基于齐次化构建原理的非饱和土瞬态渗流问题解析解

陈佩佩; 张兴博; 金铭; 齐吉琳

doi:10.11779/CJGE20220903

基于齐次化构建原理的非饱和土瞬态渗流问题解析解 English Version

陈佩佩^{1, 3,},
张兴博²,
金铭²,
齐吉琳^2, ,

1.
北京建筑大学理学院, 北京 100044
2.
北京建筑大学土木与交通工程学院, 北京 100044
3.
北京工业大学建筑工程学院, 北京 100124

基金项目:

国家自然科学基金项目 51808026

金字塔人才培养工程“建大英才”支持计划 JDYC20200325

北京市教委科技计划一般项目 KM201910016003

北京建筑大学研究生创新项目 PG2021045

详细信息

作者简介:
陈佩佩(1987—)，男，博士，副教授，主要从事无网格数算法及环境岩土力学等方面的教学和科研。E-mail: chenpeipei@bucea.edu.cn

通讯作者:
齐吉琳, E-mail: jilinqi@bucea.edu.cn

中图分类号: TU43
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出版历程
- 收稿日期: 2022-07-20
- 网络出版日期: 2023-12-11
- 刊出日期: 2023-11-30

Analytical solution of transient seepage problem in unsaturated soil based on principle of homogeneous construction

CHEN Peipei^{1, 3,},
ZHANG Xingbo²,
JIN Ming²,
QI Jilin^2, ,

1.
School of Science, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 100044, China
2.
School of Civil and Transportation Engineering, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 100044, China
3.
College of Architecture and Civil Engineering, Beijing University of Technology, Beijing, 100124, China

摘要

摘要: 非饱和渗流现象在地表广泛存在，其在诸多岩土工程实践方面具有重要价值。通过使用Gardner指数型土水特征曲线及渗透系数函数，对描述非饱和渗流的Richards方程和相应定解条件进行线性化及无量纲化。而后，基于齐次化构造原理对线性无量纲化的入渗控制方程等价分解，并采用分离变量技术进行解析计算，得到了无量纲渗透系数、渗流速率、体积含水量和基质吸力水头的解析表达式。选取典型土层作为研究对象，分析土层稳定渗流时地表入渗速率突增情形下的渗流演变规律。结果表明：湿润峰向土层深处的移动速度随时间逐渐减慢。粗粒土的饱和渗透系数对非饱和渗流由稳态发展到再次稳态有显著的影响。距离地表越近，渗流速度增大到稳态需要的时间越短；距离地表越远，其受地表边界作用发生响应的时间越晚。基质吸力水头和体积含水量的垂直方向上的分布仅取决于边界条件。
- 非饱和渗流 /
- Richards方程 /
- 解析解 /
- 齐次化数学构造 /
- 分离变量法
Abstract: Unsaturated seepage phenomenon exists widely on the earth's surface, which has important value in many geotechnical engineering practices. The Richards equation describing unsaturated seepage and the corresponding definite conditions are linearized and dimensionless by using the Gardner exponential soil-water characteristic curve and the permeability function. Then, based on the principle of homogeneous construction, the linear dimensionless seepage governing equation is equivalently decomposed, and the separation variable technique is used for analytical calculation. The analytical expressions for the dimensionless permeability coefficient, seepage rate, volumetric water content and matric suction head are obtained. Two typical soil layers are selected as the research objects to analyze the seepage evolution laws under the sudden increase of surface infiltration rate. The results show that the movement speed of wetting front to the depth of soil layer decreases gradually with time. The saturated permeability coefficient of coarse-grained soil has a significant effect on the development of unsaturated seepage from steady state to re-steady one. The closer to the surface, the shorter the time required for the seepage velocity to increase to the steady state; the farther away from the surface, the later the response time of infiltration rate to the surface boundary. The vertical distribution of matric suction head and volumetric water content depends only on the boundary conditions.
- unsaturated seepage /
- Richards equation /
- analytical solution /
- homogenized mathematical construction /
- method of separating variables

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0. 引言

非饱和渗流是土力学方面的基础科学问题之一，同时也是环境岩土工程领域的研究热点^[1-3]。近些年来，气候变化引起的各类极端气象诱发大量工程灾害，比如突发性强降雨会对边坡稳定及水位暴涨下的土质堤坝防渗带来巨大挑战，而诸如此类问题均涉及到了岩土体非饱和渗流。因此，研究非饱和土体在瞬态渗流下的水分迁移具有重要的理论意义和实践价值。

