Effects of particle characteristics on small-strain dynamic properties of granular materials
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摘要: 土体的小应变剪切模量和阻尼比是表征土体动力学特性的重要参数。针对文献中关于砂土颗粒形状与粒径大小对小应变动力特性的影响仍存在争议，利用能量注入式虚拟质量共振柱，系统测量了特定形状与粒径的聚碳酸酯颗粒试样的小应变剪切模量和阻尼比。试验结果表明，颗粒粒径大小对试样的小应变动力学特性影响不大，而颗粒形状则有显著影响。球形颗粒试样的小应变剪切模量小于椭球颗粒和双球颗粒的试样，而球形颗粒试样的小应变阻尼比大于椭球、双球颗粒试样。椭球和球形颗粒混合试样的小应变剪切模量和阻尼比则处于两种单一颗粒之间。小应变剪切模量与阻尼比均与颗粒综合规则度存在较好的相关性，表明综合规则度可用于表征颗粒形状对材料小应变动力特性的影响。Abstract: The small-strain shear modulus and damping ratio are the important dynamic properties of granular soils. Controversial views exist regarding the effects of particle shape and size on the small-strain dynamic properties. In this study, the small-strain shear modulus and damping ratio are measured systematically for the specimens formed by polycarbonate particles with well-controlled particle shape and size using the energy injecting virtual mass resonant column system. The test results show that the particle size has few effects on the small-strain shear modulus and damping ratio, while the particle shape has significant impacts. The shear modulus of the specimens of spherical particles is smaller than that of the elliptical particles and the clumped particles under otherwise similar conditions, while the damping ratio of the specimens of spherical particles is higher than that of the specimens of the other two particles. For the mixtures of spherical and elliptical particles, the small-strain shear modulus and damping ratio are between those of the specimens of each type of particles. The overall regularity, quantifying the shape of the particles, can be used to characterize the small-strain properties of the specimens.
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Keywords:
- particle characteristic /
- small strain /
- shear modulus /
- damping ratio /
- resonant column /
- overall regularity
