Elastic-viscoplastic constitutive model for overconsolidated unsaturated soils considering time effects and its verification
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摘要: 时间效应对超固结非饱和土的力学和变形特性影响较大，建立考虑时间效应的超固结非饱和土弹黏塑性本构模型，对于准确分析超固结非饱和土时间相依变形特性具有重要意义。以超固结土统一硬化模型为基础框架，建立了一个同时考虑固结度、基质吸力、时间效应的超固结非饱和土弹黏塑性本构模型。首先，根据超固结土弹塑性变形特性，引入统一硬化参数对一维弹黏塑性本构模型进行修正，建立了连续加载条件下超固结土弹黏塑性本构模型；其次，采用非饱和土巴塞罗那模型屈服面，结合过应力理论，建立了考虑时间效应和基质吸力影响的弹黏塑性模型。与巴塞罗那模型相比，额外引入了与时间效应相关的黏滞系数。模型验证和试验数据对比结果表明，该模型能够合理地预测超固结非饱和土时间相依变形特性。Abstract: The time effects have a significant influence on the deformation characteristics of the overconsolidated unsaturated soils. Establishing an elastic-viscoplastic constitutive model for the overconsolidated unsaturated soils considering the time effects is of great significance for accurately analyzing the time-dependent deformation characteristics. Based on the unified hardening model for the overconsolidated soils, an elasto-viscoplastic constitutive model for the overconsolidated unsaturated soils is established, considering the degree of consolidation, matric suction and time effects. Firstly, according to the elasto-plastic deformation characteristics of the overconsolidated soils, the one-dimensional elasto-viscoplastic constitutive model for the overconsolidated soils under continuous loading condition is modified by introducing the unified hardening parameters. Secondly, by using the Barcelona model yield surface of the unsaturated soils and based on the over-stress theory, an elasto-viscoplastic model considering the time effects and the influences of suction is established. Compared with the Barcelona model, an additional viscosity coefficient related to the time effects is introduced. The comparative results of model verification and experimental data show that the proposed model can reasonably predict the time-dependent deformation characteristics of the overconsolidated unsaturated soils.
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Keywords:
- overconsolidation /
- unsaturated soil /
- matrix suction /
- time effect /
- overstress theory /
- elasto-viscoplasticity
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0. 引言
黏土的强度及变形特性具有明显的时间效应。近年来，高填方路基不均匀沉降、长期强度降低等工程问题成为岩土工程领域研究的热点。研究学者主要通过蠕变和率敏性（不同应变速率）试验及相关理论反映土体变形的时间效应，其中，Bjerrum[1]基于大量固结试验结果和工程数据，将固结过程划分为瞬时压缩和延时压缩两个阶段，并指出蠕变对土的影响相当于使土产生超固结。Yin等[2]、Borja等[3]、Kutter等[4]基于Bjerrum的研究工作，建立了蠕变型弹黏塑性本构模型。Graham等[5]、Vaid等[6]、Leroueil等[7]和Nash等[8]对饱和黏土的等应变速率（CRS）固结加载试验均发现，应变速率与应力参量（如应力比或准前期固结压力）具有对应关系。基于上述规律，Adachi等[9]、Sekiguchi[10]、Yin等[11]、王智超等[12]、姚仰平等[13]建立了率敏性弹黏塑性本构模型。上述两类土体流变试验和Perzyna[14]的过应力理论，为建立弹黏塑性本构模型奠定了基础。Bodas等[15]通过对上述两类模型的三轴剪切模拟结果与试验数据进行对比指出，采用率敏性试验为基础建立的弹黏塑性本构模型的预测结果更为合理。
然而上述模型均以饱和土为研究对象，有关非饱和土流变模型的研究相对较少。De等[16]首先对非饱和土率相关本构模型进行研究，以净应力和吸力作为状态变量，提出了屈服净应力和应变速率的关系式，建立了非饱和土弹黏塑本构模型。李冬等[17]把土骨架平均应力和有效吸力作为状态变量，建立了非饱和土弹黏塑性本构模型。胡亚元[18]利用等效时间法建立了黏塑性体应变速率公式，通过改进LC和SI屈服面，建立了非饱和土等效时间流变模型。
在高填方路基填筑过程中，非饱和土经过分层压实成为重超固结土，因此如何描述超固结非饱和土的软化、剪胀、时间效应是一个值得探究的新课题。本文基于Yao等[19]提出的超固结土统一硬化（UH）模型，引入Yin等[2]提出的等效时间理论，并结合Alonso等[20]所提出的非饱和土本构模型（BBM），构建了超固结非饱和土弹黏塑性本构模型。编程实现了所建立本构模型的预测功能，通过模型预测结果与试验数据的对比，证明了所建立模型的适用性。
1. 非线性弹黏塑性模型
1.1 等效时间理论
