Element differential method for poroelastic problems
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摘要: 考虑Biot固结理论，建立了求解多孔介质中流体渗透与固体力学耦合问题的数值模型，并通过新型强形式有限单元法（单元微分法）对该问题进行分析计算。相比于弱形式算法，单元微分法能够通过直接对控制方程进行离散，不需要数值积分计算，因此该算法在对多场耦合问题进行求解时拥有较为简单的离散格式，且其计算系数矩阵时表现出极高的效率。该数值算法使用的是有限元中的拉格朗日单元，与强形式的无网格法相比，能够获得相对更精确且更稳定的计算结果。通过引入单元微分法以及隐式时间迭代格式，能够快速地计算出多孔介质耦合方程中各时间步的位移及孔压值。选取两个经典的数值模型，一个是一维Terzaghi柱模型，另一个是二维饱和土带模型。针对这两个问题，分别通过与解析解和有限元法结果相对比，验证了该算法的精度和稳定性。Abstract: A numerical model for solving the coupling problem of fluid flow and solid mechanics in porous media is established based on the Biot's consolidation theory, and the numerical analysis and calculation are carried out by using a new strong-form finite element method (element differential method, EDM). By comparing with the weak-form methods, the control equation for poroelastic problems can be discretized directly by the element differential method without any numerical integration calculation. Therefore, the method has a relatively simple discrete format when solving the multi-field coupling problem, and it shows high efficiency when calculating the coefficient matrix. The numerical method uses the Lagrange element in the finite element method, which can obtain relatively accurate and stable results compared with the strong-form meshless method. By introducing the element differential method and the implicit time iteration scheme, the displacement and pore pressure of each time step in the porous media can be calculated directly. Two classical numerical models are selected, one is the one-dimensional Terzaghi column model, and the other is the two-dimensional saturated soil zone model. For these two problems, the accuracy and stability of the proposed are verified by comparing with the results of analytical solution and finite element method.
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0. 引言
近年，在国家“深地战略”背景下，一系列重大典型深埋隧洞工程正在建设，如引汉济渭秦岭引水隧洞（最大埋深2000 m）、川藏铁路隧洞群（最大埋深2100 m）、新疆ABH引水隧洞（最大埋深2260 m）等重大工程。这些工程多处于高地应力复杂环境，高地应力使得岩体中的非连续体趋于闭合，滑落、坍塌等浅部岩体工程问题不再是深部岩体失稳的主要形式[1]。在深埋硬岩隧洞中应力控制的岩石脆性破坏，如板裂、岩爆等，成为影响围岩稳定、施工进度、施工成本等的关键因素[2-4]，如：开挖过程中发生大面积的板裂，强烈或极强岩爆等，导致隧道断面成型差[5]、初期支护变形大难以收敛[6]、拱架断裂进行大面积钢拱架拆换等[7]。
