	0.65	4	2	2.5	15

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表 2 部分土石坝极限抗震能力指标研究成果

Table 2 Research results of ultimate a seismic capacity index of some earth-rock dams

研究者	坝顶震陷率	坝坡稳定
邹德高等^[7]	高面板坝1.1% 高心墙坝1.3%	高面板坝1.2 m 高心墙坝1.4 m
赵剑明等^[5]	高面板坝： 0.6%~0.8%	动力时程法，安全系数1.0 动力等效值法，安全系数1.1
陈生水等^[6]	面板坝0.6% 心墙坝1%	拟静力法，安全系数1.0 有限元时程分析法，安全系数小于1.2的累计时间 < 2 s
李国英等^[25]	高心墙坝1%	拟静力法，安全系数1.0 有限元时程分析法，安全系数小于1.2的累计时间 < 2 s
田景元等^[4]	以100，200，250，300 m坝高为分界：2%，1.5%，1%，0.85%，0.75%	拟静力法，安全系数 > 1.0 有限元时程分析法，安全系数小于1的累计时间 < 1 s
刘君等^[21]	小于0.6g的地震震陷率不超过1%	—
邵磊等^[26]	高心墙坝震陷率 < 1.2%，且设计工况震陷 < 1 m	滑移变形 > 滑体长度的2%
Swaisgood^[22]	0.5%及以上严重破坏	—

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表 3 高面板堆石坝震陷率-PGA-超越概率的关系表

Table 3 Relationship of settlement rate-PGA-exceedance probability of high concrete face rockfill dam

地震动峰值加速度/g	坝顶相对震陷率/%
	0.1		0.2		0.3		0.4		0.5		0.6		0.7		0.8		0.9		1.0		1.1		1.2
	超越概率/%
0.1		92.44		19.81		0		0		0		0		0		0		0		0		0		0
0.2		100		87.67		23.63		0.61		0		0		0		0		0		0		0		0
0.3		100		99.07		73.18		18.86		1.14		0		0		0		0		0		0		0
0.4		100		100		94.06		56.49		13.63		1.51		0		0		0		0		0		0
0.5		100		100		98.87		83.18		41.74		10.60		1.46		0		0		0		0		0
0.6		100		100		100		94.92		68.65		31.91		7.04		1.56		0		0		0		0
0.7		100		100		100		98.54		86.27		55.34		21.98		5.07		1.38		0		0		0
0.8		100		100		100		100		94.60		74.78		41.11		15.66		3.30		1.08		0		0
0.9		100		100		100		100		97.93		87.49		59.65		31.08		9.89		2.39		0.96		0
1.0		100		100		100		100		99.16		93.95		74.86		46.19		20.84		5.23		1.73		0.87

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表 4 高心墙堆石坝震陷率-PGA-超越概率的关系表

Table 4 Relationship of settlement rate-PGA-exceedance probability of high core wall rockfill dam

地震动峰值加速度/g	坝顶相对震陷率/%
	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	1.1	1.2
	超越概率/%
0.1	97.93	32.37	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0.2	100	98.31	45.47	1.71	0	0	0	0	0	0	0	0
0.3	100	100	94.10	35.63	2.90	0	0	0	0	0	0	0
0.4	100	100	100	80.46	25.70	2.08	0	0	0	0	0	0
0.5	100	100	100	96.91	63.31	17.25	1.68	0	0	0	0	0
0.6	100	100	100	100	88.17	45.18	10.37	1.19	0	0	0	0
0.7	100	100	100	100	97.19	72.17	30.91	7.17	1.00	0	0	0
0.8	100	100	100	100	99.37	89.83	55.79	22.68	6.12	0.91	0	0
0.9	100	100	100	100	100	96.99	77.21	43.14	18.38	5.81	0.68	0
1.0	100	100	100	100	100	98.73	90.54	64.95	35.23	15.03	4.54	0.18

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表 5 高面板堆石坝累计滑移量-PGA-超越概率的关系表

Table 5 Relationship of cumulative sliding displacement-PGA-exceedance probability of high concrete face rockfill dam

