含水率影响下黄土盾构隧道壁后注浆浆液扩散特性试验研究

叶飞; 李思翰; 夏天晗; 张才飞; 韩兴博

doi:10.11779/CJGE20230380

含水率影响下黄土盾构隧道壁后注浆浆液扩散特性试验研究 English Version

长安大学公路学院, 陕西西安 710064

基金项目:

国家自然科学基金项目 51878060

国家自然科学基金项目 52108360

中国博士后科学基金项目 2020M683398

详细信息

作者简介:
叶飞（1977—），男，博士，教授，主要从事隧道及地下工程方面的研究与教学工作。E-mail: xianyefei@126.com

通讯作者:
韩兴博, E-mail: xingbo.han@chd.edu.cn

中图分类号: U455
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出版历程
- 收稿日期: 2023-05-03
- 网络出版日期: 2024-05-10
- 刊出日期: 2024-09-30

Experimental study on diffusion characteristics of backfill grouting in shield tunnels of loess under effects of moisture content

School of Highway, Chang'an University, Xi'an 710064, China

摘要

摘要: 为了揭示黄土盾构隧道壁后注浆浆液在地层中的扩散形式和规律，考虑盾构隧道盾尾间隙特征，建立含水率、渗流压力、土压力可实时监测以及扩散过程可视的模型试验系统。考虑黄土不同含水率，通过试验研究浆液扩散形式以及注浆过程中的含水率、渗流压力和土压力变化规律。研究结果表明：在相同干密度下，不同含水率对壁后注浆浆液扩散形式影响显著；含水率为10%时，浆液未发生明显扩散，浆-土形成了明显的分界面，仅分界面处的含水率发生显著变化，各分层土体土压力较大；含水率为20%和30%时，浆液扩散范围增大，各分层土体含水率均有变化，土压力和渗流压力出现了阶跃曲线，土体中形成了明显的浆脉。黄土盾构隧道壁后注浆中浆液的扩散形式主要为压密扩散、压滤扩散和劈裂扩散。
- 黄土盾构隧道 /
- 壁后注浆 /
- 模型试验 /
- 浆液扩散形式
Abstract: To reveal the diffusion form and law of backfill grouting in shield tunnels of loess, considering the characteristics of shield tail, a model test system with real-time monitoring for moisture content, seepage pressure and soil pressure and visualization of diffusion process is established. Considering the different moisture contents of loess, the grout diffusion form and the variation law of moisture content, seepage pressure and soil pressure during grouting process are studied through the model tests. The results show that under the same dry density, different moisture contents have a significant effects on the diffusion form of backfill grouting. When the moisture content is 10%, the grout does not diffuse obviously, and an obvious interface is formed between the grout and soil. Only the moisture content at the interface changes significantly, and the soil pressure of each layer is large. When the moisture content is 20% and 30%, the grout diffusion range increases, the moisture content of each layer of soil changes, the soil pressure and seepage pressure show step curves, and obvious grout veins are formed in the soil. The grout diffusion forms in shield tunnels of loess are mainly compaction diffusion, pressure filtration diffusion and splitting diffusion.
- shield tunnel of loess /
- backfill grouting /
- model test /
- grout diffusion form

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0. 引言

非饱和渗流是土力学方面的基础科学问题之一，同时也是环境岩土工程领域的研究热点^[1-3]。近些年来，气候变化引起的各类极端气象诱发大量工程灾害，比如突发性强降雨会对边坡稳定及水位暴涨下的土质堤坝防渗带来巨大挑战，而诸如此类问题均涉及到了岩土体非饱和渗流。因此，研究非饱和土体在瞬态渗流下的水分迁移具有重要的理论意义和实践价值。

Richards^[4]首先基于试验提出描述非饱和渗流现象著名的Richards方程。而后Childs等^[5]引入扩散率的概念，变换Richards方程使其具有扩散形式。目前，Richards方程已广泛应用于各类非饱和渗流问题分析，然而方程的高度非线性为数值求解和解析计算带来诸多困难。为求解Richards方程衍生出许多数值方法。Phoon等^[6]认为在求解过程中应用欠松弛技术可以显著提升收敛速度，并通过数值试验得以验证。陈曦等^[7]的研究表明现有欠松弛方法的局限性，同时提出了短项混合欠松弛技术数值求解Richards方程。另外，预处理技术的应用也可以显著加快迭代收敛速率。罗晓辉等^[8]则采用了改进的预处理超松弛迭代法和红黑排序超松弛迭代法，结果表明可有效提升收敛速率。Zhu等^[9]提出了预处理的共轭梯度法，并将结果与解析解进行对比。Zhu等^[10]使用多步预处理的非精确Hermitian和斜Hermitian分裂迭代法数值求解Richards方程，计算表明具有较好的效果。Wang等^[11]提出预处理改进的Hermitian和斜Hermitian分裂迭代法，并通过数值实验证明该方法的有效性。

使用有限体积法、有限差分法以及有限元法的数值方法求解非饱和渗流Richards方程时，由于湿润锋的动态演变及方程本身的高度非线性，往往会产生网格畸变，计算工作量急剧增加，数值解经常难以收敛且质量守恒也难以保证。使用解析计算则可以有效避免上述弊端，同时可以直观的体现出初始条件与边界条件作用下的动态响应，根据所求解析解亦可便利的对各影响因素进行参数敏感性分析。

