砾粒土卸载-再加载力学特性大型平面应变试验研究

王智; 邵帅; 邵生俊; 严广艺

doi:10.11779/CJGE20230672

砾粒土卸载-再加载力学特性大型平面应变试验研究 English Version

王智^1,,
邵帅^2, ,,
邵生俊^{1, 3},
严广艺⁴

1.
西安理工大学岩土工程研究所, 陕西西安 710048
2.
西安理工大学建筑与城市规划系, 陕西西安 710048
3.
西安理工大学陕西省黄土力学与工程重点实验室, 陕西西安 710048
4.
中铁第一勘察设计院集团有限公司, 陕西西安 710043

基金项目:

国家自然科学基金项目 52108342

陕西省自然科学基础研究计划-引汉济渭联合基金项目 2019JLP-21

陕西省自然科学基础研究计划-引汉济渭联合基金项目 2021JLM-50

西安理工大学博士启动金项目 107-451122001

详细信息

作者简介:
王智(1991—)，男，博士研究生，主要从事土力学试验等方面的研究工作。E-mail: jarowl@qq.com

通讯作者:
邵帅, E-mail: shaoshuai@xaut.edu.cn

中图分类号: TU411;TV16
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出版历程
- 收稿日期: 2023-07-16
- 网络出版日期: 2024-03-24
- 刊出日期: 2024-08-31

Large-scale plane strain tests on mechanical properties of gravelly soils under unloading and reloading conditions

1.
Institute of Geotechnical Engineering, Xi'an University of Technology, Xi'an 710048, China
2.
Department of Architecture and Urban Planning, Xi'an University of Technology, Xi'an 710048, China
3.
Shaanxi Key Laboratory of Loess Mechanics and Engineering, Xi'an University of Technology, Xi'an 710048, China
4.
China Railway First Survey and Design Institute Group Co., Ltd., Xi'an 710043, China

摘要

摘要: 针对水利和交通工程中平面应变类工程重复加卸荷问题，利用压力室平面应变改造后的西安理工大学大型土工真三轴仪在不同围压条件下对两种砾粒土进行固结排水平面应变卸载-再加载试验，研究了砾粒土在平面应变状态下的应力-应变关系和卸载回弹应变和卸载-再加载回弹坡度等力学特性。结果表明：砾粒土的颗粒圆度、孔隙比、母岩强度和围压均会影响剪切峰值应力及剪胀特性，颗粒圆度好、孔隙比小的砾粒土峰值应力较低且更易表现出剪胀特性，母岩强度低会促进应变软化并降低峰值应力，围压增大可抑制剪胀并使峰值应力增大；体积应变和广义剪应变卸载回弹量与应力水平和围压有关；回弹坡度随应力水平增大先增后减，密实度较大时回弹坡度较大；卸载-再加载过程中出现主应力轴旋转现象，零应变方向的应力并非一直为中主应力；回弹坡度显著大于初始切线坡度，回弹坡度与初始切线坡度之比随围压增大快速减小。
- 平面应变 /
- 卸载-再加载 /
- 砾粒土 /
- 剪切回弹特性 /
- 剪切回弹坡度
Abstract: Aiming at the repetitive loading and unloading issue in the plane strain of water conservancy and transportation projects, the large-scale geotechnical triaxial apparatus of Xi'an University of Technology modified with a pressure chamber of plane strain, was used to conduct consolidation and drainage plane strain unloading-reloading tests on two types of gravelly soils under different confining pressures. The mechanical properties investigated include the stress-strain relationship and the unloading rebound strain and unloading-reloading rebound gradient of gravelly soils under plane strain conditions. The results show the particle roundness, pore ratio, parent rock strength and confining pressure of the gravelly soils can all affect the peak shear stress and shear dilation characteristics. The gravelly soils with good particle roundness and small pore ratio have lower peak stress and are more likely to exhibit shear dilation characteristics. Low parent rock strength promotes strain softening and reduces the peak stress, while the increasing confining pressure can suppress shear dilation and increase the peak stress. The volumetric strain and shear strain unloading rebound amount are related to the stress level and confining pressure. The rebound modulus first increases and then decreases with the increase of the stress level, and when the density is high, the rebound modulus is higher; The unloading rebound volumetric strain and the generalized shear strain are influenced by the stress level during unloading and the consolidation confining pressure, while the unloading-reloading rebound gradient is related to the proportion of elastic strain during the loading process. During the unloading-reloading process, the rotation of the principal stress axis is observed, and the stress in the non-strain direction is not always the intermediate principal stress. The rebound gradient is significantly greater than the initial tangent gradient, and the ratio of the rebound gradient to the initial tangent gradient decreases with the increasing confining pressure.
- plane strain /
- unloading-reloading /
- gravelly soil /
- shear rebound characteristic /
- shear rebound gradient

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0. 引言

非饱和渗流是土力学方面的基础科学问题之一，同时也是环境岩土工程领域的研究热点^[1-3]。近些年来，气候变化引起的各类极端气象诱发大量工程灾害，比如突发性强降雨会对边坡稳定及水位暴涨下的土质堤坝防渗带来巨大挑战，而诸如此类问题均涉及到了岩土体非饱和渗流。因此，研究非饱和土体在瞬态渗流下的水分迁移具有重要的理论意义和实践价值。

