Binary-medium constitutive model for frozen soils based on CT dynamic scanning
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摘要: 开展荷载作用下冻土的宏-细观力学特性试验研究，对揭示冻土细观力学特性和建立宏-细观力学性质之间的联系具有重要的意义。利用重新研制的可配合医用CT进行扫描的冻土三轴仪开展了不同温度、围压条件下的饱和冻土常规三轴压缩试验研究，其中在轴向加载过程中共对试样进行了8次CT扫描。通过对CT数平均值和应力应变曲线的分析发现：当应力应变曲线表现为应变硬化时，冻土试样CT数平均值随着轴向应变的增加而线性降低；当应力应变曲线表现为应变软化时，试样CT数平均值在软化阶段加速降低。结合动态扫描过程中试样CT数平均值的变化规律，提出利用试样CT数平均值对体积破损率进行表征，建立了饱和冻土的二元介质细观本构模型，并利用试验数据对建立的本构模型进行了验证，结果表明提出的本构模型能够很好的预测冻土在常规三轴应力路径下的应力应变行为。Abstract: It is of great significance to carry out experimental researches on the macro-meso-mechanical properties of frozen soils to reveal the mechanism and the relationship between the meso- and the macro-meso-mechanical properties of frozen soils. The triaxial compression tests on the saturated frozen soils under four temperatures and four confining pressures are carried out by using the newly developed frozen soil triaxial instrument, which can cooperate with medical CT for dynamic scanning. A total of 8 CT dynamic scans are performed on the samples during the axial loading process. Through the statistical analysis of CT numbers and stress-strain curves, it is found that when the stress-strain curve is strain hardening, the average CT number of the frozen soil samples decreases linearly with the increase of the axial strain. When the stress-strain curve is strain softening, the average CT number of the frozen soil samples decreases rapidly at the softening stage. Based on the evolution laws of the average CT number of samples during the process of dynamic scanning, the breakage rate is characterized by the average CT number value, and the mesoscopic constitutive model for the saturated frozen soils is established, and the established constitutive model is verified through the test data. The results show that the proposed constitutive model can well predict the stress-strain behavior of frozen soils under the conventional triaxial stress path.
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0. 引言
