基于贝叶斯高斯过程回归与模型选择的岩石单轴抗压强度估计方法

宋超; 赵腾远; 许领

doi:10.11779/CJGE20220734

基于贝叶斯高斯过程回归与模型选择的岩石单轴抗压强度估计方法 English Version

西安交通大学人居环境与建筑工程学院, 陕西西安 710049

基金项目:

国家自然科学基金青年基金项目 42107204

中央高校基本科研业务费专项资金项目（西安交通大学）

详细信息

作者简介:
宋超(1993—)，女，博士研究生，主要从事岩土工程数据分析与机器学习建模方向的研究工作。E-mail: song_chao@stu.xjtu.edu.cn

通讯作者:
赵腾远, E-mail: tyzhao@xjtu.edu.cn

中图分类号: TU45
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出版历程
- 收稿日期: 2022-06-08
- 网络出版日期: 2023-02-26

Estimation of uniaxial compressive strength based on fully Bayesian Gaussian process regression and model selection

School of Human Settlements and Civil Engineering, Xi'an Jiaotong University, Xi'an 710049, China

摘要

摘要: 为构建间接估计岩石单轴抗压强度（UCS）的最优模型并实现UCS的合理估计，提出了贝叶斯高斯过程回归（fB-GPR）方法。fB-GPR综合了高斯过程回归、贝叶斯理论与马尔科夫链蒙特卡洛模拟。所提方法与其它模型选择方法进行了对比，如赤池信息准则、贝叶斯信息准则、偏差信息准则、Kullback信息准则等。研究结果表明：基于fB-GPR的最优模型选择结果更为准确，预测结果与实际情况吻合度更高；100次随机试验中，fB-GPR方法将M-7选为最优模型的概率达到100%，最优模型选择的准确率远远高于其他模型选择方法；fB-GPR方法在误差值达到UCS标准差的50%时，仍可准确地进行模型选择，说明fB-GPR的准确性和鲁棒性更好，受UCS测量误差影响相对较小。研究成果可为构建岩土工程中关键参数预测的最优模型并实现合理预测提供借鉴与参考。
- 岩土参数刻画 /
- 贝叶斯理论 /
- 数据驱动模型构建 /
- 信息准则 /
- 机器学习方法
Abstract: In order to establish an optimal model for estimating the uniaxial compressive strength (UCS) of rocks as well as its reasonable estimation, a fully Bayesian Gaussian process regression method (fB-GPR) is proposed by combining the Gaussian process regression (GPR), Bayesian framework and Markov Chain Monte Carlo (MCMC) simulation. The proposed fB-GPR approach is compared with different model selection methods, such as the Akaike information criterion (AIC), Bayesian information criterion (BIC), deviation information criterion (DIC), Kullback information criterion (KIC), etc. The results show that the proposed fB-GPR method performs better than other methods. In 100 random trials, the probability of M-7 being selected as the optimal model by fB-GPR method reaches 100%, and the accuracy of selecting the optimal model is far higher than other model selection methods. When the measurement noise reaches 50% of UCS standard deviation, the proposed fB-GPR can still achieve model selection accurately, which shows that the fB-GPR approach is robust and accurate, and is less affected by the measurement noise associated with UCS, comparing with other model selection methods. The proposed fB-GPR therefore provides a new way for establishing the optimal estimation model as well as reasonable estimation for the key geotechnical parameters in practice.
- characterization of geotechnical parameters /
- Bayesian theorem /
- data-driven model development /
- information criterion /
- machine learning method

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0. 引言

岩石单轴抗压强度（uniaxial compressive strength，UCS）作为最重要的岩体力学参数之一，在采矿工程、隧道工程、岩质边坡稳定性等领域发挥着重要作用^[1]。岩石的UCS可以通过室内试验直接获取，但由于其对岩芯质量要求较高，且部分岩石易破碎，很难获得完整的岩样^[2]，工程实践中，通常通过一些其他岩体参数间接估计UCS，如点荷载强度指标I_s50、施密特回弹值R_L、纵波波速v_p、有效孔隙率η_e等^[3-4]。

由于方程形式的限制，这些经验公式适用范围通常较小。随着人工智能的发展，机器学习逐渐应用于岩土工程领域^[5-6]，由于其数据驱动、不局限于固定的方程形式等优势，应用范围更广。例如，Matin等^[7]提出了基于随机森林利用I_s50、R_L、v_p、η_e间接估计UCS；Fattahi^[8]基于人工蜂群优化的支持向量回归利用R_L间接估计UCS。这些机器学习方法虽然一定程度上提高了UCS估计的准确性，但由于模型构建过程中需要提前确定预测UCS的自变量，容易导致模型过拟合或欠拟合。因此，好的UCS估计模型往往需要平衡模型的复杂度与拟合程度，从而选出“最优模型”。

针对如何确定最优估计模型，国内外学者已开展了大量研究工作。如Feng等^[9]通过赤池信息准则（AIC）、贝叶斯信息准则（BIC）以及偏差信息准则（DIC）在4个备选模型（线性模型、幂指数模型、指数模型、逻辑回归模型）中确定了预测岩石变形模量的最优模型；Wu等^[10]建立了不同地区黏土压缩指数与天然含水率和液塑限的关系模型，并通过AIC、BIC以及均方根误差RMSE对所建立的模型进行了比选。尽管上述准则在一定程度上对确定最优模型有所帮助，但无法给出最优模型所对应的客观合理性及最优模型相比于其它模型量化的可能性大小；此外，上述准则在确定最优模型时的影响因素亦未见详细讨论。

综上，本文提出贝叶斯高斯过程回归方法（fully Bayesian Gaussian process regression，fB-GPR）来确定UCS的最优估计模型并实现UCS的非线性估计。该方法一方面继承了机器学习方法的数据驱动的特点，突破了方程形式对UCS估计的制约；另一方面通过贝叶斯方法量化了不同模型的可能性大小，进而客观确定最优估计模型。相比于其他准则，fB-GPR在较大的测量误差与较小样本量的情况下仍可准确地进行模型选择。

本文首先介绍了高斯过程回归模型以及贝叶斯模型选择的基本原理；其次，对4种模型选择方法的计算原理及适用范围进行了概述，包括AIC、BIC、DIC和KIC。然后，基于文献[11]中的岩体力学参数数据集，将各模型选择方法进行了对比验证。最后，采用模拟数据进一步探讨了UCS测量误差以及样本量对模型选择结果的影响，弥补了这一研究领域的空白。

