全吸力范围非饱和土水力渗透系数的计算

翟钱; 朱益瑶; 叶为民; 杜延军; 戴国亮; 赵学亮

doi:10.11779/CJGE202204008

全吸力范围非饱和土水力渗透系数的计算 English Version

翟钱^{1, 2,},
朱益瑶^{1, 2},
叶为民³,
杜延军⁴,
戴国亮^{1, 2},
赵学亮^{1, 2}

1.
东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育重点实验室, 东南大学桥梁研究中心, 江苏南京 210096
2.
东南大学土木工程学院, 江苏南京 210096
3.
同济大学土木工程学院, 上海 200092
4.
东南大学交通学院, 江苏南京 210096

基金项目:

国家自然科学基金项目 42030714

国家自然科学基金项目 41877248

国家自然科学基金项目 42177133

国家自然科学基金项目 51878160

国家自然科学基金项目 52078128

详细信息

作者简介:
翟钱(1982—)，男，博士，副教授，主要从事非饱和土土力学等方面的教学和科研。E-mail: 101012332@seu.edu.cn

中图分类号: TU411.4;P66;P67
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出版历程
- 收稿日期: 2021-07-04
- 网络出版日期: 2022-09-22
- 刊出日期: 2022-03-31

Estimation of hydraulic conductivity of unsaturated soils under entire suction range

ZHAI Qian^{1, 2,},
ZHU Yi-yao^{1, 2},
YE Wei-min³,
DU Yan-jun⁴,
DAI Guo-liang^{1, 2},
ZHAO Xue-liang^{1, 2}

1.
Key Laboratory of Concrete and Prestressed Concrete Structure of Ministry of Education, Southeast University, Bridge Engineering Research Center of Southeast University, Nanjing 210096, China
2.
School of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China
3.
School of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China
4.
Southeast University, Nanjing 210096, China

摘要

摘要: 非饱和土水力渗透系数决定了水分在非饱和土体中迁移的速率，因此非饱和土水力渗透系数是研究水分在非饱和土中迁移规律的关键参数。一般情况，渗流数值计算软件将水力渗透系数方程作为输入参数，水力渗透系数方程的准确性直接影响渗流模拟结果的可靠性。常用的非饱和土水力渗透系数方程大多基于毛细水的相关理论，在低吸力区其计算结果与试验数据吻合度较高，但在高吸力区计算结果与试验数据差异显著。将全吸力范围分为毛细水渗流主导区、膜态水渗流主导区、气态水渗流主导区，并分析了不同形态的水分在非饱和土体中迁移规律的控制机理。全吸力范围的非饱和土水力渗透系数定义为表观渗透系数，其包含毛细水渗透系数、膜态水渗透系数和气态水渗透系数。通过剖析毛细水、薄膜水以及水蒸气在非饱和土体中迁移机理，推导不同形态水分渗透系数的数学表达，最终得出全吸力范围非饱和土的水力渗透系数计算方程。
- 孔径分布 /
- 渗流函数 /
- 毛细水渗流 /
- 膜态水渗流 /
- 气态水渗流
Abstract: The hydraulic conductivity of unsaturated soils controls their water flow. Most numerical softwares adopt the hydraulic conductivity function (HCF) as the input parameter to simulate the water flow in unsaturated soils. The accuracy of the inputted HCF has significant effect on the reliability of the simulated results from the seepage analysis. It is noted that most HCFs are proposed based on the theory of capillary flow. It is observed that in the high suction range, the estimated HCF of unsaturated soils from the capillary flow is much lower than what is obtained from the experimental measurement. In this study, the water flows in unsaturated soils are categorized into three forms, including (i) capillary flow, (ii) film flow and (iii) vapour flow. The mathematical models for the HCF of soils corresponding to those three forms of water flow are proposed. Consequently, the total HCF of unsaturated soils under the entire suction range is proposed.
- pore-size distribution /
- hydraulic conductivity function /
- capillary flow /
- film flow /
- vapour flow