非饱和土渗流问题的解析计算已存在诸多报道。Srivastava等^[12]采用Laplace变换技术得到了一维入渗条件下均质土层及成层土的解析解。Wu等^[13]则考虑非饱和土体存在裂隙的情形基于Laplace变换得到了一维垂直入渗的非饱和土渗流解析解。针对高维问题解析计算的复杂性，Tracy^[14]则应用Fourier变换得到了二维及三维情形下非饱和渗流的解析表达式。Basha^[15]使用格林函数法对二维和三维情形下的解析计算开展探讨。Chen等^[16]利用汉克尔积分变换技术得到了点源作用下半无限空间的非饱和稳态渗流的解析解。白冰等^[17]使用Laplace变换得到体积含水量分布场在变换域上的解答。然而，在以上多个研究中的解析求解过程存在的积分变换项十分复杂，解析解的普遍应用具有局限性。为此，一些学者通过引入其它方法试图降低控制方程的求解难度。比如，Hayek^[18]通过特征变换将偏微分方程转换为常微分问题进行解析求解。Ma等^[19]则通过引入Bolzmann变换以便达到同样的目的。以上两种变换缺乏明确的物理含义，且转换后的常微分方程求解仍然复杂。

本文使用Gardner指数型土水特征曲线及渗透系数函数，数学变换对Richards方程及相应定解条件进行线性化及无量纲化。基于齐次化构造原理对线性无量纲化的入渗问题等价分解，并采用分离变量技术进行解析计算，得到了无穷级数形式的无量纲渗透系数、渗流速率、体积含水量和基质吸力水头的解析解。本文为解析计算非饱和渗流问题提供一种新求解的思路，具有一定的理论意义和应用价值。

1. 非饱和渗流控制方程的线性化

一维情形下的Richards方程可以表示为^{[6, 20]}

$\frac{\partial }{{\partial z}}\left[ {k({h_{{\text{m}}}})\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right)} \right] = C({h_{{\text{m}}}})\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial t}} 。$

(1)

式中：k( ${h_{{\text{m}}}}$ )为渗透系数函数，在土体干湿界面附近呈现高度非线性特征； ${h_{{\text{m}}}}$ 为基质吸力水头；C( ${h_{{\text{m}}}}$ )为比水容量；t为时间；z为坐标。

使用非线性的土水特征曲线，比水容量可以表示为^{[12, 21]}

$C({h_{{\text{m}}}}) = \frac{{\partial \theta }}{{\partial {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(2)

式中：θ为体积含水量。

将式（2）代入式（1）中，可以将均质各向同性土层中，地表与地下水位之间的一维瞬态非饱和渗流控制方程，可变换为如下非线性偏微分方程^[7]：

$\frac{\partial }{{\partial z}}\left[ {k({h_{{\text{m}}}})\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right)} \right] = \frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} 。$

(3)

因单参数指数型的Gardner水力参数模型可便于将非饱和渗流Richards方程线性化^[22]。本文将使用Gardner模型开展对于渗流方程的解析求解工作，其具体数学表达式表示为^[23]

$k({h_{{\text{m}}}}) = {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(4)

式中： ${k_{{\text{s}}}}$ 为饱和渗透系数；β为土的孔隙分布参数，该参数表示吸力水头增长时相应的渗透系数下降速率，可根据土水特征曲线对应的进气值水头确定（通常而言，β为进气值水头的倒数）。研究表明^[24]，β的取值范围大致由粗颗粒土的1.0 cm^-1到细颗粒土的0.001 cm^-1。对式（4）求导可得

$\frac{{\partial k}}{{\partial {h_{{\text{m}}}}}} = \beta {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(5)

文献中普遍使用的Gardner土水特征曲线，其数学表达式为^[25]

$\theta ({h_{{\text{m}}}}) = {\theta _{{\text{r}}}} + ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}}){{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(6)

式中： ${\theta _{{\text{s}}}}$ 为饱和含水率； ${\theta _{{\text{r}}}}$ 为残余含水率。

对式（6）求导可得

$\beta \frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} = \frac{{\beta ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}})}}{{{k_{{\text{s}}}}}}\frac{{\partial k}}{{\partial t}} 。$

(7)

根据链式求导法则可得

$\frac{{\partial k}}{{\partial z}} = \frac{{\partial k}}{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} = \beta {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}}\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} 。$

(8)

依据式（8）计算二阶导数可得

$\frac{{{\partial ^2}k}}{{\partial {z^2}}} = \beta \frac{{\partial k}}{{\partial z}}\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + \beta k\frac{{{\partial ^2}{h_{{\text{m}}}}}}{{\partial {z^2}}} 。$

(9)

对式（3）左侧展开，可得

$\frac{{\partial k}}{{\partial z}} + \frac{{\partial k}}{{\partial z}}\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + k\frac{{{\partial ^2}{h_{{\text{m}}}}}}{{\partial {z^2}}} = \frac{\partial }{{\partial z}}\left[ {k({h_{{\text{m}}}})\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right)} \right] 。$