国内外学者围绕深埋隧洞硬岩围岩变形支护方法及支护体系受力已开展了较为丰富的研究，取得了丰硕的研究成果。Hoek等[8]系统地总结了硬岩隧洞不同围岩等级条件下的支护方法和监测措施。之后，学者们针对高应力下硬岩地下洞室围岩灾害性破坏问题，又提出了围岩裂化-抑制支护方法[9]、深部消波吸能-浅部全断面锚固均撑支护-巷表柔性防护多层次控制方法[10]、裂纹约束控制法[11]等。Zhou等[12]通过室内试验、现场监测和数值模拟等方法研究了硬岩隧道围岩变形规律及支护参数，结果表明初支的刚度和二衬安装时机是有效控制硬岩围岩变形的关键。
高地应力下硬岩的力学行为和岩体复杂的地质结构，使得深埋隧洞围岩在开挖过程中表现出复杂多变的破坏现象[2]。例如，引汉济渭秦岭隧洞在施工过程中，盾尾处架设钢筋排和钢拱架后，可有效控制围岩变形，但有部分拱架在支护2~3 d后会发生较大变形，严重时甚至发生扭曲（图 1）。鉴于此，本文以引汉济渭秦岭隧洞岭北隧洞工程典型闪长岩里程段为工程背景，通过对典型断面围岩变形和拱架受力现场监测，探讨硬岩隧道施工过程中围岩变形及初期支护的受力特征，研究成果以期指导类似硬岩地下工程围岩变形控制与支护参数优化。
1. 工程概况
引汉济渭工程地跨黄河、长江两大流域，横穿秦岭屏障，项目分为调水工程、输配水工程。调水工程由蓄水水库及秦岭隧洞组成，隧洞全长98.3 km，设计流量70 m3/s，多年平均输水量15.0亿m3，隧洞平均坡降约1/2500，其中穿越秦岭主脊的TBM施工段全长约34 km，划分为岭南TBM施工段和岭北TBM施工段。本文研究里程洞段为岭北施工段（里程K43+846—K43+753），采用直径8.02 m的敞开式TBM施工，洞埋深1740 m左右，地应力高（在K46+190里程处（埋深1200 m左右），测得垂直地应力50 MPa左右，最大水平主应力64 MPa左右，最小水平主应力34 MPa左右），揭露围岩为闪长岩，岩质坚硬，强度110~150 MPa，岩体完整性系数为0.65~0.90，属于完整—极完整块状结构，节理裂隙不发育，围岩等级为Ⅱ类围岩。在本文监测段围岩未见原生结构面和构造结构面，开挖后未产生次生结构面，围岩在切向应力作用下多发生以劈裂为主的拉伸破坏，表现为岩爆及静态脆性破坏（片帮、溃屈、板裂）[13]，由于岩爆发生较为频繁，盾尾处围岩相对破碎，因此实际支护采用钢拱架+钢筋排+锚喷支护，具体支护参数如表 1所示。
表 1 隧洞支护参数Table 1. Support parameters of tunnel支护类型 项目 数值 超前支护 钢筋排型号 HPB235ϕ16 mm 长度 2.3 m 间距 10 cm 布设范围 120° 初期支护 钢拱架型号 H150 钢拱架间距 60 cm/90 cm 混凝土型号 C30 混凝土厚度 ~30 cm 二次衬砌 混凝土型号 C30 混凝土厚度 30 cm 隧洞开挖过程中岩爆多发生在掌子面附近，盾尾后左侧拱肩围岩相对完整，拱顶和右拱肩围岩破碎，右拱肩围岩出现多处塌腔。本文研究的里程段内塌腔统计如表 2，K43+846—K43+753段共出现塌腔10处，其中位于左拱肩2处，位于右拱肩8处。位于左拱肩的塌腔形状为V字型，位于右拱肩的塌腔与洞壁平行，塌腔周围围岩多是呈现板状破裂，塌腔内岩体呈现弯折断裂，局部呈现洋葱状破坏。在盾尾处主要采取钢筋排+钢拱架支护，混凝土喷射平台距离盾尾40 m左右，每天掘进进尺4~5 m，因此围岩一般有10 d左右的裸露时间，目前的支护手段可以较好地控制围岩变形，但在局部位置塌腔内围岩发生间歇性断裂，严重时导致拱架变形。因此，有必要对隧洞开展系统地现场测试，深入分析现场数据，掌握隧洞开挖后围岩变形及支护受力的演变规律与特点，为初期支护参数的优化提拱科学依据。
表 2 隧洞围岩塌腔破坏位置、破坏模式统计Table 2. Summarization of failure position and mode of collapsed cavity里程号 发生条件 发生位置 塌腔破裂情况 示意图 现场照片（外部和内部） K43+843.85 高应力、岩质坚硬、岩体完整 位于右拱肩，塌腔中心距离拱顶水平位置1.95 m左右 长2.4 m，宽1.6 m，深0.65 m，与洞壁平行，塌腔附近岩块长度35~50 cm，厚25~40 mm，塌腔内部呈洋葱状破坏，厚3~5 mm 
K43+831.15 高应力、岩质坚硬、岩体完整 位于左拱肩，塌腔中心与拱顶水平距离2.8 m左右 长1.2 m，深0.5 m，宽1.5 m，V字型塌腔，塌腔洞壁光滑，未见层状或洋葱状剥落破坏 