1989年，Yin等[21]首先解释了Bjerrum的文章中的等效时间和其他一些基本概念，为推导土的一维弹黏塑性（1-D EVP）本构模型建立了基础。如图 1所示，在EVP模型中，超固结压缩线是弹性变形线，正常压缩线定义为“参考时间线”。图 1中所有平行于参考时间线的时间线对应的等效时间te均为常数。等效时间理论指出，对于给定的状态点($ \sigma _\text{m}^{} $，$ \varepsilon _\text{vm}^{} $)，该点处的蠕变速率等于在相同应力下从参考点估算的等效蠕变时间计算的蠕变速率，与加载历史无关。这意味着等效时间te与蠕变速率$ \dot \varepsilon _z^{{\text{tp}}} $之间存在唯一的关系，可以描述正常固结土和超固结土的时间相关性状。
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图 1 一维弹黏塑性模型中弹性线、参考时间线、等效时间Figure 1. Elastic line, reference time line and equivalent time in one-dimensional elasto-viscoplastic model在一维弹黏塑性模型中，弹性变形线可表示为
$$\varepsilon_{\mathrm{vm}}^{\mathrm{e}}=\varepsilon_{\mathrm{vm} 0}^{\mathrm{e}}+k / V \ln \left(\sigma_{\mathrm{m}} / \sigma_{\mathrm{u}}\right) \quad 。$$ (1) 式中：$ \sigma_{\mathrm{u}} $为单位应力；$ \varepsilon_{\mathrm{vm} 0}^{\mathrm{e}} $为$ \sigma_{\mathrm{m}} $=$ \sigma_{\mathrm{u}} $时的应变，比体积V=1+e0。
参考时间线（正常固结线）可由下式表示：
$$ \varepsilon_{\mathrm{vm}}^{\mathrm{ep}}=\varepsilon_{\mathrm{vm} 0}^{\mathrm{ep}}+\lambda / V \ln \left(\sigma_{\mathrm{m}} / \sigma_{\mathrm{m} 0}\right) \quad 。$$ (2) 式中：$ \mathcal{E}_{\mathrm{vm} 0}^{\mathrm{ep}} $为$ \sigma_{\mathrm{m}} $=$ \sigma_{\mathrm{m} 0} $时的应变，可取为0。
蠕变压缩应变用等效时间表示：
$$\varepsilon_{\mathrm{vm}}^{\mathrm{tp}} = {\psi \mathord{\left/ {\vphantom {\psi V}} \right. } V}\ln \left( {\frac{{{t_0} + t_{\mathrm{e}}}}{{{t_0}}}} \right) 。 $$ (3) 式中：ψ为黏滞系数（次固结系数），可由蠕变试验确定；t0为主固结完成时间，一般为24 h。
因此，根据等效时间理论，在任何状态点的应变均可以表示为
$$ \varepsilon_{\mathrm{vm}} = \mathcal{E}_{\mathrm{vm} 0}^{\mathrm{ep}} +\varepsilon_{\mathrm{vm}}^{\mathrm{tp}} \\ \quad\;\;= \mathcal{E}_{\mathrm{vm} 0}^{\mathrm{ep}} + {\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda V}} \right. } V}\ln \left( {\frac{{\sigma_{\mathrm{m}}}}{{\sigma_{\mathrm{m} 0}}}} \right) + {\psi \mathord{\left/ {\vphantom {\psi V}} \right. } V}\ln \left( {\frac{{{t_0} + t_{\mathrm{e}}}}{{{t_0}}}} \right) 。 $$ (4) 通过微分关系[21]，得到一维弹黏塑性本构模型表达式：
$$ \dot{\mathcal{E}}_{\mathrm{vm}} = \frac{k}{{V\sigma_{\mathrm{m}}}}\dot{\sigma}_{\mathrm{m}} + \\ \quad\quad\;\;\frac{\psi }{{V{t_0}}}\exp \left[ { - (\varepsilon_{\mathrm{vm}} - {\varepsilon_{\mathrm{vm} 0}})\frac{V}{\psi }} \right].{\left( {\frac{{\sigma_{\mathrm{m}}}}{{\sigma_{\mathrm{m} 0}}}} \right)^{{\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda \psi }} \right. } \psi }}} 。 $$ (5) 1.2 超固结土连续加载条件下一维弹黏塑性本构模型
当超固结土经过一维蠕变之后继续加载，Yin等认为土体对于新一级荷载的响应是完全弹性的，而当土体经历了蠕变之后，可将其视为超固结土。Yao指出超固结土再加载会出现塑性变形，如图 2所示，从点1正常固结到点2，然后经过等效时间te后蠕变到点4，此时土体处于超固结状态。当给出一个应力增量$ {\text{d}}\sigma_{\mathrm{m}} $后，土体从点4经过弹塑性变形后到达点5，经过时间增量dt后蠕变到点6。据此，可推导连续加载条件下超固结土一维弹黏塑性本构模型。
与式（4）类似，𝜀vm可表示为
$$ \varepsilon_{\mathrm{vm}} = \varepsilon_{\mathrm{vm} 0}^{} + {\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda V}} \right. } V}\ln \left( {\frac{{\sigma_{\mathrm{m}}}}{{\sigma_{\mathrm{m} 0}}}} \right) + {\psi \mathord{\left/ {\vphantom {\psi V}} \right. } V}\ln \left( {\frac{{{t_0} + t_{\mathrm{e}}}}{{{t_0}}}} \right) 。 $$ (6) 从点4加载到点5过程中，土体发生弹塑性变形，根据统一硬化（UH）模型[19]，可以得到该压缩过程中的塑性体积应变增量为
$$ \mathrm{d} \varepsilon_{\mathrm{vm}}^{\mathrm{p}} = \frac{{\lambda - k}}{V}\frac{{{M^4}}}{{{{({{\left. {{M_\mathrm{f}}} \right|}_{\eta = 0}})}^4}}}\ln \frac{{{\sigma _{\text{m}}}{\text{ + d}}{\sigma _{\text{m}}}}}{{{\sigma _{\text{m}}}}} 。 $$ (7) 式中：M为临界状态应力比；Mf为土体的潜在强度；η为应力比(q/p)，令