1. UCS的贝叶斯高斯过程回归模型

1.1 UCS的高斯过程回归模型

高斯过程回归（Gaussian process regression，GPR）是基于高斯分布的无参随机过程回归。本文目的是利用GPR建立岩石指标行向量x = (x₁, x₂, …, x_d)与岩石UCS的对应关系，即UCS = f(x)+ε。f(x)是不考虑残差时UCS的预测值；ε是均值为0，标准差为σ_ε的高斯随机变量，用来表示UCS数据中所涉及的残差。GPR中通常假设UCS服从均值为零，协方差（核函数）为 $k\left(\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{x}_j\right)+\sigma_{\varepsilon}^2 \cdot \delta_{i, j}$ 的多维高斯分布^[12]，即

$\mathrm{UCS} \sim \mathrm{GP}\left(0, k\left(\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{x}_j\right)+\sigma_{\varepsilon}^2 \cdot \delta_{i, j}\right)。$

(1)

式中：x_i与x_j分别为岩石指标行向量x的第i次与第j次测量数据，均为1×d的向量；k(x_i, x_j)为第i个与第j个输出变量之间的协方差；若x_i = x_j，δ_{i, j} = 1，否则δ_{i, j} = 0。为方便推导，这里以列向量y表示UCS的n_V个试验数据，n_V×d的矩阵X表示与y对应的x的n_V组试验数据，X^*表示m组x的新数据，为m×d的矩阵，y^*表示与X^*对应的待估计UCS值。根据GPR中的假设，y和y^*的联合分布为^[13]

$\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{y} \\ \boldsymbol{y}^* \end{array}\right] \sim N\left(\boldsymbol{0},\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{k}_{\boldsymbol{X}, \boldsymbol{X}}+\sigma_{\varepsilon}^2 \boldsymbol{I} & \boldsymbol{k}_{\boldsymbol{X}^*, \boldsymbol{X}}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{k}_{\boldsymbol{X}^*, \boldsymbol{X}} & \boldsymbol{k}_{\boldsymbol{X}^*, \boldsymbol{X}^*} \end{array}\right]\right)。$

(2)

式中： ${k_{X,X}} + \sigma _\varepsilon ^2I$ 与 ${k_{{X^*},{X^*}}}$ 分别为(n_V×n_V)与(m×m)的矩阵，表示y的协方差和未知y^*的协方差； ${k_{{X^*},X}}$ 为(m×n_V)矩阵，表示y^*和y的协方差矩阵。

基于多维高斯分布的解析特性，给定y和X条件下，y^*的概率分布仍是多维高斯分布，均值μ^*和协方差Σ^*可分别表示为^[14]

$\boldsymbol{\mu}^*=\boldsymbol{k}_{\boldsymbol{X}^*, \boldsymbol{X}}\left(\boldsymbol{k}_{\boldsymbol{X}, \boldsymbol{X}}+\sigma_{\varepsilon}^2 \boldsymbol{I}\right)^{-1} \boldsymbol{y} ,$

(3)

$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }}^*=\boldsymbol{k}_{\boldsymbol{X}^*, \boldsymbol{X}^*}-\boldsymbol{k}_{\boldsymbol{X}^*, \boldsymbol{X}}\left(\boldsymbol{k}_{\boldsymbol{X}, \boldsymbol{X}}+\sigma_{\varepsilon}^2 \boldsymbol{I}\right)^{-1} \boldsymbol{k}_{\boldsymbol{X}, \boldsymbol{X}^*} 。$

(4)

式中，μ^*为待预测UCS的平均值， $\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varSigma} }}^*$ 为利用已知数据X和y更新后的y^*的协方差，其对角线元素表示与y^*对应的估计方差，代表估计的不确定性。式（2）表示对已知UCS数据y与待估计UCS数据y^*的基本假设，而式（3），（4）表示基于已知数据X与y对y^*的预测。由式（3）可知，待估计UCS是已知数据y的权重叠加，体现了GPR的数据驱动特性，其中权重系数是协方差的函数，协方差的计算公式为

${k_{i,j}} = \sigma _{\text{f}}^{\text{2}}\exp \left[ { - \sqrt {\sum\limits_{t = 1}^d {\frac{{{{({x_{i,t}} - {x_{j,t}})}^2}}}{{l_t^2}}} } } \right]。$

(5)

式中： ${k_{i,j}}$ 为第i个UCS即UCS_i与第j个UCS即UCS_j的协方差，反映了UCS间的相关程度； $\sigma _{\text{f}}^{}$ 为超参数，反映了核函数的波动程度；l_t为UCS沿x_t (t = 1, 2, …, d)方向的相关性，l_t越大，UCS与x_t的相关性越小，反之相关性越强^[12]；x_{i, t}和x_{j, t}分别表示第t个输入变量的第i次与第j次测量数据。令Θ = {l_t, $\sigma _{\text{f}}^{}$ , σ_ε} (t = 1, 2, …, d)表示该GPR模型中的超参数，超参数不同，会导致预测结果即式（3），（4）的不同。

1.2 高斯过程回归模型超参数的贝叶斯估计

本节着重介绍超参数Θ的贝叶斯估计。由于贝叶斯方法可以量化多种不确定性，故本文采用贝叶斯方法估计Θ，此外，Θ的贝叶斯估计也为1.3节确定UCS估计的最优模型奠定了基础。在贝叶斯理论中，所有未知参数被当作随机变量。给定岩石指标X的测量数据x和UCS的测量数据y以后，其概率分布p(Θ|D)表示为

$p(\mathit{\Theta} |D) = \frac{{p(D|\mathit{\Theta} )p(\mathit{\Theta} )}}{{p(D)}} 。$

(6)

式中：D = {X, y}，根据全概率定理可知， $p(D) = \int {p(D|\mathit{\Theta} )p(\mathit{\Theta} )d} \mathit{\Theta}$ 为一积分常数；p(D| $\mathit{\Theta}$ )为似然函数，表示给定超参数 $\mathit{\Theta}$ 下观测到数据D的可能性大小；p( $\mathit{\Theta}$ )为 $\mathit{\Theta}$ 的先验分布，表示在没有试验数据D时对 $\mathit{\Theta}$ 的了解程度。鉴于UCS测量误差间的弱相关性甚至相互独立性，p(D| $\mathit{\Theta}$ )通常可以表示为^[15]