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0. 引言
土体的剪切模量G和阻尼比D是土体动力学特性的重要参数，对分析自然和人为引起的各类振动荷载下的土体响应具有重要意义。G，D与土体的剪应变γ有关[1]，而土体在小应变条件下（γ= 10-6~5×10-5）基本处于线弹性阶段，其对应的剪切模量和阻尼比分别为最大模量Gmax和最小阻尼比Dmin。其中，Gmax可以由Gmax =ρVs2得到，式中，Vs为土体的剪切波速，ρ为土体密度。
已有研究表明，土体Gmax主要受到围压、孔隙比、级配特征、土体颗粒形状、应力历史等因素的影响[2-5]。在诸多因素中，围压和孔隙比是影响小应变剪切模量的两个重要参数[3, 6]，通常采用如下表达式：
Gmax=A⋅f(e)⋅(σ′pa)n。 (1) 式中A为拟合参数，反映土体特性以及其他因素的影响；f(e)为孔隙比函数，反映孔隙比e的影响；σ′为有效应力；pa为参考应力，取大气压强；n为幂指数。已有研究表明Gmax随着不均匀系数Cu增大而减小[3, 7-8]。
已有研究对土体颗粒粒径如何影响Gmax和Vs未有定论。Sharifipour等[9]利用弯曲元测试了3种不同粒径（1~3 mm）玻璃珠试样的剪切波速Vs，发现在相近的孔隙比条件下Vs随粒径增加而增大。Hardin等[10]利用共振柱对砾石土进行测试后发现Gmax随粒径增大而增大。Menq[8]发现砾石土的Gmax随粒径增大而增大，而砂土的Gmax受粒径影响不大。Wichtmann等[3]测试了一系列不同级配和粒径的砂土和砾石土的Gmax，发现平均粒径在0.1~6 mm范围内变化时Gmax受粒径影响不大。Dutta等[11]、Yang等[12]观察到级配均匀的砂土的Vs与粒径大小无关。Patel等[13]通过弯曲元测试发现玻璃珠试样的Vs随粒径增大而减小，且粉煤灰和炉底灰也表现出此类趋势。
此外，已有研究关于颗粒形状对Gmax的影响也存在争议。Hardin等[2, 14]对渥太华砂和碎石英（Crushed quartz）的Vs与Gmax进行了测量并指出拟合参数A和孔隙比函数f(e)与砂土类型相关，应力指数n则不受砂土类型影响。Cho等[15]对文献数据进行整理分析后发现，颗粒形状会对Vs–σ′关系的拟合参数（特别是幂指数）有影响。Payan等[16]认为颗粒形状对孔隙比函数的影响可以忽略不计，但是颗粒规则程度提高会导致参数A提高及参数n下降。Altuhafi等[17]则认为将颗粒形状以外的其他因素影响归一化后，颗粒越圆润的砂土剪切模量越低。Yang等[4]将颗粒形状不同的砂土筛分至统一级配曲线后测试，证实了Altuhafi等[17]的观点，并发现A随着颗粒形状的综合规则度（overall regularity，OR）提高而下降，n则上升。类似现象也被其他一些学者观察到[18-20]。
针对不同土体，袁晓铭等[21]给出了考虑埋深和应变水平的剪切模量与阻尼比设计表格。其中，相同应变水平（包括γ= 5×10-6）下砂土的阻尼比推荐值随密实度和埋深增大而减小。然而，也有数据显示Dmin与孔隙比的关系与前述趋势不同[6, 8]。Menq[8]认为孔隙比对Dmin的影响较小且不明确，建议采用以下公式表征Dmin：
Dmin=D1(σ′pa)−κ， (2) 式中，D1为拟合参数，为有效应力等于一个大气压时的阻尼比，κ为幂指数。目前，对粒径如何影响Dmin的研究存在不一致。Menq[8]的试验数据表明D1随平均粒径d50增加而减小，但Shin[22]发现级配不良的砾石土与砂土的Dmin无明显区别。Payan等[23]在测量了若干种具有不同级配和平均粒径砂土的Dmin，发现D1，κ均与颗粒形状具有较好的关联性。此外，关于颗粒形状对Dmin影响的研究鲜有报道。
综上所述，颗粒形状和粒径对颗粒材料Gmax与Dmin的影响仍需进一步研究。考虑到天然材料的颗粒形状和粒径难以精确量化和控制，本文采用特定形状和粒径的聚碳酸酯材料，巧妙地分离了颗粒形状与粒径对试样动力特性的影响；进一步地，利用能量注入式虚拟质量共振柱精确测量试样的Gmax与Dmin，揭示颗粒形状与粒径对二者的影响规律。
1. 试验方案
1.1 试验材料