$$ \varsigma {\text{ = }}{{{M^4}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{M^4}} {{{({{\left. {{M_\mathrm{f}}} \right|}_{\eta = 0}})}^4}}}} \right. } {{{({{\left. {{M_\mathrm{f}}} \right|}_{\eta = 0}})}^4}}} 。 $$ (8) 因此，可以得到连续加载条件下d𝜀vm的表达式为
$$ \mathrm{d} \varepsilon_{\mathrm{vm}} = \left[ {\frac{{\varsigma (\lambda - k)}}{V} + \frac{k}{V}} \right]\ln \frac{{\sigma_{\mathrm{m}} + d\sigma_{\mathrm{m}}}}{{\sigma_{\mathrm{m}}}} + \\ \quad\quad\quad\frac{\psi }{V}\ln \left[ {\frac{{{\text{d}}t}}{{t_{\mathrm{e}} + {t_0}}} + 1} \right] 。 $$ (9) 将式（9）两侧分别除以dt，由洛必达法则可以求得
$$ \dot{\mathcal{E}}_{\mathrm{vm}} = \left[ {\frac{{\varsigma (\lambda - k)}}{{V\sigma_{\mathrm{m}}}} + \frac{k}{{V\sigma_{\mathrm{m}}}}} \right]\dot{\sigma}_{\mathrm{m}} + \frac{\psi }{V}\frac{1}{{t_{\mathrm{e}} + {t_0}}} 。 $$ (10) 由式（6）可以得到等效时间te的表达式，代入式（10）得到超固结土一维弹黏塑性本构模型：
$$ \dot{\mathcal{E}}_{\mathrm{vm}} = \frac{{\varsigma (\lambda - k) + k}}{{V\sigma_{\mathrm{m}}}}\dot{\sigma}_{\mathrm{m}} + \\ \quad\frac{\psi}{V t_0} \exp \left[-\left(\varepsilon_{\mathrm{vm}}-\varepsilon_{\mathrm{vm} 0}\right) \frac{V}{\psi}\right] \cdot\left(\frac{\sigma_{\mathrm{m}}}{\sigma_{\mathrm{m} 0}}\right)^{\lambda / \psi}。 $$ (11) 结合Yin等[2]的工作，将式（10）中的竖向应力替换为等向压缩试验中的围压，即可得到各向同性应力条件下超固结土三维弹黏塑性本构模型。
2. 超固结非饱和土弹黏塑性模型构建
2.1 当前屈服面和参考屈服面
本文以巴塞罗那模型(BBM)的屈服面作为弹黏塑性模型的屈服面，如图 3所示，点A(p, q, s)所在的屈服面为当前屈服面，采用H作为统一硬化参数。点B($\bar p,\bar q,s$)所在的屈服面为参考屈服面，采用塑性体应变εvp作为硬化参数。通过当前屈服面和参考屈服面之间的位置关系，反映土体超固结程度，将等效时间理论引入超固结参数R来反映超固结程度对当前屈服面中统一硬化参数H和潜在强度Mf的影响。
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图 3 当前屈服面和参考屈服面示意图Figure 3. Schematic diagram of current yield surface and reference yield surface当前屈服面方程为
$$ f = {q^2} + {M^2}(p + {p_{\mathrm{s}}})(p - p_{\mathrm{x}}) = 0。 $$ (12) 式中：q为当前屈服面上的广义剪应力；px为当前屈服面的净平均屈服应力；ps描述了吸力对土体凝聚力的贡献；ps=kss∙s，s为基质吸力，kss为参数。
参考屈服面方程为
$$ \bar f = {\bar q^2} + {M^2}(\bar p + {p_{\mathrm{s}}})(\bar p - {\bar p_{\mathrm{x}}}) = 0。 $$ (13) 式中：$\bar q$为参考屈服面上的广义剪应力；$ {\bar p_{\mathrm{x}}} $为参考屈服面的净平均屈服应力。
2.2 统一硬化参数H
Yao等[19]提出了超固结土统一硬化模型，用新的硬化参数H代替MMC模型中的硬化参数$ \varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} $，Yao指出：①在同一屈服面上，H是等值的。②H是与应力路径无关的。姚仰平等[22]结合巴塞罗那模型，提出了超固结非饱和土的统一硬化参数：
$$ H = \frac{1}{{{c_{{\text{ps}}}}}}\int {\frac{{M_{\text{f}}^4 - {{\hat \eta }^4}}}{{M_{}^4 - {{\hat \eta }^4}}}} {\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{\text{p}} 。 $$ (14) 式中：$ {c_{{\text{ps}}}} = (\lambda (s) - k)/V $，$ \hat \eta = q/(p + {p_{\text{s}}}) $为应力比，M为非饱和土临界状态线斜率，$ {M_{\text{f}}} $为非饱和土的潜在强度应力比。
根据修正UH模型[23]，$ {M_{\text{f}}} $的达式为
$$ {M_{\text{f}}} = 6\left[ {\sqrt {\frac{o}{R}\left( {1 + \frac{o}{R}} \right)} - \frac{o}{R}} \right] 。 $$ (15) 式中：R为超固结参数，取值范围为0 < R≤1；$ o = {M^2}/12(3 - M) $。
根据超固结非饱和土当前应力状态和参考应力状态，在文献[22]中，将R定义为
$$ R = \frac{{{p_{\text{x}}} + {p_{\text{s}}}}}{{{{\bar p}_{\text{x}}} + {p_{\text{s}}}}} 。 $$ (16) 根据土体的应变速率效应，本文考虑时间效应对超固结状态的影响，提出了超固结土参数R的求解方法。考虑到土体参考应力所对应的点在实际工程中是很难具体求出的，本文采用密度状态参数ξ对超固结参数R进行求解[24-25]。如图 4所示，AE为正常固结非饱和土等向压缩线对应的直线，可看作是参考时间线，斜率为$ \lambda $(s)，此时应力比$\hat \eta $=0。当$\hat \eta $≠0时，点B在正常固结土的各向异性压缩线（ACL）上。点D所在的直线可看为特征速率线（CRL），也可看作是等效时间线，其位置与应变速率和蠕变时间相关，受应力状态影响较小，斜率与正常固结线（NCL）相同。