$p(D \mid {\mathit{\Theta}})=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^{n_{\mathrm{V}}}\left|\boldsymbol{k}_{X,X}+\sigma_{\varepsilon}^2 \boldsymbol{I}\right|}} \exp \left[-\frac{\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{k}_{X,X}+\sigma_{\varepsilon}^2 \boldsymbol{I}\right)^{-1} \boldsymbol{y}}{2}\right]$

(7)

由于 $\mathit{\Theta}$ 为非负超参数，这里采用对数均匀分布表示其先验分布，p( $\mathit{\Theta}$ )可表示为

$p(\mathit{\Theta} ) = \prod\limits_{i = 1}^{d + 2} {p({\mathit{\Theta} _i})} = \prod\limits_{i = 1}^{d + 2} {\frac{1}{{{\mathit{\Theta} _i}\left[ {\ln (\mathit{\Theta} _i^U) - \ln (\mathit{\Theta} _i^L)} \right]}}} \text{，}$

(8)

式中， ${\mathit{\Theta} _i} \in \left[ {\mathit{\Theta} _i^L,\mathit{\Theta} _i^U} \right]$ 。 $\mathit{\Theta} _i^L$ 和 $\mathit{\Theta} _i^U$ 分别表示超参数 ${\mathit{\Theta} _i}$ 的下限与上限。将式（7），（8）代入式（6）即可得到p( $\mathit{\Theta}$ |D)。然而，由于p(D| $\mathit{\Theta}$ )与p( $\mathit{\Theta}$ )非共轭分布，导致p( $\mathit{\Theta}$ |D)无解析表达式。因此，引入马尔科夫链蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）方法通过从p( $\mathit{\Theta}$ |D)中不断采样进而刻画 $\mathit{\Theta}$ 的后验分布^[16-17]。完成MCMC采样后即可基于式（3），（4）以及文献[18]对UCS进行预测。

1.3 基于贝叶斯框架的UCS预测最优模型选择

如前文所述，不同的岩石指标均可用来估计岩石的UCS值，如点荷载强度指标I_s50、施密特回弹值R_L、纵波波速v_p等。不同岩石指标x的组合构成不同的UCS估计的GPR模型。通常，随着模型自变量x数量的增加，GPR模型的拟合程度提高，但模型的复杂度也随之增大，而模型的泛化能力随之下降。因此，一个好的模型需要在模型的复杂度与拟合程度间达到平衡，这恰恰是贝叶斯模型选择可以实现的。贝叶斯模型选择通过比较每个模型所对应的概率来确定最优模型。根据贝叶斯定理，给定试验数据D的条件下，模型M_s对应的概率表达式P_r(M_s|D)为

${P_{\text{r}}}({M_{\text{s}}}|D) \propto p(D|{M_{\text{s}}}){P_{\text{r}}}({M_{\text{s}}}) 。$

(9)

式中：P_r(M_s)为先验概率，反映了在未考虑测量数据时对模型的认知情况，通常认为每个模型被选择的概率相同，即P_r(M_s) = 1/ ${n_{\text{M}}}$ ， ${n_{\text{M}}}$ 为备选模型的数量。式（9）省去了作为常数的分母。由式（9）可知，P_r(M_s|D)与似然函数p(D|M_s)成正比。因此，比较不同模型被选择的概率P_r(M_s|D)等价于比较不同模型的似然函数p(D|M_s)。故p(D|M_s)通常被称为贝叶斯框架下的“模型证据”^[15]。

根据条件概率准则，“模型证据”p(D|M_s)可表示为

$p(D|{M_{\text{s}}}) = \frac{{p(D|{\mathit{\Theta} _{\text{s}}},{M_{\text{s}}})p({\mathit{\Theta} _{\text{s}}}|{M_{\text{s}}})}}{{p({\mathit{\Theta} _{\text{s}}}|D,{M_{\text{s}}})}} 。$

(10)

式中： ${\mathit{\Theta} _{\text{s}}}$ = {l_t, σ_f, σ_ε} (t = 1, 2, …, d_s)为GPR模型M_s超参数的集合；d_s为模型M_s输入变量的个数；p(D| ${\mathit{\Theta} _{\text{s}}}$ , M_s)表示给定模型M_s以及对应超参数 ${\mathit{\Theta} _{\text{s}}}$ 时的似然函数；p( ${\mathit{\Theta} _{\text{s}}}$ |M_s)和p( ${\mathit{\Theta} _{\text{s}}}$ |D，M_s)分别表示模型M_s超参数Θ_s的先验分布与后验分布。计算“模型证据”p(D|M_s)等价于计算其对数值ln[p(D|M_s)]，且后者数值计算上更加稳定。根据文献[18]，ln[p(D|M_s)]可表示为

$\ln \left[ {p(D|{M_{\text{s}}})} \right] \approx \frac{1}{{{N_c}}}\sum\limits_{q = 1}^{{N_c}} {\ln \left[ {p(D|\mathit{\Theta} _{\text{s}}^q,{M_{\text{s}}})} \right]} - \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{{{N_c}}}\sum\limits_{q = 1}^{{N_c}} {\left( {\ln \frac{{p(\mathit{\Theta} _{\text{s}}^q{\text{|}}D,{M_{\text{s}}})}}{{p(\mathit{\Theta} _{\text{s}}^q{\text{|}}{M_{\text{s}}})}}} \right)} 。$

(11)

式中， $p(D|{\mathit{\Theta}} _{\text{s}}^q,{M_{\text{s}}})$ ， $p(\mathit{\Theta} _{\text{s}}^q{\text{|}}{M_{\text{s}}})$ 及 $p(\mathit{\Theta} _{\text{s}}^q{\text{|}}D,{M_{\text{s}}})$ 分别为超参数 $\mathit{\Theta} _s^{}$ 的第q组MCMC样本所对应的似然函数、先验分布以及后验分布，可以分别采用式（7），（8）以及文献[]的方法进行计算，N_c为超参数 $\mathit{\Theta} _s^{}$ 的MCMC样本数量。

2. UCS预测最优模型选择方法概述

贝叶斯方法耦合GPR可实现UCS最优估计模型的确定，为了对比说明本文所提方法的优越性，本节介绍了一些其他方法以达到同样的目的，如前文提起的AIC、BIC、DIC以及KIC，进而与GPR结合构成AIC-GPR、BIC-GPR、DIC-GPR、KIC-GPR方法。通过介绍上述4种准则确定最优模型的基本原理和假设，为进一步深入探讨fB-GPR方法构建UCS最优估计模型提供参考。

