两向不等压圆形隧道塑性统一解及其应用

曾开华; 李学军; 鹿守山; 李汉龙

doi:10.11779/CJGE202210002

两向不等压圆形隧道塑性统一解及其应用 English Version

1.
南昌工程学院土木与建筑工程学院, 江西南昌 330099
2.
江西省交通科学研究院有限公司, 江西南昌 330200

基金项目:

国家自然科学基金项目 51769016

江西省自然科学基金项目 2014BAB206001

江西省教育厅科学技术研究项目 GJJ151117

详细信息

作者简介:
曾开华(1968—)，男，江西丰城人，博士，教授，主要从事地下工程、地基处理等研究。E-mail: nczkh1968@163.com

中图分类号: TU452
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出版历程
- 收稿日期: 2021-10-12
- 网络出版日期: 2022-12-11
- 刊出日期: 2022-09-30

Unified plastic solutions to a circular tunnel under two-way unequal pressures and their applications

1.
School of Civil and Architectural Engineering, Nanchang Institute of Technology, Nanchang 330099, China
2.
Jiangxi Transportation Institute Co., Ltd., Nanchang 330200, China

摘要

摘要: 针对两向不等压作用下的圆形隧道，综合考虑地应力分布、中间主应力效应和围岩剪胀特性，基于统一强度理论和非关联流动法则建立了理想弹塑性围岩的各种塑性统一解，包括塑性区应力、塑性区位移、塑性区半径和围岩特征曲线，继而对所得解答进行讨论与应用。研究结果表明：所得塑性统一解为系列化的有序解答，合理反映了3种因素影响且表达简洁，具有一定理论意义和良好工程应用前景；两向不等压与中间主应力显著影响围岩塑性区范围、洞壁位移和特征曲线，不同方位角处应构筑不同承载性能的支护或选择不同支护施作时机；洞壁位移和围岩稳定变形随剪胀系数的增加而增大。
- 两向不等压 /
- 圆形隧道 /
- 统一强度理论 /
- 塑性区半径 /
- 围岩特征曲线
Abstract: Various unified plastic solutions to a circular tunnel under two-way unequal pressures are presented corresponding with the in-situ stress distributions, such as the stress, displacement and radius of plastic zone and the ground response curve, where the elastic perfectly-plastic model is assumed for surrounding rock. The unified strength theory and a non-associated flow rule are adopted to account for the effects of the intermediate principal stress and dilatancy, respectively. Discussions and applications of the proposed solution are then performed. The results show that the unified plastic solutions of this study are the serialized and ordered ones with simple expressions, which reasonably consider the effects of three factors to have certain theoretical significance and good engineering application prospect. The two-way unequal pressures and the intermediate principal stress significantly affect the range of plastic zone, displacement of tunnel wall and the ground response curve. The supports with different bearing performances (or installation time) should be applied for different azimuth angles. The displacement of tunnel wall and stable deformation of surrounding rock increase with the increase of the dilatancy coefficient.
- two-way unequal pressure /
- circular tunnel /
- unified strength theory /
- radius of plastic zone /
- ground response curve

HTML全文

0. 引言

隧道开挖后围岩由于应力释放进入塑性状态，洞周塑性区范围及位移分布是收敛约束法构建围岩特征曲线的关键。传统收敛约束分析假定隧道处于两向等压的静水应力状态，和竖向与水平向明显不等的实际地应力场不符，造成隧道支护和效果不佳。实际竖向与水平向地应力场简化为两向不等压，以侧压力系数量化二者差异，这是原始地层赋予隧道的先决条件，对隧道开挖及支护设计具有全方位影响。已有研究探讨两向不等压圆形隧道的塑性区范围，但以近似的Kastner法为主，跳过塑性区分析与求解，直接将两向不等压圆形隧道完全弹性状态下的Kirsch应力公式代入某一强度准则^[1-9]，忽略了两向不等压塑性区非圆对弹性区应力影响，只能用于塑性区范围粗估；也有采用更为精确的复变函数法^[10-12]和摄动法^[13-14]，但这两种方法的公式推导和实际应用都很复杂，难以推广到工程实践。是否像两向等压圆形隧道围岩的弹塑性分析一样，两向不等压圆形隧道也存在介于Kastner法与复变函数法和摄动法之间的一种实用性分析方法？既求解塑性区的应力和位移，又能获得精度较好的简洁表达式。