Richards^[4]首先基于试验提出描述非饱和渗流现象著名的Richards方程。而后Childs等^[5]引入扩散率的概念，变换Richards方程使其具有扩散形式。目前，Richards方程已广泛应用于各类非饱和渗流问题分析，然而方程的高度非线性为数值求解和解析计算带来诸多困难。为求解Richards方程衍生出许多数值方法。Phoon等^[6]认为在求解过程中应用欠松弛技术可以显著提升收敛速度，并通过数值试验得以验证。陈曦等^[7]的研究表明现有欠松弛方法的局限性，同时提出了短项混合欠松弛技术数值求解Richards方程。另外，预处理技术的应用也可以显著加快迭代收敛速率。罗晓辉等^[8]则采用了改进的预处理超松弛迭代法和红黑排序超松弛迭代法，结果表明可有效提升收敛速率。Zhu等^[9]提出了预处理的共轭梯度法，并将结果与解析解进行对比。Zhu等^[10]使用多步预处理的非精确Hermitian和斜Hermitian分裂迭代法数值求解Richards方程，计算表明具有较好的效果。Wang等^[11]提出预处理改进的Hermitian和斜Hermitian分裂迭代法，并通过数值实验证明该方法的有效性。

使用有限体积法、有限差分法以及有限元法的数值方法求解非饱和渗流Richards方程时，由于湿润锋的动态演变及方程本身的高度非线性，往往会产生网格畸变，计算工作量急剧增加，数值解经常难以收敛且质量守恒也难以保证。使用解析计算则可以有效避免上述弊端，同时可以直观的体现出初始条件与边界条件作用下的动态响应，根据所求解析解亦可便利的对各影响因素进行参数敏感性分析。

非饱和土渗流问题的解析计算已存在诸多报道。Srivastava等^[12]采用Laplace变换技术得到了一维入渗条件下均质土层及成层土的解析解。Wu等^[13]则考虑非饱和土体存在裂隙的情形基于Laplace变换得到了一维垂直入渗的非饱和土渗流解析解。针对高维问题解析计算的复杂性，Tracy^[14]则应用Fourier变换得到了二维及三维情形下非饱和渗流的解析表达式。Basha^[15]使用格林函数法对二维和三维情形下的解析计算开展探讨。Chen等^[16]利用汉克尔积分变换技术得到了点源作用下半无限空间的非饱和稳态渗流的解析解。白冰等^[17]使用Laplace变换得到体积含水量分布场在变换域上的解答。然而，在以上多个研究中的解析求解过程存在的积分变换项十分复杂，解析解的普遍应用具有局限性。为此，一些学者通过引入其它方法试图降低控制方程的求解难度。比如，Hayek^[18]通过特征变换将偏微分方程转换为常微分问题进行解析求解。Ma等^[19]则通过引入Bolzmann变换以便达到同样的目的。以上两种变换缺乏明确的物理含义，且转换后的常微分方程求解仍然复杂。

本文使用Gardner指数型土水特征曲线及渗透系数函数，数学变换对Richards方程及相应定解条件进行线性化及无量纲化。基于齐次化构造原理对线性无量纲化的入渗问题等价分解，并采用分离变量技术进行解析计算，得到了无穷级数形式的无量纲渗透系数、渗流速率、体积含水量和基质吸力水头的解析解。本文为解析计算非饱和渗流问题提供一种新求解的思路，具有一定的理论意义和应用价值。

1. 非饱和渗流控制方程的线性化

一维情形下的Richards方程可以表示为^{[6, 20]}

$\frac{\partial }{{\partial z}}\left[ {k({h_{{\text{m}}}})\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right)} \right] = C({h_{{\text{m}}}})\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial t}} 。$

(1)

式中：k( ${h_{{\text{m}}}}$ )为渗透系数函数，在土体干湿界面附近呈现高度非线性特征； ${h_{{\text{m}}}}$ 为基质吸力水头；C( ${h_{{\text{m}}}}$ )为比水容量；t为时间；z为坐标。

使用非线性的土水特征曲线，比水容量可以表示为^{[12, 21]}

$C({h_{{\text{m}}}}) = \frac{{\partial \theta }}{{\partial {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(2)

式中：θ为体积含水量。

将式（2）代入式（1）中，可以将均质各向同性土层中，地表与地下水位之间的一维瞬态非饱和渗流控制方程，可变换为如下非线性偏微分方程^[7]：

$\frac{\partial }{{\partial z}}\left[ {k({h_{{\text{m}}}})\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right)} \right] = \frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} 。$

(3)

因单参数指数型的Gardner水力参数模型可便于将非饱和渗流Richards方程线性化^[22]。本文将使用Gardner模型开展对于渗流方程的解析求解工作，其具体数学表达式表示为^[23]

$k({h_{{\text{m}}}}) = {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(4)

式中： ${k_{{\text{s}}}}$ 为饱和渗透系数；β为土的孔隙分布参数，该参数表示吸力水头增长时相应的渗透系数下降速率，可根据土水特征曲线对应的进气值水头确定（通常而言，β为进气值水头的倒数）。研究表明^[24]，β的取值范围大致由粗颗粒土的1.0 cm^-1到细颗粒土的0.001 cm^-1。对式（4）求导可得

$\frac{{\partial k}}{{\partial {h_{{\text{m}}}}}} = \beta {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(5)

文献中普遍使用的Gardner土水特征曲线，其数学表达式为^[25]

$\theta ({h_{{\text{m}}}}) = {\theta _{{\text{r}}}} + ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}}){{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(6)