2.1 贝叶斯信息准则BIC

贝叶斯信息准则BIC以贝叶斯理论为基础，结合信息准则从而实现模型选择。BIC通常假设自变量服从独立同分布，工程中常用的分布包括均匀分布、正态分布、对数正态分布等，BIC可根据下式进行计算^[20]：

$\mathrm{BIC}=-2 \ln \hat{L}_{\mathrm{s}}+Q_{\mathrm{s}} \ln n_{\mathrm{V}}。$

(12)

式中： ${\hat L_{\text{s}}} = p(D|{\hat {\mathit{\Theta}} _{\text{s}}},{M_{\text{s}}})$ 为给定模型M_s的最大似然函数； ${\hat {\mathit{\Theta}} _{\text{s}}}$ 为 $\mathit{\Theta} _s^{}$ 的后验概率最大时所对应的超参数； ${Q_s}$ 为模型M_s包含的超参数的数量，反映了模型的复杂程度。理论上，BIC的值越小，模型的性能越好，即在模型的复杂程度相对较低的情况下，可达到较好的拟合效果。

2.2 赤池信息准则AIC

赤池信息准则AIC通过最小化备选模型的测量值与预测值间的Kullback-Liebler散度进行模型选择，计算公式如下^[21]：

$\mathrm{AIC}=-2 \ln \hat{L}_{\mathrm{s}}+2 Q_{\mathrm{s}} \quad 。$

(13)

相比于BIC，AIC并未考虑试验样本数量的影响。与BIC类似，AIC的值越小，模型的泛化性能越好。

考虑到试验条件、时间成本等因素，往往容易发生样本量不足导致过拟合，即选出的最优模型考虑的因素过多而使其泛化能力大幅下降。因此，针对小样本数据提出了修正的赤池信息准则AICc^[22]：

$\mathrm{AICc}=\mathrm{AIC}+\frac{2 Q_{\mathrm{s}}\left(Q_{\mathrm{s}}+1\right)}{n_{\mathrm{V}}-Q_{\mathrm{s}}-1}。$

(14)

相比于AIC，AICc考虑了样本量对模型选择的影响。当样本量趋于无穷大时，即样本数量足够多时，AICc趋近于AIC。AICc越小，表示模型的性能越好。

2.3 偏差信息准则DIC

以贝叶斯理论和信息准则为基础，Spiegelhalter等^[23]提出了偏差信息准则DIC，计算公式如下^[9]：

$\text{DIC} = \overline {D({\mathit{\Theta} _{\text{s}}})} + {p_\text{D}}\text{，}$

(15)

${p_\text{D}} = \overline {D({\mathit{\Theta} _{\text{s}}})} - D(\overline {{\mathit{\Theta} _{\text{s}}}} )。$

(16)

式中：偏差 $D({\mathit{\Theta} _{\text{s}}}) =$ -2ln[p(D| ${\mathit{\Theta} _{\text{s}}}$ , M_s)]； $D(\overline {{\mathit{\Theta} _{\text{s}}}} ) =$ $\frac{1}{{{N_c}}}\sum\limits_{q = 1}^{{N_c}} {D(\mathit{\Theta} _{\text{s}}^q)}$ 为偏差 $D({\mathit{\Theta} _{\text{s}}})$ 的均值； $D(\overline {{\mathit{\Theta} _{\text{s}}}} ) =$ $D\left( {\frac{1}{{{N_c}}}\sum\limits_{q = 1}^{{N_c}} {\mathit{\Theta} _{s} ^q} } \right)$ 为 ${\mathit{\Theta} _{\text{s}}}$ 的均值的偏差； ${p_\text{D}}$ 为DIC中模型有效参数的数量，反映模型的复杂程度。

DIC建立于超参数后验样本基础之上。相比于AIC和BIC考虑所有输入参数，DIC计算时仅考虑模型有效参数的数量，大大提高了计算效率。对于线性模型或层次模型，模型有效参数的数量等于模型参数的数量。

2.4 Kullback信息准则

Kullback信息准则KIC^[24]通过对测量值与预测值间的Kullback对称散度的变体进行非对称无偏估计，从而达到模型选择的目的。KIC可根据下式计算：

$\mathrm{KIC}=-2 \ln \hat{L}_{\mathrm{s}}+3\left(Q_{\mathrm{s}}+1\right) 。$

(17)

随着超参数数量的增加，KIC容易将过拟合的模型选出。因此，针对单变量线性回归模型和自回归模型，Seghouane等^[25]提出了KICc，计算公式如下：

$\mathrm{KICc}=-2 \ln \hat{L}_{\mathrm{s}}+\frac{\left(Q_{\mathrm{s}}+1\right)\left(3 n_{\mathrm{V}}-Q_{\mathrm{s}}-2\right)}{n_{\mathrm{v}}-Q_{\mathrm{s}}-2}+\frac{Q_{\mathrm{s}}}{n_{\mathrm{V}}-Q_{\mathrm{s}}} 。$

(18)

相比于KIC，KICc的模型选择能力有所提高，且不易发生过拟合。

3. 基于实测试验数据的模型选择结果对比分析

为了说明本文所提贝叶斯高斯过程回归fB-GPR方法在UCS最优估计模型上的表现，本节采用实际工程案例进行详细说明，并与基于其他模型筛选准则的高斯过程回归方法即AIC-GPR、BIC-GPR、DIC-GPR以及KIC-GPR进行了对比。

3.1 岩性参数数据集概述

本文使用的岩石参数来源于文献[11]，岩样取自中国澳门，为Ⅲ级花岗岩。岩性指标包括点荷载强度指标I_s50、施密特回弹值R_L、纵波波速v_p、有效孔隙率η_e、相对质量密度G_s以及岩石单轴抗压强度UCS。该数据集包含115组数据，其基本统计特征见表 1，各变量之间的相关性如图 1所示。由图 1可知，UCS与I_s50、R_L以及v_p具有较强线性相关性，与η_e、G_s相关性较弱。各岩石指标与UCS的相关性大小虽然一定程度上能够显示出与UCS的关系，但并不能作为直接确定最优估计模型的依据。