在围岩弹塑性分析中强度准则的选取十分重要，上述两向不等压隧道塑性区边界线方程建立多采用由大/小主应力描述的Mohr-Coulomb准则^[1-2]或Hoek-Brown准则^[3-4]，不计中间主应力对围岩强度提高作用、所得塑性区范围偏大，也有使用等同中间主应力效应与小主应力围压作用的Drucker-Prager准则^[8-9]而高估围岩强度、低估塑性区范围，应采用能合理反映围岩强度特征的真三轴强度准则^[15-17]。统一强度理论是主应力线性组合的系列化真三轴强度准则^[18]，充分考虑了中间主应力对围岩强度的有效提高，由其所推导的岩土问题解答具有经济效益且表达简洁实用，已应用于圆形隧道两向等压经典问题^[19-21]和两向不等压近似解法^[7-9]。同时，围岩变形具有一定的剪胀性，非关联流动法则相比关联流动法则较多地用于计算塑性区位移和围岩特征曲线。

因此，本文尝试对两向不等压圆形隧道弹塑分析提出一种实用性分析方法，合理考虑地应力分布、中间主应力效应和围岩剪胀特性的综合影响，采用统一强度理论和非关联流动法建立理想弹塑性围岩的各种塑性统一解，包括塑性区应力、塑性区位移、塑性区半径和围岩特征曲线，并探讨所得塑性统一解的可比性、退化特例和工程应用。

1. 统一强度理论

统一强度理论的主应力表达式如下^[18]：

当 ${\sigma _2} \leqslant \frac{{\alpha {\sigma _1} + {\sigma _3}}}{{1 + \alpha }}$ 时，

$F = \alpha {\sigma _1} - \frac{1}{{1 + b}}(b{\sigma _2} + {\sigma _3}) = {\sigma _{\text{t}}} \text{；}$

(1a)

当 ${\sigma _2} > \frac{{\alpha {\sigma _1} + {\sigma _3}}}{{1 + \alpha }}$ 时，

$F' = \frac{\alpha }{{1 + b}}({\sigma _1} + b{\sigma _2}) - {\sigma _3} = {\sigma _{\text{t}}} 。$

(1b)

式中 ${\sigma _1}$ ， ${\sigma _2}$ ， ${\sigma _3}$ 分别为大主应力、中间主应力和小主应力，且以压应力为正； $\alpha$ 为单轴拉压强度比， $\alpha$ =(1−sinφ)/(1+sinφ)， ${\sigma _{\text{t}}}$ 为单轴抗拉强度， ${\sigma _{\text{t}}}$ =2ccosφ/(1+sinφ)；c，φ分别为黏聚力和内摩擦角；b为统一强度理论参数，代表中间主应力对岩土材料强度的影响程度，取值范围为[0，1]，依据参数b取值不同，统一强度理论可体现为如图 1所示的Mohr-Coulomb准则（b=0）、双剪应力准则（b=1）和系列化的新准则（0 < b < 1），适用于具有不同中间主应力效应的各种岩土材料。

图 1 统一强度理论

Figure 1. Unified strength theory

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在平面应变状态下，引入中间主应力系数m将中间主应力 ${\sigma _2}$ 表示为^[19-21]

${\sigma _2} = \frac{m}{2}({\sigma _{\text{1}}} + {\sigma _3}) 。$

(2)

因2 $\nu$ ≤m≤1（其中， $\nu$ 为泊松比）而满足式（1b），将式（2）代入式（1b）得统一强度理论的平面应变表达式为

${\sigma _1} = \frac{{2(1 + b)(1 + \sin \varphi ) - bm(1 - \sin \varphi )}}{{(2 + bm)(1 - \sin \varphi )}}{\sigma _3} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{4(1 + b)c\cos \varphi }}{{(2 + bm)(1 - \sin \varphi )}} 。$

(3)

2. 塑性统一解

图 2为两向不等压下圆形隧道的力学模型，其中：a为隧道半径，R为围岩塑性区半径； ${p_{\text{i}}}$ 为洞壁处均匀的虚拟支护力，P为竖向地应力， $\lambda$ 为侧压力系数；r，θ分别为极坐标系下的半径和方位角，且θ以水平右半轴为起点、逆时针方向旋转为正。

图 2 隧道力学模型

Figure 2. Mechanical model for a tunnel

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为得到表达简洁、应用简便的隧道解析解和实用性分析方法，特作如下基本假定：

