基于Chebyshev-Galerkin-KL展开的土质边坡稳定可靠度分析

顾鑫; 仉文岗; 欧强; 王林; 覃长兵

doi:10.11779/CJGE20220831

基于Chebyshev-Galerkin-KL展开的土质边坡稳定可靠度分析 English Version

顾鑫^1,,
仉文岗^{1, 2, 3, ,},
欧强^{1, 2, 3},
王林⁴,
覃长兵^{1, 2, 3}

1.
重庆大学土木工程学院, 重庆 400045
2.
重庆大学山地城镇建设与新技术教育部重点实验室, 重庆 400045
3.
重庆大学库区环境地质灾害防治国家地方联合工程研究中心, 重庆 400045
4.
北京师范大学国家安全与应急管理学院, 广东珠海 519087

基金项目:

国家重点研发计划重点专项 2019YFC1509605

重庆市研究生科研创新项目 CYS22054

国家自然科学基金青年基金项目 52008058

国家自然科学基金青年基金项目 52108299

外国文教专家项目 G2022165002

详细信息

作者简介:
顾鑫(1995—)，男，博士研究生，主要从事岩土工程可靠度分析与风险控制方面的研究。E-mail: guxin@cqu.edu.cn

通讯作者:
仉文岗, E-mail: zhangwg@cqu.edu.cn

中图分类号: TU43
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出版历程
- 收稿日期: 2022-07-02
- 网络出版日期: 2023-03-05
- 刊出日期: 2023-11-30

Reliability analysis of soil slope stability based on Chebyshev-Galerkin-KL expansion

GU Xin^1,,
ZHANG Wengang^{1, 2, 3, ,},
OU Qiang^{1, 2, 3},
WANG Lin⁴,
QIN Changbing^{1, 2, 3}

1.
School of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China
2.
Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area, Chongqing University, Chongqing 400045, China
3.
National Joint Engineering Research Center of Geohazards Prevention in the Reservoir Areas, Chongqing University, Chongqing 400045, China
4.
School of National Safety and Emergency Management, Beijing Normal University, Zhuhai 519087, China

摘要

摘要: 提出了一种基于Chebyshev-Galerkin-KL（Karhunen-Loève）展开的新型随机场离散方法，推导了该方法的理论公式，并研发了基于Python语言的边坡滑体体积计算及其失效模式自动识别的高效程序。采用一个水位上涨时的非饱和土坡算例验证了方法的有效性。结果表明：所提随机场生成方法为求解第二类Fredholm积分方程提供了一种新思路，可准确表征岩土体参数的空间变异性。基于Python提出的边坡风险评估程序，与随机有限元计算过程不耦合，极大地提升了开展边坡风险评估的效率，从而增强预测滑坡致灾风险的时效性。此外，研究中非饱和土坡算例可靠度分析结果表明：水位上涨速度越慢，最大水位高度越高，该边坡的安全程度将越低。岩土体参数的竖向空间变异性对该算例边坡安全系数的影响甚微，但对滑体体积的影响较为显著。在对水位上升条件下的边坡开展可靠度分析时，应关注抗剪强度参数间的负相关性，否则将会低估边坡的安全程度。
- Chebyshev-Galerkin-KL展开法 /
- 空间变异性 /
- 边坡稳定性 /
- 可靠度分析 /
- 失效风险
Abstract: A novel method is put forward for the random field discretization based on the Chebyshev-Galerkin-KL (Karhunen-Loève) expansion, followed by the derivation of equations for the proposed method. By means of Python language, an efficient program is exploited for automatically calculating the slope sliding volume and identifying the slope failure mode. The proposed method is validated through an unsaturated slope example subjected to water rising. The results indicate that the proposed method for the random field generation provides a new way to solve the Fredholm integral equation of the second kind, which can accurately characterize the spatial variability of geotechnical parameters. The Python-based program for risk estimation is decoupled from the random finite element calculations, which ensures the slope risk estimation with sufficient efficiency and promotes the reduction of the required time to predict the landslide risk. In addition, the obtained results from the unsaturated slope example show that a lower water rising velocity and a greater maximum water level will lead to the decrease of slope stability. The vertical spatial variability of geotechnical parameters has marginal effects on the safety factor of slopes. However, the sliding volume may be significantly affected. Attention should be paid to the negative cross-correlation between shear strength parameters when conducting reliability analysis of slope stability under water rising. Otherwise, the slope stability will be underestimated.
- Chebyshev-Galerkin-KL expansion /
- spatial variability /
- slope stability /
- reliability analysis /
- risk of failure