表 1 岩性参数数据集的基本统计特征

Table 1. Basic descriptive statistics of rock index database

参数	UCS/ MPa	I_s50/ MPa	R_L	v_p/(m·s^-1)	η_e/%	G_s
最小值	20.30	1.08	16.80	1160.00	0.64	2.42
平均值	49.65	4.47	42.30	4145.69	2.27	2.57
最大值	91.00	8.19	56.50	5661.00	7.23	2.66
标准值	15.65	1.63	7.51	841.73	1.53	0.05

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图 1 岩性参数各变量相关关系图

Figure 1. Pearson correlation coefficient among rock indices

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3.2 基于fB-GPR的UCS估计

为验证fB-GPR模型的泛化性能，将3.1节中的数据集划分为两部分：训练集和验证集，分别包含85组和30组岩性参数数据对。基于式（8）计算备选模型的先验分布，取 $\mathit{\Theta} _i^L = {10^{ - 5}}$ ， $\mathit{\Theta} _i^U = {10^5}$ ；根据文献[16，19]中的方法产生并收集每个高斯过程回归超参数的MCMC样本，样本数量为5000；采用收集到的MCMC样本构造高斯过程回归超参数的后验分布，并根据式（11）计算每个备选模型的“模型证据”对数值ln[p(D|M_s)]，结合式（9），可进一步计算得到每个备选模型被选择的概率；考虑所有输入变量组合的情况，共包含31个GPR模型，如表 2所示；对每个GPR模型分别重复上述步骤，计算得到各备选模型的ln[p(D|M_s)]与其相对应的概率，如表 2所示；比较所有备选模型的ln[p(D|M_s)]，并选出ln[p(D|M_s)]最大值所对应的备选模型，即为UCS预测的最优模型。由表 2可以看出，M-7被选择的概率达到0.688，远远大于其他模型被选择的概率。输入新的岩性参数指标，根据式（3），（4）即可对最优模型的UCS进行预测，计算得到的均值即为UCS最可能的预测值，方差体现了预测结果的不确定性。

表 2 模型编号及其对应的岩性参数指标

Table 2. Candidate models for model selection and corresponding rock indices

模型编号	I_s50/MPa	R_L	v_p/(m·s^-1)	η_e/%	G_s	“模型证据” 的对数值	概率	R²
模型编号	I_s50/MPa	R_L	v_p/(m·s^-1)	η_e/%	G_s	“模型证据” 的对数值	概率	训练集	验证集
M-1	▲					-450.66	3.27×10^-14	0.72	0.60
M-2		▲				-468.83	4.19×10^-22	0.52	0.49
M-3			▲			-451.09	2.13×10^-14	0.69	0.69
M-4				▲		-479.57	9.14×10^-27	0.38	0.33
M-5					▲	-486.61	7.94×10^-30	0.22	0.19
M-6	▲	▲				-450.14	5.51×10^-14	0.75	0.63
M-7	▲		▲			-419.98	0.688	0.89	0.84
M-8	▲			▲		-447.66	6.54×10^-13	0.77	0.67
M-9	▲				▲	-450.96	2.42×10^-14	0.74	0.62
M-10		▲	▲			-437.88	1.15×10^-8	0.80	0.79
M-11		▲		▲		-470.91	5.27×10^-23	0.53	0.49
M-12		▲			▲	-471.13	4.21×10^-23	0.53	0.49
M-13			▲	▲		-444.98	9.58×10^-12	0.82	0.79
M-14			▲		▲	-451.24	1.84×10^-14	0.72	0.71
M-15				▲	▲	-481.87	9.14×10^-28	0.38	0.34
M-16	▲	▲	▲			-421.69	0.125	0.89	0.84
M-17	▲	▲		▲		-449.34	1.23×10^-13	0.78	0.67
M-18	▲	▲			▲	-451.48	1.45×10^-14	0.75	0.64
M-19	▲		▲	▲		-421.99	9.21×10^-2	0.89	0.84
M-20	▲		▲		▲	-422.43	5.96×10^-2	0.89	0.84
M-21	▲			▲	▲	-449.80	7.74×10^-14	0.77	0.67
M-22		▲	▲	▲		-440.12	1.24×10^-9	0.80	0.79
M-23		▲	▲		▲	-440.40	9.37×10^-10	0.80	0.79
M-24		▲		▲	▲	-473.20	5.32×10^-24	0.53	0.49
M-25			▲	▲	▲	-447.12	1.13×10^-12	0.82	0.80
M-26	▲	▲	▲	▲		-423.83	1.47×10^-2	0.89	0.84
M-27	▲	▲	▲		▲	-424.15	1.06×10^-2	0.89	0.84
M-28	▲	▲		▲	▲	-451.70	1.16×10^-14	0.77	0.67
M-29	▲		▲	▲	▲	-424.35	8.70×10^-3	0.89	0.84
M-30		▲	▲	▲	▲	-442.47	1.17×10^-10	0.80	0.79
M-31	▲	▲	▲	▲	▲	-426.30	1.23×10^-3	0.89	0.84

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此外，这里采用决定系数R²衡量各备选模型对UCS的预测性能，计算公式如下：

${R^2} = 1 - \frac{{\sum\limits_{i = 1}^{{n_\text{V}}} {{{({y_i} - {\mu _{{\text{UCS}},i}})}^2}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^{{n_\text{V}}} {{{({y_i} - {\mu _y})}^2}} }} 。$

(19)

式中：y_i和 ${\mu _{{\text{UCS}},i}}$ 分别为第i个UCS的测量值和预测值；μ_y为n_V个UCS测量值的均值。表 2列出了各备选模型的R²，可以看出，训练集中M-7的R²达到了0.89，模型M-16、M-19、M-20、M-26、M-27、M-29、M-31的R²虽然也达到了0.89，但与M-7相比，模型中的参数数量增加了1~3个，模型的复杂度有所增加。为验证最优模型M-7的泛化性能，表 2给出了测试集中M-7的R²，达到了0.84。图 2给出了最优模型M-7的UCS测量值与预测值分布散点图及fB-GPR预测的不确定性（95%置信区间），可以看出，散点均分布在1∶1线附近。这进一步说明确定M-7为最优模型的合理性。此外，本文进一步统计了图 2中训练集、验证集中UCS的测量值落在95%置信区间的百分比，分别为75.29%与66.67%，均小于95%。这说明通过fB-GPR方法进行UCS预测时，尽管可以相对准确地预测了UCS，但反映预测结果不确定性的标准差是偏小的，需进一步对该方法进行改进，以更加准确地对预测结果的不确定性进行量化。