本研究采用聚碳酸酯压模得到特定形状与粒径的颗粒（图 1），包括直径2 mm的圆球（S2），直径3 mm的圆球（S3），短轴2 mm、长轴3 mm的椭球（El），以及由球心距离1 mm的两个直径2 mm球体重叠形成的双球颗粒（Cl）。颗粒的比重利用排水法测得为1.19。本研究除了测试4种颗粒组成的试样的小应变动力特性外，还将S3与El颗粒以质量比2︰1或1︰2混合（分别记为S3︰El=2︰1和S3︰El=1︰2），以研究不同形状颗粒混合对试样小应变动力特性的影响。根据相关资料，聚碳酸酯材料的杨氏模量和泊松比分别为2.30 GPa和0.39。
已有研究提出了多种参数来定量描述颗粒形状[15, 17]。本研究采用的形状参数与Liu等[4]一致，包括球度（sphericity，S）、长细比（aspect ratio，AR）、圆度（roundness，R）、凸度（convexity，C），其计算公式如下：
S=2π Re/2π RePP， (3) AR=DFmin/DFminDFmaxDFmax， (4) R=∑(ri/N)/rmax， (5) C=A/AAhullAhull。 (6) 式中Re为与颗粒投影面积相等的圆形半径，P为投影周长（图 2（a））；DFmin与DFmax分别为颗粒投影的一对平行切线的最小和最大间距（图 2（b））；ri为突出角点的曲率半径，N为突出角点数目，rmax为投影的最大内接圆半径（图 2（c））；A为投影面积，Ahull为投影凹陷被填充后的面积（图 2（d））。各颗粒的形状参数见表 1。上述4个形状参数仅反映颗粒某一方面的形状特征，为了综合表征颗粒的形状特征，Liu等[4]提出的综合规则度（OR）表征颗粒形状，如下式所示：
OR=(S+AR+R+C)/4。 (7) 表 1 颗粒形状参数表Table 1. Shape quantities of particles颗粒种类 球度S 长细比AR 圆度R 凸度C 综合规则度OR S2 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 S3 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 El 0.97 0.67 0.67 1.00 0.83 Cl 0.95 0.67 1.00 0.98 0.90 S3︰El =2︰1 0.99 0.89 0.89 1.00 0.94 S3︰El =1︰2 0.98 0.78 0.78 1.00 0.88 对于混合颗粒（S3︰El=2︰1和S3︰El=1︰2），其形状可用两种组分的形状参数按混合比例求加权平均得到。
1.2 试验仪器
本文采用能量注入式虚拟质量（energy injecting virtual mass，EIVM）共振柱系统[24-25]（图 3）对材料的小应变动力特性进行测量。该共振柱系统可以简化为图 4中的试样与顶部质量块，其共振频率同时受到试样刚度以及质量块的极质量惯性矩的影响。当系统在外部扭矩作用下受迫振动时，该扭矩可根据达朗贝尔原理等效为附加质量惯性矩，相当于对系统增加一个虚拟质量块，从而改变了系统的共振频率。因此，可以通过施加不同频率的扭矩使系统在不同频率下产生共振，并依据原系统参数、系统共振频率以及试样尺寸得到试样的剪切模量。同时，如果外部扭矩为系统注入的能量等于系统耗散的能量，系统维持稳定振动，可通过施加的能量求得阻尼值。
相比于其他常见的共振柱测试系统，本文采用的EIVM共振柱系统主要有两方面优势[25-26]：①其他共振柱系统需要通过较多的前期扫频振动确认共振频率，可能改变试样的Gmax和Dmin，而EIVM系统仅需10~20个振动周期即可获得稳定波形，并得到试样的Gmax和Dmin；②其他共振柱系统的阻尼比测量基于振动衰减过程或者半功率带宽法，难以准确定义其对应的剪应变幅值，而EIVM系统通过对土样施加扭矩以维持等幅值振动，所测阻尼比对应的剪应变明确。
1.3 试验步骤
试验采用直径38 mm、高度81 mm的圆柱试样。将洗净风干后的颗粒通过漏斗分3层倒入模具内，并通过控制颗粒的下落高度获得不同密实度的试样；对于较密实的试样，还可用橡胶棒敲击模具侧壁进一步提高试样密实度。制样完毕后，对试样施加25 kPa负压，拆除模具，测量试样的实际高度与直径。随后，安装压力室，对试样依次施加50，100，200，400 kPa围压，并保持试样孔隙与大气连通；在每级围压加载结束后测量试样的小应变动力特性。测试条件如表 2所示。