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图 4 状态密度参数ξ的求解方法示意图Figure 4. Schematic diagram of method for solving state density parameter ξ当前孔隙比对应C点，在恒定净平均应力p作用下，经过dt时间后蠕变到D点，根据等效时间理论计算得到等向压缩条件下，点C和点D之间的距离为
$$ \Delta {e_{{\text{tp}}}} = \frac{{\psi (s)}}{{{t_0}}}\exp \left[ { - (\varepsilon_{\mathrm{vm}} - \varepsilon _{{\text{vm0}}}^{{\text{ep}}})\frac{V}{\psi }} \right]{\left( {\frac{{{p_{\text{m}}}}}{{{p_{\text{c}}}}}} \right)^{\frac{{\lambda (s)}}{{\psi (s)}}}}{\text{d}}t 。 $$ (17) 式中，$ {p_{\text{m}}} $为等向压缩时对应的平均应力，此处等于p；$ {p_{{\text{m0}}}} $为参考应力值，$ {\varepsilon _{{\text{vm}}}} $为$ {p_{\text{m}}} $对应的黏塑性体应变，$ \varepsilon _{{\text{vm0}}}^{{\text{ep}}} $为pc对应的弹塑性体应变。$ \psi (s) $为非饱和土黏滞系数，该值大小与基质吸力有关。
考虑到不同吸力水平下非饱和土次固结系数不同，Gennaro等[16]提出了非饱和土次固结系数表达式为
$$ \psi (s) = \lambda (s)\frac{{\psi (0)}}{{\lambda (0)}} - bs。 $$ (18) 式中：ψ(0)为饱和土对应的次固结系数；b为反映吸力对次固结系数影响的参数，b值一般较小。
在求解$ {e_{\hat \eta }} $时，如图 4（b）所示，从点A等P剪切到点B，屈服面外扩到红色屈服面。点B和点E位于同一屈服面上，则可知应力路径AB和AE产生的塑性体应变相等。因此，点B也可以看作点A等向压缩到点E后，再等向卸载到点B。考虑非饱和土基质吸力的影响（坐标平移$ {p_{\text{s}}} $），净平均应力$ \hat p = p{\text{ + }}{p_{\text{s}}} $。得到：
$$ {e}_{\widehat{\eta }}=e(s)-\lambda (s)\mathrm{ln}\left[\frac{\widehat{p}}{{p}^{\text{c}}+{p}_{\text{s}}}\left(1+\frac{{\widehat{\eta }}^{2}}{{M}^{2}}\right)\right]+k\mathrm{ln}\left(1+\frac{{\widehat{\eta }}^{2}}{{M}^{2}}\right)。 $$ (19) 由图 4可得：$\xi ' = {e_{\hat \eta }} - e$，$ \xi = {e_{\hat \eta }} - e + \Delta {e_{tp}} $，根据超固结土卸载准则，得到超固结参数R的表示方法：
$$R=\exp \left(-\frac{\xi}{\lambda(s)-k}\right) \quad 。$$ (20) 式中：ξ为点B，D之间的竖向距离，称为密度状态参数，通过ξ的大小来描述土体超固结程度的大小，土体的孔隙比越小，ξ越大，超固结程度也越大。
2.3 统一弹黏塑性模型应变增量
类似于传统弹塑性模型，Yin等认为总应变增量为${\text{d}}{\varepsilon _{ij}} = {\text{d}}\varepsilon _{ij}^{\text{e}} + {\text{d}}\varepsilon _{ij}^{{\text{vp}}}$，根据Perzyna过应力理论，将一维EVP模型推广到三维EVP模型中可得
$$\dot{\varepsilon}_{i j}^{\mathrm{vp}}=S_1 \frac{\partial g}{\partial \sigma i j}\text{，} $$ (21) $$ \mathrm{d} \varepsilon_{i j}^{\mathrm{vp}}=S \frac{\partial g}{\partial \sigma i j}, \quad S=S_1 \mathrm{~d} t 。 $$ (22) 式中：S为黏塑性因子；g为黏塑性势面。假设采用相关联流动法则依然可行，则有
$$ {\text{d}}\varepsilon _{ij}^{{\text{vp}}} = S\frac{{\partial f}}{{\partial \sigma ij}} 。 $$ (23) 土体的弹性变形不受时间的影响，则非饱和土弹性应变增量为
$$ {\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{\text{e}} = {\text{d}}\varepsilon _{{\text{vp}}}^{\text{e}} + {\text{d}}\varepsilon _{{\text{vs}}}^{\text{e}} = \frac{k}{V}\frac{1}{p}{\text{d}}p + \frac{{{k_{\text{s}}}}}{V}\frac{1}{{s + {p_{{\text{at}}}}}}{\text{d}}s \text{，} $$ (24) $$ {\text{d}}\varepsilon _{\text{d}}^{\text{e}} = \frac{{2(1 + v)}}{{9(1 - 2v)}}\frac{k}{{Vp}}{\text{d}}p 。 $$ (25) 由式（23）可分别计算出黏塑性体积应变增量$ {\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{{\text{vp}}} $和黏塑性剪切应变增量$ {\text{d}}\varepsilon _{\text{d}}^{{\text{vp}}} $，
$$ {\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{{\text{vp}}} = S\frac{{\partial f}}{{\partial p}} = S\left( {1 - \frac{{{q^2}}}{{{M^2}{{(p + {p_{\text{s}}})}^2}}}} \right) \text{，} $$ (26) $$ {\text{d}}\varepsilon _{\text{d}}^{{\text{vp}}} = S\frac{{\partial f}}{{\partial q}} = S\frac{{2q}}{{{M^2}(p + {p_{\text{s}}})}} 。 $$ (27) 由于本文采用统一硬化参数H作为弹黏塑性模型的硬化参数，因此，在同一屈服面上任意一点的硬化参数值H和等向应力状态下的硬化参数值Hm相等。