（1）隧道轴向长度远大于其横截面尺寸，故隧道开挖弹塑性分析可简化为平面应变问题。

（2）围岩为均匀连续各向同性的理想弹塑性材料，其塑性区应力满足统一强度理论。

（3）围岩受竖向与水平向不等压作用，水平地应力为λP，且塑性区包围隧道整个洞周。

2.1 弹性区应力

将图 2中隧道无穷远处地应力分解为两向等压应力场（应力大小为0.5(1+λ)P）和上下受压、左右受拉应力场（应力大小为0.5(1−λ)P），采用叠加原理得两向不等压下围岩弹性区的应力为^[22]

$\left.\begin{array}{l} \sigma_r= \frac{1}{2}(1+\lambda) P\left(1-\frac{R^2}{r^2}\right)+\sigma_R \frac{R^2}{r^2}- \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}(1-\lambda) P \cos 2 \theta\left(1-4 \frac{R^2}{r^2}+3 \frac{R^4}{r^4}\right), \\ \sigma_\theta= \frac{1}{2}(1+\lambda) P\left(1+\frac{R^2}{r^2}\right)-\sigma_R \frac{R^2}{r^2}+ \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}(1-\lambda) P \cos 2 \theta\left(1+3 \frac{R^4}{r^4}\right), \\ \tau_{r \theta}= \frac{1}{2}(1-\lambda) P \sin 2 \theta\left(1+2 \frac{R^2}{r^2}-3 \frac{R^4}{r^4}\right), \end{array}\right\}$

(4)

式中， ${\sigma _r}$ ， ${\sigma _\theta }$ ， ${\tau _{r\theta }}$ 分别为径向应力、切向应力和切应力， ${\sigma _R}$ 为围岩弹−塑性交界处的径向应力。

在式（4）中，径向应力 ${\sigma _r}$ 和切向应力 ${\sigma _\theta }$ 的第二项由每个方位角θ处以R为半径作圆和相应 ${\sigma _R}$ 均匀作用得到，这是本文实用性分析方法所做的数学近似，也有别于复变函数法和摄动法对围岩弹性区的精细化处理。

在围岩弹−塑性交界r=R处，由式（4）得

$\left.\begin{array}{l} \left.\sigma_r\right|_{r=R}=\sigma_R, \\ \left.\sigma_\theta\right|_{r=R}=(1+\lambda) P+2(1-\lambda) P \cos 2 \theta-\sigma_R 。 \end{array}\right\}$

(5)

因弹−塑性交界处围岩弹性区一侧的应力即式（5）满足统一强度理论的平面应变表达式即式（3），故将式（5）代入式（3）得

${\sigma _R} = \frac{{\left[ {2(1 - \lambda )\cos 2\theta + 1 + \lambda } \right]P(2 + bm)(1 - \sin \varphi )}}{{2(2 + b + b\sin \varphi )}} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{2c(1 + b)\cos \varphi }}{{2 + b + b\sin \varphi }} 。$

(6)

2.2 弹性区位移

将式（4）扣除初始地应力后代入平面应变问题的物理方程，并利用几何方程和无穷远处位移边界条件，即r→∞时径向位移u_r=0、切向位移u_θ=0以及水平和竖向坐标轴处反对称的切向位移为零（即θ=0°，90°，180°和270°时，u_θ=0），得两向不等压下围岩弹性区的位移为

$\begin{gathered} {u_r} = \frac{{1 - {\mu ^2}}}{E}\left[ {\frac{1}{2}(1 + \lambda )P\left( {r + \frac{{{R^2}}}{r}} \right) - {\sigma _R}\frac{{{R^2}}}{r}} \right] - \hfill \\ \quad \quad \frac{{\mu (1 + \mu )}}{E}\left[ {\frac{1}{2}(1 + \lambda )P\left( {r - \frac{{{R^2}}}{r}} \right) + {\sigma _R}\frac{{{R^2}}}{r}} \right] - \hfill \\ \quad \;\;\,\,\,\frac{{1 - {\mu ^2}}}{{2E}}\left[ {(1 - \lambda )P\cos 2\theta \left( {r + 4\frac{{{R^2}}}{r} - \frac{{{R^4}}}{{{r^3}}}} \right)} \right]\; - \hfill \\ \frac{{\mu (1 + \mu )}}{{2E}}\left[ {\left( {1 - \lambda } \right)P\cos 2\theta \left( {r - \frac{{{R^4}}}{{{r^3}}}} \right)} \right] , \end{gathered}$