冻土是指由土颗粒基质、冰晶、未冻水和气体组成的温度低于0℃的土体[1]。由于赋存有强流变性冰晶，使得冻土的力学行为比常规土的力学性质更为复杂。目前国内外学者针对冻土的宏观力学性质开展了广泛研究[2-7]，其中依据室内试验和现场监测结果，提出了不同的冻土强度[8-12]、本构模型[13-17]。由于冻土的强度和变形特性与冻土的微细观结构存在密切的联系[18-19]，因此研究冻土变形过程中细观结构的演化规律十分重要。
电子计算机断层扫描（CT）具有无损检测、观测内部细观结构等优点，在医用领域中取得广泛应用。CT扫描技术不仅可以通过断面图像来观察材料的微观结构及孔隙特性[20-23]，亦可通过CT数统计值对材料损伤进行定量分析，为研究岩土非破坏连续检测、内部结构演化规律和建立宏-细观力学性质之间的联系提供了可能。诸多学者利用能配合CT进行动态扫描的三轴仪开展了加载过程中样品内部结构变化规律、细观颗粒的物质迁移、裂纹演化、局部密度变化等研究[24-26]。基于冻结黄土蠕变过程中CT动态扫描试验的结果发现，冻土蠕变过程中同时存在着土体结构强化和弱化，其中微裂隙的萌发和扩展、颗粒聚合体的破坏与土体结构强化或弱化有着密切的联系，影响蠕变过程中衰减蠕变和非衰减蠕变的各个阶段[27-28]。利用CT扫描获得的图像进行CT值的统计分析，可提出基于细观结构演化规律的冻土损伤变量，建立冻土的损伤本构模型[29-30]，定量地建立冻土宏-细观力学特性之间的联系。
目前结合医用CT开展冻土三轴压缩试验的研究已取得了一定的成果，但是开展不同温度、围压条件下，冻土三轴压缩CT动态扫描的试验研究还相对较少。针对加载过程中冻土试样CT数演化规律的研究，以往的研究仅选取固定位置的CT扫描断面进行统计分析，但是在动态加载过程中，CT扫描的不是试样的同一横断面，可能会对最终的结果造成偏差。本研究采用重新研制能配合CT进行动态扫描的低温冻土三轴仪，开展了不同温度、围压条件下的饱和冻土CT动态扫描三轴压缩试验。由于冻土宏观力学性质与整个试样的CT数平均值联系更加紧密，因此统计每次扫描的30层CT图像的CT数平均值，避免了由于动态加载所带来的误差；然后结合三轴压缩加载过程中试样CT数演化规律，提出了体积破损率的表征方法，并建立了饱和冻土的细观二元介质本构模型。
1. 试验简介
1.1 试样制备
试样所用的粉土取自于甘肃省兰州市永登县高速公路旁的一处边坡，物理参数指标：天然含水率10.23%，粉土的液限、塑限分别为26.32%和18.34%，粉土颗粒级配曲线如图 1所示。依据国家规范GB/T50123—1999[31]，将取得的粉土经过晾晒、碾压，然后过筛去除有机物等杂质；将处理后的粉土装入密封袋，测量并记录下含水率为1.37%。
本研究采用控制干密度方法进行制样，干密度设定为1.78 g/cm3。根据设定好的干密度计算所需的粉土质量，同时为了便于粉土制成标准试样的形状，在粉土中加入一定量的去离子水使得其含水率达到16%，然后将含水率为16%粉土放入密封塑料袋中静置24 h，以确保水分在粉土中迁移均匀；利用特定的制样机和圆柱形模具，将静置好的粉土倒入圆柱形模具中，使用制样机（如图 2）将粉土压制成高为125 mm，直径为61.8 mm的标准试样，将试样上下两端放置透水石，使用侧向金属三瓣模和固定架将粉土试样固定（如图 3），然后将处理好的试样放入密闭的真空饱和罐中，抽真空不少于3 h之后，向真空饱和罐中注入去离子水，静置12 h以确保试样能够充分的饱和；取出饱和罐中的试样，将试样两端的透水石换成塑料垫片，并将试样放入-30℃的冰箱中快速冷却以防止冰透镜体的产生；冻结时间达到48 h后取出试样，并脱掉三瓣模，套上隔水橡胶套，同时将试样两端的塑料垫片换成环氧树脂垫片，放入恒温箱中静置24 h使得试样内外部温度达到一致。
1.2 试验设备
本次试验在冻土工程国家重点实验室开展，以第四代高分辨率飞利浦Brilliance 16排螺旋多能量CT机为基础，重新研制了能够配合计算机断层扫描（CT）进行动态扫描的低温三轴仪（如图 4）。该低温三轴仪总共包含三轴主机系统（含传感器）、围压稳定跟踪系统、轴压稳定跟踪系统、控制柜及电气系统、计算机控制采集系统5个部分。
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图 4 能配合CT进行动态扫描的低温冻土三轴仪Figure 4. Cryo-permafrost triaxial instrument capable of CT dynamic scanning图 5为低温三轴仪的加载仓示意图，加载仓壁开有两组独立的冷却介质循环槽用于控制加载仓温度，并利用高精度温度传感器监测对加载仓温度进行监测；加载仓顶部布置了压力传感器、位移传感器用于控制轴向加载；加载仓下部连接着围压伺服系统用于对围压进行控制。利用研制的低温三轴仪能够对50 mm×100 mm和61.8 mm×125 mm两种国际标准尺寸的试样开展不同围压、温度条件下的常规三轴、蠕变、加卸载等试验。在加载的过程中，能够对围压进行伺服控制，对温度、轴向荷载和轴向位移数据进行自动采集，并且能够满足在加载的过程中对试样进行CT扫描。低温冻土三轴仪更多的研制过程可参考论文[20]。
