0.   引言

拱坝坝肩抗滑稳定分析是拱坝设计与建设中面临的关键技术问题之一，尤其是对于修建在复杂岩石地基上的特高拱坝，坝肩岩体内部发育的不同地质成因的断层、节理、软弱夹层等地质缺陷，往往会成为影响坝肩稳定的控制性因素，严重时可能会导致坝体开裂甚至失稳。合理评价拱坝坝肩稳定性，对于高拱坝整体安全度评价与加固处理措施研究具有重要的工程意义。

在拱坝坝肩稳定分析中一个十分重要的工作是确定可能在坝肩切割形成潜在不稳定滑体的结构面组合，即进行滑动模式分析。拱坝坝肩的可能滑动模式与两岸山体的地形地质条件密切相关^[1]。目前在工程中被广泛接受的分析模式是由2组或3组结构面切割组合形成的潜在不稳定楔体的滑动^[2-3]。然而，这只是一种较为简单的组合形式，在实际工程中还会遇到更为复杂的情况，如滑体的底滑面或侧滑面不再是单一结构面，而是由多个结构面组成的复合滑裂面；或成组发育的底滑面或侧滑面组合^[4-5]；或不同高程范围内作为底滑面的结构面产状发生变化等，此时拱坝坝肩的滑动模式不再是单一楔体滑动，而是更具有普遍意义的多块体滑动。

目前，国内外学者针对拱坝坝肩楔体滑动问题开展了大量的研究工作，主要分析方法包括刚体极限平衡法^[6-8]、数值计算方法^[9-13]和地质力学模型试验法^[14-16]，其中刚体极限平衡法由于力学概念明确、实践经验丰富，且有与之相配套的安全判断标准，仍是现行拱坝设计规范建议的稳定分析方法^[17-18]。应该指出，就分析方法而言，对该问题的研究已日趋成熟和完善。但迄今为止，对拱坝坝肩多块体滑动问题的研究成果相对较少，其分析方法可大致分为两类：①基于等K法的思想，如李瓒等^[1]、潘家铮^[4]讨论了拱坝坝肩发育的由两组竖直结构面与一组水平结构面组合形成的双块体滑动的稳定分析方法；任青文^[19]提出采用两次线性化方法，将求解拱坝坝肩多块体串联滑动的非线性方程组转化为线性方程组，以提高收敛速度。②将三维边坡稳定分析方法推广至拱坝坝肩稳定分析领域，如朱伯芳等^[3]、陈祖煜等^[20]将三维极限分析方法应用于小湾、锦屏一级特高拱坝坝肩抗滑稳定分析。从目前的研究进展来看，尽管对该问题的研究取得了一定的研究成果，但仍存在一些不足，如等K法公式仅讨论了各块体的滑动模式为沿底滑面与侧滑面交线的双面滑动的情况，而未给出各块体沿底滑面单面滑动的计算方法；此外，该方法还认为分界面的抗剪力方向为水平或竖直方向，这一假定缺乏严格的理论依据，削弱了方法的理论基础。同时，目前在边坡稳定分析领域中建立的各种三维稳定分析方法，为使问题得到简化，均存在引入了大量假定的缺陷^[21-23]。

鉴于多块体串联滑动是拱坝坝肩多块体滑动问题中最常见的情况，针对这一特定问题，本文提出了一种理论基础严格、计算步骤相对简单的三维稳定分析方法，该方法在不对滑面上的未知内力引入假定的条件下，通过建立各块体在3个方向的静力平衡方程与相邻块体之间的位移协调方程，使这一问题最终归结为一个包含若干个自由度的极小值问题，结合全局最优化方法进行分析求解可获得较好的收敛性。该方法是二维Sarma法在三维多块体领域的扩展，在理论上获得了塑性力学上限定理的支持。