图 2 测量值与预测值分布散点图及fB-GPR预测的不确定性

Figure 2. Scatter plot between measured and predicted UCS and uncertainty of UCS prediction by fB-GPR

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3.3 不同模型选择方法测试结果对比分析

为进一步对比不同方法下的UCS预测性能及模型选择结果的准确性，表 3列出了不同方法在进行UCS估计时最优模型及该模型对UCS的预测性能。由表 3可知：不同方法的模型选择结果有所不同，BIC-GPR、AIC-GPR、AICc-GPR、KIC-GPR及KICc-GPR将同时包含I_s50、R_L和v_p的模型确认为最优模型，DIC-GPR将同时包含I_s50、v_p和η_e的模型选为最优模型。这是由于R_L与η_e对于岩石单轴抗压强度UCS的预测同样发挥作用。但随着模型参数的增加，模型复杂度也同步提高。

表 3 不同方法的模型选择结果对比

Table 3. Comparison of model selection results by different methods

方法	I_s50/MPa	R_L	v_p/(m·s^-1)	η_e/%	G_s	R²
文献[11]	▲		▲			0.83
fB-GPR	▲		▲			0.89
BIC-GPR	▲	▲	▲			0.89
AIC-GPR	▲	▲	▲			0.89
AICc-GPR	▲	▲	▲			0.89
DIC-GPR	▲		▲	▲		0.89
KIC-GPR	▲	▲	▲			0.89
KICc-GPR	▲	▲	▲			0.89

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然而，随着模型复杂度的增加，上述模型的预测能力并未提高，与fB-GPR选出的模型（仅包含I_s50和v_p）一致，决定系数R²均为0.89。同时，表 3列出了文献[11]基于线性假设与变量转换的模型选择结果，其所涉及变量与fB-GPR的模型选择结果相同。相比之下，fB-GPR方法不需要变量的额外变换，且预测模型的R²大于文献[11]中的值。这进一步说明利用fB-GPR确定UCS最优估计模型的合理性。

3.4 统计特征分析

为检验所提fB-GPR方法的适用性，将真实数据按与前述相同的比例（训练集包含85组，验证集包含30组岩性参数）随机划分100次，统计各模型选择方法选出的最优模型编号及其被选为最优模型的次数，如表 4所示。可以看出，基于本文所提出的fB-GPR方法，在100次训练中模型M-7被选为最优模型的次数达到100，最优模型选择的准确性远远优于其他模型选择方法。

表 4 各模型选择方法选出的最优模型编号及其被选为最优模型的次数统计

Table 4. Number of optimal models selected by each method and number of times selected as the optimal model

模型	fB-GPR	AIC -GPR	AICc -GPR	BIC -GPR	DIC -GPR	KIC -GPR	KICc -GPR
M-7	100	14	18	51	81	29	31
M-16	0	83	80	47	14	69	67
M-19	0	3	2	2	5	2	2

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图 3给出了将真实数据随机划分100次，基于fB-GPR方法计算得到的验证集中决定系数R²分布的箱形图。可以看出，尽管模型M-16、M-19、M-20、M-26、M-27、M-29、M-31中的输入变量相比于模型M-7有所增加，模型复杂度增大，但这些备选模型的R²并未大幅提升，进一步证明了M-7作为最优模型的合理性。

图 3 验证集中决定系数R²分布的箱形图

Figure 3. Box plot of R² for testing database

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图 4给出了各模型选择方法选出的次数最多的模型所对应的R²在验证集中的统计特征。可以看出，各方法选出的最优模型所对应的验证集的R²的均值均在0.8~0.9，说明各方法选出的最优模型均可较为准确地预测UCS，同时具有较好的泛化性能。然而，基于fB-GPR方法以外的模型选择方法（如AIC-GPR、AICc-GPR、KIC-GPR、KICc-GPR）所确定的最优模型M-16相比于模型M-7更为复杂，但对应模型决定系数R²的统计特征并未明显提升；尽管在100次随机试验中BIC-GPR和DIC-GPR方法将M-7确定为最优模型的概率较大，分别达到51%与81%，但fB-GPR方法将M-7选为最优模型的概率可达到100%，模型选择的准确率远远高于BIC-GPR和DIC-GPR方法。由图 4还可看出，基于KIC-GPR和KICc-GPR方法选定模型的决定系数R²的变化范围相比于fB-GPR方法较小，此现象可能是由于在100次随机试验中，它们确定M-16为最优模型的次数只有不到70次，而基于fB-GPR方法确定M-7为最优模型的次数达到100次。图 4中对应fB-GPR的箱形图体现了100次R²的统计结果，而对应KIC-GPR和KICc-GPR的箱形图体现了不到70次R²的统计结果。

图 4 各模型选择方法选出的次数最多的模型所对应的R²在验证集中的统计特征

Figure 4. Statistical characteristics of R² in testing dataset corresponding to model selected most frequently by each method

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4. 敏感性分析

由于上述案例基于实测数据，因此，基于fB-GPR构建的UCS最优模型的真实性无法得到验证。为进一步验证各模型选择方法的鲁棒性和准确性，这里以文献[]中的岩性参数的统计特征为基础，产生模拟数据进一步分析。该模型主要以 ${I_{\text{s}}}_{50}$ 和v_p作为UCS估计变量。此外，为了对比文中各种方法，将R_L、η_e和G_s亦作为输入变量。假设各输入变量均服从对数正态分布，均值和标准差分别为表 1中统计得到的各岩性参数的均值和标准差。用以生成模拟数据的UCS模型如下：

${\text{UCS}} = 5.01{I_{\text{s}}}_{50} + 0.05\exp (0.0386{R_L}) + \\ \ \ \ \ \ \ \ 5.52\exp (0.0004{v_p}) - 0.05\ln ({\eta _e}) - 0.05{G_{\text{s}}} - {\sigma _\varepsilon } 。$

(20)

式中，相比于 ${I_{\text{s}}}_{50}$ 和 ${v_p}$ ，其他参数对于模型的贡献很小，5.01I_s50，0.05exp(0.0386R_L)，5.52exp(0.0004v_p)，0.05ln(η_e)和0.05G_s的标准差分别为8.166 MPa，0.067，7.730 m/s，0.009%和0.003。因此，考虑模型的复杂度与拟合度，UCS的最优模型只应包含 ${I_{\text{s}}}_{50}$ 和v_p。以上述模型为基础，本节探讨了误差值以及样本量对模型选择结果的影响。