(7)

${u_\theta } = \frac{{1 - {\mu ^2}}}{{2E}}\left[ {(1 - \lambda )P\sin 2\theta \left( {r + 2\frac{{{R^2}}}{r} + \frac{{{R^4}}}{{{r^3}}}} \right)} \right] +\\ \;\;\;\;\frac{{\mu (1 + \mu )}}{{2E}}\left[ {(1 - \lambda )P\sin 2\theta \left( {r - 2\frac{{{R^2}}}{r} + \frac{{{R^4}}}{{{r^3}}}} \right)} \right] 。$

(8)

在围岩弹−塑性交界r=R处，由式（7），（8）得

${\left. {{u_r}} \right|_{r = R}} = \frac{{(1 - {\mu ^2})PR}}{E}\left[ \begin{array}{l} 1 + \lambda \hfill \\ - 2(1 - \lambda )\cos 2\theta \hfill \\ \end{array} \right] - \frac{{1 + \mu }}{E}{\sigma _R}R\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{\left. {{u_\theta }} \right|_{r = R}} = \frac{{2(1 - {\mu ^2})PR}}{E}(1 - \lambda )\sin 2\theta 。$

(9)

2.3 塑性区应力

为克服Kastner法的不足，对两向不等压隧道进行围岩塑性区应力与位移分析。在围岩塑性区内，切向应力 ${\sigma _\theta }$ 为大主应力 ${\sigma _1}$ 、径向应力 ${\sigma _r}$ 为小主应力 ${\sigma _3}$ ，且隧道横断面内围岩变形的迅速发展使得中间主应力系数m→1，简化取m=1，则式（3）变为

${\sigma _\theta } = \frac{{2 + b + (2 + 3b)\sin \varphi }}{{(2 + b)(1 - \sin \varphi )}}{\sigma _r} + \frac{{4(1 + b)c\cos \varphi }}{{(2 + b)(1 - \sin \varphi )}} 。$

(10)

在中，围岩塑性区内边界为圆形且受均匀虚拟支护力 ${p_{\text{i}}}$ 作用，表明围岩塑性区内边界的几何形状及其荷载均为绕轴对称而无切应力，由连续性假定可知在围岩整个塑性区内切应力恒为零，故围岩塑性区的应力和位移分析可简化为绕轴对称问题^{[11, 13]}，其平衡微分方程为

$\frac{\mathrm{d} \sigma_r}{\mathrm{~d} r}+\frac{\sigma_r-\sigma_\theta}{r}=0。$

(11)

联立式（10）和式（11），并结合洞壁处的应力边界条件，可得两向不等压下围岩塑性区的应力为

$\left.\begin{array}{l} \sigma_r=\left(p_{\mathrm{i}}+c \cot \varphi\right)(r / a)^A-c \cot \varphi\;\;, \\ \sigma_\theta=B\left(p_{\mathrm{i}}+c \cot \varphi\right)(r / a)^A-c \cot \varphi \quad, \end{array}\right\}$

(12)

式中， $A = \frac{{4(1 + b)\sin \varphi }}{{(2 + b)(1 - \sin \varphi )}}$ ， $B = \frac{{2 + b + (2 + 3b)\sin \varphi }}{{(2 + b)(1 - \sin \varphi )}}$ 。

在弹−塑性交界r=R处围岩的径向应力连续，联立式（6）和式（12）得围岩的塑性区半径R为

$R = a{\left[ {\frac{{(1 + \lambda )P + 2(1 - \lambda )P\cos 2\theta + 2c\cot \varphi }}{{(1 + B)({p_{\text{i}}} + c\cot \varphi )}}} \right]^{\frac{1}{A}}} 。$

(13)

2.4 塑性区位移

塑性区围岩的应变可分解为塑性应变和弹性应变两部分，即

${\varepsilon _r} = \varepsilon _r^{\text{p}} + \varepsilon _r^{\text{e}} \text{，} {\varepsilon _\theta } = \varepsilon _\theta ^{\text{p}} + \varepsilon _\theta ^{\text{e}} 。$

(14)

对于塑性应变部分，采用图 3非关联流动法则即下式来描述围岩的剪胀特性^[20-21]

$\beta \varepsilon _\theta ^{\text{p}} + \varepsilon _r^{\text{p}} = 0 \text{，}$

(15)