1.   基本原理

1.1   离散模式与作用在块体上的力

分析拱坝坝肩多块体滑动问题时，首先是根据已查明的坝肩岩体发育的结构面的展布与组合情况，确定潜在滑体的边界条件，然后利用一组走向与相邻两个块体底滑面交线大致平行的陡倾角结构面，将滑体离散为一系列具有竖直或陡倾角分界面的块体。如果坝肩岩体中这类不利的陡倾角结构面不发育，可采用类似三维极限平衡法的做法，由通过相邻块体底滑面交线的竖直面代替^[4]。

考察如图 1所示的拱坝坝肩多块体滑动问题，滑体侧滑面为一组陡倾角结构面P_l，底滑面为由n组中缓倾角结构面${{\text{P}}_m}$(m=1, 2, …, n)组成的复合滑裂面。假定一组含${{\text{P}}_i}$，${{\text{P}}_{i + 1}}$ (1≤i < n)交线的陡倾角结构面${{\text{P}}_i}^j$，将滑体离散为n个块体，分别用${{\text{B}}_i}$(i=1, 2, …, n)表示，这里${{\text{P}}_i}^j$为${{\text{B}}_i}$与${{\text{B}}_{i + 1}}$之间的分界面，简称分界面。于是，离散后得到的块体由底滑面、侧滑面、分界面与临空面共同组成。

图  1  拱坝坝肩多块体滑动模式示意图

Figure  1.  Sketch map of multi-block sliding mode in abutment of arch dam

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对滑体进行离散后，任一块体${{\text{B}}_i}$所受的作用力包括自重G_i、作用于底滑面上的有效法向反力N_i与抗剪力T_i、作用在侧滑面上的有效法向反力N_i^l与抗剪力T_i^l、作用在分界面上的有效法向反力N_i^j与抗剪力T_i^j、块体${{\text{B}}_{i - 1}}$通过分界面作用于块体${{\text{B}}_i}$的${{\text{P}}_{i - 1}}$、以及块体各面所承受水压力的合力U_i，如图 2所示。若块体为双面滑动时，则T_i与T_i^j的方向与交棱线CD平行；反之，若块体的滑动模式为与侧滑面脱开，沿底滑面的单面滑动时，则N_i^l=T_i^l=0。

1.2   计算引入的基本假定

进行拱坝坝肩多块体抗滑稳定分析时，引入的基本假定如下：

(1) 拱坝作用在坝基面上的荷载采用非线性有限元的计算成果，忽略坝基面发生微小变形时大坝工作情况发生改变对坝基面作用力的影响^[1]。

图  2  作用在块体上的力

Figure  2.  Forces applied on one block of sliding mass

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(2) 将滑体视为不可变形的刚体，且只能作平动，仅考虑静力平衡条件，忽略力矩平衡条件。

(3) 当滑体达到极限状态时，组成滑体的各个块体在底滑面、分界面上同时达到极限状态，并要求相邻块体之间不发生分离与嵌入，速度满足位移协调条件。

1.3   关于安全系数F的定义

在边坡和坝基坝肩抗滑稳定分析领域，一般采用建立在强度储备基础上的安全系数定义，即安全系数F是这样一个数值，当岩土材料的抗剪强度指标φ和c按安全系数F折减时，结构处于极限平衡状态，即

式中，${\varphi _{\text{e}}}$和${c_{\text{e}}}$为折减后的抗剪强度指标。

1.4   协调的速度场与问题的静定可解性

考察如图 3所示的由多个块体组成的三维滑动问题。不失一般性，任意选取相邻两个块体${{\text{B}}_i}$与${{\text{B}}_{i + 1}}$为研究对象，其底滑面的速度分别用V_i与V_i+1表示，在分界面上，块体${{\text{B}}_i}$相对于${{\text{B}}_{i + 1}}$的速度用$\boldsymbol{V} _i^j$表示。由于相邻块体之间满足位移协调条件，故速度多边形闭合，有

忽略岩体在剪切过程中的剪胀特性，有

式中${\boldsymbol{n} _i}$，$\boldsymbol{n}_i^j$分别为块体${{\text{B}}_i}$的底滑面与分界面的单位法向矢量；${{n} _{i{\text{ + 1}}}}$为块体${{\text{B}}_{i + 1}}$底滑面的单位法向矢量。