1.3 试验方案及过程
本文借助于能配合CT进行动态扫描的低温冻土三轴仪，开展了不同温度（-2℃，-3℃，-6℃，-10℃），不同围压（0.5，1，2，3 MPa）条件下的冻土常规三轴压缩试验。试验时，先将恒温后的冻土试样迅速放入三轴加载仓内，打开顶端、底端的冷浴使其迅速降温，利用顶端、底端的温度传感器监测加载仓内的温度，通过调节顶端、底端冷浴温度使得加载仓内的温度达到三轴试验所需温度，恒定温度2 h后，利用起重机将低温三轴仪整体放入CT机床上。然后对冻土试样施加围压并固结30 min，最后开始轴向加载，试验的轴向加载速率设置为0.3 mm/min，在轴向加载过程中，对试样总共进行8次CT扫描，分别当轴向应变达到（0%，2%，4%，6%，8%，10%，12%，15%）时进行CT扫描。当试样的轴向应变达到15%时认为试样已经发生破坏，所以在执行最后一次扫描后，轴向加载继续再加载一定时间后终止试验。
2. 试验结果分析
2.1 应力-应变曲线
图 6为不同温度、围压条件下饱和冻土的三轴压缩的应力-应变曲线。由图 6可以看出，饱和冻土的应力应变曲线表现出应变硬化，仅在低围压下应力应变曲线表现出应变软化。取应力应变曲线上的峰值作为土体强度，可看出饱和冻土的强度随着温度的降低而增加，并随着围压的增加表现出先增加后降低的变化趋势。
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图 6 不同温度、围压条件下应力应变曲线Figure 6. Stress-strain curves of saturated frozen soils under different temperatures and confining pressures2.2 CT数的变化规律
在饱和冻土常规三轴压缩的过程中，每个试样按照预先设置的扫描点总共进行了8次扫描，每次扫描所得到的试样CT横断面图是由许多像素点组成的灰度图像，每一个像素点对应一个CT数，在图像上表现为不同的灰度，其中CT值表示该区域的相对密度。本文选取CT扫描横断面中的一个圆形区域作为感兴趣区域（ROI），为了消除端部效应，本文选择中间30层CT扫描横断面作为分析对象（如图 7）；利用python程序计算所选择的30层CT横断面感兴趣区域的CT数平均值，认为计算得到的平均值代表该次扫描整个试样的CT数平均值，统计结果如图 8所示。从轴向加载开始前的初次CT扫描结果可看出饱和冻土体内颗粒分布均匀，无明显的初始结构损伤。结合应力应变曲线和CT数平均值变化规律可看出饱和冻土三轴压缩的过程中内部同时存在着土体结构强化和弱化。土体结构弱化变现为内部微裂纹不断产生，并且随着轴向应变增加，裂纹发育扩展加剧；土体结构强化表现为颗粒间咬合更加紧密，使得试样保持相对稳定。在0.5 MPa低围压时，土体的结构弱化作用强于结构强化作用，此时在宏观上表现出应力应变曲线发生应变软化；由于试样内部裂隙加速贯通，导致在细观上表现出CT数平均值加速降低而表现出非线性特征，最终试样抵抗外部荷载的能力下降而破坏。随着围压的增加，土体的结构弱化作用弱于结构强化作用，在宏观上表现为应力应变曲线为应变硬化，细观上表现出试样的CT数平均值匀速降低。本文得到饱和冻土的CT数演化规律与赵淑萍等[32]的试验结果一致，即CT数平均值开始出现加速降低时，试验应力应变曲线出现软化，认为试样发生了破坏。
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图 7 饱和冻土CT数统计分析区域Figure 7. Research area for statistical analysis of CT value of frozen soils![]()
图 8 不同温度饱和冻土CT数平均值Figure 8. Average CT values of saturated frozen soils under different temperatures根据不同温度条件下初次扫描结果可以看出，随着温度的降低，试样的CT数平均值呈现出先降低，后增加，然后再降低的趋势。整个饱和冻土试样是由未冻水、冰以及土颗粒组成，所以认为初次扫描时整个试样的CT数平均值与未冻水含量、冰以及土颗粒均相关。在负温条件下，土体中冰水相变比较明显，整个试样主要受未冻水含量的影响，随着温度降低，整个试样的CT数平均值变小。当温度降低到-6℃时，只发生微小的冰水相变，未冻水含量对试样CT数平均值影响不大，但是温度降低，土颗粒会发生收缩，导致密度增加，从而引起试样CT数平均值并不随温度降低而减少。随着温度进一步的降低，冻土内部会产生一定数量的微孔隙，导致试样的CT数平均值发生降低。