式中： ${\theta _{{\text{s}}}}$ 为饱和含水率； ${\theta _{{\text{r}}}}$ 为残余含水率。

对式（6）求导可得

$\beta \frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} = \frac{{\beta ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}})}}{{{k_{{\text{s}}}}}}\frac{{\partial k}}{{\partial t}} 。$

(7)

根据链式求导法则可得

$\frac{{\partial k}}{{\partial z}} = \frac{{\partial k}}{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} = \beta {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}}\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} 。$

(8)

依据式（8）计算二阶导数可得

$\frac{{{\partial ^2}k}}{{\partial {z^2}}} = \beta \frac{{\partial k}}{{\partial z}}\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + \beta k\frac{{{\partial ^2}{h_{{\text{m}}}}}}{{\partial {z^2}}} 。$

(9)

对式（3）左侧展开，可得

$\frac{{\partial k}}{{\partial z}} + \frac{{\partial k}}{{\partial z}}\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + k\frac{{{\partial ^2}{h_{{\text{m}}}}}}{{\partial {z^2}}} = \frac{\partial }{{\partial z}}\left[ {k({h_{{\text{m}}}})\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right)} \right] 。$

(10)

由式（8）~（10）计算可得

$\beta \frac{\partial }{{\partial z}}\left[ {k({h_{{\text{m}}}})\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right)} \right] = \beta \frac{{\partial k}}{{\partial z}} + \frac{{{\partial ^2}k}}{{\partial {z^2}}} 。$

(11)

由式（3），（7），（11），便可以得到线性化的非饱和一维渗流问题理论方程：

$\frac{{{\partial ^2}k}}{{\partial {z^2}}} + \beta \frac{{\partial k}}{{\partial z}} = \frac{{\beta ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}})}}{{{k_{{\text{s}}}}}}\frac{{\partial k}}{{\partial t}} 。$

(12)

从数学视角分析，线性化后的Richards方程具有对流-扩散特征。其中，空间变量的二阶导数是扩散项，空间变量的一阶导数为对流项。

对于复杂入渗条件的非饱和渗流分析，为了便于解析计算，一个可行的做法是对控制方程、初始条件和边界条件进行无量纲化。事实上，本文的解析计算便是在无量纲化的Richards方程基础上展开，而后进行数学变换即可得到具有物理单位的各场量解析解。下面部分给出无量纲化过程及入渗过程的物理模型示意图。

2. 算例模型及方程的无量纲化

2.1 算例模型

设定地下水位距离地表为l，且地下水位处的基质吸力水头h_m=h₀恒定保持不变（一般情况下，地下水位处的基质吸力水头等于0）。t≤0时土层从上至下为稳定入渗状态，其中地表处的入渗率为q_A，当t > 0时地表入渗率由q_A变为q_B后保持不变。对于半无限大空间下的水分垂直方向运动，通常以一维的Richards方程描述其过程，物理模型示意图可见图 1。

图 1 入渗过程的物理模型示意图

Figure 1. Schematic diagram of physical model of infiltration process

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2.2 Richards方程的无量纲化

引入无量纲参数对方程进行变换：Z=βz，L=βl，K=k/k_s，Q_A=q_A/ ${k_{{\text{s}}}}$ ，Q_B=q_B/k_s，T=βk_st/(θ_s-θ_r)。根据以上无量纲参数对式（12）的各导数项进行变换可得

$\frac{{\partial k}}{{\partial z}} = {k_{{\text{s}}}}\frac{{\partial K}}{{\partial z}} = {k_{{\text{s}}}}\frac{{\partial K}}{{\partial Z}}\frac{{\partial Z}}{{\partial z}} = \beta {k_{{\text{s}}}}\frac{{\partial K}}{{\partial Z}} ，$

(13)

$\frac{{{\partial ^2}k}}{{\partial {z^2}}} = \beta {k_{{\text{s}}}}\frac{{{\partial ^2}K}}{{\partial {Z^2}}}\frac{{\partial Z}}{{\partial z}} = {\beta ^2}{k_{{\text{s}}}}\frac{{{\partial ^2}K}}{{\partial {Z^2}}} ，$

(14)

$\frac{{\partial k}}{{\partial t}} = \frac{{\partial k}}{{\partial T}}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \frac{{\partial k}}{{\partial K}}\frac{{\partial K}}{{\partial T}}\frac{{\beta {k_{{\text{s}}}}}}{{{\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _r}}} = \frac{{\beta {k_{{\text{s}}}}^{{\text{2}}}}}{{{\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _r}}}\frac{{\partial K}}{{\partial T}} 。$

(15)

把式（13）~（15）代入式（12），得到如下线性化无量纲方程：

$\frac{\partial^{2} K}{\partial Z^{2}}+\frac{\partial K}{\partial Z}=\frac{\partial K}{\partial T} 。$

(16)

2.3 初始条件和边界条件的无量纲化

基于式（4），给出如下形式的达西渗流定律表达式：

$q = - {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}}\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right) 。$

(17)

