Influences of calcareous nodule content on scale effects of compressibility of cohesive soil containing calcareous nodules
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摘要: 钙质结核土的大尺寸试样和缩尺试样在压缩性等物理力学性质上存在缩尺效应，其主要受土体中钙质结核含量和级配组成的影响。然而，现有研究关注更多的是土体的级配组成对缩尺效应的影响，而忽略了钙质结核含量的影响效果。为此探讨了钙质结核含量对钙质结核土压缩性缩尺效应的影响行为，并揭示了其作用机理。研究结果表明：土体压缩性缩尺效应与钙质结核含量之间呈现阶梯曲线的关系，主要归因于在相同的钙质结核含量下，缩尺试样中的钙质结核更容易形成骨架效应。基于此，提出了一种考虑钙质结核骨架效应的土样屈服应力和压缩指数的计算模型，以减少试样的缩尺效应的影响。该计算模型可为利用缩尺试样压缩试验结果来获得大尺寸样压缩性参数提供新途径，经验证，计算结果可靠。Abstract: The samples of cohesive soil containing calcareous nodules (CSCN) with large and corresponding scale sizes have scale effects on the physical and mechanical properties such as compressibility, which are mainly affected by the calcareous nodule content (CNC) and the gradation composition. However, the current researches pay more attention to the influences of the gradation composition on the scale effects, while ignoring those of the CNC. The influences of the CNC on the scale effects of compressibility of the CSCN are discussed, and the relevant mechanism is revealed. The results show that the correlation between the scale effects of compressibility and the CNC is a step curve, which is mainly due to the fact that the calcareous nodules in the samples with the scale size are easier to form the skeleton effects under the same CNC. Based on this, considering the skeleton effects of calcareous nodules, a model for calculating the yield stress and compression index of samples is proposed to reduce the scale effects of samples. The proposed model may provide a new approach to obtain the compressibility parameters of samples with a large size by using the compression test results of samples with the corresponding scale size, which is reliable.
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0. 引言
钙质土是一种由珊瑚、贝壳等海洋生物残骸经物理化学作用生成的特殊岩土材料，有着复杂的颗粒形态[1]。现有研究表明，颗粒形态是粒状土的一项重要细观指标，它影响着土体的堆积密度、内摩擦角、压缩性、渗透性等物理力学性质[2-4]。Cho等[5]指出颗粒球形度或圆度的减小，会使得土样的极限孔隙比、压缩指数、临界状态内摩擦角升高，小应变刚度降低。Sarkar等[6]对3种颗粒形状各异的材料开展三轴和直剪试验，结果表明颗粒形状对粒状材料的峰值内摩擦角和剪胀角有着显著的影响。