K43+827.53 高应力、岩质坚硬、岩体完整 位于右拱肩，塌腔中心与拱顶水平距离1.2 m左右 长4.5 m，宽1.2 m，深0.73 m，与洞壁平行，塌腔边缘呈台阶状破坏，60~120 mm左右，塌腔内部多为片状破坏，层厚25 mm左右 
K43+823.52 高应力、岩质坚硬、岩体完整 位于右拱肩，塌腔中心与拱顶水平距离2.5 m左右 长4.45 m，宽1.8 m，深0.9 m，与洞壁平行；塌腔附近岩块长25~30 cm，厚35~70 mm，塌腔内部呈洋葱状破坏(2~5 mm) 
K43+821 高应力、岩质坚硬、岩体完整 位于右拱肩，塌腔由拱顶开始 长1.3 m，深1.1 m，宽5 m左右，与洞壁平行，塌腔岩块边长1.3~1.5 m，厚5~20 cm，塌腔内部呈台阶撕裂破坏，厚5~20 mm 
K43+799.59 高应力、岩质坚硬、岩体完整 位于右拱肩，塌腔中心与拱顶水平距离1.7 m左右 长4.0 m，深0.7 m，宽1.7 m，塌腔周围呈层状破裂，层厚25~40 mm，塌腔周边呈台阶破裂，塌腔内部呈洋葱状剥落，厚3~5 mm 
K43+782.79 高应力、岩质坚硬、岩体完整 位于右拱肩，塌腔由拱顶开始 长2.9 m，深0.85 m，宽2.7 m，与洞壁平行，塌腔周围呈台阶状破裂，层厚25~70 mm，塌腔内部呈洋葱状剥落破坏，厚15~20 mm 
2. 围岩变形与拱架受力监测
2.1 监测点的布设
现场监测包括围岩变形监测（拱顶沉降和水平收敛）与初期支护钢拱架受力监测。围岩变形监测采用全站仪非接触测量方法，将全站仪置于适当位置，采用极坐标测量的方法，直接对不同断面上的各监测点进行观测，获取各监测点在任意站心坐标系下的空间三维坐标，再利用各监测点的空间三维坐标，间接计算得到同一断面上各监测点问的相对位置关系，并通过比较不同监测周期相同监测点间的相对位置关系的差异，来真实反映隧洞施工期间的围岩净空收敛及拱顶下沉变化量。根据现场实际情况，拱顶沉降和水平收敛每10 m左右布设一个监测断面，如图 2。在每个测量点处，采用直径22 mm螺纹钢筋端部焊接直径6 mm的钢筋挂钩，挂钩制作成闭合三角形。测点用锚固剂与围岩锚固，埋入围岩深度不小于20 cm，若围岩破碎松软，适当增加测点埋入深度。
钢拱架受力采用表面应变计，当钢拱架成环但支撑油缸未收回时，将应变计安装在钢拱架上，受现场施工条件限制，每个监测断面监测3个点，即拱顶、左拱肩和右拱肩，每个监测点布置两个应变计，分别布置在钢拱架的上翼板和下翼板，如图 3所示，一共布设了6个监测断面，对应的里程分别为K43+831.85，K43+785.81，K43+785.17，K43+765.52，K43+764.0和K43+763.35。当应变计布置完成后，在钢拱架支撑油缸未收回时测量每个应变计的频率作为应变计的初始频率，前3个断面应变计监测时间约为15 d，后面3个断面由于应变计损坏，监测时间约为6 d。
2.2 变形监测结果
选取里程K43+846~K43+753中的4个断面作为代表断面进行分析，水平收敛和拱顶沉降监测结果如图 4所示，规定拱顶下沉为正，水平收敛为正。由水平收敛曲线可知：
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图 4 拱顶沉降及水平收敛时程曲线图Figure 4. Time-history curves of crown settlement and horizontal convergence（1）0~24 h，隧洞围岩处于急剧变形期，收敛速率逐渐增大，最大收敛速率约为4.0 mm/d，此阶段围岩累积变形量约占总变形量的20%~25%。该时段围岩收敛具有速率快、持续时间短的特点，应为隧洞开挖后应力重分布及支护结构与围岩协调而引起。
（2）24~60 h，隧洞围岩处于快速变形期，收敛速率开始下降，此阶段围岩累积变形量约占总变形量的40%~45%。该时段围岩收敛具有速率减小、持续时间短的特点，应为支护结构开始起到支撑作用，围岩应力分布趋于平衡。
（3）60~360 h，隧洞围岩处于缓慢变形期，收敛速率逐渐下降，最终收敛速率 < 0.2 mm/d，最终水平收敛值在15 mm左右。该时段围岩沉降具有收敛速率慢、持续时间长的特点，围岩收敛逐渐趋于稳定。
拱顶沉降曲线的变化规律与水平收敛变形曲线较为类似，也可分为3个阶段，急剧变形期（0~24 h）、快速变形期（24~60 h）和缓慢变形期（60~360 h），拱顶最终沉降量为18 mm左右，沉降速率 < 0.2 mm/d。
2.3 钢拱架受力监测结果
由于篇幅限制，以里程K43+831.85和K43+785.81的2榀钢拱架受力监测结果为例进行分析，另外4榀拱架的监测结果与之类似。钢拱架受力规定压应力为负，拉应力为正。此外，根据钢拱架内翼缘和外翼缘实测应力（σin和σout），计算监测点拱架的轴力（N）和弯矩（W）[14-15]：