本文约定，速度矢量V对应的单位矢量用$\hat V$表示，则V_i, V_i+1与$\boldsymbol{V}_i^j$对应的单位矢量分别为${\hat {\boldsymbol{V}}_i}$，${\hat {\boldsymbol{V}}_{i{\text{ + 1}}}}$和$\hat {\boldsymbol{V}}_i^j$。

令V_i为单位矢量，即${{\boldsymbol{V}}_i} = {{\boldsymbol{\hat V}}_i}$，则式(3)变为

关于块体速度场的计算，分以下两种情况讨论。

图  3  多块体滑动模式的速度场

Figure  3.  Velocity fields of multi-block sliding mode

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(1) 已知${\hat {\boldsymbol{V}}_i}$，$\hat {\boldsymbol{V}}_i^j$，计算V_i+1。

令$\left| {\boldsymbol{V}_i^j} \right|$=k₁ ≥0，则式(7)变为

待求变量为k₁与V_i+1，总计为4个未知量。式(8)为矢量表达式，分别在x，y与z方向投影，可建立3个方程，再联立式(5)，共包括4个方程，故V_i+1可解。具体的计算方法如下。

将式(8)左右两侧的矢量在n_i+1方向投影，有

联立式(5)，(9)变为

一旦求出k₁，代入式(8)，则V_i+1可求。

(2) 已知${{\hat{\boldsymbol{V}}}_i}$, ${{\hat{\boldsymbol{V}}}_{i{\text{ + 1}}}}$，计算${\boldsymbol{V}}_i^j$。令$\left| {{{\boldsymbol{V}}_{i{\text{ + 1}}}}} \right|$=k₂ > 0，则式(7)可变为

待求变量为k₂与${\boldsymbol{V}}_i^j$，总计为4个未知量。式(12)为矢量表达式，分别在x，y与z方向投影，可建立3个方程，再联立式(6)，共包括4个方程，故${\boldsymbol{V}}_i^j$可解。具体的计算方法如下。

将式(12)左右两侧的矢量在$\boldsymbol{n}_i^j$方向投影，有

根据式(6)，则式(13)变为

一旦求出k₂，代入式(12)，则${\boldsymbol{V}}_i^j$可求。

严格地说，对于一个由n个块体组成的多块体滑动问题，每个块体都有各自的滑动模式，但对于拱坝坝肩多块体稳定问题，滑体的底滑面或侧滑面一般为一个或一组平行的结构面，各块体均为单面滑动或双面滑动是工程中普遍遇到的情况，故本文仅对多块体模式中各块体具有相同滑动模式的情况进行讨论。表 1列出了包含的未知量数目与可建立的方程个数。从表中可知，未知量数目与方程数相等，问题是静定可解的。

表  1  多块体滑动问题中的未知量与已知条件数目统计结果

Table  1.  Statistical results of number of unknowns and equations in multi-block sliding problem

滑动模式	未知量	数目	已知方程	数目
单滑面滑动模式	底滑面的法向力	n	各块体沿x轴的静力平衡	n
	分界面的法向力	n-1	各块体沿y轴的静力平衡	n
	底滑面的单位速度矢量	n	各块体沿z轴的静力平衡	n
	分界面的单位速度矢量	n-1	相邻块体之间满足位移协调条件	n-1
	安全系数F	1	—	—
	合计	4n-1	合计	4n-1
双滑面滑动模式	底滑面的法向力	n	各块体沿x轴的静力平衡	n
	侧滑面的法向力	n	各块体沿y轴的静力平衡	n
	分界面的法向力	n-1	各块体沿z轴的静力平衡	n
	分界面的单位速度矢量	n-1	相邻块体之间满足位移协调条件	n-1
	安全系数F	1	—	—
	合计	4n-1	合计	4n-1