$$ {\text{d}}H = {\text{d}}{H_{\text{m}}}。 $$ (28) 在等向应力状态下，黏塑性体应变增量$ {\text{d}} \varepsilon _{{\text{vm}}}^{{\text{vp}}} $为
$$ \quad\quad\quad{\text{d}} \varepsilon _{{\text{vm}}}^{{\text{vp}}} = \frac{{\varsigma (\lambda (s) - k)}}{{V{p_{\text{m}}}}}{\text{d}}{p_{\text{m}}} + \\ \frac{\psi }{{V{t_0}}}\exp \left[ { - ({\varepsilon _{{\text{vm}}}} - \varepsilon _{{\text{vm0}}}^{{\text{ep}}})\frac{V}{{\psi (s)}}} \right]{\left( {\frac{{{p_{\text{m}}}}}{{{p_{\text{c}}}}}} \right)^{\frac{{\lambda (s)}}{{\psi (s)}}}}{\text{d}}t 。 $$ (29) 根据统一硬化参数H的定义，则有
$$ {\text{d}}{H_{\text{m}}} = \frac{{M_{{\text{fm}}}^4}}{{{M^4}}}{\text{d}}\varepsilon _{{\text{vm}}}^{{\text{vp}}} = \frac{1}{\varsigma }{\text{d}}\varepsilon _{{\text{vm}}}^{{\text{vp}}} 。 $$ (30) 将式（29）代入式（30）得到
$$ \quad{\text{d}}{H_{\text{m}}} = \frac{{\lambda (s) - k}}{{V{p_{\text{m}}}}}{\text{d}}{p_{\text{m}}} + \\ \frac{{\psi (s)}}{{\varsigma V{t_0}}}\exp \left[ { - ({\varepsilon _{{\text{vm}}}} - \varepsilon _{{\text{vm0}}}^{{\text{ep}}})\frac{V}{\psi }} \right]{\left( {\frac{{{p_{\text{m}}}}}{{{p_{\text{c}}}}}} \right)^{\frac{{\lambda (s)}}{{\psi (s)}}}}{\text{d}}t 。 $$ (31) 根据当前屈服面方程，得到${p_{\text{m}}}$和${\text{d}}{p_{\text{m}}}$的表达式：
$$ {p_{\text{m}}} = p + \frac{{{q^2}}}{{{M^2}(p + {p_{\text{s}}})}} \text{，} $$ (32) $$ {\text{d}}{p_{\text{m}}} = \frac{{\partial {p_{\text{m}}}}}{{\partial p}}{\text{ + }}\frac{{\partial {p_{\text{m}}}}}{{\partial q}} + \frac{{\partial {p_{\text{m}}}}}{{\partial s}} = \frac{{{M^2}{{(p + {p_s})}^2} - {q^2}}}{{{M^2}{{(p + {p_{\text{s}}})}^2}}}{\text{d}}p + \\ \quad\quad\quad\frac{{2q}}{{{M^2}(p + {p_{\text{s}}})}}{\text{d}}q - \frac{{{k_{{\text{ss}}}}{q^2}}}{{{M^2}{{(p + {p_{\text{s}}})}^2}}}{\text{d}}s 。 $$ (33) 通过式（14）可以计算得到硬化参数的增量形式为
$$ {\text{d}}H = \frac{1}{{{c_{{\text{ps}}}}}}\frac{{M_{\text{f}}^{\text{4}} - {{\hat \eta }^4}}}{{M_{}^4 - {{\hat \eta }^4}}}{\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{{\text{vp}}} = \frac{1}{\mathit\Omega }{\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{{\text{vp}}}\text{，} $$ (34) 将式（26）代入式（34）可得
$$ {\text{d}}H = \frac{S}{\mathit\Omega }\left( {1 - \frac{{{q^2}}}{{{M^2}{{(p + {p_{\text{s}}})}^2}}}} \right)。 $$ (35) 将式（31），（35）代入式（28），可以得到黏塑性因子S为
$$\begin{aligned} S= & \frac{\mathit\Omega M^2\left(p+p_{\mathrm{s}}\right)^2}{M^2\left(p+p_{\mathrm{s}}\right)^2-q^2}\left\{\frac{M^2\left(p+p_{\mathrm{s}}\right)^2-q^2}{M^2\left(p+p_{\mathrm{s}}\right)^2 p_{\mathrm{m}}} \mathrm{d} p+\right. \\ & \frac{2 q}{M^2\left(p+p_{\mathrm{s}}\right) p_{\mathrm{m}}} \mathrm{d} q-\frac{k_{\mathrm{ss}} q^2}{M^2\left(p+p_{\mathrm{s}}\right)^2 p_{\mathrm{m}}} \mathrm{d} s+ \\ & \left.\frac{\psi(s)}{\varsigma V t_0} \exp \left[-\left(\varepsilon_{\mathrm{vm}}-\varepsilon_{\mathrm{vm} 0}^{\mathrm{ep}}\right) \frac{V}{\psi(s)}\right]\left(\frac{p_{\mathrm{m}}}{p_{\mathrm{c}}}\right)^{\frac{\lambda(s)}{\psi(s)}} \mathrm{d} t\right\}, \end{aligned}$$ (36) 将式（36）代入式（26），（27）可以计算得到黏塑性体应变增量和黏塑性剪切应变增量。
假设本文模型由基质吸力变化引起的塑性体应变和BBM模型相同，
$$ {\text{d}}\varepsilon _{{\text{vs}}}^{\text{p}} = \frac{{{{\mathit{\lambda}} _{\text{s}}} - {k_{\text{s}}}}}{V}\frac{1}{{s + {p_{{\text{at}}}}}}{\text{d}}s 。 $$ (37) 根据弹黏塑性理论，总应变增量为弹性应变增量和塑性应变增量之和：