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0. 引言

深筒形基坑因其平面尺寸小而开挖深度大,具有整体性强、空间效应明显等特点。这类基坑常因为规划需要而建设在河道堤岸旁边,使得基坑工程性状及设计与施工问题变得非常复杂,因而引起诸多工程及研究人员的关注。Faheem等^[1]运用有限元法分析了三维矩形基坑的稳定性问题。龚维明等^[2]、戴国亮等^[3]对单片墙和单室井筒式地下连续墙基础的模型试验结果表明,这些结构在水平力作用下呈现整体倾斜破坏。王洪新^[4]根据基坑宽度与插入深度的比值大小将基坑分为宽基坑、窄基坑和一般基坑,分别推导了3种基坑支护结构抗倾覆稳定安全系数的计算式。虽然对于类似深筒形基坑支护结构的整体稳定问题进行了一些探讨,但目前仍主要基于平面假定对平坦场地条件下的情况开展研究,而对临近岸坡等复杂场地下的基坑整体稳定问题缺乏研究。对这种临岸深筒形基坑支护结构整体倾覆破坏的规律性尚缺乏认识,还没有提出临岸深筒形基坑支护结构整体倾覆稳定的计算模式。为探讨这一问题的规律性,本文通过室内模型试验与数值模拟对临岸深筒形基坑支护结构整体倾覆破坏形式进行了研究,并提出了支护结构整体抗倾覆稳定安全系数的计算方法。

1. 室内模型试验

1.1 模型与试验条件

临岸基坑支护结构模型试验在长3 m,宽1 m,高1.2 m的试验槽中进行。土体采用不均匀系数为2.2的细砂土,利用有机玻璃板模拟基坑支护结构。支护结构长0.2 m,宽0.2 m,高0.8 m,厚2 mm,与实际工程支护结构的相似比例大约为1∶50。模型试验布置见图1,砂土及有机玻璃板的特性参数见表1。利用液压千斤顶加载,量测结构A、B、C侧水平位移及土压力。

图 1 临岸基坑室内模型设置

Figure 1. Schematic diagram of setup for model pit near bank

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表 1 试验材料参数

Table 1. Parameters of materials

试验材料	弹性模量E/MPa	泊松比 $ν$	重度 $γ$ /(kN·m^-3)	内摩擦角φ/(°)	孔隙比e
细砂	60	0.30	14.5	32.61	0.78
有机玻璃板	3000	0.37	12.0	—	—

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试验采用先分层开挖后加载的方法,总开挖深度0.5 m,支护结构顶部与岸坡相距0.1 m,坡比为1∶2,坡高0.6 m。

1.2 试验步骤及测量

试验步骤为：①分层人工填土至结构底部；②安放支护结构模型,在结构上设土压力盒,安装位移测量装置；③继续填土至支护结构顶部；④模拟基坑分层开挖；⑤在坑外A侧施加超载。测量每一步完成后各侧结构水平位移及墙前后的土压力。

1.3 试验结果及现象

图2为通过定点拍照得到的支护结构顶部位移情况照片。由图2中参考线与支护结构相对位置可见,开挖至0.5 m深时,支护结构四侧只有微小向坑内位移；随着超载,基坑支护结构顶部整体向着岸坡发生很大的侧移,最终发生了很明显的整体倾斜。

图 2 基坑支护结构顶部变形

Figure 2. Deformation at the top of retaining structure

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2. 有限元数值模拟

2.1 建模与计算条件

根据室内模型试验条件,利用Z-SOIL软件建立如图3所示对称结构的一半模型。土体本构模型为弹性理想塑性模型,采用Mohr–Coulomb屈服及破坏准则,具体计算参数见表1。数值模拟通过设置接触单元考虑了有机玻璃板墙体与细砂土之间的摩擦接触特性；接触单元的法向及切向刚度系数按照接触面单元临近土层的弹性模量、接触面临近单元法向尺寸及经验调节因子（默认10^-4）等因素由软件计算确定。