(10)

由式（8）~（10）计算可得

$\beta \frac{\partial }{{\partial z}}\left[ {k({h_{{\text{m}}}})\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right)} \right] = \beta \frac{{\partial k}}{{\partial z}} + \frac{{{\partial ^2}k}}{{\partial {z^2}}} 。$

(11)

由式（3），（7），（11），便可以得到线性化的非饱和一维渗流问题理论方程：

$\frac{{{\partial ^2}k}}{{\partial {z^2}}} + \beta \frac{{\partial k}}{{\partial z}} = \frac{{\beta ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}})}}{{{k_{{\text{s}}}}}}\frac{{\partial k}}{{\partial t}} 。$

(12)

从数学视角分析，线性化后的Richards方程具有对流-扩散特征。其中，空间变量的二阶导数是扩散项，空间变量的一阶导数为对流项。

对于复杂入渗条件的非饱和渗流分析，为了便于解析计算，一个可行的做法是对控制方程、初始条件和边界条件进行无量纲化。事实上，本文的解析计算便是在无量纲化的Richards方程基础上展开，而后进行数学变换即可得到具有物理单位的各场量解析解。下面部分给出无量纲化过程及入渗过程的物理模型示意图。

2. 算例模型及方程的无量纲化

2.1 算例模型

设定地下水位距离地表为l，且地下水位处的基质吸力水头h_m=h₀恒定保持不变（一般情况下，地下水位处的基质吸力水头等于0）。t≤0时土层从上至下为稳定入渗状态，其中地表处的入渗率为q_A，当t > 0时地表入渗率由q_A变为q_B后保持不变。对于半无限大空间下的水分垂直方向运动，通常以一维的Richards方程描述其过程，物理模型示意图可见图 1。

图 1 入渗过程的物理模型示意图

Figure 1. Schematic diagram of physical model of infiltration process

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2.2 Richards方程的无量纲化

引入无量纲参数对方程进行变换：Z=βz，L=βl，K=k/k_s，Q_A=q_A/ ${k_{{\text{s}}}}$ ，Q_B=q_B/k_s，T=βk_st/(θ_s-θ_r)。根据以上无量纲参数对式（12）的各导数项进行变换可得

$\frac{{\partial k}}{{\partial z}} = {k_{{\text{s}}}}\frac{{\partial K}}{{\partial z}} = {k_{{\text{s}}}}\frac{{\partial K}}{{\partial Z}}\frac{{\partial Z}}{{\partial z}} = \beta {k_{{\text{s}}}}\frac{{\partial K}}{{\partial Z}} ，$

(13)

$\frac{{{\partial ^2}k}}{{\partial {z^2}}} = \beta {k_{{\text{s}}}}\frac{{{\partial ^2}K}}{{\partial {Z^2}}}\frac{{\partial Z}}{{\partial z}} = {\beta ^2}{k_{{\text{s}}}}\frac{{{\partial ^2}K}}{{\partial {Z^2}}} ，$

(14)

$\frac{{\partial k}}{{\partial t}} = \frac{{\partial k}}{{\partial T}}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \frac{{\partial k}}{{\partial K}}\frac{{\partial K}}{{\partial T}}\frac{{\beta {k_{{\text{s}}}}}}{{{\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _r}}} = \frac{{\beta {k_{{\text{s}}}}^{{\text{2}}}}}{{{\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _r}}}\frac{{\partial K}}{{\partial T}} 。$

(15)

把式（13）~（15）代入式（12），得到如下线性化无量纲方程：

$\frac{\partial^{2} K}{\partial Z^{2}}+\frac{\partial K}{\partial Z}=\frac{\partial K}{\partial T} 。$

(16)

2.3 初始条件和边界条件的无量纲化

基于式（4），给出如下形式的达西渗流定律表达式：

$q = - {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}}\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right) 。$

(17)

依据非饱和稳定入渗状态下z=0处的边界条件 ${h_{{\text{m}}}}$ = ${h_{{\text{0}}}}$ ，积分计算可得土层基质吸力水头：

${h_{{\text{m}}}} = \frac{1}{\beta }\ln \left[ {{{{\text{e}}}^{ - \beta (z - {h_0})}} + \frac{q}{{{k_{{\text{s}}}}}}({{{\text{e}}}^{ - \beta z}} - 1)} \right] 。$

(18)

依据式（4）及无量纲参数，可得无量纲化的初始条件为

$K(Z, 0) = ({{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}} + {Q_A}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - {Q_A} = {K_0}(Z) 。$

(19)

对于地下水位处基质吸力水头恒保持不变的情况，无量纲化的下边界条件为

$K(0, T) = {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}} 。$

(20)

t > 0地表处的稳定入渗速率由 ${q_A}$ 变为 ${q_B}$ ，依据达西定律可知：

${q_B} = - k\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right) 。$

(21)

于是可得无量纲化的上边界条件为

${\left. {\left( {\frac{{\partial K}}{{\partial Z}} + K} \right)} \right|_{Z = L}} = - {Q_B} 。$

(22)