依据非饱和稳定入渗状态下z=0处的边界条件 ${h_{{\text{m}}}}$ = ${h_{{\text{0}}}}$ ，积分计算可得土层基质吸力水头：

${h_{{\text{m}}}} = \frac{1}{\beta }\ln \left[ {{{{\text{e}}}^{ - \beta (z - {h_0})}} + \frac{q}{{{k_{{\text{s}}}}}}({{{\text{e}}}^{ - \beta z}} - 1)} \right] 。$

(18)

依据式（4）及无量纲参数，可得无量纲化的初始条件为

$K(Z, 0) = ({{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}} + {Q_A}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - {Q_A} = {K_0}(Z) 。$

(19)

对于地下水位处基质吸力水头恒保持不变的情况，无量纲化的下边界条件为

$K(0, T) = {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}} 。$

(20)

t > 0地表处的稳定入渗速率由 ${q_A}$ 变为 ${q_B}$ ，依据达西定律可知：

${q_B} = - k\left( {\frac{{\partial {h_{{\text{m}}}}}}{{\partial z}} + 1} \right) 。$

(21)

于是可得无量纲化的上边界条件为

${\left. {\left( {\frac{{\partial K}}{{\partial Z}} + K} \right)} \right|_{Z = L}} = - {Q_B} 。$

(22)

综上，式（16），（19），（20），（22）组成完整的地表入渗速度突增情形下非饱和渗流问题的控制方程，其具体的线性化无量纲微分表达式：

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}} \frac{{\partial }^{2}K}{\partial {Z}^{2}}+\frac{\partial K}{\partial Z}=\frac{\partial K}{\partial T}，\\ {K|}_{T=0}=({{\text{e}}}^{\beta {h}_{0}}+{Q}_{A}){{\text{e}}}^{-Z}-{Q}_{A}，\\ {K|}_{Z=0}={{\text{e}}}^{\beta {h}_{0}}，\\ {\left(\frac{\partial K}{\partial Z}+K\right)|}_{Z=L}=-{Q}_{B}。 \end{array}} \right\}$

(23)

3. 解析计算

线性化无量纲非饱和渗流问题的解析计算需要针对K开展，因原问题的边界条件是非齐次的（式（20），（22）），尝试构造形如K=K₁+K₂形式的解析解，其中K₁是与时间无关问题的解析解（边界非齐次），K₂是齐次边界下的含时问题的解析解，故方程（23）可以等价变换为如下两个两部分的解析计算。

于是，问题一的数学表达式如下：

$\frac{\partial^{2} K_{1}}{\partial Z^{2}}+\frac{\partial K_{1}}{\partial Z}=0 ，$

(24)

${\left[ {{K_1}} \right]_{Z = 0}} = {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}} ，$

(25)

$\left[\frac{\partial K_{1}}{\partial Z}+K_{1}\right]_{Z=L}=-Q_{B} 。$

(26)

问题二的数学表达式如下：

$\frac{\partial^{2} K_{2}}{\partial Z^{2}}+\frac{\partial K_{2}}{\partial Z}=\frac{\partial K_{2}}{\partial T} ，$

(27)

$\left[K_{2}\right]_{Z=0}=0 ，$

(28)

$\left[\frac{\partial K_{2}}{\partial Z}+K_{2}\right]_{Z=L}=0 ，$

(29)

${K_2}(Z, 0) = ({{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}} + {Q_A}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - {Q_A} - {K_1} 。$

(30)

得到问题一与问题二的解析解叠加组合，便可得到方程（23）相对应的非饱和渗流问题的解析解。首先，对问题一相应的常系数线性微分方程进行解析求解，可得

${K_1} = {C_1} - {C_0}{{{\text{e}}}^{ - Z}} 。$

(31)

式中：C₁，C₀为待定常数项。需要指出，随后的解析过程中出现的C亦表示待定常数项。

把式（31）分别代入式（25），（26）可得

$\frac{\partial K_{1}}{\partial Z}+K_{1}=C_{1}=-Q_{B} ，$

(32)

${K_1} = - {Q_B} - {C_0} = {{{\text{e}}}^{ - \beta {h_0}}} 。$

(33)

由此可得到常数项的值，便得到如下K₁表达式：

${K_1} = - {Q_B} + ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} 。$

(34)

对于问题二的解析计算是采用分离变量法，将K₂表示为关于Z和T函数的乘积：

$K_{2}(Z, T)=M(Z) N(T) 。$

(35)

将式（35）代入式（27）可得

$M^{\prime \prime} N+M^{\prime}N=M N^{\prime} 。$

(36)

对式（36）变换后可得

$\frac{M^{\prime \prime}+M^{\prime}}{M}=\frac{N^{\prime}}{N}=-\lambda 。$

(37)

式中：λ为待定常数。

由式（37）可以得出如下的方程：

$M^{\prime \prime}+M^{\prime}+\lambda M=0 ，$

(38)

$N^{\prime}+\lambda N=0 。$

(39)

对于式（38），（39）进行求解，可得非平凡解如下：

$M = {{{\text{e}}}^{ - \frac{1}{2}Z}}\left( {{C_1}\cos \frac{{\sqrt {4\lambda - 1} }}{2}Z + {C_2}\sin \frac{{\sqrt {4\lambda - 1} }}{2}Z} \right) ，$