图 3 临岸基坑有限元数值分析模型

Figure 3. Finite element mesh for model pit near bank

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2.2 模拟结果及分析

数值模拟得到的基坑支护结构整体侧倾形态如图4所示。计算发现开挖阶段整个结构发生了正常量级的变形,而加载阶段结构整体深度范围内均向岸坡方向侧移,基本达到了倾覆程度。

图 4 支护结构整体侧倾形态

Figure 4. State of tilting of global retaining structures

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结构A、B、C侧土压力分布情况如图5所示。开挖完成时,坑各侧内外土压力减小,不仅开挖面以上减到接近于零,开挖面以下也有明显的减小。随超载的增加土压力增大,深度0.2 m范围内土压力受超载的影响大。结构B侧土压力的分布情况在未加载之前与A侧相似。结构C侧土压力分布规律未加载之前与A侧相似,当施加超载时开挖深度0.5 m以下的土压力增大,开挖面以上土压力受影响不大。

图 5 支护结构各侧土压力

Figure 5. Earth pressures at each side

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图6为砂土中临岸深筒形基坑支护结构在不同嵌固深度下结构倾覆的位移矢量图。观察矢量图发现,当基坑支护结构发生倾覆破坏时,转动中心o随插入比即插入深度与支护结构高度之比h₀/h不同而发生变化,但是大致都在距离支护结构底面为0.05h～0.10h,转动中心平面位置即距离支护结构底面中心偏心距e约为0.15b～0.30b。

图 6 不同插入深度比值的旋转中心位置

Figure 6. Rotating centres at different penetration ratios

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根据数值模拟得出的土压力分布形式,土压力在支护结构底部有明显回收,转动中心高度以下土压力相对较小,对结构转动的影响也较小。假定深筒形基坑倾覆时,转动中心在支护结构底部平面内,与底面中心轴距离为e=K_eb,K_e为转动中心位置系数。

3. 抗倾覆稳定安全系数

3.1 抗倾覆稳定分析模型

通过室内模型试验及有限元模拟发现,临岸深筒形基坑支护结构绕底部转动中心产生整体倾覆破坏,基于平面土压力理论的单片墙倾覆稳定分析方法不再适用,故建议支护结构整体抗倾覆稳定计算方法。

针对图7所示的支护结构倾覆破坏分析模式,本方法简化假定为：①转动中心在支护结构底面距中心轴上K_eb处；②筒内土芯不随结构转动,仅对结构倾覆提供水平抗力；③考虑B、D两侧对结构提供摩阻力；④不考虑结构柔性变形对稳定性的影响；⑤不考虑地下水影响。

图 7 支护结构倾覆破坏分析模式

Figure 7. Mode for analyzing overturning failure of retaining structures

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参考图7所示结构及荷载布置,定义深筒形基坑支护结构抗倾覆稳定安全系数为

$\begin{matrix} K_{c} = \frac{\sum M_{E_{R}}}{\sum M_{E_{S}}} \\ = (M_{E_{ai}} + M_{E_{co}} + M_{F_{ao}} + M_{F_{ai}} + M_{F_{co}} + M_{F_{ci}} + 2 M_{f_{bo}} + \\ 2 M_{f_{bi}} + M_{G}) \cdot {(M_{E a o} + M_{E c i})}^{- 1} \\ = {\begin{cases} \end{cases} E_{ai} l_{ai} + E_{co} l_{co} +[E_{ao} (b + e) + E_{ai} (b - 2 t + e) + E_{co} (b - e) + \\ E_{ci} (b - 2 t - e)] \cdot \frac{tan δ}{2} + f_{bi} (d - 2 t) + f_{bo} d + G e} \cdot \\ {(E_{ao} l_{ao} + E_{ci} l_{ci})}^{- 1} \end{matrix}$

(1)

式中, $M_{E_{ai}}$ , $M_{E_{ao}}$ , $M_{E_{ci}}$ , $M_{E_{co}}$ 分别为结构A侧、C侧内部、外部土压力所产生的弯矩； $M_{F_{ai}}$ , $M_{F_{ao}}$ , $M_{F_{ai}}$ , $M_{F_{co}}$ 分别为结构A侧、C侧内部、外部侧摩阻力所产生的弯矩； $M_{F_{bi}}$ , $M_{F_{ao}}$ 分别为结构B侧内部、外部侧摩阻力所产生的弯矩；M_G为支护结构自重产生的弯矩。E_ai,E_ao,E_ci,E_co分别为结构A侧、C侧内部、外部土压力；l_ai,l_ao,l_ci,l_co分别为合力E_ai,E_ao,E_ci,E_co作用点至支护结构底端的距离；f_bi,f_bo分别为结构B侧内部、外部侧摩阻力；δ为结构的外摩擦角；b,d,h分别为支护结构外缘的长、宽、高；h₀为筒内土芯高度；t为挡土结构厚度；e为转动中心与结构底部中心的偏心距。