HTML全文

0. 引言

非饱和土水力渗透系数是了解水分在非饱和土体中迁移规律的关键参数。近年来，国内外对非饱和土水力渗透系数的研究取得了较为迅速的发展。非饱和土水力渗透系数通常可以通过试验直接测量或者通过模型间接测算。一般情况下，对非饱和土的水力渗透系数试验难度较大，成本较高。然而，间接模型相对简单，几乎零成本，测算精度虽略低于试验结果，但也基本满足工程实际需求^[1]。因此，通过间接方法获取非饱和土水力渗透系数的研究工作得到国内外学者越来越多的重视。

本文对现有非饱和土水力渗透系数间接测算方法作较为系统全面的总结，并指出当前采用统计模型在测算非饱和土水力渗透系数的方法可能存在的不足。根据本文研究结果，建议将非饱和土全吸力范围分为3个区域：①毛细水渗流主导区；②膜态水渗流主导区；③气态水渗流主导区。针对不同类型水分迁移机理，理论推导毛细水、膜态水以及气态水这3类水分的渗透系数的数学表达方程。

1. 当前国内外研究现状

Mualem^[2]对非饱和土渗透系数的测算模型作了系统分析，并将这些测算模型分为以下3类：①经验模型；①宏观模型；③统计模型。Mualem^[2]和Leong等^[3]指出统计模型有较为严谨的理论基础，测算结果相对可靠。

经验模型大致可分为两大类，即用含水率表达非饱和土渗透系数（如：Gardner）^[4]、Davidson等^[5]以及Campbell^[6]）和用土吸力表达非饱和土渗透系数（如：Richards^[7]、Christensen^[8]、Wind^[9]、Gardner^[4]、Rijtema^[10]、Philip^[11]以及Leong等^[3]）。其中Gardner^[4]如式（1），（2），以及Leong等^[3]如式（3）这3个公式较为常用。

${k}_{\text{w}}={k}_{\text{s}}{\theta }_{\text{w}}^{b}\text{ }\text{，}$

(1)

式中，k_w为非饱和土渗透系数，k_s为饱和渗透系数，θ_w为非饱和土体积含水率，b为模型经验参数。

${k}_{\text{w}}={k}_{\text{s}}\frac{1}{1+a{\left(\frac{\psi }{{\rho }_{\text{w}}g}\right)}^{b}}\text{ }\text{，}$

(2)

式中，k_s为饱和渗透系数，ψ为土吸力，ρ_w为水的密度，g为重力加速度，a和b为模型经验参数。

${k}_{\text{w}}={k}_{\text{s}}\frac{1}{{\left\{\mathrm{ln}\left[\text{e}+{\left(\frac{\psi }{A}\right)}^{B}\right]\right\}}^{C}}\text{ }\text{，}$

(3)

式中，k_s定义饱和渗透系数，ψ定义土吸力，e为自然常数，A，B和C为模型经验参数。

如式（1）~（3）所示，经验模型的数学表达式相对简单，模型参数的取值缺乏一定的理论依据。模型参数的取值误差极大程度影响模型的计算精度。因此，当前对经验模型的研究热度降低，经验模型在工程实践中的应用也呈下降趋势。

宏观模型将非饱和土的渗透系数与有效饱和度建立关系，并提出以下数学表达

${k}_{\text{w}}={k}_{\text{s}}{S}_{\text{e}}^{\delta }\text{ }\text{，}$

(4)

式中，k_s为饱和渗透系数，S_e为有效饱和度，如下式（5），δ为模型参数。

${S}_{\text{e}}=\frac{S-{S}_{\text{r}}}{1-{S}_{\text{r}}}\text{ }\text{，}$

(5)

式中，S_r为残余饱和度，S为土体饱和度，当土体饱和度低于残余饱和度时，土体中水相处于不连续状态，土体渗透性能会大大降低。

依据试验数据，Averjanov^[12]建议自然沉积土的 $\delta$ 取3.5，Irmay^[13]建议颗粒均匀分布砂土的 $\delta$ 取3，Corey^[14]建议土和多孔砂石的 $\delta$ 取4。参数 $\delta$ 的不同取值直接影响宏观模型的测算精度。因此，宏观模型在近期研究中应用频次呈下降趋势。