(40)

$N = {C_0}{{{\text{e}}}^{ - \lambda T}} 。$

(41)

将式（40），（41）代入初始条件与边界条件即式（28）~（30）中可得

${K_2}(0, T) = {C_0}{{{\text{e}}}^{ - \lambda T}}{C_1} = 0 。$

(42)

则有C₁=0，将其代入式（29）可得

$\tan \varphi L+2 \varphi=0 。$

(43)

式中： $\varphi=\sqrt{4 \lambda-1}$ ，据此便可得

${K_2}(Z, T) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}{{{\text{e}}}^{ - {\varphi _n}^2T}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{1}{2}Z}}\sin {\varphi _n}Z} 。$

(44)

把K₁的函数表达式(34)代入式(30)中得

${K_2}(Z, 0) = ({Q_A} - {Q_B}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - ({Q_A} - {Q_B}) 。$

(45)

对于式（44）中的常数项C_n的确定，可基于式（45）所提供的初始条件得到，代入式（44）可得

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} C_{n} f_{n}(Z)=g(Z) 。$

(46)

式中：f_n(Z)= ${{{\text{e}}}^{ - 0.5Z}}$ sinφ_nZ；g(Z)=(Q_A-Q_B)e^-Z-(Q_A-Q_B)。

于是，可得到K的解析解表达式为

$K = - {Q_B} + ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} +$

${{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right) 。$

(47)

式中：φ_n由式（43）给出，C_n由式（46）给出。

依据式（17）所述Dracy定律，可以得到任意深度处的渗流速度随时间变化的解析表达式：

$q = - {k_{{\text{s}}}}\frac{{\partial K}}{{\partial Z}} - {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} 。$

(48)

根据式（47）可得

$\begin{gathered} \frac{{\partial K}}{{\partial Z}} = - ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - \hfill \\ \frac{1}{2}{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right) + \hfill \\ \end{gathered}$

${{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}{{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}\cos ({\varphi _n}Z){\varphi _n}} } \right) 。$

(49)

将式（49）代入式（48）中，得到如下的渗流速度q的解析表达式：

$q = - {k_{{\text{s}}}}\left[ { - ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} - \frac{1}{2}{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right) + } \right. \\\left. {{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}{{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}\cos ({\varphi _n}Z){\varphi _n}} } \right)} \right] - {k_{{\text{s}}}}{{{\text{e}}}^{\beta {h_{{\text{m}}}}}} ，$

(50)

结合式（4），（6）可得

$\theta = {\theta _{{\text{r}}}} + ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}})\frac{k}{{{k_{{\text{s}}}}}} 。$

(51)

将式（51）代入式（47），得到如下的θ解析表达式：

$\theta = {\theta _{{\text{r}}}} + ({\theta _{{\text{s}}}} - {\theta _{{\text{r}}}})\left[ { - {Q_B} + ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} + \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}} \right.$

$\left. {{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right)} \right] 。$

(52)

根据式（4）可得基质吸力水头 ${h_{{\text{m}}}}$ 与k的函数关系：

${h_{{\text{m}}}} = \frac{1}{\beta }\ln \frac{k}{{{k_{{\text{s}}}}}} 。$

(53)

结合式（47）得到 ${h_{{\text{m}}}}$ 的解析解表达式：

${h_{{\text{m}}}} = \frac{1}{\beta }\ln \left[ { - {Q_B} + ({Q_B} + {{{\text{e}}}^{\beta {h_0}}}){{{\text{e}}}^{ - Z}} + \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}} \right.$

$\left. {{{{\text{e}}}^{ - \frac{T}{4}}}{{{\text{e}}}^{ - \frac{Z}{2}}}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{C_n}\sin ({\varphi _n}Z){{{\text{e}}}^{ - \varphi _n^2T}}} } \right)} \right] 。$

(54)

可见，C_n值便成为确定基质吸力水头、体积含水量及渗流速率解析表达式的重要内容。试算表明，C_n值的合理确定依赖于β（β的值越大，确定C_n所需要的级数项越多），满足求解精度需要且确保计算效率的前提下，对式（46）进行如下处理：

$\sum\limits_{n=1}^{10} C_{n} f_{n}(Z) \approx g(Z) 。$

(55)

这样便可以求得常数项值，据此进行一下计算：

$H({C_1}, {C_2}, {C_3}, {C_4}, {C_5}, {C_6}, {C_7}, {C_8}, {C_9}, {C_{10}})$

$= \int\limits_0^L {{{\left[ {g(Z) - \sum\limits_{n = 1}^{10} {{C_n}{f_n}(Z)} } \right]}^2}} {{\text{d}}}Z。$

(56)

其中H为关于C₁，C₂，C₃，C₄，C₅，C₆，C₇，C₈，C₉，C₁₀的函数，对其分别求导则有

$\frac{\partial H}{\partial {C}_{m}}=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}2\left[g(Z)-{\displaystyle \sum _{n=1}^{{\text{10}}}{C}_{n}{f}_{n}}\right]{f}_{m}(Z)}{\text{d}}Z=0{\text{ (}}m\subseteq \left[1, {\text{10}}\right])。$