关于钙质土颗粒形状的研究，陈海洋等[7]发现钙质砂颗粒的形状具有分形特性，分形维数在0.95~1.07。王步雪岩等[8]对枝状、棒状、片状和块状珊瑚砂砾颗粒进行形貌测试，提出了不同形状珊瑚砂砾的划分标准。Wang等[9]研究了粒径0.5~5.0 mm的南海钙质砂颗粒的形态特征，发现对形态变化最敏感的指标为扁平度，最不敏感的指标是粗糙度，因此建议采用扁平度来评价钙质砂颗粒的形态特征。Li等[10]研究了两种不同地域的钙质砂颗粒的形态特征，发现两种砂的球形度和长径比与粒径无关，而凸度和圆度与粒径相关。Wei等[11]对不同形状（块状、片状、枝状和棒状）配比制成的钙质粗粒土试样开展一维压缩试验，研究了颗粒形状对钙质土压缩特性的影响。孙越等[12]研究了一维压缩试验中钙质砂因破碎造成的颗粒形状的变化，结果表明，钙质砂的长径比、球形度和圆度会随着破碎程度的增加而增加，凸度的变化不明显。相比于钙质土其它性质的研究，有关其颗粒形状的研究相对较少[9]。因此，有必要对钙质土的颗粒形态特征展开研究，这有助于深刻认识其物理力学性质，了解其宏观力学行为的细观机理。
颗粒形态的测试方法从空间上可以分为二维和三维。三维测试，常采用CT扫描仪、激光扫描仪获取颗粒轮廓的坐标，然后构建颗粒的三维模型来计算其形状指标。该方法能获取真实的颗粒形态特征，但其操作繁琐、计算密集、成本昂贵且耗时较久，无法快速获取大量颗粒的形态信息[10]。二维测试，常采用高清数码相机、光学显微镜观测颗粒在静止状态下某个投影面的图像[13]。该方法可以在短时间内快速有效地获取大量颗粒的形态信息，但由于其只观测颗粒任意一个投影面，故获取的颗粒信息有缺失，不能完整地反映颗粒形态特征。
随着测试技术的发展，出现了动态图像测试方法，该方法通过跟踪单个颗粒的旋转下落运动，从8到12个角度捕获颗粒的二维投影图像，使用每个颗粒所有角度的平均值、最大值或最小值计算得到颗粒的尺寸和形状参数[11, 14]。该方法可以在几分钟内完成上万个颗粒的形状测试，提供颗粒3个不同方向的尺寸信息（长度、宽度和厚度），比二维测试获得的尺寸信息更接近颗粒的真实形态。
基于动态图像技术，获取了5×104个南海钙质土颗粒的基本尺寸参数，使用6个形状指标对颗粒形态特征进行了定量描述，分析了0.5~20 mm粒径范围的钙质土颗粒的形状分布特征。此外，运用统计学中的主成分分析方法对众多形状指标进行降维处理，得到一个综合考虑钙质土颗粒形状信息的新指标，建立了该指标与钙质土最大、最小孔隙比的关系。
1. 颗粒形态测试试验
1.1 试验材料
试验所用钙质土来自南海，其碳酸钙含量大于90%，土粒相对质量密度为2.79。试验前，对测试土样进行清洗风干，避免大颗粒上附着的微小颗粒对测试结果产生影响。由于钙质土粒度分布广泛，大到砾石小到砂粒均有分布，选择0.5~1，1~2，2~5，5~10和10~20 mm共5个粒组的钙质土颗粒进行形貌测试，每个粒组测试的颗粒数目均为10000个。
1.2 试验仪器
本次试验采用中科院武汉岩土所的PartAn 3D颗粒动态图像分析仪，如图 1所示。该仪器主要由振动给料机、频闪灯、高速相机和数据分析系统组成。其能测试的颗粒粒径范围为0.16~135 mm，高速摄像机的分辨率为2560×2048像素，每秒采集图像不少于100张。
采用该仪器测试时，首先将干颗粒样品通过漏斗倒入给料机中，颗粒在给料机的振动作用下彼此分散行进。当移动到给料机边缘，颗粒在重力作用下自由下落并伴随自身的旋转，均匀不重叠的穿过观测区域并被收集在底部的样品盒中。观测区域一侧的频闪灯照亮颗粒，另一侧的高速相机拍摄颗粒在观测区域旋转时的照片。仪器自动记录测试过程的图像文件，随后分析图像来识别颗粒特征，根据颗粒在图像上占据的位置和尺寸所覆盖的像素，来得到颗粒的尺寸参数信息。
1.3 颗粒尺寸参数
通过测试，得到每个颗粒不同投影面的二维图像，如图 2所示。使用仪器自带图像分析软件计算颗粒每个投影图像的二维尺寸参数（见表 1），取同一颗粒的一系列投影图像二维尺寸参数的平均值、最大值或最小值，即为该颗粒的三维尺寸参数（见表 1）。
表 1 本文选用的表征颗粒形状特征的指标Table 1. Indices chosen to characterize particle shape in this paper指标 定义 取值范围 描述特征 延伸率 FW/FWFLFL 0~1 宏观形状。颗粒越狭长，其值越小 扁平度 FT/FTFWFW 0~1 宏观形状。颗粒越扁平，其值越小 球形度 (Da/Dp)2 0~1 宏观形状、中观棱角。颗粒越接近球形，其值越大 圆度 4A/(π F2L) 0~1 宏观形状、中观棱角。颗粒越接近圆形，其值越大 棱角度 A/AC 0~1 中观棱角。颗粒棱角越多，越突出，其值越小 凸度 PC/P 0~1 细观纹理。颗粒表面越光滑，其值越大 注：Da为与颗粒投影图像等面积圆的直径；Dp为与颗粒投影图像等周长圆的直径；FL，FW和FT分别为Feret长度、宽度和厚度；A为颗粒投影图像面积；P为颗粒投影图像周长；AC为颗粒投影图像外接最小凸边形面积；PC为颗粒投影图像外接最小凸边形周长。在本次试验中，Da，Dp，A，P，AC和PC取一系列图像的平均值；FL取一系列图像中的最大长度，FW取一系列图像中的最大宽度，FT取一系列图像中的最小宽度。 1.4 颗粒形状特征的表征指标
形状指标是用来衡量实际的颗粒与球形（或立方体等）颗粒的差异程度。目前，定量描述颗粒形貌特征的指标多达几十种[15]。依据描述尺度的不同，形状指标可以分为3类（见图 3）。第1类为宏观形状指标，表征颗粒的整体轮廓形状，如球状、扁平状、细长状等；第2类为中观棱角指标，表征颗粒表面棱角的突出程度或者磨圆度；第3类为细观纹理指标，表征颗粒边界轮廓曲线的粗糙程度。