结构A侧外部土压力E_ao按照考虑空间效应和超载作用的无限土体主动土压力计算,土压力及作用点计算式见式（2）,（3）；结构B侧、D侧外部土压力E_bo,E_do按照考虑空间效应的无限土体静止土压力计算,在结构倾覆破坏时提供摩阻力f_bo、f_do,见式（4）,摩阻力方向水平向左；结构C侧外部土压力E_co按照考虑空间效应的有限土体被动土压力计算,如图8所示,对于一侧放坡的有限土体来说,滑裂面可能会与P₁P₂或P₂P₃或P₃P₄任一段相交,对应滑楔体的形状可能为三角形、四边形或者多边形,被动土压力大小为式（5）～（7）的最小值,作用点仍取为距离墙底1/3墙高处；结构A侧内部土压力E_ai、结构C侧内部土压力E_ci按照有限土体被动、主动土压力计算,假定土压力三角形分布^[5-6],土压力作用点高度为h₀/3；结构B侧、D侧内部土压力E_bi,E_di按照考虑空间效应的有限土体静止土压力计算,结构倾覆破坏时提供摩阻力f_bi,f_di。具体计算表达式如下：

$E_{ao} = 2 \int_{0}^{d / 2} \frac{h}{2} (γ h + 2 q) K_{a} K_{spo} d z$ ,

(2)

$l_{ao} = \frac{\frac{h^{3}}{6} γ K_{a} + \frac{h^{2}}{2} q K_{a}}{\frac{h}{2} (γ h + 2 q) K_{a}} = \frac{γ h^{2} + 3 q h}{3 (γ h + 2 q)}$ ,

(3)

$f_{bo} = f_{do} = E_{bo} \tan δ = 2 \int_{0}^{b / 2} \frac{1}{2} γ h^{2} K_{0} K_{spo} \tan δ d x$ ,

(4)

$E_{1} = 2 \int_{0}^{d / 2} \frac{γ h^{2}}{2} \tan θ \frac{\cos (θ - ϕ)}{\sin (θ - ϕ - δ)} K_{spo} d z$ ,

(5)

$E_{2} = 2 \int_{0}^{d / 2} \frac{γ}{2} (h^{2} \tan θ - \frac{{(h \tan θ - b_{t})}^{2}}{\tan θ + \frac{1}{\tan ε}}) \frac{\cos (θ - φ)}{\sin (θ - φ - δ)} K_{spo} d z,$

(6)

$\begin{matrix} E_{3} = 2 \int_{0}^{d / 2} \frac{γ}{2} [{(h - b_{b})}^{2} \tan θ + b_{b} (2 b_{t} + \frac{b_{b}}{\tan ε})] \cdot \\ \frac{\cos (θ - φ)}{\sin (θ - φ - δ)} K_{spo} d z \end{matrix}$

(7)

$E_{co} = \min (E_{1}, E_{2}, E_{3})$ ,

(8)

$E_{ai} = 2 \int_{0}^{d / 2 - t} (1 - \frac{1}{2} m_{p}) m_{p} γ h_{0}^{2} K_{p} K_{spi} d z$ ,

(9)

$\begin{matrix} m_{p} = \frac{b}{h_{0}} (45^{\circ} + \frac{φ}{2}) & (当 m_{p} >1 时, 取 m_{p} = 1) \end{matrix}$ ,

(10)

$E_{ci} = 2 \int_{0}^{d / 2 - t} (1 - \frac{1}{2} m_{a}) m_{a} γ h_{0}^{2} K_{a} K_{spi} d z$ ,

(11)

$\begin{matrix} m_{a} = \frac{b}{h_{0}} \cot (45^{\circ} - \frac{φ}{2}) & (当 m_{a} > 1 时, 取 m_{a} = 1) \end{matrix}$ ,

(12)