$$ {\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{} = {\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{\text{e}} + {\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{{\text{vp}}}{\text{ + d}}\varepsilon _{{\text{vs}}}^{{\text{ep}}} \text{，} $$ (38) $$ {\text{d}}\varepsilon _{\text{d}}^{} = {\text{d}}\varepsilon _{\text{d}}^{\text{e}} + {\text{d}}\varepsilon _{\text{d}}^{{\text{vp}}} 。 $$ (39) 则本文推导得到的超固结非饱和土弹黏塑性本构模型可以写成矩阵形式：
$$ \left[ \begin{gathered} {\text{d}}\varepsilon _{\text{v}}^{} \hfill \\ {\text{d}}\varepsilon _{\text{d}}^{} \hfill \\ \end{gathered} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} {A_{{\text{vp}}}} \hfill \\ {B_{{\text{vp}}}} \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} {A_{{\text{vq}}}} \hfill \\ {B_{{\text{vq}}}} \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} {A_{{\text{vs}}}} \hfill \\ {B_{{\text{vs}}}} \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} {A_{{\text{vt}}}} \hfill \\ {B_{{\text{vt}}}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right]\left[ \begin{gathered} {\text{d}}p \hfill \\ {\text{d}}q \hfill \\ {\text{d}}s \hfill \\ {\text{d}}t \hfill \\ \end{gathered} \right] \text{，} $$ (40) 式中：
$$ {A}_{\text{vp}}=\frac{k}{V}\frac{1}{p}+\mathit\Omega \frac{{M}^{2}{(p+{p}_{\text{s}})}^{2}-{q}^{2}}{{M}^{2}{(p+{p}_{\text{s}})}^{2}{p}_{\text{m}}}； $$ $$ {A}_{\text{vq}}=\mathit\Omega \frac{2q}{{M}^{2}(p+{p}_{\text{s}}){p}_{\text{m}}}； $$ $$ {A}_{\text{vs}}=\frac{{\lambda }_{\text{s}}}{1+V}\frac{1}{s+{p}_{\text{at}}}\text{+}\frac{{k}_{\text{ss}}{q}^{2}}{{M}^{2}{(p+{p}_{\text{s}})}^{2}{p}_{\text{m}}}； $$ $$A_{\mathrm{vt}}=\mathit\Omega \frac{\psi(s)}{\varsigma V t_0 c_{\mathrm{ps}}} \exp \left[-\left(\varepsilon_{\mathrm{vm}}-\varepsilon_{\mathrm{vm} 0}^{\mathrm{ep}}\right) \frac{V}{\psi(s)}\right]\left(\frac{p_{\mathrm{m}}}{p_{\mathrm{c}}}\right)^{\frac{\lambda(s)}{\psi(s)}} ;$$ $$ {B}_{\text{dp}}=\mathit\Omega \frac{2q}{{M}^{2}(p+{p}_{\text{s}}){p}_{\text{m}}}； $$ $$ {B}_{\text{dq}}=\frac{2(1+v)}{9(1-2v)}\frac{k}{V}\frac{1}{p}+\mathit\Omega \frac{2q}{{M}^{2}{(p+{p}_{s})}^{2}-{q}^{2}}\frac{2q}{{M}^{2}{p}_{\text{m}}}； $$ $$\begin{aligned} B_{\mathrm{dt}}= & \mathit\Omega \frac{2\left(p+p_{\mathrm{s}}\right) q}{M^2\left(p+p_{\mathrm{s}}\right)^2-q^2} \frac{\psi(s)}{\varsigma V t_0 c_{\mathrm{ps}}} \\ & \exp \left[-\left(\varepsilon_{\mathrm{vm}}-\varepsilon_{\mathrm{vm} 0}^{\mathrm{ep}}\right) \frac{V}{\psi(s)}\right]\left(\frac{p_{\mathrm{m}}}{p_{\mathrm{c}}}\right)^{\frac{\lambda(s)}{\psi(s)}} 。 \end{aligned}$$ 2.4 模型参数及确定方法
相较于BBM模型，本文建立的模型所涉及到的参数增加了黏滞系数$ \psi (s) $，该参数值与基质吸力有关，可通过控制吸力的非饱和土蠕变试验获得。本文模型其余参数的确定方法均和BBM模型相同。
3. 模型验证
本文通过编制计算机程序，对超固结非饱和土三轴剪切试验、超固结土率敏性三轴试验和非饱和土率敏性试验进行模型预测，通过与试验结果对比，以验证本文构建的超固结非饱和土弹黏塑性本构模型的适用性。
3.1 超固结非饱和土三轴剪切试验验证
Estabragh等[26]对超固结非饱和粉土在控制吸力的条件下进行了一系列等向压缩和CRS三轴剪切试验。试验首先对试样进行吸力平衡，吸力s分别设定为100，200，300 kPa，分别在恒定吸力下将试样等向压缩至相同的前期固结压力550 kPa，然后分别等向回弹至50，100 kPa，得到不同的超固结比（OCR），最后再分别进行三轴剪切试验，轴向应变速率恒定为2%/min，试验分组见表 1。文献[25]通过对上述控制吸力的等向压缩试验，得到$ \mathit\lambda $(0)=0.078，$ \lambda $(200)=0.071和$ \lambda $(300)=0.055，带入$ \lambda $(s) = $ \lambda $(0)[r+(1-r) exp(-βs)]可求得β= 0.001 kPa-1，r= 0.06；根据文献[26]中饱和状态下偏应力和应变的关系，可求出临界状态线斜率M=1.26，由于M不受吸力影响，根据q/(p+ksss)=M求得kss=0.2；根据饱和状态的卸载回弹曲线求得k=0.01；初始孔隙比取平均值0.705；泊松比v取0；参考应力pc取10 kPa，由于在试验设定的吸力范围内非饱和土黏滞系数变化较小，$ \psi (s) $取恒定值0.0045，正常固结时间t0取1440 min。综上，模型参数取值如下：M=1.26，k=0.01，$ \lambda $(0)=0.078，e0=0.705，ν=0，kss=0.2，β=0.001 kPa-1，r=0.06，pc=10 kPa，$ \psi (s) $=0.0045，t0=1440 min。图 5为模型预测与试验结果对比。