(57)

由式（57）可得

$(g, {f_m}) = \sum\limits_{n = 1}^{{{\text{10}}}} {{C_n}({f_m}, {f_n})} {{\text{ (}}}m \subseteq \left[ {1, {{\text{10}}}} \right]) 。$

(58)

由此，便可得到常数项C_n的值。

4. 讨论与分析

为便于计算获取非饱和渗流过程中重要物理量的演变特征，算例中的均质土层厚度为地下水位与地表的垂直距离，均取为100 cm。其中，土样1是典型粗粒土，其对应的土层初始稳定状态下的入渗速率q_A=-0.1 cm/h（负号表示渗流方向与坐标轴相反），突增后的入渗速率q_B=-0.9 cm/h，有关参数依据文献[24]可知，β=0.1 cm^-1， ${\theta _{{\text{s}}}}$ =0.4，θ_r =0.06， ${k_{{\text{s}}}}$ =1 cm/h。土样2是一类典型的细粒土，其对应的土层初始稳定状态下的入渗速率q_A=-0.001 cm/h，突增后的入渗速率q_B=-0.009 cm/h。土体参数^[24]为β=0.01 cm^-1，θ_s =0.45，θ_r =0.2，k_s =0.01 cm/h。

对于土样1和土样2的孔隙分布参数分别为β=0.1 cm^-1和β=0.01 cm^-1，l=100 cm，有L=10，根据式（43），（58）可分别得两土样待定参数φ，C值如表 1所列。

表 1 土样1和土样2的φ和C值

Table 1. Values of φ and C of soil samples 1 and 2

参数	土样1	土样2	参数	土样1	土样2
φ₁	0.265	1.837	C₁	37.3700Q	0.7715Q
φ₂	0.545	4.816	C₂	-36.1751Q	-0.1370Q
φ₃	0.839	7.917	C₃	24.7864Q	0.0519Q
φ₄	1.141	11.041	C₄	-16.2770Q	-0.0268Q
φ₅	1.447	14.172	C₅	10.8925Q	0.0163Q
φ₆	1.756	17.308	C₆	-7.4148Q	-0.0109Q
φ₇	2.006	20.445	C₇	5.0050Q	0.00782Q
φ₈	2.377	23.583	C₈	-3.1498Q	-0.00582Q
φ₉	2.689	26.722	C₉	1.6282Q	0.00447Q
φ₁₀	3.001	29.862	C₁₀	-0.4891Q	-0.00307Q
注：Q=Q_B-Q_A。

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于是，依据式（47），（50），（52），（54）则分别可以得到土样1和土样2对应的无量纲渗透系数K的解析表达式，以及相应的渗流速率q、体积含水量θ和基质吸力水头 ${h_{{\text{m}}}}$ 的解析表达式。

图 2，3分别给出了均质粗粒土层和均质细粒土层在稳定入渗时，地表入渗速率突增情形下土层中体积含水量沿z方向的分布演变特征，本文验证解析计算的可靠性是基于COMSOL有限元数值平台，其中图 2给出了粗粒土体积含水量解析解和数值解的对比，可见解析解和数值计算结果具有较好的一致性。需要指出，两类土层的入渗计算均截止到再次稳定入渗状态，以初始体积含水量曲线为参照基准线，定义入渗过程中的体积含水量曲线和初始含水率曲线的交点为湿润锋的位置。可见，粗粒土层与细粒土层的入渗过程中均存在明显的湿润锋向下传播运动现象，其中湿润锋到达粗粒土的地下水位处的时间不到20 h，然而细粒土层中的湿润锋则需要近300 h。此外，可以看出不管哪种土层类型，湿润锋向下传播的移动速度随时间均不断减慢，在100 h时粗粒土中的水分入渗重新达到稳定状态，而细粒土需要的时间则近5000 h。两类土层中水分迁移运动达到稳定时体积含水量在z方向上的分布均近似为一斜线，这是由于在非饱和渗流Richards方程中考虑重力效应的缘故。

图 2 非饱和粗粒土层内体积含水量的演变特征

Figure 2. Evolution characteristics of volumetric water content in unsaturated coarse-grained soil layer

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图 3 非饱和细粒土层内体积含水量的演变特征

Figure 3. Evolution characteristics of volumetric water content in unsaturated fine-grained soil layer

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图 4，5分别给出了均质粗粒土层和均质细粒土层在地表入渗速率突增情形下基质吸力水头沿垂直方向的分布演变特征。粗粒土基质吸力水头曲线的解析解和数值解对比表明解析计算的正确性和可靠性较好。从中可见，在地表持续不断的水分补给下，土层中的含水率饱和度会逐渐增大，相应的基质吸力水头不断增大（即，基质吸力水头绝对值不断减小），再次稳定入渗时两类土的基质吸力水头均近乎为0，表明土层含水率接近饱和。此外，无论粗粒土还是细粒土，对比表明相同时点的基质吸力水头曲线与其相应的体积含水量曲线演变表现出高度的相似性。