N=A(σin + σout)2， (1) M=W(σin−σout)2。 (2) 式中：A为钢拱架横截面积；W为截面模量。轴力压力为负，拉力为正。拱架相关参数如表 3所示。
表 3 HW150型钢参数Table 3. Parameters of HW150 section steel截面尺寸/mm 截面面积/cm2 惯性矩/cm4 截面模量/cm3 h b t1 t2 r Ix Iy Wx Wy 150 150 7 10 13 40.55 1660 564 221 75.1 注：h为型钢高度，b为翼缘宽度，t1为翼缘厚度，t2为腹板厚度，r为回转半径，Ix，Iy分别为绕x，y轴惯性矩，Wx，Wy分别为绕x，y轴截面模量。 图 5给出了钢拱架各测点的应力时程图和轴力与弯矩分布图。由图 5（a）可知拱架受力并非上翼板受压应力，下翼板受拉应力，只有拱顶上翼板和左拱肩上翼板受压，其余均受拉。拱架支撑后0~50 h内，拉应力迅速增加，最大值62.29 MPa（拱顶下翼板），说明拱架安装后可以起到较好的承载作用，50~125 h内拉应力开始迅速下降，125 h后应力缓慢降低。压应力在0~125 h内迅速增加，最大值62.29 MPa（左拱肩上翼板），之后缓慢增加。300 h后钢拱架各测点应力趋于稳定。根据钢拱架内外侧应力作出钢拱架内力分布图，如图 5（b），（c）所示。钢拱架左拱肩和拱顶处轴力为负值，表现为受压，右拱肩处轴力为正值，表现为受拉。钢拱架左拱肩和拱顶处弯矩为正值，右拱肩为负值。表明拱架上部整体受压，局部受拉。
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图 5 钢拱架受力时程曲线及轴力和弯矩分布图(里程K43+831.85)Figure 5. Stress-time curves and distribution of internal force of steel arch图 6给出了里程K43+785.81的钢拱架应力和内力监测结果。结果表明拱顶上翼板受拉，并随着监测时间逐渐增加，最终稳定在50 MPa左右，其余各点均受压，随着监测时间逐渐增加，最大值位于右拱肩下部，约为150 MPa。拱架受力较为复杂，左拱肩和右拱肩受压，拱顶受拉。
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图 6 钢拱架受力时程曲线及轴力和弯矩分布图(里程K43+785.81)Figure 6. Stress-time curves and distribution of internal force of steel arch通过钢拱架应力计轴力和弯矩计算可知，各测点的应力值均未超过其屈服强度（215 MPa），但钢拱架受力较复杂。因此在判别钢拱架结构是否稳定时，不仅要考虑拱架受力，还需考虑钢拱架结构内力作用位置，即偏心距（e=M/N），和弯矩方向，其有利情况为合力作用点在钢拱架截面内且弯矩为负，最不利情况为合力作用点在钢拱架截面外且弯矩为正。有学者[14, 16]根据钢拱架应力和轴力与弯矩情况分别建立了拱架稳定性判别准则，根据其判别准则3榀拱架各测点的稳定情况如表 4所示。由表 4可知，拱架整体表现基本安全，但在拱顶和右拱肩处，偏心距有时大于型钢的高度，即合力作用点位于钢拱架之外，该处拱架稳定性存在不确定性。
表 4 钢拱架稳定性判别Table 4. Stability determination of steel arch frameK43+ 位置 应力比R 内力 安全等级 外缘 内缘 偏心距e/cm-1 弯矩M/(kN·m) 831.85 左肩 0.32 0.07 -3.61 6.06 安全 拱顶 0.41 0.02 -5.91 10.03 安全 右肩 0.14 0.10 -30.05 -5.73 不安全 785.81 左肩 0.30 0.20 -1.15 2.39 安全 拱顶 0.26 0.11 -13.35 -8.82 基本安全 右肩 0.24 0.71 2.68 -11.08 基本安全 注：R=σi/fi，σi为实测钢拱架翼缘应力，fi为钢材屈服强度，e=M/N偏心距，M为弯矩，N为轴力。 该结果与现场具体情况较为吻合，目前采取的支护措施可以较好地控制围岩变形，且拱架稳定性较好，但在局部洞段，即拱顶或右拱肩处围岩存在间歇板裂破坏处，有时发生拱架侵限。因此，现场施工过程中，应根据现场围岩实际情况，针对拱顶和右拱肩围岩破碎的洞段，及时调整钢拱架间距、增设锚杆等措施，减少安全事故。
3. 讨论
片帮剥落、溃屈破坏与板裂破坏均为深埋完整硬岩隧洞中最为常见的破坏类型。完整岩体在集中应力作用下发生张拉破坏，呈薄片或板状，若劈裂为薄片状直接剥落，称为片帮剥落；若劈裂为板状，板状岩体进而发生弯折断裂，称为溃屈破坏[4, 8]。片帮剥落、溃屈破坏破坏深度较小，且破坏发生时，弹性能释放缓慢，岩块无弹射现象。本文研究的里程中溃屈破坏类型较少，多为板裂破坏。板裂破坏机制与片帮剥落较为类似，但板裂破坏的洞壁围岩通常为较厚的岩板（slab）或密集分布的洋葱状裂纹（onion-skin fracture）[4]（图 7）。由表 2可知，本文研究里程段右拱肩处的塌腔均是由板裂破坏造成，即塌腔周围呈层状破坏，岩板有一定厚度（> 25 mm），塌腔内部呈洋葱状破裂。