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图 3 颗粒形状、棱角和纹理示意图Figure 3. Schematic diagram of particle shape, angularity and texture参考美国ASTM F1877规范[16]、英国BS ISO 9276-6规范[17]以及相关文献[10-11]，本文选择6种形状指标来定量描述钙质土颗粒的形貌特征，见表 1。这些指标的取值范围均为0~1。
2. 试验结果及分析
2.1 钙质土颗粒的尺寸参数
表征土颗粒大小的参数有很多种，目前最常用的是筛分粒径，此外还有等面积圆直径Da、等周长圆直径Dp、Feret长度、Feret宽度和Feret厚度等参数。借助动态图像分析仪，获取上述参数，绘制出钙质土颗粒的不同尺寸参数的累积分布曲线，如图 4所示。可以看到，钙质土颗粒的筛分粒径与Da，Dp和Feret宽度的累积分布曲线基本一致。这说明通过筛分试验得到的颗粒粒径分布能真实地反映土颗粒的尺寸信息。
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图 4 不同粒组钙质土颗粒各尺寸参数的累积分布曲线Figure 4. Cumulative distribution curves of particle size indices of carbonate soil with different grain fractions2.2 钙质土颗粒的形状指标
根据测得的颗粒尺寸参数计算其形状指标，然后绘制不同粒组钙质土颗粒形状指标的频率分布，如图 5所示。可以看到，不同粒组钙质土颗粒的延伸率主要在0.55~0.85，扁平度主要在0.5~0.8，球形度主要在0.75~0.95，圆度主要在0.4~0.6，这4个指标的频率分布均符合正态分布。棱角度和凸度的分布相对集中，它们的频率分布符合幂律分布。从图 5可见，颗粒越小，这两个指标在0.9~1.0出现的频率越高，说明颗粒越小，其表面越光滑。
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图 5 不同粒组钙质土颗粒形状指标的频率分布Figure 5. Frequency distribution of particle shape indices of carbonate soil with different grain fractions随着粒径的减小，延伸率的频率分布变化很小，而球形度的频率分布有着很大的变化。对于其余4个形状指标，0.5~1 mm粒组的频率分布相较于其它粒组有着较明显的差异。这种差异主要体现在其频率分布曲线有着更高的峰值。
图 6给出了不同粒组钙质土颗粒的各形状指标累积分布曲线。随着粒径的减小，钙质土颗粒的延伸率和圆度的变化很小，扁平度趋于减小，而球形度、棱角度和凸度趋于增大。这说明小粒径颗粒比大粒径颗粒更加扁平，颗粒形状更规则。究其原因在于钙质土特殊的生物成因。大粒径颗粒多由珊瑚、贝壳等生物残骸形成，极大程度上保留了其不规则的形状。小粒径颗粒大多是大粒径颗粒破碎的产物，在搬运沉积过程中经历了较多的颗粒破碎，颗粒的棱角和边缘被破坏和磨损，使得颗粒形状更加规则[9]。
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图 6 不同粒组钙质土颗粒形状指标的累积分布曲线Figure 6. Cumulative distribution curves of particle shape indices of carbonate soil with different grain fractions美国ASTM D2488规范[18]指出，细长状颗粒的延伸率小于0.33，扁平状颗粒的扁平度小于0.33。当延伸率和扁平度均小于0.33时，颗粒形状即为细长扁平。由图 6可知，不同粒组的颗粒延伸率小于0.33的颗粒数量占全部颗粒数量的比例均小于1%，扁平度小于0.33的颗粒数量占全部颗粒数量的比例均小于8%，这说明无论是大粒径还是小粒径的南海钙质土，其颗粒形状多为块状。
2.3 形状指标的统计特征值
对数据进行统计分析，不同粒组钙质土颗粒形状指标的统计特征值如表 2所示。可以看到，不同粒组颗粒的同一形状指标的统计值有所差异，这种差异有大有小。为了衡量不同粒组颗粒形状指标的差异，以10~20 mm粒组为基准，计算其余粒组各形状指标统计量与10~20 mm粒组对应的统计量之间的百分比变化，然后绘制反映各粒组形状指标统计量变化的热点图，见图 7。可以看到，不同粒组的形状指标统计量的变化并不一致。在4个粒组中，0.5~1 mm粒组的形状指标相对10~20 mm粒组有着显著的变化，尤以最小值和标准差最为明显。在5个统计量中，最小值的变化从整体上来说非常显著，而平均值、中位数和最大值的变化较小。在6个形状指标中，扁平度平均值和中位数、凸度标准差以及圆度最小值的变化较大，其中0.5~1 mm粒组的凸度标准差的变化最大，高达79.41%。