表 1 超固结非饱和粉土CRS试验分组Table 1. CRS test groups of overconsolidated unsaturated silty soil吸力s/kPa 净围压$ {\sigma _3} $/kPa 初始含水量w/% 初始孔隙比e0 超固结比OCR 100 50 13.6 0.68 11 100 100 10.5 0.74 5.5 200 50 10.8 0.70 11 200 100 10.0 0.70 5.5 300 50 10.1 0.70 11 300 100 10.6 0.71 5.5 ![]()
图 5 模型预测结果与试验数据对比Figure 5. Comparison between model prediction results and experimental data从图 5可以看出本文模型预测结果和试验结果吻合较好。随着OCR的增大，试样出现明显的峰值强度，进而发生软化现象；在加载过程中，试样体积先剪缩后剪胀。表明本文模型可以反映三轴剪切条件下超固结非饱和土应变软化和剪胀等力学特性。当OCR值不变时，随着吸力的增加，试样的峰值强度逐渐增大，应变软化现象越明显，表明吸力增加可以提高超固结非饱和土的强度。
3.2 超固结土率敏性三轴剪切试验验证
Zhu等[27]对香港海岸沉积黏土在控制应变速率条件下，进行了一系列等向压缩和三轴不排水剪切试验，试验分组见表 2。剪切试验开始前，将试样等向压缩至不同的先期固结应力，然后卸载获得不同的超固结比（OCR）。最后，选用0.25%/min、0.025%/min、0.0025%/min 3种轴向应变速率对不同OCR的试样开展三轴不排水剪切试验。Yin等[28]在后续研究中给出了香港海岸沉积黏土的力学参数：弹性参数k/V= 0.018，塑性参数$ \lambda $/V=0.0792，黏性参数ψ(0)/ V= 0.0025，弹塑性加载线上应力参数$ {p_{{\text{m0}}}} $=15.2 kPa，在本模型中$ {p_{{\text{m0}}}} $=$ {p^{\text{c}}} $，主固结时间t0=1440 min，临界状态线斜率M=1.27，泊松比$ \nu $取0.1。
表 2 香港海岸沉积黏土试验分组Table 2. Test groups for Hong Kong coastal sedimentary clay先期固结压力p0/kPa 净围压$ {\sigma _3} $/kPa 轴向应变速率/(%/min) 超固结比(OCR) 400 400 0.25 1 400 400 0.025 1 400 400 0.0025 1 200 100 0.025 2 400 100 0.025 4 800 100 0.025 8 图 6，7为OCR=1的试样在不同加载速率下的应力应变关系及应力路径曲线，可以看出模型预测结果和试验数据吻合较好。随着应变速率的增大，试样的峰值强度逐渐增大，并出现软化现象。这也从侧面反映了，应变速率的改变，使试样的超固结程度发生变化，即上文中的R值发生了变化。
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图 6 不同应变率加载的应力应变关系对比曲线Figure 6. Comparison curves of stress-strain relationship under different strain rates![]()
图 7 不同应变率加载的应力路径对比曲线Figure 7. Comparison curves of stress paths loaded with different strain rates图 8，9为不同OCR的试样在相同加载速率（0.025%/min）下的应力应变关系及归一化应力路径曲线，可以看出模型预测结果和试验数据吻合较好。随着OCR的增大，试样的峰值强度逐渐增大，并出现明显的峰值点，随后出现软化现象。
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图 8 不同超固结度应力应变关系对比曲线Figure 8. Comparison curves of stress-strain relationship with different over-consolidation degrees![]()
图 9 不同超固结度归一化应力路径对比曲线Figure 9. Comparison curves of normalized stress paths for different over-consolidation degrees由表 2可知，不同超固结的土体的先期固结压力不同，因此，本文对加载过程中的应力进行归一化处理，可以发现，模型归一化应力路径的预测结果和试验数据基本吻合。表明本模型可以反映三轴剪切条件下超固结土变形时间效应。
3.3 非饱和土率敏性三轴剪切试验验证
Nyunt等[29]对高岭土在控制吸力和应变速率条件下，进行了一系列三轴剪切试验，试验分组见表 3。剪切试验开始前，首先对试样进行吸力平衡，吸力s分别设定为20，200，400 kPa，分别在恒定吸力下将试样等向压缩至相同的前期固结压力100 kPa，选用0.1%/min、1%/min两种轴向应变速率分别进行三轴剪切试验。Wijaya等[30]对相同土样进行了一系列控制吸力和应变速率的等向压缩试验，结合文献[29]，通过对试验数据进行拟合，模型参数取值如下：M=0.76，k=0.073，$ \lambda $(0)=0.24，e0=0.68，$ \nu $=0.1，kss=0.6，β=0.001 kPa-1，r=0.21，$ {p_{\text{c}}} $=15 kPa，$ \psi (s) $取恒定值0.005，正常固结时间t0取1440 min。
表 3 非饱和高岭土CRS试验分组Table 3. CRS test groups for unsaturated kaolin试验编号 吸力s/kPa 净围压$ {\sigma _3} $/kPa 轴向应变速率/(%·min-1) CW_20_1 20 100 0.1 CW_20_2 20 100 1.0 CW_200_1 200 100 0.1 CW_400_1 400 100 0.1 图 10为轴向应变速率为0.1%/min，吸力为20，200，400 kPa（分别对应CW_20_1、CW_200_1、CW_400_1）条件下的三轴剪切试验数据与模型预测结果对比，可以看出模型预测结果和试验数据吻合较好，剪切峰值强度随着吸力的增大逐渐增大，并出现应变软化的趋势，表明在干化过程中土体会出现类超固结现象。图 11为恒定吸力和围压条件下，不同应变速率的三轴剪切试验数据与模型预测结果对比，可以看出剪切应变速率对试样强度影响较为明显，同文献[27]中的试验现象类似，应变速率的增大加剧了土体发生应变软化的过程。