Richards^[4]首先基于试验提出描述非饱和渗流现象著名的Richards方程。而后Childs等^[5]引入扩散率的概念，变换Richards方程使其具有扩散形式。目前，Richards方程已广泛应用于各类非饱和渗流问题分析，然而方程的高度非线性为数值求解和解析计算带来诸多困难。为求解Richards方程衍生出许多数值方法。Phoon等^[6]认为在求解过程中应用欠松弛技术可以显著提升收敛速度，并通过数值试验得以验证。陈曦等^[7]的研究表明现有欠松弛方法的局限性，同时提出了短项混合欠松弛技术数值求解Richards方程。另外，预处理技术的应用也可以显著加快迭代收敛速率。罗晓辉等^[8]则采用了改进的预处理超松弛迭代法和红黑排序超松弛迭代法，结果表明可有效提升收敛速率。Zhu等^[9]提出了预处理的共轭梯度法，并将结果与解析解进行对比。Zhu等^[10]使用多步预处理的非精确Hermitian和斜Hermitian分裂迭代法数值求解Richards方程，计算表明具有较好的效果。Wang等^[11]提出预处理改进的Hermitian和斜Hermitian分裂迭代法，并通过数值实验证明该方法的有效性。

使用有限体积法、有限差分法以及有限元法的数值方法求解非饱和渗流Richards方程时，由于湿润锋的动态演变及方程本身的高度非线性，往往会产生网格畸变，计算工作量急剧增加，数值解经常难以收敛且质量守恒也难以保证。使用解析计算则可以有效避免上述弊端，同时可以直观的体现出初始条件与边界条件作用下的动态响应，根据所求解析解亦可便利的对各影响因素进行参数敏感性分析。

非饱和土渗流问题的解析计算已存在诸多报道。Srivastava等^[12]采用Laplace变换技术得到了一维入渗条件下均质土层及成层土的解析解。Wu等^[13]则考虑非饱和土体存在裂隙的情形基于Laplace变换得到了一维垂直入渗的非饱和土渗流解析解。针对高维问题解析计算的复杂性，Tracy^[14]则应用Fourier变换得到了二维及三维情形下非饱和渗流的解析表达式。Basha^[15]使用格林函数法对二维和三维情形下的解析计算开展探讨。Chen等^[16]利用汉克尔积分变换技术得到了点源作用下半无限空间的非饱和稳态渗流的解析解。白冰等^[17]使用Laplace变换得到体积含水量分布场在变换域上的解答。然而，在以上多个研究中的解析求解过程存在的积分变换项十分复杂，解析解的普遍应用具有局限性。为此，一些学者通过引入其它方法试图降低控制方程的求解难度。比如，Hayek^[18]通过特征变换将偏微分方程转换为常微分问题进行解析求解。Ma等^[19]则通过引入Bolzmann变换以便达到同样的目的。以上两种变换缺乏明确的物理含义，且转换后的常微分方程求解仍然复杂。

本文使用Gardner指数型土水特征曲线及渗透系数函数，数学变换对Richards方程及相应定解条件进行线性化及无量纲化。基于齐次化构造原理对线性无量纲化的入渗问题等价分解，并采用分离变量技术进行解析计算，得到了无穷级数形式的无量纲渗透系数、渗流速率、体积含水量和基质吸力水头的解析解。本文为解析计算非饱和渗流问题提供一种新求解的思路，具有一定的理论意义和应用价值。

1. 非饱和渗流控制方程的线性化

一维情形下的Richards方程可以表示为^{[6, 20]}

$\frac{\partial }{{\partial z}}\left[ {k({h_{{\text{m}}}})\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right)} \right] = C({h_{{\text{m}}}})\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial t}} 。$

(1)

式中：k( ${h_{{\text{m}}}}$ )为渗透系数函数，在土体干湿界面附近呈现高度非线性特征； ${h_{{\text{m}}}}$ 为基质吸力水头；C( ${h_{{\text{m}}}}$ )为比水容量；t为时间；z为坐标。

使用非线性的土水特征曲线，比水容量可以表示为^{[12, 21]}

$C({h_{{\text{m}}}}) = \frac{{\partial \theta }}{{\partial {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(2)

式中：θ为体积含水量。

将式（2）代入式（1）中，可以将均质各向同性土层中，地表与地下水位之间的一维瞬态非饱和渗流控制方程，可变换为如下非线性偏微分方程^[7]：

$\frac{\partial }{{\partial z}}\left[ {k({h_{{\text{m}}}})\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right)} \right] = \frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} 。$

(3)

因单参数指数型的Gardner水力参数模型可便于将非饱和渗流Richards方程线性化^[22]。本文将使用Gardner模型开展对于渗流方程的解析求解工作，其具体数学表达式表示为^[23]

$k({h_{{\text{m}}}}) = {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(4)

式中： ${k_{{\text{s}}}}$ 为饱和渗透系数；β为土的孔隙分布参数，该参数表示吸力水头增长时相应的渗透系数下降速率，可根据土水特征曲线对应的进气值水头确定（通常而言，β为进气值水头的倒数）。研究表明^[24]，β的取值范围大致由粗颗粒土的1.0 cm^-1到细颗粒土的0.001 cm^-1。对式（4）求导可得

$\frac{{\partial k}}{{\partial {h_{{\text{m}}}}}} = \beta {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(5)

文献中普遍使用的Gardner土水特征曲线，其数学表达式为^[25]

$\theta ({h_{{\text{m}}}}) = {\theta _{{\text{r}}}} + ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}}){{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(6)