表 2 不同粒组钙质土颗粒形状指标统计表Table 2. Statistical list of particle shape indices of carbonate soil with different grain fractions粒组 统计量 延伸率 扁平度 球形度 圆度 棱角度 凸度 10~20 mm 平均值 0.667 0.689 0.794 0.471 0.954 0.979 中位数 0.681 0.703 0.806 0.475 0.961 0.984 最小值 0.219 0.162 0.389 0.144 0.730 0.814 最大值 0.947 0.990 0.961 0.854 0.998 0.998 标准差 0.125 0.159 0.081 0.112 0.031 0.017 5~10 mm 平均值 0.670 0.668 0.808 0.471 0.961 0.985 中位数 0.683 0.673 0.818 0.473 0.966 0.988 最小值 0.233 0.162 0.254 0.070 0.543 0.802 最大值 0.945 0.988 0.978 0.857 0.997 0.999 标准差 0.123 0.149 0.071 0.104 0.026 0.012 2~5 mm 平均值 0.685 0.629 0.806 0.460 0.960 0.990 中位数 0.699 0.649 0.818 0.461 0.967 0.993 最小值 0.096 0.105 0.153 0.047 0.599 0.874 最大值 0.963 0.967 0.979 0.826 0.999 1.000 标准差 0.120 0.175 0.081 0.111 0.030 0.009 1~2 mm 平均值 0.686 0.635 0.834 0.461 0.972 0.995 中位数 0.698 0.649 0.848 0.465 0.980 0.997 最小值 0.109 0.235 0.300 0.051 0.667 0.893 最大值 0.963 0.956 0.980 0.827 1.000 1.000 标准差 0.114 0.147 0.075 0.113 0.026 0.006 0.5~1 mm 平均值 0.684 0.605 0.850 0.424 0.987 0.998 中位数 0.692 0.607 0.859 0.432 0.992 0.999 最小值 0.153 0.202 0.283 0.055 0.693 0.945 最大值 0.934 1.000 1.000 0.744 1.000 1.000 标准差 0.115 0.118 0.059 0.098 0.018 0.003 ![]()
图 7 各粒组形状指标统计量与10~20 mm粒组的差异Figure 7. Statistical differences of shape indices for each grain fraction and 10~20 mm-grain fraction2.4 形状指标的统计特征值
每种粒状材料都由许多颗粒构成，每个颗粒都有着各自的形状，对应不同的形状指标值，因此，一个试样有着众多的形状指标值。要想定量描述一个试样的群体颗粒形状特征，就必须确定其形状指标的特征值。目前，常将群体颗粒形状指标的算术平均值作为特征值来量化一个试样的颗粒形状特征。使用形状指标的特征值来反映群体颗粒的形状特征时，选择样本数量的大小对于颗粒形状量化结果有着很大的影响。对于形状规则、粒径分布均匀的试样，选取较少的颗粒就能很好的反映其形状特征。而对于钙质土这种形状不规则的土体而言，确定出能反映其颗粒形状的特征值就需要大量的颗粒。
为了研究样本数量对颗粒形状量化结果的影响，采取随机抽样的方式在10000颗粒的大样本中抽取不同数量的颗粒作为小样本，然后计算每个小样本与大样本形状指标特征值之间的相对误差，以此来作为评价标准。为减少随机抽样导致的数据离散性，同一数量的小样本随机抽取5次，然后计算5次抽样样本的相对误差平均值，得到形状指标特征值的相对误差平均值随样本数量的变化。
以1~2 mm粒组为例，钙质土颗粒各形状指标特征值的相对误差平均值随样本数量的变化如图 8所示。可以看到，随着样本数量的增加，相对误差平均值呈现幂函数形式减小。样本数量相同时，各形状指标特征值的相对误差平均值有着较大的差异，这说明选用的指标不同时，形状量化所需的样本数量也会有所不同。6个指标中，扁平度指标所需的样本数量最大，凸度指标所需的样本数量最小。
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图 8 1~2 mm颗粒的形状指标特征值的相对误差平均值随样本数量的变化Figure 8. Variation of average relative error of characteristic value of shape indices of 1~2 mm particles with the number of samples以相对误差平均值小于0.5%为标准，得到量化钙质土颗粒特征所需的最小样本数量，结果见表 3。除个别粒径外，量化颗粒形状特征所需的最小样本量随着粒径的减小而减小。不同形状指标所需的最小样本数量不同，对钙质土而言，样本数量从高到低依次为扁平度、延伸率、圆度、球形度、棱角度和凸度。