$f_{bi} = f_{di} = E_{bi} \tan δ = 2 \int_{0}^{b / 2 - t} \frac{1}{2} γ h_{0}^{2} K_{0} K_{spi} \tan δ d x 。$

(13)

图 8 C侧坑外土压力计算示意

Figure 8. Schematics for computation of earth pressure outside side C

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式中 $γ$ 为砂土重度；q为基坑外离岸侧超载值；K_a,K_p,K₀分别为主动、被动、静止土压力系数；θ为滑裂面与墙背的夹角；φ为砂土内摩擦角；ε为坡角；K_spo,K_spi分别为坑外、坑内空间效应影响系数,计算方法如图8,9所示；其他符号意义同前。

图 9 坑外土压力平面分布

Figure 9. Distribution of planar earth pressure outside a pit

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如图9所示,考虑支护结构A、B、D侧坑外土体无限长,C侧临岸,四侧坑外土压力空间系数按照同一方法计算。作用在结构上坑外的土压力随着距离坑角的距离的减小而减小,假定在角部效应影响范围内的土压力呈抛物线分布。其中角部效应影响范围为

$b_{1} = (h - h_{0}) \tan (45^{\circ} - \frac{φ}{2})$ 。

(14)

坑外空间效应影响系数按照式（15）或者（16）计算。沿x方向：

$K_{spo} = {\begin{cases} k_{1} \sqrt{\frac{x}{b_{1}}} (x \leq b_{1}) \\ \frac{k_{2} - k_{1}}{b - 2 b_{1}} (x - b_{1}) + k_{1} (b_{1} < x \leq b - b_{1}) \\ k_{2} \sqrt{\frac{b - x}{b_{1}}} (b - b_{1} < x \leq b) \end{cases}$ ；

(15)

沿z方向：

$K_{spo} = {\begin{cases} k_{1} \sqrt{\frac{z}{b_{1}}} (z \leq b_{1}) \\ \frac{k_{2} - k_{1}}{d - 2 k_{1}} (z - b_{1}) + k_{1} (b_{1} < z \leq d - b_{1}) \\ k_{2} \sqrt{\frac{d - z}{b_{1}}} (d - b_{1} < z \leq d) \end{cases}$ 。

(16)

式中,k₁,k₂为空间效应影响系数的放大系数,其值的大小与基坑所处位置和加载情况相关。

支护结构内部土芯属于两墙之间的有限土体,假定坑内角部效应影响范围内土压力呈线性分布,如图10所示,其中角部效应的影响范围为

$b_{2} = h_{0} \tan (45^{°} + \frac{φ}{2})$ 。

(17)

图 10 坑内土压力平面分布

Figure 10. Distribution of planar earth pressure inside a pit

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坑内空间效应影响系数为

$K_{spi} = {\begin{cases} 1 z (或 x) \geq b_{2} \\ \frac{z (或 x)}{b_{2}} z (或 x) ＜ b_{2} \end{cases}$ 。

(18)

3.2 算例参数分析

为说明本计算方法的可行性,按本方法编制成深筒形基坑整体抗倾覆稳定计算程序,计算各工况下基坑的抗倾覆稳定安全系数,并进行若干参数分析。

以尺寸长×宽×高×厚为5 m×5 m×15 m×0.2 m的钢板桩挡土结构为例。其基坑内部土芯高度h₀为6 m,基坑顶部距离岸坡b_t为1 m,坡角 $ε$ 为18°,岸坡深度h_b为12 m；取转动中心位置系数k_e=0.2；砂土内摩擦角φ为20°,重度 $γ$ 为16 kN·m^-3,外摩擦角δ为内摩擦角的1/4,超载q为30 kPa/m。以这些数据为基本组,通过改变各因素参数观察其对抗倾覆安全系数和抗滑移安全系数的影响。

保持其他参数不变,只改变砂土重度和内摩擦角,计算结果如图11。由图11可知,基坑整体抗倾覆稳定安全系数随土的内摩擦角和重度增大而增大。

图 11 砂土重度、内摩擦角对安全系数K_c的影响

Figure 11. Influences of unit weight, internal friction angle of sand soil on factor of safety

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图12,13分别为其他参数不变,改变岸坡相关参数得到的岸坡各因素对于结构安全系数的影响。抗倾覆安全系数随岸坡坡深的增大而减小,当岸坡深度大于基坑挡土结构高度时,岸坡深度的变化对两个安全系数不再造成影响。岸坡坡角 $ε$ 越小,安全系数越大；挡土结构距岸坡越远,安全系数越大。