由图 8可以看出，试样CT平均数与轴向应变大致满足线性关系，定量描述可表示为
$$ H = A{\varepsilon _{\text{a}}} + B\ \ \ \ 。 $$ (1) 式中：A，B为模型参数，可通过数据拟合得到；${\varepsilon _{\text{a}}}$为轴向应变；$H$为试样CT数平均值。
3. 饱和冻土的细观二元介质本构模型
3.1 二元介质本构模型
冻土作为一种特殊的岩土材料，低温环境下氢原子的活性较低，致使冰晶具有极强的胶结特性。因此，可以将冻土看成是具有一定“结构性”的特殊岩土材料。为了充分考虑冰晶与土颗粒间的胶结特性，以及它们之间的相互作用关系，把结构性岩土材料抽象成由强胶结作用的结构块和弱胶结作用的软弱带组成的二元介质，试样在加载变形过程中结构块逐步破损并向软弱带转化，二者共同承担外荷载。由胶结块和软弱带组成的代表性单元可认为是由胶结元、摩擦元两种基本元件构成，胶结元和摩擦元彼此独立并具有自己的变形特性，在受荷过程中胶结元逐渐破损并转化为摩擦元，二者共同抵抗外部作用直至破坏。取一个代表性单元（RVE），假定代表性单元的平均应力为${\sigma _{ij}}$，平均应变为${\varepsilon _{ij}}$，则根据均匀化理论，代表性单元的平均应力、平均应变与胶结元、摩擦元的应力、应变满足如下关系[33]：
$$ {\sigma _{ij}} = (1 - \gamma )\sigma _{ij}^{\text{b}} + \gamma \sigma _{ij}^{\text{f}} \ \ \ \ \text{，}$$ (2) $$ {\varepsilon _{ij}} = (1 - \gamma )\varepsilon _{ij}^{\text{b}} + \gamma \varepsilon _{ij}^{\text{f}}\ \ \ \ 。 $$ (3) 式中：$\gamma $为体积破损率；${\sigma _{ij}}$为平均应力；$\sigma _{ij}^{\text{b}}$为胶结元应力；$\sigma _{ij}^{\text{f}}$为摩擦元应力；${\varepsilon _{ij}}$为平均应变，$\varepsilon _{ij}^{\text{b}}$为胶结元应变；$\varepsilon _{ij}^{\text{f}}$为摩擦元应变。
二元介质本构模型增量表达式为
$$ \Delta {\sigma _{ij}} = (1 - {\gamma _0})\Delta \sigma _{ij}^{\text{b}} + {\gamma _0}\Delta \sigma _{ij}^{\text{f}} + \Delta \gamma (\sigma _{ij}^{{\text{f}}0} - \sigma _{ij}^{{\text{b0}}}) \ \ \ \ \text{，}$$ (4) $$ \Delta {\varepsilon _{ij}} = (1 - {\gamma _0})\Delta \varepsilon _{ij}^{\text{b}} + {\gamma _0}\Delta \varepsilon _{ij}^{\text{f}} + \Delta \gamma (\varepsilon _{ij}^{\text{f} 0} - \varepsilon _{ij}^{{\text{b0}}})\ \ \ \ 。 $$ (5) 式中：$\sigma _{ij}^{{\text{b0}}}$，$\sigma _{ij}^{{\text{f0}}}$，$\varepsilon _{ij}^{{\text{b0}}}$，$\varepsilon _{ij}^{{\text{f0}}}$为当前步的胶结元应力、摩擦元应力、胶结元应变和摩擦元应变；$\Delta \sigma _{ij}^{\text{b}}$，$\Delta \sigma _{ij}^{\text{f}}$，$\Delta \varepsilon _{ij}^{\text{b}}$，$\Delta \varepsilon _{ij}^{\text{f}}$分别为相应的胶结元应力增量、摩擦元应力增量、胶结元应变增量和摩擦元应变增量；${\gamma _0}$为当前步的体积破损率；$\Delta \gamma $为体积破损率增量。
对于胶结元有