统计模型最早由Childs等^[15]提出，该模型采用了以下4条基本假定：①土体内孔隙随机分布，并都相互连通；②土体内孔径分布可以用土-水特征曲线等同表达；③水流在孔隙中的流动遵循泊肃叶定律；④在吸力变化过程中，土体没有明显体积变形。Childs等^[15]提出将土体单元断面上不同大小的孔径用孔径分布函数表示，用a_ρ表示孔径ρ到ρ+δr在所有孔隙中所占的比例（a_ρ= $f(\rho )$ dr），用a_σ表示孔径 $\sigma$ 到 $\sigma$ +δr在所有孔隙中所占的比例（a_σ= $f(\sigma )$ dr）。当水流通过两个相连通的孔隙时，允许水流通过的面积由小孔隙的截面面积决定。最终，Childs等^[15]提出以下概率统计模型的通用表达式

${k}_{\text{w}}=M{\displaystyle \sum _{\rho =0}^{\rho =R}{\displaystyle \sum _{\sigma =0}^{\sigma =R}{\sigma }^{2}f(\rho )\text{d}rf(\sigma )\text{d}r\text{ }}}\text{，}$

(6)

式中，M为常数，ρ和σ为两个随机连通孔隙的孔径半径（σ < ρ），f(ρ)和 $f(\sigma )$ 为孔隙ρ和 $\sigma$ 对应的孔径分布密度，r为孔隙半径，R为最大孔径。Marshall^[16]、Kunze等^[17]、Fredlund等^[18]、Zhai等^[19]对Childs等^[15]的计算方法做了改进。其中Fredlund等^[18]提出积分形式的表达如下式：

$k({\psi }_{\text{k}})={k}_{\text{s}}\frac{{\displaystyle \underset{{\psi }_{\text{k}}}{\overset{{\psi }_{\text{r}}}{\int }}\frac{\theta (y)-\theta ({\psi }_{\text{k}})}{{y}^{2}}{\theta }^{\prime }(y)\text{d}y}}{{\displaystyle \underset{\text{AEV}}{\overset{{\psi }_{\text{r}}}{\int }}\frac{\theta (y)-\theta (\text{AEV})}{{y}^{2}}{\theta }^{\prime }(y)\text{d}y}}\text{ }\text{，}$

(7)

式中，AEV为进气值，ψ_r为残余吸力，ψ_k为土吸力，θ(y)为土吸力y时对应的土体体积含水率。

而Zhai等^[19]提出求和形式表达如下式：

$k({\psi }_{\text{k}})=\frac{k({\psi }_{\text{ref}}){\displaystyle \sum _{i=\text{k}}^{N}\left\{\begin{array}{l}{\left[S({\psi }_{\text{k}})-S({\psi }_{i+1})\right]}^{2}-\\ {\left[S({\psi }_{\text{k}})-S({\psi }_{i})\right]}^{2}\end{array}\right\}{r}_{i}^{2}}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left\{{\left[1-S({\psi }_{i+1})\right]}^{2}-{\left[1-S({\psi }_{i})\right]}^{2}\right\}{r}_{i}^{2}}}\text{ }\text{，}$

(8)

式中，ψ_k为非饱和土的土吸力状态，k(ψ_ref)为参考点（通常选用进气值对应的数据点）的渗透系数。 $S({\psi _i})$ 为土吸力为 ${\psi _i}$ 时对应的土体饱和度，r_i为基于毛细定律，对应土吸力为 ${\psi _i}$ 时对应的孔隙半径，N为最大分段数。

式（7）以积分形式表达，求解该式需要借助编程软件，而式（8）以求和形式表达，在表达形式上虽然复杂，但可借助常用办公软件Excel直接进行计算。笔者已依据式（8）制作了测算非饱和土渗透系数的Excel计算页。考虑到计算的便捷性，Fredlund等^[20]建议采用内嵌Zhai等^[19]计算公式的Excel计算页测算非饱和土渗透系数。