表 3 量化钙质土颗粒形状特征所需的最小样本数量Table 3. Minimum number of samples required to quantify shape characteristics of carbonate soil particles粒组 延伸率 扁平度 球形度 圆度 棱角度 凸度 10~20 mm 345 446 238 344 14 10 5~10 mm 326 583 135 292 12 10 2~5 mm 270 439 121 224 32 10 1~2 mm 111 473 68 136 17 10 0.5~1 mm 318 241 77 242 10 10 综合表 3中不同粒组钙质土的结果，建议量化单一粒组钙质土颗粒形状特征时选取的颗粒数目不少于600。对于复杂粒组钙质土试样，量化其颗粒形状特征时，可以分别测定其所包含单一粒组颗粒的形状指标值，然后根据各粒组占该试样质量的百分比，计算形状指标的加权平均值，得到该试样的形状指标特征值。
3. 颗粒形状与极限孔隙比之间的关系
《土工试验方法标准》（GB/T 50123—2019）[19]中对于粗粒土和细粒土的极限孔隙比测试方法有着不同的规定。为了避免试验方法的影响，再考虑到钙质土颗粒易破碎的特点，本文采用固定体积法和振动台法分别测定5个粒组钙质土颗粒的最大、最小孔隙比。测试所用试样筒尺寸为内径20 cm，高度23 cm，振动台的频率为60 Hz，振幅0.64 mm，振动时间8 min，试验结果见表 4。可以看到，土体的极限孔隙比随着粒径的减小而降低。
表 4 不同粒组钙质土的极限孔隙比Table 4. Limit void ratios of carbonate soil with different fractions孔隙比 10~20
mm5~10
mm2~5
mm1~2
mm0.5~1
mmemax 2.225 1.821 1.703 1.576 1.456 emin 1.586 1.241 1.143 1.138 1.112 注：emax为最大孔隙比；emin为最小孔隙比。 现有研究表明，除粒径外，颗粒级配、形状也会影响无黏性土的极限孔隙比[20]。表 5列举了一些预测极限孔隙比的经验公式。可以看到，与极限孔隙比有关的变量有中值粒径D50、不均匀系数Cu、球形度S以及圆度R。每个变量在不同程度上对极限孔隙比产生影响，而且这些变量之间存在相关性，反映的特征信息有一定的重叠性[21]。因此，本文采用统计学中的主成分分析方法，对这些变量进行降维，得到更少的新变量，建立新变量与极限孔隙比之间的关系。
表 5 现有预测极限孔隙比的经验公式Table 5. Existing empirical equations for predicting limit void ratio文献 经验公式 Santamarina等[3] emax=0.554+0.154R−1，emin=0.359+0.082R−1 Cho等[5] emax=1.5−0.41(R+S)，emin=0.9−0.22(R+S) Patra等[22] emax=0.6042D50−0.304，emin=0.3346D50−0.491 Zheng等[23] emax=R−0.20S−0.25Cu−0.10e∘max，emin=R−0.15S−0.25Cu−0.50e∘min Hryciw等[24] emax=0.50R−0.2+0.41S−0.6+0.34Cu−0.2−0.51，emin=0.37R−0.2+0.28S−0.6+0.31Cu−0.3−0.48 Chang等[25] emax=0.619R−0.372(D50/Dref)−0.048，emin=0.413R−0.291(D50/Dref)−0.043 注：e∘max为参考最大孔隙比，等于0.75；e∘max为参考最小孔隙比，等于0.50；Dref为参考粒径，等于1 mm。 图 9为主成分分析的流程图。首先，选择与极限孔隙比有关的变量建立初始数据矩阵。对于本文所用钙质土试样，因其为单一粒组，故只考虑颗粒尺寸和形状对其孔隙比的影响。对于颗粒尺寸，选取中值粒径（等面积圆直径的累积分布曲线上累积频率为50%对应的粒径）作为变量。对于颗粒形状，选择随粒径变化明显，且描述尺度不同的指标，即扁平度、球形度和凸度作为变量。以钙质土5个粒组的中值粒径、扁平度、球形度和凸度的算术平均值为初始样本，得到矩阵
{\boldsymbol{X}} = {({x_{ij}})_{5 \times 4}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {13.227}&{0.689}&{0.794}&{0.979} \\ {6.507}&{0.668}&{0.808}&{0.985} \\ {2.224}&{0.629}&{0.806}&{0.990} \\ {1.388}&{0.635}&{0.834}&{0.995} \\ {0.581}&{0.605}&{0.850}&{0.998} \end{array}} \right] 。 (1) 然后按照 {z_{ij}} = ({x_{ij}} - \overline {{x_j}} )/{\sigma _j} 对其进行标准化处理，其中 \overline {{x_j}} 为第 j 列数据的平均值； {\sigma _j} 为第 j 列数据的标准差。得到标准化数据矩阵