$$ \Delta \sigma _{ij}^{\text{b}} = D_{ijkl}^{\text{b}}\Delta \varepsilon _{ij}^{\text{b}}\ \ \ \ 。 $$ (6) 式中：$D_{ijkl}^{\text{b}}$为胶结元刚度矩阵。
对于摩擦元有
$$ \Delta \sigma _{ij}^{\text{f}} = D_{ijkl}^{\text{f}}\Delta \varepsilon _{ij}^{\text{f}}\ \ \ \ 。 $$ (7) 式中：$D_{ijkl}^{\text{f}}$为摩擦元刚度矩阵。
联立式（4）~（7）得
$$ \Delta {\sigma _{ij}} = (1 - {\gamma _0})(D_{ijkl}^{\text{b}} - D_{ijkl}^{\text{f}})\Delta \varepsilon _{ij}^{\text{b}} + D_{ijkl}^{\text{f}}\Delta \varepsilon _{kl}^{\text{b}} - \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta \gamma D_{ijkl}^{\text{f}}(\varepsilon _{ij}^{{\text{f0}}} - \varepsilon _{ij}^{{\text{b0}}}) + \Delta \gamma (\sigma _{ij}^{{\text{f0}}} - \sigma _{ij}^{{\text{b0}}}) \ \ \ \ 。 $$ (8) 体积破损率使用加载过程中CT动态扫描得到的试样CT数平均值表示为
$$ \gamma = 1 - {\text{exp}}( - \alpha {(H - {H_0})^n})\ \ \ \ 。 $$ (9) 式中：H为CT动态扫描得到的试样CT数平均值；${H_0}$为初次扫描的试样CT数平均值；$ \alpha ，n $为破损率参数。
将式（1）代入式（9）中，可得
$$ \gamma = 1 - {\text{exp}}( - \alpha {(A{\varepsilon _{\text{a}}})^n})\ \ \ \ 。 $$ (10) 由于加载过程中存在局部非均匀变形的问题，因此引入局部应变集中张量${C_{ijkl}}$，建立细观应变与宏观应变之间的关系，且满足下式：
$$ \varepsilon _{ij}^{\text{b}} = {C_{ijkl}}{\varepsilon _{kl}}\ \ \ \ 。 $$ (11) 其增量形式为
$$ \Delta \varepsilon _{ij}^{\text{b}} = C_{ijkl}^0\Delta {\varepsilon _{kl}} + \Delta {C_{ijkl}}\varepsilon _{ij}^0\ \ \ \ 。 $$ (12) 式中：$C_{ijkl}^0$为当前的局部应变集中张量；$\Delta {C_{ijkl}}$为其增量。
本文认为局部应变集中张量为各向同性，即可表示为
$$ {C_{ijkl}} = \frac{1}{2}c({\delta _{ik}}{\delta _{jl}} + {\delta _{il}}{\delta _{jk}})\ \ \ \ 。 $$ (13) 式中：$c$为局部应变系数，表达式为
$$ c = {\text{exp}}\left[ { - {{({t_{\text{c}}}{\varepsilon _{\text{v}}})}^{{r_{\text{c}}}}}} \right]\ \ \ \ 。 $$ (14) 式中：${\varepsilon _{\text{v}}}$为体积应变；${t_{\text{c}}}$与${r_{\text{c}}}$为模型参数。
联立式（8），（10）和（14），整理后得到一般应力状态下二元介质本构模型的应力增量表达式为
$$ \Delta {\sigma _{ij}} = (1 - {\gamma _0})((D_{ijmn}^{\text{b}} - D_{ijmn}^{\text{f}})C_{mnkl}^0 + D_{ijkl}^{\text{f}})\Delta {\varepsilon _{kl}} + \\ \ \ (1 - {\gamma _0})(D_{ijmn}^{\text{b}} - D_{ijmn}^{\text{f}})\Delta {C_{ijkl}}\varepsilon _{ij}^0 - \frac{{\Delta \gamma }}{{{\gamma _0}}}D_{ijkl}^{\text{f}}(\varepsilon _{ij}^0 - \varepsilon _{kl}^{{\text{b0}}}) + \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{{\Delta \gamma }}{{{\gamma _0}}}(\sigma _{ij}^0 - \sigma _{ij}^{{\text{b0}}})\ \ \ \ 。 $$ (15) 3.2 胶结元与摩擦元的本构关系