4.1 误差值对模型选择结果的影响

在岩石参数测试过程中，不可避免产生试验误差，如岩芯尺寸误差、操作误差等。因此，在产生模拟数据时，需考虑误差对UCS估计值的影响。首先，考虑误差值为UCS标准差的0，0.1%（0.015 MPa），0.2%（0.030 MPa），0.3%（0.045 MPa），0.4%（0.060 MPa），0.5%（0.075 MPa）时（工况1），模型选择结果的变化规律。设置样本量n_V = 100，结果如图 5（a），（b）所示。由图 5（a）可以看出，当误差值为0时，采用AIC-GPR、AICc-GPR、BIC-GPR、KIC-GPR及KICc-GPR的方法，最优模型M-7被选择的概率为0，而包含所有参数的模型M-31被选择的概率相对较高，分别为68%，67%，67%，67%，67%（见图 5（b））。分析认为，由于上述方法在进行模型选择时，只要输入变量对模型略有贡献，就倾向于将该变量包含在内的模型选出。误差值由0增加到0.075 MPa（误差值达到0.075 MPa时，误差对UCS估计值的贡献大于R_L、η_e和G_s），采用AIC-GPR、AICc-GPR、BIC-GPR、KIC-GPR及KICc-GPR的方法，M-31被选择的概率总体呈下降趋势，这是由于在此过程中误差值对UCS估计值的贡献逐渐超越部分参数的贡献，上述方法在平衡模型的复杂度与拟合程度后，M-31作为最优模型被选择的概率下降。

图 5 误差值对模型选择结果的影响

Figure 5. Influences of measurement noise on model selection

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相比之下，fB-GPR和DIC-GPR在误差值较小（UCS标准差的0.5%以内）时，仍可将部分最优模型M-7选出，所提fB-GPR方法正确选择的概率远远大于DIC-GPR方法。误差值在0.1%~0.5%的UCS标准差范围内时，fB-GPR方法正确选择M-7的概率在75%~85%，即误差值在UCS标准差的0.5%以内时，fB-GPR方法考虑了R_L、η_e和G_s对UCS估计的贡献，会选出包含上述参数的部分模型。随着误差的增大，采用fB-GPR方法M-7被选择的概率总体呈上升趋势，这是因为误差的增大弱化了部分参数（R_L、η_e和G_s）对UCS估计的贡献。继增加误差值，至UCS标准差的1%（0.15 MPa），2%（0.30 MPa），3%（0.45 MPa），4%（0.60 MPa），5%（0.75 MPa）（工况2），结果如图 5（c），（d）所示。可以看出，在此阶段最优模型M-7被选出的概率大幅度提高，M-31被选出的概率几乎为0。分析认为，此阶段误差对UCS估计值的贡献相比于R_L，η_e和G_s越来越明显，但其最大值仅为0.75 MPa，远远小于含 ${I_{\text{s}}}_{50}$ 和v_p的贡献，对于模型选择来说是有利的，因为一方面误差的存在可有效过滤掉包含R_L、η_e和G_s的模型，另一方面此时的误差值不会明显影响UCS估计值的大小。

当误差值提高至UCS标准差的10%（1.5 MPa），20%（3.0 MPa），30%（4.5 MPa），40%（6.0 MPa），50%（7.5 MPa）时（工况3），模型选择结果如图 5（e），（f）所示。可以看出，当误差值在UCS标准差的30%以内时，各方法的模型选择结果相对比较稳定，说明误差值小于4.5 MPa时，误差的存在并不会对模型选择产生显著的影响；继续增大误差值至UCS标准差的50%，在此区间采用AIC-GPR、AICc-GPR、BIC-GPR、KIC-GPR及KICc-GPR的方法，M-7被选出的概率产生了较大幅度的波动，fB-GPR和DIC-GPR模型选择的结果波动不大，但fB-GPR模型选择结果的准确率显著高于DIC-GPR，说明当误差值大于UCS标准差的30%时，AIC-GPR、AICc-GPR、BIC-GPR、KIC-GPR及KICc-GPR的方法已不能准确地进行模型选择，而本文所提的fB-GPR即使在误差值达到UCS标准差的50%时，其模型选择的准确率仍高达96%，进一步验证了fB-GPR方法的鲁棒性和准确性。

综上所述，在进行模型选择时，若采用AIC-GPR、AICc-GPR、BIC-GPR、KIC-GPR及KICc-GPR的方法，误差值在一定的范围内才能准确地进行模型选择：误差太大或太小均对模型选择结果不利。这意味着实际工程应用中模型选择结果是否可靠应通过对比试验误差的数量级进行合理判定。当误差值大于UCS标准差的0.5%并小于50%时，随着误差值的增大，虽然采用DIC-GPR的方法M-7被选择的概率总体处于增加的趋势，但相比于其他方法，其模型选择结果的准确性是相对较低的；而采用本文所提的fB-GPR方法，其受UCS试验误差影响较小，同时其模型选择的效果相对较好。

4.2 样本量对模型选择结果的影响

为探讨样本量对模型选择结果的影响，本文设置了 ${n_{\text{V}}}$ = 25，50，75，100，150，200共6种情况。取试验误差值为UCS标准差的20%（3.0 MPa），样本量对模型选择结果的影响如图 6所示，可以看出，当样本量分别为25和50时，AICc-GPR方法相比于AIC-GPR方法最优模型M-7被选择的准确率分别提高了11.52%和6.17%，KICc-GPR方法相比于KIC-GPR方法分别提高了4.60%和3.19%，说明样本量较少（样本数量在25至50范围内）时，AICc-GPR和KICc-GPR可提高模型选择的准确性。本文所提的fB-GPR在样本量达到50以上时，模型选择结果逐渐趋于稳定，不再发生大幅度波动。综上，当样本量大于50时，可以考虑利用fB-GPR方法构建UCS最优模型。由图 6（b）可以看出，所有样本量工况下，M-31被选择的概率几乎均为0，说明当试验误差相对较小时，即使样本数量相对较少，各模型选择方法也可保证包含所有较小贡献的输入变量的备选模型（即最复杂模型）不被选出。