表 2 试验方案表Table 2. Test schemes颗粒种类 试样孔隙比 有效应力/kPa S2 0.580/0.605/0.635/0.665 50/100/200/400 S3 0.580/0.607/0.638/0.667 50/100/200/400 El 0.500/0.550/0.575/0.604 50/100/200/400 Cl 0.500/0.551/0.571/0.603 50/100/200/400 S3︰El =2︰1 0.605 50/100/200/400 S3︰El =1︰2 0.605 50/100/200/400 2. 试验结果与分析
2.1 初始状态对小应变动力特性的影响
4种单一颗粒的Gmax均随着孔隙比的减小、围压的增加而增加（图 5，6），并可利用式（1）进行表征，其中孔隙比函数f(e)可采用如下形式[2, 27]：
f(e)=(a−e)21+e， (8) 式中，a为拟合参数。Hardin等[2, 27]认为参数a的取值与颗粒形状有关：颗粒形状圆润的天然渥太华砂取a = 2.17，而形状尖锐的粉碎渥太华砂取a = 2.97。对于本文研究所测数据，若假定参数a随颗粒特性改变，S2与S3的拟合结果分别为a = 2.40与a = 2.35，El与Cl则为a = 3.17和a = 3.48。实际上，已有研究指出具有不同特性的颗粒材料可采用固定的a值[4]。根据本文试验结果，取a = 2.97能得到很好的拟合效果（图 5虚线）。表 3总结了a = 2.97以及a随不同颗粒变化时的参数A拟合值，参数A和a的取值存在相关性。该现象亦被其他学者观察到[3]。
表 3 Gmax拟合参数表Table 3. Fitting parameters of Gmax类别 颗粒种类 A/MPa a n R2 a固定 S2 7.16 2.97 0.410 0.998 S3 7.13 2.97 0.411 0.998 El 8.72 2.97 0.378 0.998 Cl 8.35 2.97 0.392 0.998 S3︰El=2︰1 7.51 2.97 0.396 0.997 S3︰El=1︰2 8.13 2.97 0.380 0.997 a可变 S2 12.54 2.40 0.409 0.999 S3 13.20 2.35 0.411 0.999 El 7.44 3.17 0.378 0.998 Cl 5.70 3.48 0.393 0.999 有效应力的影响如图 6所示，拟合所得应力幂指数n总结于表 3。其中，S2和S3的n取值接近，表明粒径对n值几乎无影响；而S2和S3的n值大于El和Cl两种颗粒，该结果表明应考虑颗粒形状的影响。
孔隙比对小应变阻尼比Dmin的影响如图 7所示。在相同有效应力条件下，各试样的Dmin随孔隙比增加在一定范围内波动。类似地，Menq[8]和Senetakis等[6]未观察到Dmin与孔隙比存在明显的定量关系，故认为孔隙比对Dmin的影响可以忽略不计。图 7中虚线代表各有效应力下Dmin的平均值，且平均值随有效应力增加而下降。进一步地，图 8展示4种材料的Dmin随有效应力的变化趋势，并用式2拟合得到图中趋势线，拟合参数见表 4。
表 4 Dmin拟合参数表Table 4. Fitting parameters of Dmin颗粒种类 D1 κ R2 S2 0.0076 0.169 0.677 S3 0.0077 0.178 0.718 El 0.0071 0.192 0.674 Cl 0.0072 0.159 0.573 S3︰El=2︰1 0.0071 0.151 0.962 S3︰El=1︰2 0.0068 0.176 0.997 2.2 颗粒特性对小应变动力特性的影响
不同颗粒形状和粒径的试样具有不同的孔隙比范围，可采用Gmax/f(e)消除孔隙比对Gmax的影响。如图 9所示，Gmax/f(e)随有效应力增加而增加，且不同颗粒在相同有效应力下具有不同的Gmax/f(e)。值得注意的是，S2与S3的数据点几乎重合（图 9（a）），表明颗粒直径从2 mm增大到3 mm对球状颗粒的Gmax几乎无影响，与一些学者[3, 11-12]的试验结果相吻合。在相同有效应力条件下，Cl试样的Gmax/f(e)略小于El而大于球形颗粒S2与S3（图 9（a））。考虑到El与Cl的DFmin（2 mm）与DFmax（3 mm）界于S2和S3的粒径之间，而颗粒粒径不会影响Gmax/f(e)，上述试样的Gmax/f(e)差异可以认为是颗粒形状差异所致。图 9（b）将混合颗粒的测试结果与两种单一组分的结果进行对比，可以看出混合颗粒的Gmax/f(e)处于S3与El之间，并且曲线随El含量增加而向上移动。