在国内，孙大松等^[21]通过建立土中孔隙的分形模型推导了渗透系数的表达式，蔡国庆等^[22]基于Mualem模型，预测不同初始孔隙比的相对渗透系数，邵龙潭等^[23]利用孔隙水的微分平衡方程，推导了渗透系数计算公式。

2. 不同形态水分在土体中迁移规律

渗透系数定义了单位时间穿过单位截面的水的体积，其单位为m³/(m²·s)。在渗透系数的定义中，并未明确限定水的相态（液态或是气态），因此，在计算渗透系数时，需要综合考虑液态水和气态水的渗流。

Saarenketo^[24]、Plaster^[25]和Zhai等^[26]按与土颗粒表面的距离，将土中水分为毛细水和结合水。Zhai等^[19]也指出，土颗粒中存在部分封闭孔隙，在封闭孔隙中残存的水分主要以气态形式在土体中迁移。因此，土体中的水分大致可分为：毛细水、膜态水和气态水，如图 1所示。毛细水的迁移通道主要是非饱和土孔隙中充满液态水的这部分孔隙，膜态水的迁移通道主要是土颗粒表面的弱结合水形成的水膜，而气态水在充满气的孔隙中（也即非饱和土孔隙中除去液态水充填的这部分孔隙）流动（迁移）。针对不同形态水分的迁移通道，本文详细介绍不同形态水在土体中的迁移规律及相应渗透系数的计算公式。

图 1 土体中不同形态水分^{[23, 25]}

Figure 1. Different forms of water in soils^{[23, 25]}

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2.1 毛细水迁移规律

通过修正毛细模型，Zhai等^[26]提出阀门模型，如图 2，用以解释毛细水在非饱和土中的迁移规律。非饱和土毛细水渗透系数与单元截面允许水流通过的有效面积成正比。因此，通过两种不同吸力状态下的有效面积比值就可以计算非饱和土相对渗水系数，如下所示：

$\frac{{k{\text{(}}{\psi _j}{\text{)}}}}{{k({\psi _i})}} = \frac{{A{\text{(}}{\psi _j}{\text{)}}}}{{A({\psi _i})}} \text{，}$

(9)

图 2 阀门模型

Figure 2. Illustration of valve model

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式中， ${\psi _i}$ ， ${\psi _j}$ 为非饱和土状态i和j对应的土吸力，k( ${\psi _i}$ )和k( ${\psi _j}$ )为对应土吸力为 ${\psi _i}$ 和 ${\psi _j}$ 时的非饱和土渗透系数，A( ${\psi _i}$ )和A( ${\psi _j}$ )为对应土吸力为 ${\psi _i}$ 和 ${\psi _j}$ 时的有效渗流面积。

Zhai等^[19]分析不同孔径相联通后所产生的有效面积，发现只有当截面A—A两侧孔隙都有水时，水流才能通过截面，并且有效面积等于较小孔径的截面面积，如图 3。

图 3 不同孔径联通产生的有效面积

Figure 3. Illustration of effective area

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Zhai等^[19]、Zhai等^[26]综合考虑不同孔径（r₁, r₂, …, ${r_n}$ ）联通的概率，并采用列表的形式计算不同大小孔径相联通产生的有效面积，如（ ${r_m}$ 为当前土吸力（ ${\psi _m}$ ）所对应的毛细管半径）。

图 4 允许水流通过的有效面积的计算

Figure 4. Computation of effective area allowing water to pass through

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依据毛细定律，孔径大小与土吸力成反比，Zhai等^[19]推导出式（10）用以计算毛细水渗透系数。