式中： ${\theta _{{\text{s}}}}$ 为饱和含水率； ${\theta _{{\text{r}}}}$ 为残余含水率。

对式（6）求导可得

$\beta \frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} = \frac{{\beta ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}})}}{{{k_{{\text{s}}}}}}\frac{{\partial k}}{{\partial t}} 。$

(7)

根据链式求导法则可得

$\frac{{\partial k}}{{\partial z}} = \frac{{\partial k}}{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} = \beta {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}}\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} 。$

(8)

依据式（8）计算二阶导数可得

$\frac{{{\partial ^2}k}}{{\partial {z^2}}} = \beta \frac{{\partial k}}{{\partial z}}\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + \beta k\frac{{{\partial ^2}{h_{{\text{m}}}}}}{{\partial {z^2}}} 。$

(9)

对式（3）左侧展开，可得

$\frac{{\partial k}}{{\partial z}} + \frac{{\partial k}}{{\partial z}}\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + k\frac{{{\partial ^2}{h_{{\text{m}}}}}}{{\partial {z^2}}} = \frac{\partial }{{\partial z}}\left[ {k({h_{{\text{m}}}})\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right)} \right] 。$

(10)

由式（8）~（10）计算可得

$\beta \frac{\partial }{{\partial z}}\left[ {k({h_{{\text{m}}}})\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right)} \right] = \beta \frac{{\partial k}}{{\partial z}} + \frac{{{\partial ^2}k}}{{\partial {z^2}}} 。$

(11)

由式（3），（7），（11），便可以得到线性化的非饱和一维渗流问题理论方程：

$\frac{{{\partial ^2}k}}{{\partial {z^2}}} + \beta \frac{{\partial k}}{{\partial z}} = \frac{{\beta ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}})}}{{{k_{{\text{s}}}}}}\frac{{\partial k}}{{\partial t}} 。$

(12)

从数学视角分析，线性化后的Richards方程具有对流-扩散特征。其中，空间变量的二阶导数是扩散项，空间变量的一阶导数为对流项。

对于复杂入渗条件的非饱和渗流分析，为了便于解析计算，一个可行的做法是对控制方程、初始条件和边界条件进行无量纲化。事实上，本文的解析计算便是在无量纲化的Richards方程基础上展开，而后进行数学变换即可得到具有物理单位的各场量解析解。下面部分给出无量纲化过程及入渗过程的物理模型示意图。

2. 算例模型及方程的无量纲化

2.1 算例模型

设定地下水位距离地表为l，且地下水位处的基质吸力水头h_m=h₀恒定保持不变（一般情况下，地下水位处的基质吸力水头等于0）。t≤0时土层从上至下为稳定入渗状态，其中地表处的入渗率为q_A，当t > 0时地表入渗率由q_A变为q_B后保持不变。对于半无限大空间下的水分垂直方向运动，通常以一维的Richards方程描述其过程，物理模型示意图可见图 1。

图 1 入渗过程的物理模型示意图

Figure 1. Schematic diagram of physical model of infiltration process

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2.2 Richards方程的无量纲化

引入无量纲参数对方程进行变换：Z=βz，L=βl，K=k/k_s，Q_A=q_A/ ${k_{{\text{s}}}}$ ，Q_B=q_B/k_s，T=βk_st/(θ_s-θ_r)。根据以上无量纲参数对式（12）的各导数项进行变换可得

$\frac{{\partial k}}{{\partial z}} = {k_{{\text{s}}}}\frac{{\partial K}}{{\partial z}} = {k_{{\text{s}}}}\frac{{\partial K}}{{\partial Z}}\frac{{\partial Z}}{{\partial z}} = \beta {k_{{\text{s}}}}\frac{{\partial K}}{{\partial Z}} ，$

(13)

$\frac{{{\partial ^2}k}}{{\partial {z^2}}} = \beta {k_{{\text{s}}}}\frac{{{\partial ^2}K}}{{\partial {Z^2}}}\frac{{\partial Z}}{{\partial z}} = {\beta ^2}{k_{{\text{s}}}}\frac{{{\partial ^2}K}}{{\partial {Z^2}}} ，$

(14)

$\frac{{\partial k}}{{\partial t}} = \frac{{\partial k}}{{\partial T}}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \frac{{\partial k}}{{\partial K}}\frac{{\partial K}}{{\partial T}}\frac{{\beta {k_{{\text{s}}}}}}{{{\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _r}}} = \frac{{\beta {k_{{\text{s}}}}^{{\text{2}}}}}{{{\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _r}}}\frac{{\partial K}}{{\partial T}} 。$

(15)

把式（13）~（15）代入式（12），得到如下线性化无量纲方程：

$\frac{\partial^{2} K}{\partial Z^{2}}+\frac{\partial K}{\partial Z}=\frac{\partial K}{\partial T} 。$

(16)

2.3 初始条件和边界条件的无量纲化

基于式（4），给出如下形式的达西渗流定律表达式：

$q = - {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}}\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right) 。$

(17)

依据非饱和稳定入渗状态下z=0处的边界条件 ${h_{{\text{m}}}}$ = ${h_{{\text{0}}}}$ ，积分计算可得土层基质吸力水头：

${h_{{\text{m}}}} = \frac{1}{\beta }\ln \left[ {{{{\text{e}}}^{ - \beta (z - {h_0})}} + \frac{q}{{{k_{{\text{s}}}}}}({{{\text{e}}}^{ - \beta z}} - 1)} \right] 。$