峰值加速度/g	累积滑移量/cm
	0	1	5	10	20	50	80	100	120	153	200	250
	超越概率/
0.4	8.63	3.99	1.39	0.69	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
0.5	33.00	29.04	14.84	10.11	5.83	1.24	0.76	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
0.6	68.48	57.13	31.02	20.55	12.07	6.64	5.83	1.06	0.00	0.00	0.00	0.00
0.7	90.44	81.82	58.80	44.44	19.39	13.36	8.66	6.67	1.98	1.16	0.00	0.00
0.8	92.32	90.87	80.95	64.20	41.20	18.75	14.43	12.21	8.64	6.08	2.43	1.07
0.9	94.07	91.96	88.76	85.77	59.95	37.24	21.80	16.26	13.36	11.36	8.51	7.22
1.0	95.59	93.23	90.24	85.51	76.69	55.34	39.04	26.49	17.07	14.96	11.97	10.35

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表 6 高心墙堆石坝累积滑移量-PGA-超越概率的关系表

Table 6 Relationship cumulative sliding displacement-PGA-exceedance probability of high core wall rockfill dam

峰值加速度/g	累积滑移量/cm
	0	1	5	10	20	50	80	100	120	200	205	250
	超越概率/%
0.4	12.5	6.94	1.42	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0.5	29.86	18.75	13.19	7.64	2.78	0.69	0	0	0	0	0	0
0.6	57.64	37.5	25.01	20.83	12.5	2.08	1.39	0.65	0	0	0	0
0.7	75.69	60.42	47.22	33.33	23.61	7.64	4.17	2.78	1.37	0.43	0.387	0
0.8	86.11	72.92	61.81	54.17	39.58	17.36	9.03	6.25	2.1	1.44	1.373	0.77
0.9	95.14	85.42	73.61	65.97	52.08	34.47	20.49	15.32	8.89	5.79	5.453	2.42
1.0	98.61	90.28	81.94	72.55	63.89	39.58	29.64	20.04	16.36	12.69	12.186	7.65

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参考文献(27)