参数A随着综合规则度OR的增大而减小（图 10（a）），表明当试样的孔隙比和有效应力相同时，颗粒形状越规则，试样的Gmax越小；参数n随着OR的增大而增大，表明颗粒形状越规则的试样Gmax对有效应力的敏感性越高（图 10（b））。
与图 9，10所示结果相似，Liu等[4]将4种石英砂筛至相同级配后（Cu = 1.2，D50 = 0.256 mm）测量试样的Gmax，发现在相同的孔隙比和有效应力下，颗粒形状越规则，试样的Gmax越小；并从微观力学角度解释该现象，认为颗粒形状越规则，则其试样在相同孔隙比和有效应力下的配位数越小，导致试样Gmax越小。此外，Liu等[4]用式（1）拟合Gmax与孔隙比、有效应力的关系；参数A随OR的增大而减小，而参数n随着OR的增大而增大，与本文结论一致。与本文结论不一致的部分文献将在后文中讨论。
取孔隙比接近（e = 0.603~0.607）的各组试样Dmin进行对比（图 11）。如图 11（a），S2与S3试样的数据点和趋势线基本重合，表明粒径对试样Dmin的影响可以忽略；而El的数据处于4种单一颗粒的最下方、Cl则处于球形颗粒与El颗粒之间，表明颗粒形状的规则程度降低，会使试样的Dmin降低。图 11（b）显示混合颗粒试样的Dmin界于两种单一组分之间，亦表明颗粒形状的规则程度降低会导致试样Dmin降低。利用式（2）对图 11所示的数据进行拟合，并将拟合参数与OR关联，可发现参数D1随着OR的增大呈现增大趋势（图 12（a）），而参数κ随OR增大呈现减小趋势（图 12（b））。目前，文献中对于颗粒粒径和形状如何影响试样的Dmin尚有争论，将在后文进行讨论。
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图 11 颗粒特性对材料Dmin的影响Figure 11. Effects of particle characteristics on Dmin of materials3. 讨论
本研究采用能量注入式虚拟质量（EIVM）共振柱研究了不同颗粒特性对试样小应变动力特性的影响。试验结果表明颗粒形状越规则试样Gmax越小，Dmin越大，与Liu等[4]采用均匀级配（不均匀系数Cu = 1.2）的砂土试验结果一致。当考虑不同级配影响时，Altuhafi等[17]对文献报道的各类砂土的Gmax进行了考虑级配和粒径的归一化处理，并与颗粒形状参数（球度、长细比、凸度）关联性进行分析，发现归一化后的剪切模量随颗粒形状参数的增加而减小，与本文结果一致；而Payan等[16]对其所测的几种砂土的Gmax进行考虑级配的归一化处理后，其得到的趋势则相反。不一致的原因主要有以下3方面。①Altuhafi等[17]和Payan等[16]所采用的形状参数不同，可能对分析结果造成一定影响；②Altuhafi等[17]和Payan等[16]则分别假定数据库中Gmax正比于Cu-1和Cu-1.4，而Gmax与Cu的量化关联因数据库不同而发生变化、并无定论（例如Liu等[28]认为Gmax正比于Cu-0.42），因此Altuhafi等[17]和Payan等[16]基于某个假定的关联可能会影响分析结果；③已有研究一般认为级配和颗粒形状对Gmax的影响相互间不耦合，但是并没有充分依据。因此，有必要综合考虑颗粒形状和级配对颗粒材料Gmax的影响开展进一步研究。
Menq[8]的试验数据表明D1随平均粒径d50增加而减小，然而本研究数据表明颗粒粒径对材料的Dmin几乎没有影响。事实上，前者并未精确量化测试材料的颗粒形状，因而无法合理评价d50的影响。此外，Payan等[23]对Dmin试验数据拟合所得的参数D1关于d50与Cu进行归一化处理后，发现归一化的参数D1随颗粒形状规则度增加而减小，与图 12的结果相反。值得注意的是，在拟合D1与形状的关系时，Payan等[23]采用了Menq[8]所提出的与d50和Cu的经验关系以排除这两个因素的影响，却并未验证Menq[8]的经验关系是否适用于该组试验数据，且目前对于d50和Cu如何影响Dmin尚无定论：Menq[8]的试验数据表明D1随不均匀系数Cu减小而减小，但是Senetakis等[6]则未观察到Cu对Dmin的一致影响；Menq[8]的试验数据表明D1随平均粒径d50增加而减小，而本研究数据表明颗粒粒径对材料的Dmin几乎没有影响。因此，还需进一步综合考虑颗粒级配、粒径和形状，开展相关研究。
4. 结论