(18)

依据式（4）及无量纲参数，可得无量纲化的初始条件为

$K(Z, 0) = ({{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}} + {Q_A}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - {Q_A} = {K_0}(Z) 。$

(19)

对于地下水位处基质吸力水头恒保持不变的情况，无量纲化的下边界条件为

$K(0, T) = {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}} 。$

(20)

t > 0地表处的稳定入渗速率由 ${q_A}$ 变为 ${q_B}$ ，依据达西定律可知：

${q_B} = - k\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right) 。$

(21)

于是可得无量纲化的上边界条件为

${\left. {\left( {\frac{{\partial K}}{{\partial Z}} + K} \right)} \right|_{Z = L}} = - {Q_B} 。$

(22)

综上，式（16），（19），（20），（22）组成完整的地表入渗速度突增情形下非饱和渗流问题的控制方程，其具体的线性化无量纲微分表达式：

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}} \frac{{\partial }^{2}K}{\partial {Z}^{2}}+\frac{\partial K}{\partial Z}=\frac{\partial K}{\partial T}，\\ {K|}_{T=0}=({{\text{e}}}^{\beta {h}_{0}}+{Q}_{A}){{\text{e}}}^{-Z}-{Q}_{A}，\\ {K|}_{Z=0}={{\text{e}}}^{\beta {h}_{0}}，\\ {\left(\frac{\partial K}{\partial Z}+K\right)|}_{Z=L}=-{Q}_{B}。 \end{array}} \right\}$

(23)

3. 解析计算

线性化无量纲非饱和渗流问题的解析计算需要针对K开展，因原问题的边界条件是非齐次的（式（20），（22）），尝试构造形如K=K₁+K₂形式的解析解，其中K₁是与时间无关问题的解析解（边界非齐次），K₂是齐次边界下的含时问题的解析解，故方程（23）可以等价变换为如下两个两部分的解析计算。

于是，问题一的数学表达式如下：

$\frac{\partial^{2} K_{1}}{\partial Z^{2}}+\frac{\partial K_{1}}{\partial Z}=0 ，$

(24)

${\left[ {{K_1}} \right]_{Z = 0}} = {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}} ，$

(25)

$\left[\frac{\partial K_{1}}{\partial Z}+K_{1}\right]_{Z=L}=-Q_{B} 。$

(26)

问题二的数学表达式如下：

$\frac{\partial^{2} K_{2}}{\partial Z^{2}}+\frac{\partial K_{2}}{\partial Z}=\frac{\partial K_{2}}{\partial T} ，$

(27)

$\left[K_{2}\right]_{Z=0}=0 ，$

(28)

$\left[\frac{\partial K_{2}}{\partial Z}+K_{2}\right]_{Z=L}=0 ，$

(29)

${K_2}(Z, 0) = ({{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}} + {Q_A}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - {Q_A} - {K_1} 。$

(30)

得到问题一与问题二的解析解叠加组合，便可得到方程（23）相对应的非饱和渗流问题的解析解。首先，对问题一相应的常系数线性微分方程进行解析求解，可得

${K_1} = {C_1} - {C_0}{{{\text{e}}}^{ - Z}} 。$

(31)

式中：C₁，C₀为待定常数项。需要指出，随后的解析过程中出现的C亦表示待定常数项。

把式（31）分别代入式（25），（26）可得

$\frac{\partial K_{1}}{\partial Z}+K_{1}=C_{1}=-Q_{B} ，$

(32)

${K_1} = - {Q_B} - {C_0} = {{{\text{e}}}^{ - \beta {h_0}}} 。$

(33)

由此可得到常数项的值，便得到如下K₁表达式：

${K_1} = - {Q_B} + ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} 。$

(34)

对于问题二的解析计算是采用分离变量法，将K₂表示为关于Z和T函数的乘积：

$K_{2}(Z, T)=M(Z) N(T) 。$

(35)

将式（35）代入式（27）可得

$M^{\prime \prime} N+M^{\prime}N=M N^{\prime} 。$

(36)

对式（36）变换后可得

$\frac{M^{\prime \prime}+M^{\prime}}{M}=\frac{N^{\prime}}{N}=-\lambda 。$

(37)

式中：λ为待定常数。

由式（37）可以得出如下的方程：

$M^{\prime \prime}+M^{\prime}+\lambda M=0 ，$

(38)

$N^{\prime}+\lambda N=0 。$

(39)

对于式（38），（39）进行求解，可得非平凡解如下：

$M = {{{\text{e}}}^{ - \frac{1}{2}Z}}\left( {{C_1}\cos \frac{{\sqrt {4\lambda - 1} }}{2}Z + {C_2}\sin \frac{{\sqrt {4\lambda - 1} }}{2}Z} \right) ，$

(40)

$N = {C_0}{{{\text{e}}}^{ - \lambda T}} 。$

(41)

将式（40），（41）代入初始条件与边界条件即式（28）~（30）中可得

${K_2}(0, T) = {C_0}{{{\text{e}}}^{ - \lambda T}}{C_1} = 0 。$

(42)

则有C₁=0，将其代入式（29）可得

$\tan \varphi L+2 \varphi=0 。$

(43)

式中： $\varphi=\sqrt{4 \lambda-1}$ ，据此便可得

${K_2}(Z, T) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}{{{\text{e}}}^{ - {\varphi _n}^2T}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{1}{2}Z}}\sin {\varphi _n}Z} 。$