$\frac{k({\psi }_{x,d})}{k({\psi }_{\text{ref},d})}=\frac{\left\{{\displaystyle \sum _{i=x,d}^{N}\left[\frac{{(S({\psi }_{x,d})-S({\psi }_{i}))}^{2}-{(S({\psi }_{x,d})-S({\psi }_{i+1}))}^{2}}{{({\psi }_{i})}^{2}}\right]}\right\}}{\left\{{\displaystyle \sum _{i=\text{ref},d}^{N}\left[\frac{{(S({\psi }_{\text{ref},d})-S({\psi }_{i}))}^{2}-{(S({\psi }_{\text{ref},d})-S({\psi }_{i+1}))}^{2}}{{({\psi }_{i})}^{2}}\right]}\right\}}\text{，}$

(10)

式中，k( ${\psi _{x,d}}$ )为吸力等于 ${\psi _{x,d}}$ 时土的渗透系数，k(ψ_{ref, d})为参考点的渗透系数，参考点的土吸力为ψ_{ref, d}，S( ${\psi _{x,d}}$ )和S(ψ_{ref, d})为吸力等于 ${\psi _{x,d}}$ 和ψ_{ref, d}时土的饱和度，S( ${\psi _i}$ )为吸力等于 ${\psi _i}$ 时土的饱和度。

由于砂土中水分大部分为毛细水，采用式（10）计算非饱和砂土（Brooks等^[27]）的渗透系数，其计算结果与试验结果较为吻合，如图 5。

图 5 毛细渗透系数计算结果

Figure 5. Computation of capillary conductivity

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2.2 膜态水迁移规律

笔者^{[18, 28-29]}采用式（10）对不同土质的非饱和土渗透系数进行测算，发现式（10）在整体上对各类土质的渗透系数都表现出较为良好的预测。但是，采用部分文献中的试验数据计算（Jackso等^[30]、Mualem^[31]、Pachepsky等^[32]、Vereecken等^[33]、Nemes等^[34]、Schindler等^[35]），其结果显示：当土吸力临近残余吸力时，非饱和黏性土渗透系数会明显高于式（10）的计算结果，如图 6。

图 6 砂质黏土和粉质砂土的土水特征曲线和非饱和渗透系数

Figure 6. Illustration of SWCCs and unsaturated hydraulic conductivities of low-plasticity clay and silty sand

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众多学者对非饱和黏性土的水力渗透性能展开研究（Tokunaga等^[36]、Tokunaga等^[37]、Liu^[38]、Tokunaga^[39]、Lebeau等^[40]、Tuller等^[41]、Peters^[42]以及Scarfone等^[43]），发现试验测量的渗透系数大于概率统计模型计算结果的原因：在黏性土颗粒表面有一层水膜，水在水膜中的迁移规律与毛细水在土体孔隙中的迁移规律有着本质的差异。膜态水迁移效率与统计模型中有效面积没有直接关系，而与颗粒表面水膜的厚度有着密切联系。液态水在水化膜中迁移，驱动机制依然是土水势能差。

Tokunaga^[39]假定土体由相同粒径大小并相互接触的球体组成，并提出计算膜态水渗透系数的计算公式如下：

$k(\psi ,d)\approx \frac{4000{\text{π}}^{2}\rho g(1-n)}{\eta d}{\left(\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0}}{2}\right)}^{1.5}{\left(\frac{{k}_{\text{B}}T}{ze}\right)}^{3}{\left(\frac{2{T}_{\text{s}}}{d}+1000\psi \right)}^{-1.5}。$

(11)

式中 ψ为土吸力；d为颗粒粒径； $\rho$ 为水的密度；g为重力加速度；n为孔隙率；η为水的动态黏度；ε为水的相对介电常数； ${\varepsilon _0}$ 为水的介电常数；k_B为波尔兹曼常数；T为绝对温度；z为颗粒表面单位离子数；e为静电电荷；T_s为表面张力。