图 3 非关联流动法则

Figure 3. Non-associated flow rule

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式中，β=(1+sinψ)/(1−sinψ)为剪胀系数，ψ为围岩的剪胀角，且ψ≤φ。当ψ=φ时，式（15）变为关联流动法则且β达到最大值β_max；当ψ=0°时，β=1，代表围岩不发生剪胀。

由式（14），（15）得

$\beta {\varepsilon _\theta }{\text{ + }}{\varepsilon _r} = \beta (\varepsilon _\theta ^{\text{p}} + \varepsilon _\theta ^{\text{e}}){\text{ + }}\varepsilon _r^{\text{p}} + \varepsilon _r^{\text{e}} = \beta \varepsilon _\theta ^{\text{e}}{\text{ + }}\varepsilon _r^{\text{e}} 。$

(16)

将绕轴对称问题的几何方程ε_r=u_r/r和ε_θ=du_r/dr代入式（16）得

$\frac{{{\text{d}}{u_r}}}{{{\text{d}}r}} + \beta \frac{{{u_r}}}{r} = \beta \varepsilon _\theta ^{\text{e}}{\text{ + }}\varepsilon _r^{\text{e}} 。$

(17)

可见，式（17）为一阶线性非齐次微分方程。结合式（9）中弹−塑性交界r=R处围岩径向位移的连续性条件，积分式（17）得

${u_r} = \frac{1}{{{r^\beta }}}\int_R^r {{r^\beta }(\beta \varepsilon _\theta ^{\text{e}}{\text{ + }}\varepsilon _r^{\text{e}})} {\text{d}}r + {\left( {\frac{R}{r}} \right)^\beta }{\left. {{u_r}} \right|_{r = R}} 。$

(18)

将式（12）扣除初始地应力后代入式（18），积分得两向不等压下围岩塑性区的径向位移为

$\begin{array}{c} \frac{{{u_r}}}{r} = {J_1}{\left( {\frac{a}{r}} \right)^{^{\beta + 1}}}\left[ {{{\left( {\frac{r}{a}} \right)}^{^{A + \beta + 1}}} - {{\left( {\frac{R}{a}} \right)}^{A + \beta + 1}}} \right] + \\ {J_2}\left[ {1 - {{\left( {\frac{R}{a}} \right)}^{\beta + 1}}} \right] + \frac{{{J_3}}}{a}{\left( {\frac{a}{r}} \right)^{\beta + 1}}{\left( {\frac{R}{a}} \right)^\beta } 。 \end{array}$

(19)

式中

$\begin{aligned} J_1= & \frac{1}{1+A+\beta} \frac{1+v}{E}[(\beta+B)-v(1+\beta)(1+B)]\left(p_{\mathrm{i}}+c \cot \varphi\right), \\ J_2= & \frac{1+v}{E}(2 v-1) c \cot \varphi, \\ J_3= & \frac{\left(1-v^2\right) P R}{E}[1+\lambda-2(1-\lambda) \cos 2 \theta]- \\ & \frac{(1+v) P R}{E} \times \frac{[2(1-\lambda) \cos 2 \theta+1+\lambda](2+b)(1-\sin \varphi)}{2(2+b+b \sin \varphi)}+ \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{(1+v) R}{E} \times \frac{2(1+b) c \cos \varphi}{2+b+b \sin \varphi} 。 \end{aligned}$

需说明的是，绕轴对称问题塑性区围岩的切向位移u_θ恒为零。将r=a代入式（19），得隧道的洞壁位移u_o为

$\frac{{{u_{\text{o}}}}}{a} = {J_1}\left[ {1 - {{\left( {\frac{R}{a}} \right)}^{A + \beta + 1}}} \right] + {J_2}\left[ {1 - {{\left( {\frac{R}{a}} \right)}^{\beta + 1}}} \right] + \frac{{{J_3}}}{a}{\left( {\frac{R}{a}} \right)^\beta } 。$

(20)

式（20）代表了隧道洞壁位移u_o与虚拟支护力p_i之间的关系，可用于构建收敛约束法中围岩特征曲线的塑性段，结合支护特征曲线可确定围岩稳定变形和支护压力。

2.5 解答讨论

结合实用分析理念所建立的两向不等压下隧道塑性统一解，包括：式（12）——塑性区应力、式（13）——塑性区半径、式（19）——塑性区位移和式（20）——洞壁位移，合理考虑了地应力分布（即侧压力系数 $\lambda$ ）、围岩强度的中间主应力效应（即统一强度理论参数b）和围岩变形的剪胀特性（即剪胀系数β），可更充分发挥围岩的强度潜能且很好表现了围岩的变形特征，具有一定理论意义，更为重要的是解答简洁而便于工程实际应用。