{\boldsymbol{Z}} = {({z_{ij}})_{5 \times 4}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.610}&{1.318}&{ - 1.065}&{ - 1.362} \\ {0.328}&{0.686}&{ - 0.454}&{ - 0.576} \\ { - 0.488}&{ - 0.487}&{ - 0.541}&{0.079} \\ { - 0.648}&{ - 0.307}&{0.681}&{0.733} \\ { - 0.802}&{ - 1.209}&{1.379}&{1.126} \end{array}} \right] 。 (2) 按照 R = {{{\rm{cov}} (X, Y)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\rm{cov}} (X, Y)} {\sqrt {{\rm{var}} (X) \cdot {\rm{var}} (Y)} }}} \right. } {\sqrt {{\rm{var}} (X) \cdot {\rm{var}} (Y)} }} 计算矩阵 {\boldsymbol{Z}} 各列数据之间的相关系数，其中 {\rm{cov}} (X, Y) 是变量 X ， Y 的协方差； {\rm{var}} (X) ， {\rm{var}} (Y) 是变量 X ， Y 的方差。得到相关系数矩阵
{\boldsymbol{R}} = {({r_{ij}})_{4 \times 4}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.000}&{0.938}&{ - 0.787}&{ - 0.950} \\ {0.938}&{1.000}&{ - 0.832}&{ - 0.954} \\ { - 0.787}&{ - 0.832}&{1.000}&{0.931} \\ { - 0.950}&{ - 0.954}&{0.931}&{1.000} \end{array}} \right] 。 (3) 进行KMO和Bartlett检验。其中KMO统计量是比较变量间相关系数矩阵和偏相关系数的指标，其值越接近1，表示越适合进行主成分分析，而Bartlett检验的原假设是相关系数矩阵为单位阵，如果统计显著性值Sig拒绝原假设，则适合做主成分分析。本文的KMO = 0.625 > 0.5，Sig值为0.018小于显著水平0.05，表明适合做主成分分析。
然后计算矩阵 {\boldsymbol{R}} 的特征值 \lambda 和特征向量 {\boldsymbol{\xi }} ，见表 6。成分1的特征值大于1，其方差贡献率达到92.455%，即成分1解释了总变异的92.455%，说明提取成分1损失的信息量不多，可以作为主成分。根据成分载荷 {\boldsymbol{L}} = \sqrt \lambda {\boldsymbol{\xi }} ，得到成分1的载荷矩阵 {\boldsymbol{L}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.957}&{0.969}&{ - 0.922}&{ - 0.997} \end{array}} \right]^{{\text{T}}}} 。
表 6 方差贡献率表Table 6. Variance contribution rates成分 特征值 方差贡献率/% 累积方差贡献率/% 1 3.698 92.455 92.455 2 0.238 5.942 98.397 3 0.060 1.488 99.886 4 0.005 0.114 100.000 主成分系数矩阵为
{\boldsymbol{M}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.259}&{0.262}&{ - 0.249}&{ - 0.270} \end{array}} \right]^{{\text{T}}}} {\text{，}} 最后得到主成分
{\boldsymbol{\varGamma }} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.395}&{0.533}&{ - 0.141}&{ - 0.616}&{ - 1.172} \end{array}} \right]^{{\text{T}}}} 。 该主成分作为一个新指标，综合了中值粒径、扁平度、球形度和凸度这4个变量的信息。现建立其与极限孔隙比的关系，如图 10所示。可以看到，主成分 {\varGamma } 与 {e_{\max }} ， {e_{\min }} 有着良好的指数函数关系，如下所示：