天然土体的粒径分布较广，Tokunaga^[39]基本假定明显不适用于天然土体。本文将自然土体进行碎片分割，每个碎片用单一粒径表示。这些碎片在空间内随机分布并相互连接，形成天然土体的空间结构。这样，式（11）可用以计算单个碎片的膜态水渗透系数。对于天然土样，土体的渗透系数不是由单个碎片的渗水性能决定，而是由不同颗粒连接产生的不同渗流路径决定，如图 7。比如，颗粒粒径为r₁，其膜态水渗透系数为k₁，与粒径为r₂，r₃的颗粒相连接（其膜态水渗透系数分别为k₂，k₃，其中，r₃ > r₁ > r₂，k₃ < k₁ < k₂），分别形成a-a渗流路径，和b-b渗流路径。在a-a路径，水流从颗粒r₁流向r₂，渗流速率由k₁和k₂两者较小值决定，因此，a-a路径膜态水渗透系数可表达为k₁。同理，b-b路径膜态水渗透系数可表达为k₃。

图 7 不同粒径颗粒连接造成膜态水的不同渗流路径。

Figure 7. Illustration of seepage paths for film water due to different connecting paths between soil particles with different radii

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考虑分割碎片在土体中的随机分布，并相互连接，自然土体膜态水渗透系数可用下式求解：

$k = \sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^N {{p_i}{p_j}} } \min ({k_i},{k_j}) \text{，}$

(12)

式中，k为膜态水渗透系数， ${p_i}$ ， ${p_j}$ 为颗粒粒径为 ${d_i}$ 和 ${d_j}$ 的粒径分布密度，可以通过级配曲线估算， ${k_i}$ ， ${k_j}$ 为采用式（11）计算的对应碎片粒径为 ${d_i}$ 和 ${d_j}$ 以及吸力为ψ时的膜态水渗透系数。

通过文献查阅图（6）中3类土体的级配曲线如图 8（a）。笔者制作了Excel计算页，采用级配图将土体级配分成10个片段，采用式（11）计算每个片段的膜态水渗透系数，再采用式（12）统计计算土体单元膜态水渗透系数。最终计算结果如图 8（b）~（d）所示。

图 8 综合毛细渗流和膜态水渗流计算非饱和土渗透系数

Figure 8. Computation of hydraulic conductivities of unsaturated soils by considering both capillary flow and film flow

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如图 8所示，综合考虑毛细水和膜态水计算非饱和土渗透系数的结果优于传统统计模型的计算结果。传统统计模型低估了土体在残余吸力之后的渗透系数。

2.3 气态水迁移规律

Ye等^[44]采用瞬时截面法测量高庙子（GMZ）膨润土在高吸力范围的渗透系数，发现在高吸力区，非饱和渗透系数随土吸力的增加而增加，如图 9。毛细水渗流和膜态水渗流理论都认为非饱和渗透系数随土吸力的增加而减少，无法解释Ye等^[44]的试验数据。Plaster^[25]和Zhai等^[26]认为在高吸力状态，土体中的水分主要以强结合水为主，这部分水分主要以气态形式在土体中迁移。滕继东等^[45]对气态水在土体中，因温度场的作用产生的迁移展开较为深入研究。现有文献（如Penman^[46]、Marshall^[47]、Millington^[48]、Millington等^[49]、Lai等^[50]、Abu-EI-Sha’r和Abriola^[51]、Ebrahimi-B等^[52]）提出经验模型用以测算水蒸气在土体中的渗透系数。Ebrahimi-B等^[52]提出这些经验公式可用式（13）统一表达，不同学者对式中αβ的建议取值不同，如表 1。

${k_{\text{a}}} = \alpha \beta {D_{\text{a}}}\frac{{\omega g}}{{RT}}\text{，}$

(13)

图 9 非饱和高庙子高岭土在不同温度下渗透系数

Figure 9. Illustration of hydraulic conductivities of unsaturated GMZ bentonite under different temperatures.