图 4 非饱和粗粒土层内基质吸力水头的演变特征

Figure 4. Evolution characteristics of matric suction head in unsaturated coarse-grained soil layer

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图 5 非饱和细粒土层内基质吸力水头的演变特征

Figure 5. Evolution characteristics of matric suction head in unsaturated fine-grained soil layer

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图 6给出了粗粒土层饱和渗透系数取不同值情况下，非饱和渗流再次稳定入渗时所需要时间的拟合规律。可见，当土层厚度及其他参数一定的情况下，曲线拟合（拟合优度为0.99）表明随着土层饱和渗透逐渐减小，入渗再次稳定所需要的时间呈现指数型下降的趋势。

图 6 粗粒土饱和渗透速率不同条件下入渗再次稳定的时间

Figure 6. Time of infiltration stabilization of coarse-grained soil under different saturated hydraulic conductivities

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图 7，8分别描述了粗粒土和细粒土在以较大入渗速率稳定入渗时（粗粒土入渗速率为-0.9 cm/h，细粒土是-0.009 cm/h），地表处入渗速率骤降情况下基质吸力水头沿高程的分布演变特征。需要指出的是，粗粒土的入渗速率骤降至-0.1 cm/h，细粒土的入渗速率骤降至-0.001 cm/h（即图 4，7及图 5，8的非饱和入渗互为逆过程）。可见，地表处入渗速率的变化显著影响着地表附近的基质吸力水头的分布，而后随着时间增长基质吸力水头自上而下逐渐增大（即绝对值减小）。此外，对比发现图 7的始态（终态）和图 4的终态（始态）完全一致，并且图 8的始态（终态）和图 5的终态（始态）完全一致，表明非饱和渗流稳态下基质吸力水头沿高程分布仅取决于其边界条件；然而互逆过程下水分运动过程中相同时间点的土层内基质吸力水头的曲线差异极大。

图 7 粗粒土层入渗速率骤降条件下基质吸力水头演变特征

Figure 7. Evolution characteristics of matric suction head in coarse-grained soil under sudden drop of infiltration rate

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图 8 细粒土层入渗速率骤降条件下基质吸力水头演变特征

Figure 8. Evolution characteristics of matric suction head in fine- grained soil under sudden drop of infiltration rate

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图 9，10分别描述了粗粒土层和细粒土层中不同深度特征点的体积含水量随时间的演变特征。可见，随着时间增加，所有特征点的体积含水量逐渐增大并最终趋于稳定；受水分向下入渗的影响，特征点距离地表越远，其含水率演变曲线初始阶段的平缓段越长。相较于细粒土的体积含水量曲线而言，粗粒土的3条体积含水量曲线存在相交现象，即在约t=10 h时受地表入渗速率边界影响，近地下水位z=70 cm和近地表z=10 cm两特征点处的体积含水量近似相等，而后z=70 cm的体积含水量一直大于z=10 cm处的值。对于细粒土层靠近地下水位的z=10 cm特征点，其体积含水量一直高于z=40 cm和z=70 cm两处的值，且这种情况持续到稳定入渗，表明细粒土中z=10 cm特征点体积含水量由地下水位处的饱和边界主导，验证了细粒土具有更强的毛细上升作用。

图 9 粗粒土层不同深度特征点体积含水量随时间演变特征

Figure 9. Time-varying characteristics of volumetric water content at feature points at different depths in coarse-grained soil

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图 10 细粒土层不同深度特征点体积含水量随时间演变特征

Figure 10. Time-varying characteristics of volumetric water content at feature points at different depths of fine-grained soil

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图 11，12分别给出了粗粒土层和细粒土层不同深度处的基质吸力水头随时间的演化特征。对比表明，同样条件下相同特征点的体积含水量演变特征与其基质吸力水头演变表现出高度的相似性。

图 11 粗粒土层不同深度特征点基质吸力水头随时间演变特征

Figure 11. Time-varying characteristics of matric suction head at feature points at different depths in coarse-grained soil

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图 12 细粒土层不同深度特征点基质吸力水头随时间演变特征

Figure 12. Time-varying characteristics of matric suction head at feature points at different depths in fine-grained soil

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图 13，14分别描述了粗粒土层和细粒土层的入渗过程中不同深度特征点对应的渗流速率演变特征。可以看出，在地表持续水分补给下任意深度特征点的渗流速率均经历由小到大直至稳定的过程；特征点距离地表越近，其渗流速率增大到稳态需要的时间越短，比如粗粒土层z=90 cm处的特征点渗流速率约在t=10 h左右稳定，而z=0 cm（地表水位处）对应的渗流速率则在t=90 h时稳定；距离地表越远，其渗流速率发生变化的时间越晚（即渗流速度演变曲线的初始平缓段越长），比如粗粒土层z=90 cm的特征点渗流速率变化近乎发生在t=0 h，而z=0 cm（地表水位处）对应的渗流速率则在t=10 h才开始增大。此外，因粗粒土比细粒土具有更大的渗流速度，相同深度特征点的粗粒土渗流速率更早开始增大，更早的趋于稳定状态；同时计算表明在渗流速率增长阶段，粗粒土层的任意相同深度处的渗流速率均具有更大的增长速率。