{e_{\max , \min }} = \alpha + \beta \cdot \exp (\gamma \cdot {\varGamma }) {\text{，}} (4) ![]()
图 10 主成分与极限孔隙比的关系Figure 10. Relationship between principal component and limit void ratio式中： \alpha ， \beta 和 \gamma 均为常数。
4. 结论
本文采用PartAn 3D颗粒动态图像分析仪对粒径0.5~20 mm的南海钙质土颗粒的形状特征展开定量研究，主要得到以下4点结论。
（1）不同粒组钙质土颗粒的延伸率主要在0.55~0.85，扁平度主要在0.5~0.8，球形度主要在0.75~0.95，圆度主要在0.4~0.6，这4个指标的频率分布均符合正态分布。棱角度和凸度的分布相对集中，其值基本位于0.9~1.0，这两个指标的频率分布符合幂律分布。
（2）南海钙质土颗粒的形状以块状居多。随着粒径的减小，钙质土颗粒变得更扁平，形状更规则。原因在于大粒径颗粒极大程度上保留了不规则的形状，而小粒径颗粒多是大粒径颗粒破碎的产物，其颗粒棱角和边缘在搬运沉积过程中被破坏和磨损，导致颗粒形状更加规则。
（3）通过研究样本数量对颗粒形状量化结果的影响，建议采用算术平均值量化单一粒组钙质土颗粒形状特征时，选取的颗粒数目不少于600。对于复杂粒组的钙质土试样，量化其颗粒形状特征时，可以分别测定其所包含单一粒组颗粒的形状指标值，然后根据各粒组占该试样质量的百分占比，计算形状指标的加权平均值，即可得到该试样的形状指标特征值。
（4）运用统计学中的主成分分析方法，对与孔隙比有关的4个指标进行降维处理，得到一个综合这些指标信息的新指标，该指标与钙质土最大、最小孔隙比有着良好的指数函数关系。
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图 2 钙质结核土的级配曲线
Figure 2. Grain-size distribution curves of samples of cohesive soil containing calcareous nodules
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图 3 钙质结核土大尺寸样和缩尺试样的压缩曲线
Figure 3. Compression curves of samples with large size and corresponding scaling size
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图 4 钙质结核土试样的屈服应力及其缩尺效应与钙质结核含量关系
Figure 4. Relationship between yield stress of samples and CNC
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图 5 钙质结核土试样的压缩指数及其缩尺效应与钙质结核含量关系
Figure 5. Relationship between compression index of samples and CNC
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图 6 钙质结核骨架效应形成示意图
Figure 6. Schematic diagram of skeleton effects formation of calcareous nodules
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图 7 试样压缩参数与钙质结核接触数关系
Figure 7. Relationship between compression parameters and contacts of calcareous nodules
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图 8 试样压缩参数的计算值和试验值比较
Figure 8. Comparison between calculated and measured compression parameters
表 1 验证数据与模型计算参数
Table 1 Data and model parameters
钙质结核含量/% 接触数 {p_{{\text{c, 0}}}} /kPa \alpha {C_{{\text{c, 0}}}} \beta 屈服应力/kPa 压缩指数 计算值 试验值 计算值 试验值 5 21 49.6 0.0298 0.075 -0.0003 50.2 50.0 0.069 0.066 10 58 51.3 51.0 0.058 0.055 15 77 51.9 51.4 0.052 0.054 20 91 52.3 52.1 0.048 0.051 
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