[1]	靳聪聪. 基于性能的高土石坝地震易损性分析与地震风险评估方法研究[D]. 大连: 大连理工大学, 2020. JIN Congcong. Performance-Based Seismic Fragility Analysis and Seismic Risk Assessment Method Research of High Earth-Rockfill Dam[D]. Dalian: Dalian University of Technology, 2020. (in Chinese)
[2]	孔宪京, 陈健云, 邹德高. 高坝抗震安全理论发展趋势研究[J]. 水力发电学报, 2020, 39(7): 1-11. KONG Xianjing, CHEN Jianyun, ZOU Degao. Study on development trend of seismic safety theory for high dams[J]. Journal of Hydroelectric Engineering, 2020, 39(7): 1-11. (in Chinese)
[3]	朱亚林, 孔宪京, 朱大勇, 等. 高心墙堆石坝的动力反应及加固极限抗震能力研究[J]. 岩土工程学报, 2013, 35(增刊2): 184-190. ZHU Yalin, KONG Xianjing, ZHU Dayong, et al. Dynamic response and reinforcement ultimate aseismic capacity of high core rockfill dams[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2013, 35(S2): 184-190. (in Chinese)
[4]	田景元, 刘汉龙, 伍小玉. 高土石坝极限抗震能力的评判角度及标准述评[J]. 防灾减灾工程学报, 2013, 33(增刊1): 128-131, 137. TIAN Jingyuan, LIU Hanlong, WU Xiaoyu. Evaluation perspectives and criteria of maximum aseismic capability for high earth-rock dam[J]. Journal of Disaster Prevention and Mitigation Engineering, 2013, 33(S1): 128-131, 137. (in Chinese)
[5]	赵剑明, 刘小生, 杨玉生, 等. 高面板堆石坝抗震安全评价标准与极限抗震能力研究[J]. 岩土工程学报, 2015, 37(12): 2255-2263. ZHAO Jianming, LIU Xiaosheng, YANG Yusheng, et al. Criteria for seismic safety evaluation and maximum aseismic capability of high concrete face rockfill dams[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2015, 37(12): 2255-2263. (in Chinese)
[6]	陈生水, 李国英, 傅中志. 高土石坝地震安全控制标准与极限抗震能力研究[J]. 岩土工程学报, 2013, 35(1): 59-65. CHEN Shengshui, LI Guoying, FU Zhongzhi. Safety criteria and limit resistance capacity of high earth-rock dams subjected to earthquakes[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2013, 35(1): 59-65. (in Chinese)
[7]	邹德高, 孔宪京, 刘京茂, 等. 高土石坝极限抗震能力评价量化指标研究[J]. 中国科学: 技术科学, 2022, 52(12): 1831-1838. ZOU Degao, KONG Xianjing, LIU Jingmao, et al. Safety criteria and limit resistance capacity of high earth-rock dams subjected to earthquakes[J]. Scientia Sinica (Technologica), 2022, 52(12): 1831-1838. (in Chinese)
[8]	LI Y C, PANG R, XU B, et al. GPDEM-based stochastic seismic response analysis of high concrete-faced rockfill dam with spatial variability of rockfill properties based on plastic deformation[J]. Computers and Geotechnics, 2021, 139: 104416. doi: 10.1016/j.compgeo.2021.104416
[9]	CHEN K H, PANG R, XU B. Stochastic dynamic response and seismic fragility analysis for high concrete face rockfill dams considering earthquake and parameter uncertainties[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2023, 167: 107817. doi: 10.1016/j.soildyn.2023.107817
[10]	梁建文. 非平稳地震动过程模拟方法(Ⅰ)[J]. 地震学报, 2005, 27(2): 213-224. doi: 10.3321/j.issn:0253-3782.2005.02.012 LIANG Jianwen. Simulation of non-stationary ground motion processes (Ⅰ)[J]. Acta Seismologica Sinica, 2005, 27(2): 213-224. (in Chinese) doi: 10.3321/j.issn:0253-3782.2005.02.012
[11]	LIU Z, ZENG B. Aseismatic design code of hydraulic structures-based probabilistic model for non-stationary ground motion[J]. China Civil Engineering Journal, 2014, 47: 312-316.
[12]	CLOUGH R W, PENZIEN J. Dynamics of Structures[M]. 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1993.
[13]	水工建筑物抗震设计标准: GB 51247—2018[S]. 北京: 中国计划出版社, 2018. Standard for Seismic Design of Hydraulic Structures: GB 51247—2018[S]. Beijing: China Planning Press, 2018. (in Chinese)
[14]	LU Y Z, PANG R, DU M Z, et al. Simulation of non-stationary ground motions and its applications in high concrete faced rockfill dams via direct probability integral method[J]. Engineering Structures, 2024, 298: 117034. doi: 10.1016/j.engstruct.2023.117034
[15]	PANG R, XU B, ZHOU Y, et al. Seismic time-history response and system reliability analysis of slopes considering uncertainty of multi-parameters and earthquake excitations[J]. Computers and Geotechnics, 2021, 136: 104245. doi: 10.1016/j.compgeo.2021.104245
[16]	KENG H L, YUAN W. Applications of Number Theory to Numerical Analysis[M]. Berlin: Springer Berlin Heidelberg, 1981.
[17]	CHEN J B, LI J. Dynamic response and reliability analysis of non-linear stochastic structures[J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2005, 20(1): 33-44. doi: 10.1016/j.probengmech.2004.05.006
[18]	LI J, CHEN J B, FAN W L. The equivalent extreme-value event and evaluation of the structural system reliability[J]. Structural Safety, 2007, 29(2): 112-131. doi: 10.1016/j.strusafe.2006.03.002
[19]	LYSMER J, KUHLEMEYER R L. Finite dynamic model for infinite media[J]. Journal of the Engineering Mechanics Division, 1969, 95(4): 859-877. doi: 10.1061/JMCEA3.0001144
[20]	徐斌, 邹德高, 孔宪京, 等. 高土石坝坝坡地震稳定分析研究[J]. 岩土工程学报, 2012, 34(1): 139-144. XU Bin, ZOU Degao, KONG Xianjing, et al. Seismic stability of slopes of high rockfiU dams[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2012, 34(1): 139-144. (in Chinese)
[21]	刘君, 刘博, 孔宪京. 地震作用下土石坝坝顶沉降估算[J]. 水力发电学报, 2012, 31(2): 183-191. LIU Jun, LIU Bo, KONG Xianjing. Estimation of earthquake-induced crest settlements of earth and rock-fill dams[J]. Journal of Hydroelectric Engineering, 2012, 31(2): 183-191. (in Chinese)
[22]	SWAISGOOD J R. Embankment dam deformations causedby earthquakes[C]// 7th Pacific Conference on Earthquake Engineering. Christchurch, 2003.
[23]	叶亚三, 陈国兴, 王志华, 等. 汶川大地震中广元市水库震害调查与分析[J]. 世界地震工程, 2011, 27(4): 73-85. YE Yasan, CHEN Guoxing, WANG Zhihua, et al. Investigation and analysis of seismic damage of reservoirs in Guangyuan City during Wenchuan great earthquake[J]. World Earthquake Engineering, 2011, 27(4): 73-85. (in Chinese)
[24]	孔宪京, 庞锐, 徐斌, 等. 考虑堆石料软化的坝坡随机地震动力稳定分析[J]. 岩土工程学报, 2019, 41(3): 414-421. KONG Xianjing, PANG Rui, XU Bin, et al. Stochastic seismic stability analysis of dam slopes considering softening of rockfills[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2019, 41(3): 414-421. (in Chinese)
[25]	李国英, 沈婷, 赵魁芝. 高心墙堆石坝地震动力特性及抗震极限分析[J]. 水利水运工程学报, 2010(1): 1-8. doi: 10.3969/j.issn.1009-640X.2010.01.001 LI Guoying, SHEN Ting, ZHAO Kuizhi. Seismic dynamic behavior and limit a seismic analysis on high earth core rockfill dams[J]. Hydro-Science and Engineering, 2010(1): 1-8. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1009-640X.2010.01.001
[26]	邵磊, 迟世春, 李红军, 等. 高心墙堆石坝极限抗震能力初探[J]. 岩土力学, 2011, 32(12): 3827-3832, 3838. doi: 10.3969/j.issn.1000-7598.2011.12.046 SHAO Lei, CHI Shichun, LI Hongjun, et al. Preliminary studies of ultimate aseismic capacity of high core rockfill dam[J]. Rock and Soil Mechanics, 2011, 32(12): 3827-3832, 3838. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1000-7598.2011.12.046
[27]	郑志. 核安全壳双向地震反应分析及易损性评估[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2018. ZHENG Zhi. Bi- directional Seismic Analysis and Fragility Evaluation of A Nuclear Containment Building[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2018. (in Chinese)