图 6 样本量对模型选择结果的影响

Figure 6. Influences of sample size on model selection

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5. 结论

本文首先介绍了贝叶斯高斯过程回归fB-GPR的基本原理；其次，对几种模型选择方法的适用范围和计算原理进行概述；接着基于岩性参数试验数据，对UCS模型预测性能及模型选择结果进行了初步对比分析，最后基于给定模型与模拟数据，探讨了误差值以及样本量对模型选择结果的影响。得到以下3点结论。

（1）基于岩性参数试验数据进行UCS预测与模型选择，贝叶斯高斯过程回归方法的模型选择结果最为准确，同时可实现对UCS较为准确地估计，训练集决定系数可达到0.89。

（2）对实际工程案例进行100次随机试验，本文所提的fB-GPR方法将M-7选为最优模型的概率可达到100%，最优模型选择的准确率远远高于其他模型选择方法。

（3）误差值太小或太大均不利于模型选择，误差值太小时，选出的模型考虑的参数较多，模型过于复杂，误差值太大时，会影响UCS预测的准确性。fB-GPR在误差值达到UCS标准差的50%时，仍可准确地进行模型选择，验证了fB-GPR方法的鲁棒性和准确性。

图 1 岩性参数各变量相关关系图

Figure 1. Pearson correlation coefficient among rock indices

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图 2 测量值与预测值分布散点图及fB-GPR预测的不确定性

Figure 2. Scatter plot between measured and predicted UCS and uncertainty of UCS prediction by fB-GPR

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图 3 验证集中决定系数R²分布的箱形图

Figure 3. Box plot of R² for testing database

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图 4 各模型选择方法选出的次数最多的模型所对应的R²在验证集中的统计特征

Figure 4. Statistical characteristics of R² in testing dataset corresponding to model selected most frequently by each method

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图 5 误差值对模型选择结果的影响

Figure 5. Influences of measurement noise on model selection

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图 6 样本量对模型选择结果的影响

Figure 6. Influences of sample size on model selection

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表 1 岩性参数数据集的基本统计特征

Table 1 Basic descriptive statistics of rock index database

参数	UCS/ MPa	I_s50/ MPa	R_L	v_p/(m·s^-1)	η_e/%	G_s
最小值	20.30	1.08	16.80	1160.00	0.64	2.42
平均值	49.65	4.47	42.30	4145.69	2.27	2.57
最大值	91.00	8.19	56.50	5661.00	7.23	2.66
标准值	15.65	1.63	7.51	841.73	1.53	0.05

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表 2 模型编号及其对应的岩性参数指标

Table 2 Candidate models for model selection and corresponding rock indices

模型编号	I_s50/MPa	R_L	v_p/(m·s^-1)	η_e/%	G_s	“模型证据” 的对数值	概率	R²
模型编号	I_s50/MPa	R_L	v_p/(m·s^-1)	η_e/%	G_s	“模型证据” 的对数值	概率	训练集	验证集
M-1	▲					-450.66	3.27×10^-14	0.72	0.60
M-2		▲				-468.83	4.19×10^-22	0.52	0.49
M-3			▲			-451.09	2.13×10^-14	0.69	0.69
M-4				▲		-479.57	9.14×10^-27	0.38	0.33
M-5					▲	-486.61	7.94×10^-30	0.22	0.19
M-6	▲	▲				-450.14	5.51×10^-14	0.75	0.63
M-7	▲		▲			-419.98	0.688	0.89	0.84
M-8	▲			▲		-447.66	6.54×10^-13	0.77	0.67
M-9	▲				▲	-450.96	2.42×10^-14	0.74	0.62
M-10		▲	▲			-437.88	1.15×10^-8	0.80	0.79
M-11		▲		▲		-470.91	5.27×10^-23	0.53	0.49
M-12		▲			▲	-471.13	4.21×10^-23	0.53	0.49
M-13			▲	▲		-444.98	9.58×10^-12	0.82	0.79
M-14			▲		▲	-451.24	1.84×10^-14	0.72	0.71
M-15				▲	▲	-481.87	9.14×10^-28	0.38	0.34
M-16	▲	▲	▲			-421.69	0.125	0.89	0.84
M-17	▲	▲		▲		-449.34	1.23×10^-13	0.78	0.67
M-18	▲	▲			▲	-451.48	1.45×10^-14	0.75	0.64
M-19	▲		▲	▲		-421.99	9.21×10^-2	0.89	0.84
M-20	▲		▲		▲	-422.43	5.96×10^-2	0.89	0.84
M-21	▲			▲	▲	-449.80	7.74×10^-14	0.77	0.67
M-22		▲	▲	▲		-440.12	1.24×10^-9	0.80	0.79
M-23		▲	▲		▲	-440.40	9.37×10^-10	0.80	0.79
M-24		▲		▲	▲	-473.20	5.32×10^-24	0.53	0.49
M-25			▲	▲	▲	-447.12	1.13×10^-12	0.82	0.80
M-26	▲	▲	▲	▲		-423.83	1.47×10^-2	0.89	0.84
M-27	▲	▲	▲		▲	-424.15	1.06×10^-2	0.89	0.84
M-28	▲	▲		▲	▲	-451.70	1.16×10^-14	0.77	0.67
M-29	▲		▲	▲	▲	-424.35	8.70×10^-3	0.89	0.84
M-30		▲	▲	▲	▲	-442.47	1.17×10^-10	0.80	0.79
M-31	▲	▲	▲	▲	▲	-426.30	1.23×10^-3	0.89	0.84

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表 3 不同方法的模型选择结果对比

Table 3 Comparison of model selection results by different methods

方法	I_s50/MPa	R_L	v_p/(m·s^-1)	η_e/%	G_s	R²
文献[11]	▲		▲			0.83
fB-GPR	▲		▲			0.89
BIC-GPR	▲	▲	▲			0.89
AIC-GPR	▲	▲	▲			0.89
AICc-GPR	▲	▲	▲			0.89
DIC-GPR	▲		▲	▲		0.89
KIC-GPR	▲	▲	▲			0.89
KICc-GPR	▲	▲	▲			0.89

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表 4 各模型选择方法选出的最优模型编号及其被选为最优模型的次数统计

Table 4 Number of optimal models selected by each method and number of times selected as the optimal model

模型	fB-GPR	AIC -GPR	AICc -GPR	BIC -GPR	DIC -GPR	KIC -GPR	KICc -GPR
M-7	100	14	18	51	81	29	31
M-16	0	83	80	47	14	69	67
M-19	0	3	2	2	5	2	2

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