综上，式（16），（19），（20），（22）组成完整的地表入渗速度突增情形下非饱和渗流问题的控制方程，其具体的线性化无量纲微分表达式：

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}} \frac{{\partial }^{2}K}{\partial {Z}^{2}}+\frac{\partial K}{\partial Z}=\frac{\partial K}{\partial T}，\\ {K|}_{T=0}=({{\text{e}}}^{\beta {h}_{0}}+{Q}_{A}){{\text{e}}}^{-Z}-{Q}_{A}，\\ {K|}_{Z=0}={{\text{e}}}^{\beta {h}_{0}}，\\ {\left(\frac{\partial K}{\partial Z}+K\right)|}_{Z=L}=-{Q}_{B}。 \end{array}} \right\}$

(23)

3. 解析计算

线性化无量纲非饱和渗流问题的解析计算需要针对K开展，因原问题的边界条件是非齐次的（式（20），（22）），尝试构造形如K=K₁+K₂形式的解析解，其中K₁是与时间无关问题的解析解（边界非齐次），K₂是齐次边界下的含时问题的解析解，故方程（23）可以等价变换为如下两个两部分的解析计算。

于是，问题一的数学表达式如下：

$\frac{\partial^{2} K_{1}}{\partial Z^{2}}+\frac{\partial K_{1}}{\partial Z}=0 ，$

(24)

${\left[ {{K_1}} \right]_{Z = 0}} = {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}} ，$

(25)

$\left[\frac{\partial K_{1}}{\partial Z}+K_{1}\right]_{Z=L}=-Q_{B} 。$

(26)

问题二的数学表达式如下：

$\frac{\partial^{2} K_{2}}{\partial Z^{2}}+\frac{\partial K_{2}}{\partial Z}=\frac{\partial K_{2}}{\partial T} ，$

(27)

$\left[K_{2}\right]_{Z=0}=0 ，$

(28)

$\left[\frac{\partial K_{2}}{\partial Z}+K_{2}\right]_{Z=L}=0 ，$

(29)

${K_2}(Z, 0) = ({{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}} + {Q_A}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - {Q_A} - {K_1} 。$

(30)

得到问题一与问题二的解析解叠加组合，便可得到方程（23）相对应的非饱和渗流问题的解析解。首先，对问题一相应的常系数线性微分方程进行解析求解，可得

${K_1} = {C_1} - {C_0}{{{\text{e}}}^{ - Z}} 。$

(31)

式中：C₁，C₀为待定常数项。需要指出，随后的解析过程中出现的C亦表示待定常数项。

把式（31）分别代入式（25），（26）可得

$\frac{\partial K_{1}}{\partial Z}+K_{1}=C_{1}=-Q_{B} ，$

(32)

${K_1} = - {Q_B} - {C_0} = {{{\text{e}}}^{ - \beta {h_0}}} 。$

(33)

由此可得到常数项的值，便得到如下K₁表达式：

${K_1} = - {Q_B} + ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} 。$

(34)

对于问题二的解析计算是采用分离变量法，将K₂表示为关于Z和T函数的乘积：

$K_{2}(Z, T)=M(Z) N(T) 。$

(35)

将式（35）代入式（27）可得

$M^{\prime \prime} N+M^{\prime}N=M N^{\prime} 。$

(36)

对式（36）变换后可得

$\frac{M^{\prime \prime}+M^{\prime}}{M}=\frac{N^{\prime}}{N}=-\lambda 。$

(37)

式中：λ为待定常数。

由式（37）可以得出如下的方程：

$M^{\prime \prime}+M^{\prime}+\lambda M=0 ，$

(38)

$N^{\prime}+\lambda N=0 。$

(39)

对于式（38），（39）进行求解，可得非平凡解如下：

$M = {{{\text{e}}}^{ - \frac{1}{2}Z}}\left( {{C_1}\cos \frac{{\sqrt {4\lambda - 1} }}{2}Z + {C_2}\sin \frac{{\sqrt {4\lambda - 1} }}{2}Z} \right) ，$

(40)

$N = {C_0}{{{\text{e}}}^{ - \lambda T}} 。$

(41)

将式（40），（41）代入初始条件与边界条件即式（28）~（30）中可得

${K_2}(0, T) = {C_0}{{{\text{e}}}^{ - \lambda T}}{C_1} = 0 。$

(42)

则有C₁=0，将其代入式（29）可得

$\tan \varphi L+2 \varphi=0 。$

(43)

式中： $\varphi=\sqrt{4 \lambda-1}$ ，据此便可得

${K_2}(Z, T) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}{{{\text{e}}}^{ - {\varphi _n}^2T}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{1}{2}Z}}\sin {\varphi _n}Z} 。$

(44)

把K₁的函数表达式(34)代入式(30)中得

${K_2}(Z, 0) = ({Q_A} - {Q_B}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - ({Q_A} - {Q_B}) 。$

(45)

对于式（44）中的常数项C_n的确定，可基于式（45）所提供的初始条件得到，代入式（44）可得

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} C_{n} f_{n}(Z)=g(Z) 。$

(46)

式中：f_n(Z)= ${{{\text{e}}}^{ - 0.5Z}}$ sinφ_nZ；g(Z)=(Q_A-Q_B)e^-Z-(Q_A-Q_B)。

于是，可得到K的解析解表达式为

$K = - {Q_B} + ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} +$

${{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right) 。$

(47)