当侧压力系数 $\lambda$ 、统一强度理论参数b和剪胀系数β取不同值时，所得两向不等压下隧道塑性统一解可退化为文献的多种已有解答： $\lambda$ =1时为两向等压经典解答；当b=0，1时，分别退化为Mohr-Coulomb准则解答和双剪应力准则解答，0 < b < 1时为系列化的新解答；β=β_max时为关联流动法则解答，1≤β < β_max时为非关联流动法则解答。例如：Xu等^[19]的两向等压塑性统一解为本文解答当 $\lambda$ =1且忽略塑性区弹性应变时的特例，曾开华等^[20]的两向等压塑性统一解是本文解答当 $\lambda$ =1时的特例。

3. 解答应用

所得两向不等压下隧道塑性统一解可通过塑性区范围和围岩特征曲线进行工程应用，对应的隧道设计指标为：塑性区半径、洞壁位移、围岩稳定变形和支护压力。取文献[21]中的隧道算例：隧道半径a=3 m，黏聚力c=6 MPa，内摩擦角φ=30°，弹性模量E=2 GPa，泊松比 $\nu$ =0.3和竖向地应力P=30 MPa。另外，塑性区范围分析针对距离开挖面无穷远处无支护隧道断面即虚拟支护力p_i=0，而由围岩特征曲线和支护特征曲线（有支护隧道）的交点确定围岩稳定变形和支护压力。

3.1 塑性区范围

围岩塑性区范围对隧道的支护设计具有重要指导作用，由式（13）可获得塑性区的形状和大小，但剪胀系数β对塑性区范围无影响。要求图 2不同方位角θ下塑性区半径的最小值R_min≥隧道半径a，代表围岩塑性区包围了隧道整个洞周，才能满足基本假定（3）即本文塑性统一解的适用条件。当侧压力系数 $\lambda$ =0.7~1.3时，节3算例的围岩塑性区包围了隧道整个洞周，如图 4所示。

图 4 塑性区形状

Figure 4. Shapes of plastic zone

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由可以看出，围岩塑性区形状与侧压力系数 $\lambda$ 密切相关： $\lambda$ =0.7时为横椭圆、R_min在竖直方向上对应θ=90°和270°， $\lambda$ =1时为经典的圆形， $\lambda$ =1.3时为竖椭圆、R_min在水平方向上对应θ=0°和180°。另外，随着统一强度理论参数b的增加，围岩的塑性区范围在不断减小，特别地当b=1， $\lambda$ =0.7时R_min/a接近于1，这表明考虑中间主应力使得围岩强度有所提高，隧道支护因围岩塑性区范围的减小可以减弱，进而降低工程成本。

不管是圆形还是椭圆形，围岩塑性区的形状都具有双轴对称性，图 5为第I象限内方位角θ=0°，45°和90°时围岩塑性区半径R随侧压力系数 $\lambda$ 的变化关系。可以看出，不同θ下R的大小明显不同且随 $\lambda$ 的变化也不同，有升有降且在 $\lambda$ =1前后相对大小发生调换，但b越大不同θ下R的差异及变化越小。

图 5 侧压力系数对塑性区半径的影响

Figure 5. Influences of lateral pressure coefficient on radius of plastic zone

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图 6为第I象限内方位角θ=0°，45°和90°时围岩塑性区半径R随统一强度理论参数b的变化关系。可以看出，不同 $\lambda$ 下R均随b的增加而减小且减小的幅度基本相同，同一 $\lambda$ 、不同θ下R随b的变化曲线之间接近平行（ $\lambda$ =1时集中为一条而呈圆形塑性区）。

图 6 中间主应力对塑性区半径的影响

Figure 6. Influences of intermediate principal stress on radius of plastic zone

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3.2 围岩特征曲线

围岩特征曲线（GRC）描述洞壁位移随虚拟支护力的变化过程，与支护特征曲线（SRC）的交点横坐标对应围岩稳定变形、纵坐标对应支护压力，可指导隧道支护的选型和截面设计。~为侧压力系数 $\lambda$ =1.3和1时由式（20）构建的围岩特征曲线塑性段，其中剪胀系数β=1和3（ $\lambda$ =1时增加β=2）。另外，假定隧道支护为均质等厚理想弹塑性材料制作的常刚度圆环结构，在洞壁相对变形u_o/a=2.5%处施作且可立即发挥支撑作用。