(44)

把K₁的函数表达式(34)代入式(30)中得

${K_2}(Z, 0) = ({Q_A} - {Q_B}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - ({Q_A} - {Q_B}) 。$

(45)

对于式（44）中的常数项C_n的确定，可基于式（45）所提供的初始条件得到，代入式（44）可得

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} C_{n} f_{n}(Z)=g(Z) 。$

(46)

式中：f_n(Z)= ${{{\text{e}}}^{ - 0.5Z}}$ sinφ_nZ；g(Z)=(Q_A-Q_B)e^-Z-(Q_A-Q_B)。

于是，可得到K的解析解表达式为

$K = - {Q_B} + ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} +$

${{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right) 。$

(47)

式中：φ_n由式（43）给出，C_n由式（46）给出。

依据式（17）所述Dracy定律，可以得到任意深度处的渗流速度随时间变化的解析表达式：

$q = - {k_{{\text{s}}}}\frac{{\partial K}}{{\partial Z}} - {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(48)

根据式（47）可得

$\begin{gathered} \frac{{\partial K}}{{\partial Z}} = - ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - \hfill \\ \frac{1}{2}{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right) + \hfill \\ \end{gathered}$

${{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}{{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}\cos ({\varphi _n}Z){\varphi _n}} } \right) 。$

(49)

将式（49）代入式（48）中，得到如下的渗流速度q的解析表达式：

$q = - {k_{{\text{s}}}}\left[ { - ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - \frac{1}{2}{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right) + } \right. \\\left. {{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}{{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}\cos ({\varphi _n}Z){\varphi _n}} } \right)} \right] - {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} ，$

(50)

结合式（4），（6）可得

$\theta = {\theta _{{\text{r}}}} + ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}})\frac{k}{{{k_{{\text{s}}}}}} 。$

(51)

将式（51）代入式（47），得到如下的θ解析表达式：

$\theta = {\theta _{{\text{r}}}} + ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}})\left[ { - {Q_B} + ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} + \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}} \right.$

$\left. {{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right)} \right] 。$

(52)

根据式（4）可得基质吸力水头 ${h_{{\text{m}}}}$ 与k的函数关系：

${h_{{\text{m}}}} = \frac{1}{\beta }\ln \frac{k}{{{k_{{\text{s}}}}}} 。$

(53)

结合式（47）得到 ${h_{{\text{m}}}}$ 的解析解表达式：

${h_{{\text{m}}}} = \frac{1}{\beta }\ln \left[ { - {Q_B} + ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} + \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}} \right.$

$\left. {{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right)} \right] 。$

(54)

可见，C_n值便成为确定基质吸力水头、体积含水量及渗流速率解析表达式的重要内容。试算表明，C_n值的合理确定依赖于β（β的值越大，确定C_n所需要的级数项越多），满足求解精度需要且确保计算效率的前提下，对式（46）进行如下处理：

$\sum\limits_{n=1}^{10} C_{n} f_{n}(Z) \approx g(Z) 。$

(55)

这样便可以求得常数项值，据此进行一下计算：

$H({C_1}, {C_2}, {C_3}, {C_4}, {C_5}, {C_6}, {C_7}, {C_8}, {C_9}, {C_{10}})$

$= \int\limits_0^L {{{\left[ {g(Z) - \sum\limits_{n = 1}^{10} {{C_n}{f_n}(Z)} } \right]}^2}} {{\text{d}}}Z。$

(56)

其中H为关于C₁，C₂，C₃，C₄，C₅，C₆，C₇，C₈，C₉，C₁₀的函数，对其分别求导则有

$\frac{\partial H}{\partial {C}_{m}}=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}2\left[g(Z)-{\displaystyle \sum _{n=1}^{{\text{10}}}{C}_{n}{f}_{n}}\right]{f}_{m}(Z)}{\text{d}}Z=0{\text{ (}}m\subseteq \left[1, {\text{10}}\right])。$

(57)

由式（57）可得

$(g, {f_m}) = \sum\limits_{n = 1}^{{{\text{10}}}} {{C_n}({f_m}, {f_n})} {{\text{ (}}}m \subseteq \left[ {1, {{\text{10}}}} \right]) 。$

(58)

由此，便可得到常数项C_n的值。

4. 讨论与分析

为便于计算获取非饱和渗流过程中重要物理量的演变特征，算例中的均质土层厚度为地下水位与地表的垂直距离，均取为100 cm。其中，土样1是典型粗粒土，其对应的土层初始稳定状态下的入渗速率q_A=-0.1 cm/h（负号表示渗流方向与坐标轴相反），突增后的入渗速率q_B=-0.9 cm/h，有关参数依据文献[24]可知，β=0.1 cm^-1， ${\theta _{{\text{s}}}}$ =0.4，θ_r =0.06， ${k_{{\text{s}}}}$ =1 cm/h。土样2是一类典型的细粒土，其对应的土层初始稳定状态下的入渗速率q_A=-0.001 cm/h，突增后的入渗速率q_B=-0.009 cm/h。土体参数^[24]为β=0.01 cm^-1，θ_s =0.45，θ_r =0.2，k_s =0.01 cm/h。

对于土样1和土样2的孔隙分布参数分别为β=0.1 cm^-1和β=0.01 cm^-1，l=100 cm，有L=10，根据式（43），（58）可分别得两土样待定参数φ，C值如表 1所列。