式中：φ_n由式（43）给出，C_n由式（46）给出。

依据式（17）所述Dracy定律，可以得到任意深度处的渗流速度随时间变化的解析表达式：

$q = - {k_{{\text{s}}}}\frac{{\partial K}}{{\partial Z}} - {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(48)

根据式（47）可得

$\begin{gathered} \frac{{\partial K}}{{\partial Z}} = - ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - \hfill \\ \frac{1}{2}{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right) + \hfill \\ \end{gathered}$

${{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}{{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}\cos ({\varphi _n}Z){\varphi _n}} } \right) 。$

(49)

将式（49）代入式（48）中，得到如下的渗流速度q的解析表达式：

$q = - {k_{{\text{s}}}}\left[ { - ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - \frac{1}{2}{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right) + } \right. \\\left. {{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}{{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}\cos ({\varphi _n}Z){\varphi _n}} } \right)} \right] - {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} ，$

(50)

结合式（4），（6）可得

$\theta = {\theta _{{\text{r}}}} + ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}})\frac{k}{{{k_{{\text{s}}}}}} 。$

(51)

将式（51）代入式（47），得到如下的θ解析表达式：

$\theta = {\theta _{{\text{r}}}} + ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}})\left[ { - {Q_B} + ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} + \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}} \right.$

$\left. {{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right)} \right] 。$

(52)

根据式（4）可得基质吸力水头 ${h_{{\text{m}}}}$ 与k的函数关系：

${h_{{\text{m}}}} = \frac{1}{\beta }\ln \frac{k}{{{k_{{\text{s}}}}}} 。$

(53)

结合式（47）得到 ${h_{{\text{m}}}}$ 的解析解表达式：

${h_{{\text{m}}}} = \frac{1}{\beta }\ln \left[ { - {Q_B} + ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} + \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}} \right.$

$\left. {{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right)} \right] 。$

(54)

可见，C_n值便成为确定基质吸力水头、体积含水量及渗流速率解析表达式的重要内容。试算表明，C_n值的合理确定依赖于β（β的值越大，确定C_n所需要的级数项越多），满足求解精度需要且确保计算效率的前提下，对式（46）进行如下处理：

$\sum\limits_{n=1}^{10} C_{n} f_{n}(Z) \approx g(Z) 。$

(55)

这样便可以求得常数项值，据此进行一下计算：

$H({C_1}, {C_2}, {C_3}, {C_4}, {C_5}, {C_6}, {C_7}, {C_8}, {C_9}, {C_{10}})$

$= \int\limits_0^L {{{\left[ {g(Z) - \sum\limits_{n = 1}^{10} {{C_n}{f_n}(Z)} } \right]}^2}} {{\text{d}}}Z。$

(56)

其中H为关于C₁，C₂，C₃，C₄，C₅，C₆，C₇，C₈，C₉，C₁₀的函数，对其分别求导则有

$\frac{\partial H}{\partial {C}_{m}}=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}2\left[g(Z)-{\displaystyle \sum _{n=1}^{{\text{10}}}{C}_{n}{f}_{n}}\right]{f}_{m}(Z)}{\text{d}}Z=0{\text{ (}}m\subseteq \left[1, {\text{10}}\right])。$

(57)

由式（57）可得

$(g, {f_m}) = \sum\limits_{n = 1}^{{{\text{10}}}} {{C_n}({f_m}, {f_n})} {{\text{ (}}}m \subseteq \left[ {1, {{\text{10}}}} \right]) 。$

(58)

由此，便可得到常数项C_n的值。

4. 讨论与分析

为便于计算获取非饱和渗流过程中重要物理量的演变特征，算例中的均质土层厚度为地下水位与地表的垂直距离，均取为100 cm。其中，土样1是典型粗粒土，其对应的土层初始稳定状态下的入渗速率q_A=-0.1 cm/h（负号表示渗流方向与坐标轴相反），突增后的入渗速率q_B=-0.9 cm/h，有关参数依据文献[24]可知，β=0.1 cm^-1， ${\theta _{{\text{s}}}}$ =0.4，θ_r =0.06， ${k_{{\text{s}}}}$ =1 cm/h。土样2是一类典型的细粒土，其对应的土层初始稳定状态下的入渗速率q_A=-0.001 cm/h，突增后的入渗速率q_B=-0.009 cm/h。土体参数^[24]为β=0.01 cm^-1，θ_s =0.45，θ_r =0.2，k_s =0.01 cm/h。

对于土样1和土样2的孔隙分布参数分别为β=0.1 cm^-1和β=0.01 cm^-1，l=100 cm，有L=10，根据式（43），（58）可分别得两土样待定参数φ，C值如表 1所列。