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表 1 不同学者对αβ建议值

Table 1. Suggested values of αβ by various scholars

参考文献	αβ
Penman^[46]	0.66n
Marshall^[47]	β^3/2
Millington ^[48]	β^4/3
Millington等^[49]	β^10/3/n²
Lai等^[50]	β^5/3
Abu-EI-Sha'r等^[51]	0.435n

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式中，α为弯曲系数，β为单位面积上允许气体通过的面积，β=(1-S)n，S为饱和度，n为孔隙率，ω为气体的摩尔质量，R为气体常数，T为绝对温度，g为重力加速度。

表 1中对αβ的取值是经验性的。因此，式（13）缺乏一定的理论基础。

水蒸气表现为气相，其在土体中迁移规律和液态水在土体中迁移机理是不同的，气态水的迁移驱动机制为气体的压力差所驱动。Zhai等^[53]研究发现气体在土体中迁移速率取决于土颗粒间孔隙的大小。水汽分界面会对气体形成一道隔断膜，只有连贯的孔隙才能形成气态的渗透通道。Zhai等^[53]采用类似Zhai等^[19]的计算方法，计算了单元土截面允许气体通过的有效面积，如图 10，并得计算非饱和土气体渗透系数公式，如下所示：

${k}_{\text{ra}}=\frac{\left({\displaystyle \sum _{i=rm}^{N}[{[S({\psi }_{m})-S({\psi }_{i})]}^{2}-{[S({\psi }_{m})-S({\psi }_{i-1})]}^{2}]{r}_{i}^{2}}\right)}{\left({\displaystyle \sum _{i=r(\text{AEV})}^{N}[{[S({\psi }_{\text{AEV}})-S({\psi }_{i})]}^{2}-{[S({\psi }_{\text{AEV}})-S({\psi }_{i-1})]}^{2}]{r}_{i}^{2}}\right)}\text{，}$

(14)

图 10 允许气体通过的有效面积计算

Figure 10. Computation of effective area allowing air to pass through

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式中，k_ra为相对气体渗透系数，r_i为孔隙半径，S( ${\psi _i}$ )，S( ${\psi _m}$ )，S( ${\psi _{{\text{AEV}}}}$ )为土吸力分别为 ${\psi _i}$ ， ${\psi _m}$ ，ψ_AEV的饱和度，N为孔隙分割数。

式（14）定义了气体的渗透系数，包括空气和空气中的水蒸气。空气中水蒸气的含量可以通过相对湿度计算，并且相对湿度也可以用土吸力定义。Zhai等^[54]利用理想气体状态方程，分析得到了标准状态下土吸力与孔隙中水蒸气压力的关系，如下所示：

$\psi = - \frac{{RT}}{{{\nu _{{\text{w0}}}}{\omega _{\text{v}}}}}\ln \left( {\frac{{{p_i}}}{{{p_0}}}} \right) = - \frac{{RT}}{{{\nu _{{\text{w0}}}}{\omega _{\text{v}}}}}\ln ({\text{RH}}){\kern 1pt} \text{，}$

(15)

式中，ψ为土吸力，R为通用气体常数，T为绝对温度，v_w0为水密度的倒数，ω_v为单位摩尔水的质量， ${p_i}$ 为水蒸气压强，p₀为饱和水蒸气压强，RH为相对湿度。

通过土吸力的定义，可计算不同吸力状态下空气中水蒸气的含量，并将单位体积内的水蒸气换算成液态水的体积，在式（14）的基础上得到气态水在土体中渗透系数公式如下：

${k_{{\text{vap}}}} = 7.4932 \times {10^{ - 4}}{{\text{e}}^{ - 7.395 \times {{10}^{ - 6}}\psi }}{k_{\text{a}}} \text{，}$

(16)

式中，k_vap为气态水在土体中的渗透系数，e为自然常数，ψ为土吸力，k_a为土体气体渗透系数。需要注意，式（16）是在温度为20℃的条件下推导出来的，如果温度产生变化，需要考虑温度对相对湿度和水蒸气密度的影响，式（16）也需要作相应的修正。

本文利用式（16）对Ebrahimi-B等^[52]的报告数据，如图 11（a），进行核算。将计算值和传统经验模型进行对比，结果如图 11（b）。

图 11 气态水渗流渗透系数的计算

Figure 11. Computation of the hydraulic conductivity of soil due to vapour flow

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图 11所示，式（16）的计算结果和文献中不同经验模型的计算结果比较吻合。另外，式（16）较传统经验模型具有更为严谨的理论基础，经验模型的计算结果在很大程度取决经验参数的选取。