表 1 土样1和土样2的φ和C值

Table 1. Values of φ and C of soil samples 1 and 2

参数	土样1	土样2	参数	土样1	土样2
φ₁	0.265	1.837	C₁	37.3700Q	0.7715Q
φ₂	0.545	4.816	C₂	-36.1751Q	-0.1370Q
φ₃	0.839	7.917	C₃	24.7864Q	0.0519Q
φ₄	1.141	11.041	C₄	-16.2770Q	-0.0268Q
φ₅	1.447	14.172	C₅	10.8925Q	0.0163Q
φ₆	1.756	17.308	C₆	-7.4148Q	-0.0109Q
φ₇	2.006	20.445	C₇	5.0050Q	0.00782Q
φ₈	2.377	23.583	C₈	-3.1498Q	-0.00582Q
φ₉	2.689	26.722	C₉	1.6282Q	0.00447Q
φ₁₀	3.001	29.862	C₁₀	-0.4891Q	-0.00307Q
注：Q=Q_B-Q_A。

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于是，依据式（47），（50），（52），（54）则分别可以得到土样1和土样2对应的无量纲渗透系数K的解析表达式，以及相应的渗流速率q、体积含水量θ和基质吸力水头 ${h_{{\text{m}}}}$ 的解析表达式。

图 2，3分别给出了均质粗粒土层和均质细粒土层在稳定入渗时，地表入渗速率突增情形下土层中体积含水量沿z方向的分布演变特征，本文验证解析计算的可靠性是基于COMSOL有限元数值平台，其中图 2给出了粗粒土体积含水量解析解和数值解的对比，可见解析解和数值计算结果具有较好的一致性。需要指出，两类土层的入渗计算均截止到再次稳定入渗状态，以初始体积含水量曲线为参照基准线，定义入渗过程中的体积含水量曲线和初始含水率曲线的交点为湿润锋的位置。可见，粗粒土层与细粒土层的入渗过程中均存在明显的湿润锋向下传播运动现象，其中湿润锋到达粗粒土的地下水位处的时间不到20 h，然而细粒土层中的湿润锋则需要近300 h。此外，可以看出不管哪种土层类型，湿润锋向下传播的移动速度随时间均不断减慢，在100 h时粗粒土中的水分入渗重新达到稳定状态，而细粒土需要的时间则近5000 h。两类土层中水分迁移运动达到稳定时体积含水量在z方向上的分布均近似为一斜线，这是由于在非饱和渗流Richards方程中考虑重力效应的缘故。

图 2 非饱和粗粒土层内体积含水量的演变特征

Figure 2. Evolution characteristics of volumetric water content in unsaturated coarse-grained soil layer

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图 3 非饱和细粒土层内体积含水量的演变特征

Figure 3. Evolution characteristics of volumetric water content in unsaturated fine-grained soil layer

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图 4，5分别给出了均质粗粒土层和均质细粒土层在地表入渗速率突增情形下基质吸力水头沿垂直方向的分布演变特征。粗粒土基质吸力水头曲线的解析解和数值解对比表明解析计算的正确性和可靠性较好。从中可见，在地表持续不断的水分补给下，土层中的含水率饱和度会逐渐增大，相应的基质吸力水头不断增大（即，基质吸力水头绝对值不断减小），再次稳定入渗时两类土的基质吸力水头均近乎为0，表明土层含水率接近饱和。此外，无论粗粒土还是细粒土，对比表明相同时点的基质吸力水头曲线与其相应的体积含水量曲线演变表现出高度的相似性。

图 4 非饱和粗粒土层内基质吸力水头的演变特征

Figure 4. Evolution characteristics of matric suction head in unsaturated coarse-grained soil layer

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图 5 非饱和细粒土层内基质吸力水头的演变特征

Figure 5. Evolution characteristics of matric suction head in unsaturated fine-grained soil layer

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图 6给出了粗粒土层饱和渗透系数取不同值情况下，非饱和渗流再次稳定入渗时所需要时间的拟合规律。可见，当土层厚度及其他参数一定的情况下，曲线拟合（拟合优度为0.99）表明随着土层饱和渗透逐渐减小，入渗再次稳定所需要的时间呈现指数型下降的趋势。

图 6 粗粒土饱和渗透速率不同条件下入渗再次稳定的时间

Figure 6. Time of infiltration stabilization of coarse-grained soil under different saturated hydraulic conductivities

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图 7，8分别描述了粗粒土和细粒土在以较大入渗速率稳定入渗时（粗粒土入渗速率为-0.9 cm/h，细粒土是-0.009 cm/h），地表处入渗速率骤降情况下基质吸力水头沿高程的分布演变特征。需要指出的是，粗粒土的入渗速率骤降至-0.1 cm/h，细粒土的入渗速率骤降至-0.001 cm/h（即图 4，7及图 5，8的非饱和入渗互为逆过程）。可见，地表处入渗速率的变化显著影响着地表附近的基质吸力水头的分布，而后随着时间增长基质吸力水头自上而下逐渐增大（即绝对值减小）。此外，对比发现图 7的始态（终态）和图 4的终态（始态）完全一致，并且图 8的始态（终态）和图 5的终态（始态）完全一致，表明非饱和渗流稳态下基质吸力水头沿高程分布仅取决于其边界条件；然而互逆过程下水分运动过程中相同时间点的土层内基质吸力水头的曲线差异极大。