表 1 土样1和土样2的φ和C值

Table 1. Values of φ and C of soil samples 1 and 2

参数	土样1	土样2	参数	土样1	土样2
φ₁	0.265	1.837	C₁	37.3700Q	0.7715Q
φ₂	0.545	4.816	C₂	-36.1751Q	-0.1370Q
φ₃	0.839	7.917	C₃	24.7864Q	0.0519Q
φ₄	1.141	11.041	C₄	-16.2770Q	-0.0268Q
φ₅	1.447	14.172	C₅	10.8925Q	0.0163Q
φ₆	1.756	17.308	C₆	-7.4148Q	-0.0109Q
φ₇	2.006	20.445	C₇	5.0050Q	0.00782Q
φ₈	2.377	23.583	C₈	-3.1498Q	-0.00582Q
φ₉	2.689	26.722	C₉	1.6282Q	0.00447Q
φ₁₀	3.001	29.862	C₁₀	-0.4891Q	-0.00307Q
注：Q=Q_B-Q_A。

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于是，依据式（47），（50），（52），（54）则分别可以得到土样1和土样2对应的无量纲渗透系数K的解析表达式，以及相应的渗流速率q、体积含水量θ和基质吸力水头 ${h_{{\text{m}}}}$ 的解析表达式。

图 2，3分别给出了均质粗粒土层和均质细粒土层在稳定入渗时，地表入渗速率突增情形下土层中体积含水量沿z方向的分布演变特征，本文验证解析计算的可靠性是基于COMSOL有限元数值平台，其中图 2给出了粗粒土体积含水量解析解和数值解的对比，可见解析解和数值计算结果具有较好的一致性。需要指出，两类土层的入渗计算均截止到再次稳定入渗状态，以初始体积含水量曲线为参照基准线，定义入渗过程中的体积含水量曲线和初始含水率曲线的交点为湿润锋的位置。可见，粗粒土层与细粒土层的入渗过程中均存在明显的湿润锋向下传播运动现象，其中湿润锋到达粗粒土的地下水位处的时间不到20 h，然而细粒土层中的湿润锋则需要近300 h。此外，可以看出不管哪种土层类型，湿润锋向下传播的移动速度随时间均不断减慢，在100 h时粗粒土中的水分入渗重新达到稳定状态，而细粒土需要的时间则近5000 h。两类土层中水分迁移运动达到稳定时体积含水量在z方向上的分布均近似为一斜线，这是由于在非饱和渗流Richards方程中考虑重力效应的缘故。

图 2 非饱和粗粒土层内体积含水量的演变特征

Figure 2. Evolution characteristics of volumetric water content in unsaturated coarse-grained soil layer

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图 3 非饱和细粒土层内体积含水量的演变特征

Figure 3. Evolution characteristics of volumetric water content in unsaturated fine-grained soil layer

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图 4，5分别给出了均质粗粒土层和均质细粒土层在地表入渗速率突增情形下基质吸力水头沿垂直方向的分布演变特征。粗粒土基质吸力水头曲线的解析解和数值解对比表明解析计算的正确性和可靠性较好。从中可见，在地表持续不断的水分补给下，土层中的含水率饱和度会逐渐增大，相应的基质吸力水头不断增大（即，基质吸力水头绝对值不断减小），再次稳定入渗时两类土的基质吸力水头均近乎为0，表明土层含水率接近饱和。此外，无论粗粒土还是细粒土，对比表明相同时点的基质吸力水头曲线与其相应的体积含水量曲线演变表现出高度的相似性。

图 4 非饱和粗粒土层内基质吸力水头的演变特征

Figure 4. Evolution characteristics of matric suction head in unsaturated coarse-grained soil layer

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图 5 非饱和细粒土层内基质吸力水头的演变特征

Figure 5. Evolution characteristics of matric suction head in unsaturated fine-grained soil layer

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图 6给出了粗粒土层饱和渗透系数取不同值情况下，非饱和渗流再次稳定入渗时所需要时间的拟合规律。可见，当土层厚度及其他参数一定的情况下，曲线拟合（拟合优度为0.99）表明随着土层饱和渗透逐渐减小，入渗再次稳定所需要的时间呈现指数型下降的趋势。

图 6 粗粒土饱和渗透速率不同条件下入渗再次稳定的时间

Figure 6. Time of infiltration stabilization of coarse-grained soil under different saturated hydraulic conductivities

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图 7，8分别描述了粗粒土和细粒土在以较大入渗速率稳定入渗时（粗粒土入渗速率为-0.9 cm/h，细粒土是-0.009 cm/h），地表处入渗速率骤降情况下基质吸力水头沿高程的分布演变特征。需要指出的是，粗粒土的入渗速率骤降至-0.1 cm/h，细粒土的入渗速率骤降至-0.001 cm/h（即图 4，7及图 5，8的非饱和入渗互为逆过程）。可见，地表处入渗速率的变化显著影响着地表附近的基质吸力水头的分布，而后随着时间增长基质吸力水头自上而下逐渐增大（即绝对值减小）。此外，对比发现图 7的始态（终态）和图 4的终态（始态）完全一致，并且图 8的始态（终态）和图 5的终态（始态）完全一致，表明非饱和渗流稳态下基质吸力水头沿高程分布仅取决于其边界条件；然而互逆过程下水分运动过程中相同时间点的土层内基质吸力水头的曲线差异极大。

图 7 粗粒土层入渗速率骤降条件下基质吸力水头演变特征

Figure 7. Evolution characteristics of matric suction head in coarse-grained soil under sudden drop of infiltration rate