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图 10 不同吸力下试样的应力应变关系对比曲线Figure 10. Comparison curves of stress-strain relationship of samples under different suction![]()
图 11 不同应变率加载的应力应变关系对比曲线Figure 11. Comparison curves of stress-strain relationship under different strain rates4. 结论
本文在超固结土统一硬化模型的基础上，引入等效时间理论，结合巴塞罗那模型（BBM）建立了一个同时考虑固结度、基质吸力、时间效应的超固结非饱和土弹黏塑性本构模型，通过将模型计算结果和试验数据进行对比分析，初步验证了该模型的合理性，得到3点结论。
（1）通过对一维等效时间模型进行修正，结合超固结土再加载过程发生弹塑性变形的特性，引入统一硬化参数，提出了连续加载条件下考虑时间效应的应力应变关系。
（2）将巴塞罗那模型的椭圆屈服面作为参考屈服面，基于统一硬化模型基本框架和相关概念，引入过应力理论，建立了考虑基质吸力和时间效应的弹黏塑性本构模型，可以描述在时间和基质吸力作用下土体的率敏性和剪胀、应变软化等超固结特性。
（3）本文建立的弹黏塑性本构模型与巴塞罗那模型相比额外引入了与时间效应相关的黏滞系数，所有参数都可通过室内试验确定。
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图 1 一维弹黏塑性模型中弹性线、参考时间线、等效时间
Figure 1. Elastic line, reference time line and equivalent time in one-dimensional elasto-viscoplastic model
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图 3 当前屈服面和参考屈服面示意图
Figure 3. Schematic diagram of current yield surface and reference yield surface
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图 4 状态密度参数ξ的求解方法示意图
Figure 4. Schematic diagram of method for solving state density parameter ξ
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图 5 模型预测结果与试验数据对比
Figure 5. Comparison between model prediction results and experimental data
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图 6 不同应变率加载的应力应变关系对比曲线
Figure 6. Comparison curves of stress-strain relationship under different strain rates
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图 7 不同应变率加载的应力路径对比曲线
Figure 7. Comparison curves of stress paths loaded with different strain rates
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图 8 不同超固结度应力应变关系对比曲线
Figure 8. Comparison curves of stress-strain relationship with different over-consolidation degrees
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图 9 不同超固结度归一化应力路径对比曲线
Figure 9. Comparison curves of normalized stress paths for different over-consolidation degrees
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图 10 不同吸力下试样的应力应变关系对比曲线
Figure 10. Comparison curves of stress-strain relationship of samples under different suction
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图 11 不同应变率加载的应力应变关系对比曲线
Figure 11. Comparison curves of stress-strain relationship under different strain rates
表 1 超固结非饱和粉土CRS试验分组
Table 1 CRS test groups of overconsolidated unsaturated silty soil
吸力s/kPa 净围压σ3/kPa 初始含水量w/% 初始孔隙比e0 超固结比OCR 100 50 13.6 0.68 11 100 100 10.5 0.74 5.5 200 50 10.8 0.70 11 200 100 10.0 0.70 5.5 300 50 10.1 0.70 11 300 100 10.6 0.71 5.5 
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表 2 香港海岸沉积黏土试验分组
Table 2 Test groups for Hong Kong coastal sedimentary clay
先期固结压力p0/kPa 净围压σ3/kPa 轴向应变速率/(%/min) 超固结比(OCR) 400 400 0.25 1 400 400 0.025 1 400 400 0.0025 1 200 100 0.025 2 400 100 0.025 4 800 100 0.025 8
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表 3 非饱和高岭土CRS试验分组
Table 3 CRS test groups for unsaturated kaolin
试验编号 吸力s/kPa 净围压σ3/kPa 轴向应变速率/(%·min-1) CW_20_1 20 100 0.1 CW_20_2 20 100 1.0 CW_200_1 200 100 0.1 CW_400_1 400 100 0.1
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