当外部荷载刚开始加载时，外部荷载全部由胶结元承担，此时破碎率$\gamma = 0$；随着荷载的增加，胶结元逐渐转为摩擦元，两种基本元件共同承担荷载；当完全破碎时，破碎率$\gamma = 1$，外部荷载全部由摩擦元承担。
通过岩土破损力学的基本思想，可认为胶结元主要是通过强黏聚力形成的材料，其变形过程具有脆性性质，故可假定胶结元为理想弹脆性材料，即在应力状态达到破坏强度以前其变性特性是线弹性，当达到破坏强度以后很快转化为二元介质中的摩擦元。故可假设胶结元的本构关系为线弹性的，其刚度矩阵为
$$ {\left[ D \right]_{\text{b}}} = \frac{{{E_{\text{b}}}}}{{{\text{(}}1 + {\nu _{\text{b}}}{\text{)}}(1 - 2{\nu _{\text{b}}})}} \cdot \\ \left[\begin{array}{cccccc}(1-{\nu }_{\text{b}})& {\nu }_{\text{b}}& {\nu }_{\text{b}}& 0& 0& 0\\ {\nu }_{\text{b}}& (1-{\nu }_{\text{b}})& {\nu }_{\text{b}}& 0& 0& 0\\ {\nu }_{\text{b}}& {\nu }_{\text{b}}& (1-{\nu }_{\text{b}})& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{(1-2{\nu }_{\text{b}})}{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \frac{(1-2{\nu }_{\text{b}})}{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \frac{(1-2{\nu }_{\text{b}})}{2}\end{array}\right]。 $$ (16) 式中：${E_{\text{b}}}$为胶结元弹性模量；${\nu _{\text{b}}}$为胶结元泊松比。
摩擦元是胶结元破损后转化而来，本文假设摩擦元的应力-应变关系可用重塑土的应力应变关系描述，由于非线性弹性邓肯-张模型具有参数及材料常数不多，物理意义明确，只需用常规三轴压缩试验即可确定等优点，被广泛的应用。许多学者利用非线性弹性邓肯-张模型描述摩擦元的力学特性[34-37]，故本文采用非线性弹性邓肯-张模型来描述摩擦元的应力-应变关系。邓肯-张模型的刚度矩阵可写为
$$ {\left[ D \right]_{\text{f}}} = \frac{{{E_{\text{f}}}}}{{(1 + {\nu _{\text{f}}})(1 - 2{\nu _{\text{f}}})}} \cdot \\ \left[\begin{array}{cccccc}(1-{\nu }_{\text{f}})& {\nu }_{\text{f}}& {\nu }_{\text{f}}& 0& 0& 0\\ {\nu }_{\text{f}}& (1-{\nu }_{\text{f}})& {\nu }_{\text{f}}& 0& 0& 0\\ {\nu }_{\text{f}}& {\nu }_{\text{f}}& (1-{\nu }_{\text{f}})& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{(1-2{\nu }_{\text{f}})}{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \frac{(1-2{\nu }_{\text{f}})}{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \frac{(1-2{\nu }_{\text{f}})}{2}\end{array}\right]。 $$ (17) 式中：${E_f}$为摩擦元切线模量；${\nu _{\text{f}}}$为摩擦元泊松比。
在常规三轴应力路径下，切线模量的表达式为