图 13 入渗过程中粗粒土不同特征点渗流速率的演变特征

Figure 13. Evolution characteristics of seepage rate at different feature points during coarse-grained soil infiltration process

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图 14 入渗过程中细粒土不同特征点渗流速率的演变特征

Figure 14. Evolution characteristics of seepage rate at different feature points of fine-grained soil during infiltration process

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5. 结论

本文基于Gardner指数型的水力参量，对非饱和渗流Richards方程进行线性化并无量纲处理，而后通过数学齐次化构造得到等价的入渗问题微分方程，使用分离变量技术得到基质吸力水头，体积含水量及渗流速率的无穷级数形式解析解，从而为非饱和渗流解析计算提供一种新的求解思路。针对两类典型土层的非饱和渗流问题进行了分析，得到3点结论。

（1）在地表持续水分补给下湿润峰向土层深处的移动速度随时间逐渐减慢；随着粗粒土层的饱和渗透系数的逐渐减小，非饱和渗流由稳态发展到再次稳态所需要的时间呈现指数型下降趋势。

（2）土层中的基质吸力水头的演变特征与其相应的体积含水量演变规律呈现出高度的相似性。非饱和渗流稳态下基质吸力水头沿高程分布仅取决于其边界条件。

（3）距离地表越近，渗流速率增大到稳态需要的时间越短；反之，渗流速率受地表边界作用发生响应的时间越晚。在瞬态入渗过程中粗粒土层在任意深度处的渗流速度均具有较大的增长速度。

图 1 入渗过程的物理模型示意图

Figure 1. Schematic diagram of physical model of infiltration process

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图 2 非饱和粗粒土层内体积含水量的演变特征

Figure 2. Evolution characteristics of volumetric water content in unsaturated coarse-grained soil layer

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图 3 非饱和细粒土层内体积含水量的演变特征

Figure 3. Evolution characteristics of volumetric water content in unsaturated fine-grained soil layer

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图 4 非饱和粗粒土层内基质吸力水头的演变特征

Figure 4. Evolution characteristics of matric suction head in unsaturated coarse-grained soil layer

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图 5 非饱和细粒土层内基质吸力水头的演变特征

Figure 5. Evolution characteristics of matric suction head in unsaturated fine-grained soil layer

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图 6 粗粒土饱和渗透速率不同条件下入渗再次稳定的时间

Figure 6. Time of infiltration stabilization of coarse-grained soil under different saturated hydraulic conductivities

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图 7 粗粒土层入渗速率骤降条件下基质吸力水头演变特征

Figure 7. Evolution characteristics of matric suction head in coarse-grained soil under sudden drop of infiltration rate

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图 8 细粒土层入渗速率骤降条件下基质吸力水头演变特征

Figure 8. Evolution characteristics of matric suction head in fine- grained soil under sudden drop of infiltration rate

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图 9 粗粒土层不同深度特征点体积含水量随时间演变特征

Figure 9. Time-varying characteristics of volumetric water content at feature points at different depths in coarse-grained soil

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图 10 细粒土层不同深度特征点体积含水量随时间演变特征

Figure 10. Time-varying characteristics of volumetric water content at feature points at different depths of fine-grained soil

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图 11 粗粒土层不同深度特征点基质吸力水头随时间演变特征

Figure 11. Time-varying characteristics of matric suction head at feature points at different depths in coarse-grained soil

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图 12 细粒土层不同深度特征点基质吸力水头随时间演变特征

Figure 12. Time-varying characteristics of matric suction head at feature points at different depths in fine-grained soil

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图 13 入渗过程中粗粒土不同特征点渗流速率的演变特征

Figure 13. Evolution characteristics of seepage rate at different feature points during coarse-grained soil infiltration process

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图 14 入渗过程中细粒土不同特征点渗流速率的演变特征

Figure 14. Evolution characteristics of seepage rate at different feature points of fine-grained soil during infiltration process

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表 1 土样1和土样2的φ和C值

Table 1 Values of φ and C of soil samples 1 and 2

参数	土样1	土样2	参数	土样1	土样2
φ₁	0.265	1.837	C₁	37.3700Q	0.7715Q
φ₂	0.545	4.816	C₂	-36.1751Q	-0.1370Q
φ₃	0.839	7.917	C₃	24.7864Q	0.0519Q
φ₄	1.141	11.041	C₄	-16.2770Q	-0.0268Q
φ₅	1.447	14.172	C₅	10.8925Q	0.0163Q
φ₆	1.756	17.308	C₆	-7.4148Q	-0.0109Q
φ₇	2.006	20.445	C₇	5.0050Q	0.00782Q
φ₈	2.377	23.583	C₈	-3.1498Q	-0.00582Q
φ₉	2.689	26.722	C₉	1.6282Q	0.00447Q
φ₁₀	3.001	29.862	C₁₀	-0.4891Q	-0.00307Q
注：Q=Q_B-Q_A。

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