施引文献(17)

期刊类型引用(10)

1.	钟小春，易斌斌，竺维彬，祝思然，罗淑仪，王奇. 可液化土层地震液化引起盾构隧道上浮位移模式. 长安大学学报(自然科学版). 2024(01): 80-90 . 百度学术
2.	姚方正，刘伯成，慈伟，杨尚川，李睿. 考虑土体空间变异性的可液化土层圆形隧道地震响应分析. 兰州理工大学学报. 2023(04): 117-121 . 百度学术
3.	张益瑄. 液化区盾构隧道位置对上浮效应影响研究. 山西建筑. 2022(04): 144-146 . 百度学术
4.	申玉生，雷龙，闵鹏，朱双燕，甘雨航，王彬光. 基于降饱和度原理强震作用盾构隧道抗液化机理研究. 地震工程与工程振动. 2022(04): 17-24 . 百度学术
5.	王彦臻，赵丁凤，陈国兴，梁珂. 一维场地地震反应非线性有效应力分析法及其验证. 岩土工程学报. 2021(03): 502-510 . 本站查看
6.	张稳军，曹文振. 地震下大断面盾构隧道接缝力学及防水性能研究. 岩土工程学报. 2021(04): 653-660 . 本站查看
7.	邱明兵，高文生，秋仁东. 考虑惯性和运动相互作用桩基础抗震计算实例. 建筑科学. 2021(03): 39-45 . 百度学术
8.	程选生，周欣海，王平，柴少峰，冯欢，杨莉萍. 黄土隧道结构的振动台模型试验研究. 中国公路学报. 2021(06): 136-146 . 百度学术
9.	罗驰恒. 超大直径过江盾构隧道口字件不同连接型式地震响应特征研究. 公路交通科技. 2021(06): 39-45 . 百度学术
10.	吴悦，霍永鹏，巫志农，孔令威，李河山，张益瑄. 砂土液化对越江盾构隧道上浮行为的影响研究. 交通科技. 2021(06): 87-91 . 百度学术