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图 8 细粒土层入渗速率骤降条件下基质吸力水头演变特征

Figure 8. Evolution characteristics of matric suction head in fine- grained soil under sudden drop of infiltration rate

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图 9，10分别描述了粗粒土层和细粒土层中不同深度特征点的体积含水量随时间的演变特征。可见，随着时间增加，所有特征点的体积含水量逐渐增大并最终趋于稳定；受水分向下入渗的影响，特征点距离地表越远，其含水率演变曲线初始阶段的平缓段越长。相较于细粒土的体积含水量曲线而言，粗粒土的3条体积含水量曲线存在相交现象，即在约t=10 h时受地表入渗速率边界影响，近地下水位z=70 cm和近地表z=10 cm两特征点处的体积含水量近似相等，而后z=70 cm的体积含水量一直大于z=10 cm处的值。对于细粒土层靠近地下水位的z=10 cm特征点，其体积含水量一直高于z=40 cm和z=70 cm两处的值，且这种情况持续到稳定入渗，表明细粒土中z=10 cm特征点体积含水量由地下水位处的饱和边界主导，验证了细粒土具有更强的毛细上升作用。

图 9 粗粒土层不同深度特征点体积含水量随时间演变特征

Figure 9. Time-varying characteristics of volumetric water content at feature points at different depths in coarse-grained soil

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图 10 细粒土层不同深度特征点体积含水量随时间演变特征

Figure 10. Time-varying characteristics of volumetric water content at feature points at different depths of fine-grained soil

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图 11，12分别给出了粗粒土层和细粒土层不同深度处的基质吸力水头随时间的演化特征。对比表明，同样条件下相同特征点的体积含水量演变特征与其基质吸力水头演变表现出高度的相似性。

图 11 粗粒土层不同深度特征点基质吸力水头随时间演变特征

Figure 11. Time-varying characteristics of matric suction head at feature points at different depths in coarse-grained soil

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图 12 细粒土层不同深度特征点基质吸力水头随时间演变特征

Figure 12. Time-varying characteristics of matric suction head at feature points at different depths in fine-grained soil

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图 13，14分别描述了粗粒土层和细粒土层的入渗过程中不同深度特征点对应的渗流速率演变特征。可以看出，在地表持续水分补给下任意深度特征点的渗流速率均经历由小到大直至稳定的过程；特征点距离地表越近，其渗流速率增大到稳态需要的时间越短，比如粗粒土层z=90 cm处的特征点渗流速率约在t=10 h左右稳定，而z=0 cm（地表水位处）对应的渗流速率则在t=90 h时稳定；距离地表越远，其渗流速率发生变化的时间越晚（即渗流速度演变曲线的初始平缓段越长），比如粗粒土层z=90 cm的特征点渗流速率变化近乎发生在t=0 h，而z=0 cm（地表水位处）对应的渗流速率则在t=10 h才开始增大。此外，因粗粒土比细粒土具有更大的渗流速度，相同深度特征点的粗粒土渗流速率更早开始增大，更早的趋于稳定状态；同时计算表明在渗流速率增长阶段，粗粒土层的任意相同深度处的渗流速率均具有更大的增长速率。

图 13 入渗过程中粗粒土不同特征点渗流速率的演变特征

Figure 13. Evolution characteristics of seepage rate at different feature points during coarse-grained soil infiltration process

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图 14 入渗过程中细粒土不同特征点渗流速率的演变特征

Figure 14. Evolution characteristics of seepage rate at different feature points of fine-grained soil during infiltration process

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5. 结论

本文基于Gardner指数型的水力参量，对非饱和渗流Richards方程进行线性化并无量纲处理，而后通过数学齐次化构造得到等价的入渗问题微分方程，使用分离变量技术得到基质吸力水头，体积含水量及渗流速率的无穷级数形式解析解，从而为非饱和渗流解析计算提供一种新的求解思路。针对两类典型土层的非饱和渗流问题进行了分析，得到3点结论。

（1）在地表持续水分补给下湿润峰向土层深处的移动速度随时间逐渐减慢；随着粗粒土层的饱和渗透系数的逐渐减小，非饱和渗流由稳态发展到再次稳态所需要的时间呈现指数型下降趋势。

（2）土层中的基质吸力水头的演变特征与其相应的体积含水量演变规律呈现出高度的相似性。非饱和渗流稳态下基质吸力水头沿高程分布仅取决于其边界条件。

（3）距离地表越近，渗流速率增大到稳态需要的时间越短；反之，渗流速率受地表边界作用发生响应的时间越晚。在瞬态入渗过程中粗粒土层在任意深度处的渗流速度均具有较大的增长速度。

图 1 可视化浆液扩散模型试验系统

Figure 1. Visual grout diffusion model test system

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图 2 仪器细节

Figure 2. Instrument details

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图 3 自然风干土体制备

Figure 3. Preparation of natural air-dried soil

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图 4 饱和土体制备

Figure 4. Preparation of saturated soil

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图 5 有机玻璃管表面浆液扩散情况

Figure 5. Grout diffusion on surface of organic glass tube

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图 6 横断面浆液扩散情况

Figure 6. Grout diffusion of cross section

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图 7 各工况土体含水率变化及12 h+含水率

Figure 7. Change of moisture content of soil and 12h + moisture contents under various working conditions