本文采用能量注入式虚拟质量（EIVM）共振柱在不同有效应力、不同孔隙比条件下测试了具有特定形状和粒径的聚碳酸酯颗粒制成试样的小应变剪切模量Gmax和阻尼比Dmin，并对现有文献中的争议进行了讨论并对后续工作提出了建议。
（1）试验结果表明不同形状的聚碳酸酯颗粒所成试样的Gmax随孔隙比减小和有效应力增加而增加；试样的Dmin与孔隙比的关系不明显，却随着有效应力增加而减小。
（2）对于所测试的球形颗粒试样，颗粒粒径对Gmax和Dmin几乎没有影响，颗粒形状则影响试样的Gmax和Dmin。当孔隙比和有效应力相同时，椭球颗粒试样的Gmax最大，双球颗粒试样次之，球形颗粒试样的Gmax最小；Dmin则呈现相反的趋势。对于椭球颗粒和球形颗粒的混合材料，试样Gmax和Dmin界于二者之间。
（3）颗粒形状的综合规则度（OR）可用于表征颗粒形状对颗粒材料Gmax与Dmin的影响。
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图 11 颗粒特性对材料Dmin的影响
Figure 11. Effects of particle characteristics on Dmin of materials
表 1 颗粒形状参数表
Table 1 Shape quantities of particles
颗粒种类 球度S 长细比AR 圆度R 凸度C 综合规则度OR S2 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 S3 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 El 0.97 0.67 0.67 1.00 0.83 Cl 0.95 0.67 1.00 0.98 0.90 S3︰El =2︰1 0.99 0.89 0.89 1.00 0.94 S3︰El =1︰2 0.98 0.78 0.78 1.00 0.88 
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表 2 试验方案表
Table 2 Test schemes
颗粒种类 试样孔隙比 有效应力/kPa S2 0.580/0.605/0.635/0.665 50/100/200/400 S3 0.580/0.607/0.638/0.667 50/100/200/400 El 0.500/0.550/0.575/0.604 50/100/200/400 Cl 0.500/0.551/0.571/0.603 50/100/200/400 S3︰El =2︰1 0.605 50/100/200/400 S3︰El =1︰2 0.605 50/100/200/400
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表 3 Gmax拟合参数表
Table 3 Fitting parameters of Gmax
类别 颗粒种类 A/MPa a n R2 a固定 S2 7.16 2.97 0.410 0.998 S3 7.13 2.97 0.411 0.998 El 8.72 2.97 0.378 0.998 Cl 8.35 2.97 0.392 0.998 S3︰El=2︰1 7.51 2.97 0.396 0.997 S3︰El=1︰2 8.13 2.97 0.380 0.997 a可变 S2 12.54 2.40 0.409 0.999 S3 13.20 2.35 0.411 0.999 El 7.44 3.17 0.378 0.998 Cl 5.70 3.48 0.393 0.999
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表 4 Dmin拟合参数表
Table 4 Fitting parameters of Dmin
颗粒种类 D1 κ R2 S2 0.0076 0.169 0.677 S3 0.0077 0.178 0.718 El 0.0071 0.192 0.674 Cl 0.0072 0.159 0.573 S3︰El=2︰1 0.0071 0.151 0.962 S3︰El=1︰2 0.0068 0.176 0.997
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