图 12 岸坡坡角、坡深对安全系数K_c的影响

Figure 12. Influences of slope angle, slope depth of a bank on the factor of safety

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图 13 支护结构顶部与岸坡距离对安全系数K_c的影响

Figure 13. Influences of distance between top of retaining structures and crest of a slope on factor of safety

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超载对安全系数的影响如图14所示。超载越大,结构的抗倾覆稳定安全系数越小。

图 14 超载对安全系数K_c的影响

Figure 14. Influences of surcharge loading on factor of safety

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4. 结论

通过室内模型试验与有限元数值模拟来分析支护结构的整体倾覆破坏模式,并提出了砂土中支护结构整体抗倾覆稳定安全系数计算方法,并通过初步算例分析,得出以下3点结论。

（1）临岸深筒性形基坑支护结构整体性强,空间效应明显,结构在离岸一侧加载过大时倾向于发生整体倾覆破坏。

（2）支护结构整体抗倾覆稳定分析方法考虑了支护结构空间效应、坑内及坑外临岸坡侧有限土压力的影响。

（3）基坑支护结构整体抗倾覆稳定安全系数随砂土重度、内摩擦角的增大而增大；结构距离岸坡越远、坡角越小、坡深越浅,结构越安全；远离岸坡侧坑外超载值越大,结构越不安全。

图 1 基于Chebyshev-Galerkin-KL展开的边坡稳定可靠度分析流程图

Figure 1. Flow chart of reliability analysis of slope stability using Chebyshev-Galerkin-KL expansion

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图 2 边坡几何尺寸及其有限元网格

Figure 2. Geometry and finite element mesh of slope

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图 3 Chebyshev-Galerkin-KL展开法的离散误差与M的关系

Figure 3. Relationship between discretization error (ɛ) of Chebyshev- Galerkin-KL expansion method and M

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图 4 不同随机场离散方法生成的有效内摩擦角对比图

Figure 4. Comparison between random fields of effective friction angle by different discretization methods

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图 5 FEM的计算得到的滑面及基于Python提取的滑体信息

Figure 5. Slip surface via FEM and sliding area obtained by Python script

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图 6 水位上升速度对边坡稳定性的影响

Figure 6. Effects of different water rising velocities on slope stability

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图 7 水位上升速度对滑体体积及边坡失效模式的影响

Figure 7. Effects of different water rising velocities on sliding volume and failure mode

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图 8 最大水位高度对边坡稳定性的影响

Figure 8. Effects of maximum water level on slope stability

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图 9 不同最大水位高度对滑体体积及边坡失效模式的影响

Figure 9. Effects of different maximum water level on sliding volume and failure mode

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图 10 不同竖向波动范围δ_v对边坡稳定性的影响

Figure 10. Effects of different vertical scales of fluctuation δ_v on slope stability

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图 11 不同竖向波动范围对滑体体积及边坡失效模式的影响

Figure 11. Effects of different vertical scales of fluctuation on sliding volume and failure mode

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不同相关系数 ${\rho _{c'\varphi '}}$ 对边坡稳定性的影响

Effects of different cross-correlation coefficients ${\rho _{c'\varphi '}}$ on slope stability

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不同相关系数 ${\rho _{c'\varphi '}}$ 对滑体体积及边坡失效模式的影响

Effects of different cross-correlation coefficients ${\rho _{c'\varphi '}}$ on sliding volume and failure mode

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表 1 土体参数的统计特征

Table 1 Statistics of soil properties

参数	均值	变异系数	分布类型
E	100 MPa	—	—
$\nu$	0.3	—	—
$\gamma$	13 kN/m³	—	—
$c'$	50 kPa	0.3	对数正态分布
$\varphi '$	10^°	0.2	对数正态分布
k_s	5×10^-6 m/s	0.4	对数正态分布
注：E， $\nu$ ， $\gamma$ 分别为弹性模量、泊松比和土体重度。

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表 2 Fredlund-Xing模型参数^[17]

Table 2 Parameters for Fredlund-Xing model^[17]

参数	取值	参数	取值
θ_s	0.387	α/kPa^-1	0.643
θ_r	0.032	n	1.353
S_r	0.083	m	0.261
注：S_r为残余饱和度。

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参考文献(22)

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