在某些情况下板裂破坏发生在应变型岩爆之前，可以作为应变型岩爆的前兆信息，岩爆发生时伴随着剧烈的能量释放，破坏岩体脱离围岩时具有一定的初速度，而板裂破坏过程中岩板与围岩分离时岩板通常不会发生弹射[2, 17-19]。因此，发生岩爆时拱架不再承受围岩的静态荷载，而是在发生岩爆的方向承受冲击荷载。岩块以一定速度作用在支护结构上引起支护变形，在该过程中，岩块高度变化是支护结构在其作用点处位移的竖向分量，支护位移很小，岩块的重力势能变化很小，可以忽略。岩块的动能全部转化为结构的应变能，基于该假设，当支护结构为线弹性体系时，受冲击部位支护结构的最大挠度（δmax）为[19]
δmax=√K0mv2EI， (3) K0=π −32r2。 (4) 式中：E为支护结构弹性模量；I为截面抗弯系数；m为岩块质量；v为岩块冲击速度；K0为支护尺寸系数；r为隧洞半径。本项目隧洞半径4.01 m，支护尺寸系数K0=1.1384 m2。钢拱架弹性模量E=210 GPa，截面抗弯系数I=75.1 cm3，岩爆时岩块弹射速度一般不超过10 m/s。当拱架变形超过50 mm时，需要更换拱架，因此将拱架最大挠度选取为50 mm，根据公式（3），（4）算出，岩块最大质量不能超过346.34 kg，岩石密度2700 kg/m3左右，即岩块体积不大于0.13 m3的条件下拱架基本处于安全状态，该结果与现场监测段实际情况基本吻合。
4. 结论
（1）隧洞监测段围岩最大沉降和水平收敛值最大变形量约为20 mm，最大变形量约为4 mm/d，围岩变形分为3个阶段，即急剧变形期、快速变形期和缓慢变形期，前两个变形阶段内的变形量约占总变形量的45%，是围岩变形的主要产生阶段。
（2）现场实测数据表明，初期支护钢拱架应力受力复杂并非上翼板受压，下翼板受拉，总体表现为以受压为主，且钢拱架应力不对称性。尽管监测拱架各个测点应力值均小于其极限强度，评估拱架稳定性时需考虑拱架合力作用点和弯矩正负，可更好地反映钢拱架稳定状态。
（3）采用的钢筋排+H150钢拱架可以较好控制监测段围岩初期变形，且拱架稳定性较好；隧洞监测段围岩发生岩爆时，岩块体积小于0.13 m3时，拱架变形小于50 mm，拱架基本处于安全状态，当超过该值时，需结合现场实际情况，及时采取调整钢拱架间距、增设锚杆等优化支护结构的措施。
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图 8 饱和土带对称线上节点不同时刻的竖向位移图
Figure 8. Vertical displacements of symmetrical line nodes on saturated soil zone at different time
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图 9 饱和土带对称线上节点在不同时刻的孔压图
Figure 9. Pore pressures of symmetrical line nodes in saturated soil zone at different time
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图 10 饱和土带在0.5 s时刻的孔隙压力云图
Figure 10. Cloud chart of pore pressure of saturated soil zone at 0.5 s
表 1 贝雷砂岩的材料属性参数
Table 1 Material property parameters of Berea sandstone
属性 符号 值 单位 剪切模量 G 6×109 Pa 孔隙率 ϕ 0.19 泊松比 ν 0.2 固体颗粒压缩系数 Cs 2.777777×10−11 Pa−1 Biot系数 α 0.777778 渗透率 k 1.9×10−15 m2 
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表 2 饱和土带的材料属性
Table 2 Material parameters of saturated soil zone
属性 符号 值 单位 弹性模量 E 1×107 N/m2 泊松比 ν 0.2 流体体积弹性系数 Kf 3.3×109 Pa 迁移率系数 κ 1×10−7 m4/(N⋅s) 孔隙率 ϕ 0.2 Biot系数 α 1
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