图 7 粗粒土层入渗速率骤降条件下基质吸力水头演变特征

Figure 7. Evolution characteristics of matric suction head in coarse-grained soil under sudden drop of infiltration rate

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图 8 细粒土层入渗速率骤降条件下基质吸力水头演变特征

Figure 8. Evolution characteristics of matric suction head in fine- grained soil under sudden drop of infiltration rate

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图 9，10分别描述了粗粒土层和细粒土层中不同深度特征点的体积含水量随时间的演变特征。可见，随着时间增加，所有特征点的体积含水量逐渐增大并最终趋于稳定；受水分向下入渗的影响，特征点距离地表越远，其含水率演变曲线初始阶段的平缓段越长。相较于细粒土的体积含水量曲线而言，粗粒土的3条体积含水量曲线存在相交现象，即在约t=10 h时受地表入渗速率边界影响，近地下水位z=70 cm和近地表z=10 cm两特征点处的体积含水量近似相等，而后z=70 cm的体积含水量一直大于z=10 cm处的值。对于细粒土层靠近地下水位的z=10 cm特征点，其体积含水量一直高于z=40 cm和z=70 cm两处的值，且这种情况持续到稳定入渗，表明细粒土中z=10 cm特征点体积含水量由地下水位处的饱和边界主导，验证了细粒土具有更强的毛细上升作用。

图 9 粗粒土层不同深度特征点体积含水量随时间演变特征

Figure 9. Time-varying characteristics of volumetric water content at feature points at different depths in coarse-grained soil

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图 10 细粒土层不同深度特征点体积含水量随时间演变特征

Figure 10. Time-varying characteristics of volumetric water content at feature points at different depths of fine-grained soil

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图 11，12分别给出了粗粒土层和细粒土层不同深度处的基质吸力水头随时间的演化特征。对比表明，同样条件下相同特征点的体积含水量演变特征与其基质吸力水头演变表现出高度的相似性。

图 11 粗粒土层不同深度特征点基质吸力水头随时间演变特征

Figure 11. Time-varying characteristics of matric suction head at feature points at different depths in coarse-grained soil

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图 12 细粒土层不同深度特征点基质吸力水头随时间演变特征

Figure 12. Time-varying characteristics of matric suction head at feature points at different depths in fine-grained soil

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图 13，14分别描述了粗粒土层和细粒土层的入渗过程中不同深度特征点对应的渗流速率演变特征。可以看出，在地表持续水分补给下任意深度特征点的渗流速率均经历由小到大直至稳定的过程；特征点距离地表越近，其渗流速率增大到稳态需要的时间越短，比如粗粒土层z=90 cm处的特征点渗流速率约在t=10 h左右稳定，而z=0 cm（地表水位处）对应的渗流速率则在t=90 h时稳定；距离地表越远，其渗流速率发生变化的时间越晚（即渗流速度演变曲线的初始平缓段越长），比如粗粒土层z=90 cm的特征点渗流速率变化近乎发生在t=0 h，而z=0 cm（地表水位处）对应的渗流速率则在t=10 h才开始增大。此外，因粗粒土比细粒土具有更大的渗流速度，相同深度特征点的粗粒土渗流速率更早开始增大，更早的趋于稳定状态；同时计算表明在渗流速率增长阶段，粗粒土层的任意相同深度处的渗流速率均具有更大的增长速率。

图 13 入渗过程中粗粒土不同特征点渗流速率的演变特征

Figure 13. Evolution characteristics of seepage rate at different feature points during coarse-grained soil infiltration process

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图 14 入渗过程中细粒土不同特征点渗流速率的演变特征

Figure 14. Evolution characteristics of seepage rate at different feature points of fine-grained soil during infiltration process

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5. 结论

本文基于Gardner指数型的水力参量，对非饱和渗流Richards方程进行线性化并无量纲处理，而后通过数学齐次化构造得到等价的入渗问题微分方程，使用分离变量技术得到基质吸力水头，体积含水量及渗流速率的无穷级数形式解析解，从而为非饱和渗流解析计算提供一种新的求解思路。针对两类典型土层的非饱和渗流问题进行了分析，得到3点结论。

（1）在地表持续水分补给下湿润峰向土层深处的移动速度随时间逐渐减慢；随着粗粒土层的饱和渗透系数的逐渐减小，非饱和渗流由稳态发展到再次稳态所需要的时间呈现指数型下降趋势。

（2）土层中的基质吸力水头的演变特征与其相应的体积含水量演变规律呈现出高度的相似性。非饱和渗流稳态下基质吸力水头沿高程分布仅取决于其边界条件。

（3）距离地表越近，渗流速率增大到稳态需要的时间越短；反之，渗流速率受地表边界作用发生响应的时间越晚。在瞬态入渗过程中粗粒土层在任意深度处的渗流速度均具有较大的增长速度。

图 1 土样A

Figure 1. Soil sample A

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图 2 土样B

Figure 2. Soil sample B

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图 3 试样和级配曲线

Figure 3. Soil sample and its grading curve

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图 4 大型真三轴仪

Figure 4. Large-scale true triaxial apparatus

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图 5 平面应变压力室

Figure 5. Pressure chamber of plane strain

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图 6 砾粒土卸载-再加载和单调加载q-ε_s关系曲线

Figure 6. q-ε_s relation curves of gravelly soils under loading and unloading and monotonic loading conditions

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图 7 砾粒土加-卸载-ε₃-q关系曲线

Figure 7. (-ε₃)-q relation curves of gravelly soils under loading and unloading conditions