$$ {E_{\text{f}}} = {E_{\text{i}}}{\left[ {1 - \frac{{{R_{\text{f}}}{\text{(}}{\sigma _1} - {\sigma _3}{\text{)}}}}{{{{({\sigma _1} - {\sigma _3})}_{\text{f}}}}}} \right]^2}\ \ \ \ 。 $$ (18) 式中：${\sigma _1}$与${\sigma _3}$分别为第一主应力与第三主应力；${R_{\text{f}}}$为破坏比；${({\sigma _1} - {\sigma _3})_{\text{f}}}$为破坏时的强度值；${E_{\text{i}}}$为初始弹性模量。${E_{\text{i}}}$采用经验公式表示为
$$ {E_{\text{i}}} = K{p_{\text{a}}}{\left( {\frac{{{\sigma _3}}}{{{p_{\text{a}}}}}} \right)^{\text{m}}}\ \ \ \ 。 $$ (19) 式中：K为无量纲系数；m为无量纲幂次；${p_{\text{a}}}$为大气压力。
3.3 本构模型参数的确定与验证
本文建立的二元介质本构模型包含的参数为胶结元弹性模量${E_{\text{b}}}$与泊松比${\nu _{\text{b}}}$，可通过取常规三轴压缩的应力应变曲线在轴向应变为0.5%范围内的试验数据来确定；摩擦元的材料参数可以通过重塑土的常规三轴压缩试验测定，具体可见邓肯-张模型参数确定方法；破损率参数A通过上文中冻土三轴压缩CT动态扫描试验结果进行拟合，拟合结果如图 9所示，拟合参数如表 1所示；破损率参数$\alpha $，n以及局部应变张量$c$中的参数确定方法通过先假设后验证的方式[34-35]来确定。
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图 9 冻土CT数平均值拟合结果（3 MPa为例）Figure 9. Fitting results of average value of CT numbers of frozen soils (3 MPa as an example)表 1 冻土CT数平均值拟合参数（3 MPa为例）Table 1. Fitting parameters of average value of CT numbers of frozen soils (3 MPa as an example)温度/℃ A B R平方值 -2 -156.23 1388.70 0.987 -3 -122.94 1349.20 0.998 -6 -87.59 1329.60 0.993 -10 -102.58 1314.90 0.998 基于饱和冻土常规三轴压缩试验结果对提出的本构模型进行验证，验证的结果如图 10所示，模型参数如表 2所示。验证结果表明提出的冻土细观二元介质本构模型的理论结果与试验结果吻合较好，能够很好的预测冻土的力学特性，但是由于冻土CT动态扫描试验过程中无法获得体变数据，故无法对体变数据进行验证，本文在图 10给出了冻土细观二元介质本构模型的理论结果。
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图 10 冻土细观二元介质本构模型验证结果（围压=3.0 MPa）Figure 10. Validated results of binary-medium constitutive model for frozen soils表 2 冻土细观二元介质本构模型参数Table 2. Parameters of meso-binary-medium constitutive model for frozen soils温度/℃ ${E_{\text{b}}}$/107Pa ${\nu _{\text{b}}}$ K m ${R_{\text{f}}}$ ${\nu _{\text{f}}}$ ${({\sigma _1} - {\sigma _3})_{\text{f}}}$/106Pa $\alpha $ n A ${r_{\text{c}}}$ ${t_{\text{c}}}$ -2 3.0 0.1 50 0.6 0.75 0.43 1.4 0.45 0.5 156.23 0.5 15 -3 6.0 0.1 60 0.7 0.75 0.40 3.0 0.45 0.5 122.94 0.5 15 -6 8.0 0.1 100 0.8 0.75 0.35 4.0 0.45 0.5 87.59 0.5 15 -10 12.0 0.1 120 0.9 0.75 0.30 5.2 0.45 0.5 102.58 0.5 15 4. 结论