图 7 围岩特征曲线(λ=1.3，β=1)

Figure 7. Ground response curves (λ=1.3, β=1)

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图 8 围岩特征曲线(λ=1.3，β=3)

Figure 8. Ground response curves (λ=1.3, β=3)

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图 9 围岩特征曲线(λ=1)

Figure 9. Ground response curves (λ=1)

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由可以看出，侧压力系数 $\lambda$ =1.3时不同方位角θ处围岩特征曲线塑性段对应不同的起点即进入塑性时的临界支护力和不同的终点即洞壁位移的最大值；统一强度理论参数b显著影响围岩特征曲线的塑性段，b=0时围岩特征曲线塑性段最靠右、起点最高、终点最大，b=1时最靠左、起点最低、终点最小。图 8相比而言，不同b时围岩特征曲线塑性段之间的差异更为明显。当 $\lambda$ =1时，图 9中围岩特征曲线塑性段的终点随剪胀系数β的增加而不断增大，但起点与b有关而与β无关。

对于隧道的收敛约束分析，以 $\lambda$ =1.3，β=1的图 7为例，存在支护特征曲线与围岩特征曲线不相交的情况：如图 7（a）中θ=0°处支护因承载能力低或构筑早而与围岩特征曲线无交点，无法实现限制围岩变形的目的；图 7（c）中θ=90°处支护因构筑太晚也与围岩特征曲线无交点，同样达不到支护效果。不同的是，图 7（b）中θ=45°处支护特征曲线均相交于围岩特征曲线，但不同b对应交点的纵坐标即支护压力不同。这些均表明两向不等压下隧道横断面不同方位角处应构筑不同承载性能的支护或施作支护的时机应有所不同。

图 8中的隧道收敛约束规律与图 7相同，但图 7（b）中θ=45°处不同b时交点横坐标即围岩稳定变形之间的差异更大些。侧压力系数 $\lambda$ =1的图 9相比图 7，8存在明显不同，支护特征曲线与围岩特征曲线均相交，看似实现了限制围岩变形的支护目的，实则不同θ处的收敛约束差异显著。这是经典收敛约束法两向等压解答的共同不足，无法充分反映地应力分布对围岩特征曲线的重要影响，常使隧道支护设计和效果不佳。应综合考虑地应力分布、围岩剪胀特性和中间主应力效应对隧道弹塑性分析的影响及机理，才能优化隧道设计并达到支护目的。

4. 结论

（1）基于统一强度理论和非关联流动法则所建立的两向不等压圆形隧道塑性统一解，能合理反映地应力分布、中间主应力效应和围岩剪胀特性的综合影响且表达简洁实用，可退化为文献已有解答和系列化未见发表的新解答，具有一定理论意义和广泛工程应用潜力。

（2）隧道侧压力系数对围岩的塑性区形状与大小、洞壁位移和特征曲线均有显著影响，两向等压的隧道收敛约束法常使支护效果不佳，侧压力系数不等于1时不同方位角处应构筑不同承载性能的支护或选择不同的施作支护时机。

（3）中间主应力对围岩强度的提高作用通过变化统一强度理论参数对应的真三轴强度准则来实现，进而明显影响围岩的塑性区范围、洞壁位移和特征曲线；围岩稳定变形取决于中间主应力效应和剪胀特性的共同作用。

图 1 统一强度理论

Figure 1. Unified strength theory

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图 2 隧道力学模型

Figure 2. Mechanical model for a tunnel

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图 3 非关联流动法则

Figure 3. Non-associated flow rule

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图 4 塑性区形状

Figure 4. Shapes of plastic zone

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图 5 侧压力系数对塑性区半径的影响

Figure 5. Influences of lateral pressure coefficient on radius of plastic zone

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图 6 中间主应力对塑性区半径的影响

Figure 6. Influences of intermediate principal stress on radius of plastic zone

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图 7 围岩特征曲线(λ=1.3，β=1)

Figure 7. Ground response curves (λ=1.3, β=1)

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图 8 围岩特征曲线(λ=1.3，β=3)

Figure 8. Ground response curves (λ=1.3, β=3)

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图 9 围岩特征曲线(λ=1)

Figure 9. Ground response curves (λ=1)

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