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图 8 各工况渗流压力变化

Figure 8. Change of seepage pressure under various working conditions

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图 9 各工况土压力变化

Figure 9. Change of soil pressure under various working conditions

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图 10 注浆后产生的土体裂缝

Figure 10. Soil cracks generated after grouting

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表 1 现有壁后注浆室内试验方法

Table 1 Existing indoor test methods for backfill grouting

试验类型	模型构造	试验目的	特色手段
整体模型	盾构推进模拟系统、注浆系统、激发及数据采集分析系统^[14]	隧道埋深、注浆压力、土层性质影响下浆液扩散形态	采用了透明土技术直观展示浆液扩散形态
整体模型	模型箱、推进系统、注浆系统、数据采集系统、数据处理系统^[15]	分析同步注浆对管片压力和地层变形的影响	大比例尺开展整体试验
局部模型	注浆设备、模型管道^[16]	研究浆液扩散范围与注浆参数及浆液水灰比之间的联系	分段拼接式构造
	渗透注浆管、手动注浆泵、注浆记录仪、双液混合器^[17]	探析注浆压力与地层渗透率及注浆速率之间的变化规律	考虑了双液浆的黏度时变性
	渗透注浆装置、恒压注浆系统、数据采集系统^[18]	通过一维注入试验研究地下适配浆液的选取	考虑了盾尾脱空过程的模拟，提出了适配性方法
	试验模型箱、注浆系统、浆液配制系统、测试及数据处理系统^[19]	不同级配砂样地层下牛顿流体、宾汉姆流体、幂律流体的浆液扩散过程	考虑了砂样分维数等多因素综合影响

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表 2 试验用土参数

Table 2 Parameters of test soil

含水率/ %	相对质量密度	重度/ (kN·m^-3)	干重度/ (kN·m^-3)	孔隙比	饱和度/ %
20.70	2.70	15.80	13.10	1.04	53.90

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表 3 浆液各组分质量比

Table 3 Mass ratios of grout components

工况	水泥	砂	膨润土	粉煤灰	水
水泥砂浆	1.00	1.67	0.32	1.00	1.97

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表 4 P.O 42.5级水泥技术指标

Table 4 Technical indexes of P.O 42.5 grade cement

安定性	凝结时间/min		抗折强度/MPa		抗压强度/MPa
安定性	初凝	终凝	3 d	28 d	3 d	28 d
合格	198	240	5.6	7.5	26.4	45.2

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表 5 各工况浆液注入量和最远扩散距离

Table 5 Grout injection amounts and farthest diffusion distances under various working conditions

组别	浆液	土体含水率/ %	浆液注入量/ L	浆液注入土体量/ L	扩散最远距离/ cm	浆液土中扩散距离/ cm
1	水泥砂浆	10	7.1	0.035	12.5	2.5
2		20	10.8	3.735	58	48
3		30	11.3	4.235	60	50

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7.	付贵永，肖杨，史金权，周航，刘汉龙. 干湿循环下EICP联合黄原胶加固钙质粉土劣化特性试验研究. 岩土工程学报. 2024(11): 2341-2351 . 本站查看
8.	宋泽卓，郝社锋，梅红，刘瑾，任静华，卜凡，王梓. 干湿循环条件下生物聚合物改良砂土强度特性. 复合材料学报. 2023(04): 2285-2295 . 百度学术
9.	朱旭芬，黄庭伟，刘瑾，车文越，戴承江，宋泽卓，王梓. 有机聚合物复合纤维改良砂土无侧限抗压强度研究. 河海大学学报(自然科学版). 2023(06): 90-98+116 . 百度学术

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0. 引言
1. 非饱和渗流控制方程的线性化
2. 算例模型及方程的无量纲化
2.1 算例模型
2.2 Richards方程的无量纲化
2.3 初始条件和边界条件的无量纲化
3. 解析计算
4. 讨论与分析
5. 结论

含水率影响下黄土盾构隧道壁后注浆浆液扩散特性试验研究 English Version

作者简介: 叶飞（1977—），男，博士，教授，主要从事隧道及地下工程方面的研究与教学工作。E-mail: xianyefei@126.com

通讯作者: 韩兴博, E-mail: xingbo.han@chd.edu.cn

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出版历程

Experimental study on diffusion characteristics of backfill grouting in shield tunnels of loess under effects of moisture content

0. 引言

1. 非饱和渗流控制方程的线性化

2. 算例模型及方程的无量纲化

2.1 算例模型

2.2 Richards方程的无量纲化

2.3 初始条件和边界条件的无量纲化

3. 解析计算

4. 讨论与分析

5. 结论

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出版历程

目录

0. 引言

1. 非饱和渗流控制方程的线性化

2. 算例模型及方程的无量纲化

2.1 算例模型

2.2 Richards方程的无量纲化

2.3 初始条件和边界条件的无量纲化

3. 解析计算

4. 讨论与分析

5. 结论

作者简介:
叶飞（1977—），男，博士，教授，主要从事隧道及地下工程方面的研究与教学工作。E-mail: xianyefei@126.com

通讯作者:
韩兴博, E-mail: xingbo.han@chd.edu.cn