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图 8 砾粒土加-卸载(-ε₃)-ε₁关系曲线

Figure 8. (-ε₃)-ε₁ relation curves of gravelly soils under loading and unloading conditions

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图 9 砾粒土加-卸载ε_s-ε₁关系曲线

Figure 9. ε_s-ε₁ relation curves of gravelly soils under loading and unloading conditions

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图 10 砾粒土加-卸载ε_v-ε₁关系曲线

Figure 10. ε_v-ε₁ relation curves of gravelly soils under loading and unloading conditions

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图 11 砾粒土加-卸载Δε_s-S²/(σ₃/p_a)^m拟合曲线

Figure 11. Δε_s-S²/(σ₃/p_a)^m fitting curves of gravelly soils under loading and unloading conditions

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砾粒土加-卸载 $\Delta {\varepsilon _{\text{v}}}{\text{ - }}$ (S²)²/( ${\sigma _3}/{p_{\text{a}}}$ )ⁿ拟合曲线

$\Delta {\varepsilon _{\text{v}}}{\text{ - }}$ (S²)²/( ${\sigma _3}/{p_{\text{a}}}$ )ⁿ relation curves of gravelly soils under loading and unloading condition

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图 13 弹性应变占比与应力水平关系曲线

Figure 13. Relation curves between elastic strain proportion and stress level

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图 14 400 kPa围压砾粒土单调加载应力-应变曲线

Figure 14. Monotonic loading stress-strain curves of gravelly soils under confining pressure of 400 kPa

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图 15 400 kPa围压砾粒土加-卸载应力-应变曲线

Figure 15. Loading and unloading stress-strain curves of gravelly soils under confining pressure of 400 kPa

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图 16 平面应变试验的主应力轴旋转

Figure 16. Rotation of principal stress axis in plane strain tests

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图 17 砾粒土的回弹坡度与应力水平关系曲线

Figure 17. Relation curves between rebound gradient and stress level of gravelly soils

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图 18 砾粒土lg(G_ur/p_a)-lg(σ₃/p_a)关系曲线

Figure 18. lg(G_ur/p_a)-lg(σ₃/p_a) relation curves of gravelly soils

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图 19 砾粒土lg(G_ur/E_i)-lg(σ₃/p_a)拟合线

Figure 19. (G_ur/E_i)-(σ₃/p_a) fitting curves of gravelly soils

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表 1 砾粒土物理性质指标

Table 1 Physical parameters of gravelly soils

砾粒土编号	制样干密度ρ_d/ (g·cm^-³)	土粒相对质量密度G_s	孔隙比e	相对密实度D_r	中值粒径 d₅₀	点荷载强度/ MPa
土样A	1.96	2.64	0.344	0.89	23.99	6.44
土样B	1.80	2.68	0.487	0.90	23.99	9.12

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表 2 砾粒土坡度参数

Table 2 Gradient parameters of gravelly soils

土样编号	坡度参数
土样编号	l_ur	l_i	m_ur	m_i	l_ur/l_i	m_ur/m_i
土样A	188843	54739	0.512	0.648	3.45	0.79
土样B	192531	57969	0.556	0.749	3.32	0.74

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表 3 砾粒土坡度和坡度比

Table 3 Gradient and gradient ratios of gravelly soils

土样编号	σ₃/kPa	G_ur/MPa	G_i/MPa	G_ur/G_i
土样A	100	190	56	3.39
	200	265	81	3.27
	300	324	109	2.97
	400	397	139	2.86
土样B	100	193	58	3.33
	200	281	97	2.99
	300	356	135	2.64
	400	411	161	2.55

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9.	朱旭芬，黄庭伟，刘瑾，车文越，戴承江，宋泽卓，王梓. 有机聚合物复合纤维改良砂土无侧限抗压强度研究. 河海大学学报(自然科学版). 2023(06): 90-98+116 . 百度学术

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图(19) / 表(3)

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0. 引言
1. 非饱和渗流控制方程的线性化
2. 算例模型及方程的无量纲化
2.1 算例模型
2.2 Richards方程的无量纲化
2.3 初始条件和边界条件的无量纲化
3. 解析计算
4. 讨论与分析
5. 结论

砾粒土卸载-再加载力学特性大型平面应变试验研究 English Version

作者简介: 王智(1991—)，男，博士研究生，主要从事土力学试验等方面的研究工作。E-mail: jarowl@qq.com

通讯作者: 邵帅, E-mail: shaoshuai@xaut.edu.cn

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出版历程

Large-scale plane strain tests on mechanical properties of gravelly soils under unloading and reloading conditions

0. 引言

1. 非饱和渗流控制方程的线性化

2. 算例模型及方程的无量纲化

2.1 算例模型

2.2 Richards方程的无量纲化

2.3 初始条件和边界条件的无量纲化

3. 解析计算

4. 讨论与分析

5. 结论

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出版历程

目录

0. 引言

1. 非饱和渗流控制方程的线性化

2. 算例模型及方程的无量纲化

2.1 算例模型

2.2 Richards方程的无量纲化

2.3 初始条件和边界条件的无量纲化

3. 解析计算

4. 讨论与分析

5. 结论

作者简介:
王智(1991—)，男，博士研究生，主要从事土力学试验等方面的研究工作。E-mail: jarowl@qq.com

通讯作者:
邵帅, E-mail: shaoshuai@xaut.edu.cn