3. 全吸力范围非饱和土渗透系数

综上所述，水分在非饱和土体中迁移大致可分为3大类：①毛细水渗流；②膜态水渗流；③气态水渗流。根据不同形态水分在土体中迁移规律，非饱和土渗透系数方程在全吸力范围大致可分为3个区域：①毛细水渗流主导区；②膜态水渗流主导区；③气态水渗流主导区，如示意图 12。因此，非饱和土体的渗透系数需要综合考虑毛细水渗透系数、膜态水渗透系数以及气态水渗透系数。

图 12 非饱和土体中不同形态水分渗流主导区域

Figure 12. Illustration of different dominated zones in hydraulic conductivity function of unsaturated soils

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4. 结语

本文系统地探讨了不同类型水分在土体中的迁移规律，并根据迁移机理提出相应的渗透系数计算公式。研究发现，采用传统统计模型容易低估非饱和土在高吸力区域的渗透系数。在计算非饱和土渗透系数时，需要综合考虑①毛细水渗流、②膜态水渗流和③气态水渗流。本文提出的计算公式具有较为完整的理论基础，计算结果与文献试验数据吻合度较高，计算结果可靠。需要指出，本文并未考虑土的体积变形，对于在脱湿过程中体积变化明显的土体，需要综合考虑体积变形对土体渗透性能的影响。该内容需要进一步研究，本文的研究并未涉及体积变形。此外，渗透吸力、温度、矿物的化学作用也可能会影响土体的渗透性能，这些因素在本文中并未考虑，有待进一步研究。

图 1 土体中不同形态水分^{[23, 25]}

Figure 1. Different forms of water in soils^{[23, 25]}

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图 2 阀门模型

Figure 2. Illustration of valve model

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图 3 不同孔径联通产生的有效面积

Figure 3. Illustration of effective area

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图 4 允许水流通过的有效面积的计算

Figure 4. Computation of effective area allowing water to pass through

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图 5 毛细渗透系数计算结果

Figure 5. Computation of capillary conductivity

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图 6 砂质黏土和粉质砂土的土水特征曲线和非饱和渗透系数

Figure 6. Illustration of SWCCs and unsaturated hydraulic conductivities of low-plasticity clay and silty sand

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图 7 不同粒径颗粒连接造成膜态水的不同渗流路径。

Figure 7. Illustration of seepage paths for film water due to different connecting paths between soil particles with different radii

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图 8 综合毛细渗流和膜态水渗流计算非饱和土渗透系数

Figure 8. Computation of hydraulic conductivities of unsaturated soils by considering both capillary flow and film flow

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图 9 非饱和高庙子高岭土在不同温度下渗透系数

Figure 9. Illustration of hydraulic conductivities of unsaturated GMZ bentonite under different temperatures.

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图 10 允许气体通过的有效面积计算

Figure 10. Computation of effective area allowing air to pass through

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图 11 气态水渗流渗透系数的计算

Figure 11. Computation of the hydraulic conductivity of soil due to vapour flow

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图 12 非饱和土体中不同形态水分渗流主导区域

Figure 12. Illustration of different dominated zones in hydraulic conductivity function of unsaturated soils

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表 1 不同学者对αβ建议值

Table 1 Suggested values of αβ by various scholars

参考文献 αβ

Penman^[46] 0.66n

Marshall^[47] β^3/2

Millington ^[48] β^4/3

Millington等^[49] β^10/3/n²

Lai等^[50] β^5/3

Abu-EI-Sha'r等^[51] 0.435n

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0. 引言
1. 当前国内外研究现状
2. 不同形态水分在土体中迁移规律
2.1 毛细水迁移规律
2.2 膜态水迁移规律
2.3 气态水迁移规律
3. 全吸力范围非饱和土渗透系数
4. 结语

全吸力范围非饱和土水力渗透系数的计算 English Version

作者简介: 翟钱(1982—)，男，博士，副教授，主要从事非饱和土土力学等方面的教学和科研。E-mail: 101012332@seu.edu.cn

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