为了阐明饱和冻土的宏-细观力学特性及其联系，本研究基于重新研制可配合医用CT进行动态扫描的低温冻土三轴仪，开展了CT动态扫描条件下的系列冻土三轴压缩试验研究，得到以下4点结论。
（1）冻土强度随围压增加表现出先增大后降低的变化规律；冻土的应力应变曲线表现出应变硬化，仅在低围压下应力应变曲线表现出应变软化。
（2）当应力应变曲线表现为应变硬化时，冻土试样CT数平均值随着轴向应变的增加而线性降低，当应力应变曲线表现为应变软化时，试样CT数平均值在软化阶段加速降低。
（3）温度对冻土的CT平均数也有影响，随着温度的降低，试样的CT数平均值呈现出先降低，后增加，然后再降低的趋势。
（4）利用试样加载过程中CT数平均值表征破损率，建立冻土的二元介质细观本构模型，验证结果表明提出的本构模型能够很好的预测冻土的力学行为。
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图 4 能配合CT进行动态扫描的低温冻土三轴仪
Figure 4. Cryo-permafrost triaxial instrument capable of CT dynamic scanning
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图 6 不同温度、围压条件下应力应变曲线
Figure 6. Stress-strain curves of saturated frozen soils under different temperatures and confining pressures
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图 7 饱和冻土CT数统计分析区域
Figure 7. Research area for statistical analysis of CT value of frozen soils
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图 8 不同温度饱和冻土CT数平均值
Figure 8. Average CT values of saturated frozen soils under different temperatures
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图 9 冻土CT数平均值拟合结果（3 MPa为例）
Figure 9. Fitting results of average value of CT numbers of frozen soils (3 MPa as an example)
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图 10 冻土细观二元介质本构模型验证结果（围压=3.0 MPa）
Figure 10. Validated results of binary-medium constitutive model for frozen soils
表 1 冻土CT数平均值拟合参数（3 MPa为例）
Table 1 Fitting parameters of average value of CT numbers of frozen soils (3 MPa as an example)
温度/℃ A B R平方值 -2 -156.23 1388.70 0.987 -3 -122.94 1349.20 0.998 -6 -87.59 1329.60 0.993 -10 -102.58 1314.90 0.998 
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表 2 冻土细观二元介质本构模型参数
Table 2 Parameters of meso-binary-medium constitutive model for frozen soils
温度/℃ Eb/107Pa νb K m Rf νf (σ1−σ3)f/106Pa α n A rc tc -2 3.0 0.1 50 0.6 0.75 0.43 1.4 0.45 0.5 156.23 0.5 15 -3 6.0 0.1 60 0.7 0.75 0.40 3.0 0.45 0.5 122.94 0.5 15 -6 8.0 0.1 100 0.8 0.75 0.35 4.0 0.45 0.5 87.59 0.5 15 -10 12.0 0.1 120 0.9 0.75 0.30 5.2 0.45 0.5 102.58 0.5 15
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