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1.5   速度场的两个推论

推论1：对于三维多块体滑动问题，若相邻两个块体底滑面的产状相同，则分界面的速度存在两种可能性：①分界面的速度矢量为0，即相邻块体之间无相对运动趋势；②分界面的速度与块体底滑面和分界面的交线平行。

证明：考察图 3所示的两个相邻的块体B_i与B_i+1，因n_i=n_i+1，根据式(5)，有

将式(8)左右两侧矢量在n_i上投影，并结合式(4)与式(16)，有

式(17)有两个解：①k₁=0，此时${\boldsymbol{V}}_i^j{\text{ = }}\mathbf{0}$，即块体B_i与B_i+1无相对运动趋势，故结论①成立。②${\hat{\boldsymbol{V}}}_i^j \cdot {{\boldsymbol{n}}_i}{\text{ = }}\mathbf{0}$，结合式(6)，有

从而结论②成立。

推论2：对于三维多块体滑动问题，若相邻两个块体底滑面的产状不同，但滑动方向相同，则有：

(1) 块体底滑面的速度与这两个块体底滑面的交线平行。

(2) 分界面的速度存在两种可能性：①分界面的速度矢量为0，即相邻块体之间无相对运动趋势；②分界面的速度与底滑面和分界面的交线平行。

证明：同样地，考察图 3所示的两个相邻的块体B_i与B_i+1，因${{\hat{\boldsymbol{V}}}_i} = {{\hat{\boldsymbol{V}}}_{i{\text{ + 1}}}}$，根据式(5)，有

因${{n} _i} \ne {{n} _{i{\text{ + 1}}}}$，根据式(4)与式(19)，有

故结论①成立。

根据式(12)，有

由式(21)可知，当k₂=1时，$\boldsymbol{V} _i^j{\text{ = }}\mathbf{0}$，表明块体${{\text{B}}_i}$与${{\text{B}}_{i + 1}}$无相对运动趋势；当k₂ ≠1时，$\boldsymbol{V}_i^j{\text{//}}{\hat {\boldsymbol{V}}_i}$，联立式(4)与式(6)，可知${\hat{\boldsymbol{V}}}_i^j{\text{//(}}{{\boldsymbol{n}}_i} \times {\boldsymbol{n}}_i^j{\text{)}}$。于是结论②成立。

1.6   计算步骤

将拱坝坝肩滑移体离散为具有n个具有竖直或倾斜界面的块体，规定沿主滑动方向，各块体依次编号为${{\text{B}}_{\text{1}}}$, ${{\text{B}}_2}$, …, ${{\text{B}}_n}$。稳定分析包括以下步骤：

(1) 计算各块体所受的外力，包括拱推力、扬压力、水压力、自重等，并合成为一个力，用${\boldsymbol{W}_i}\, {\text{(1}} \leqslant$ $i \leqslant n{\text{)}}$表示。对于拱推力，宜采用非线性有限元的应力计算成果，通过应力张量变换计算建基面上的应力分布，然后通过积分求解。

(2) 首先假定各块体滑动模式均为沿底滑面和侧滑面交线的双面滑动，当计算得到的侧滑面法向力小于零时，按步骤3计算。求解过程为：

a) 给定初始安全系数F，从块体${{\text{B}}_{\text{1}}}$开始，依次求解块体${{\text{B}}_i}$(1≤i < n)的未知内力。

对块体B_i建立静力平衡方程，有

因块体${{\text{B}}_i}$与${{\text{B}}_{i + 1}}$均为双面滑动，故${\hat {\boldsymbol{V}}_i}$，${\hat {\boldsymbol{V}}_{i{\text{ + 1}}}}$与各块体底滑面和侧滑面的交线平行，为已知量。联立式(12)与式(15)可确定$\hat {\boldsymbol{V}}_i^j$，故${{\boldsymbol{T}}_i}$，${\boldsymbol{T}}_i^l$与${\boldsymbol{T}}_i^j$的方向也随之确定。待求的未知量包括${{\boldsymbol{N}}_i}$，${\boldsymbol{N}}_i^l$与${\boldsymbol{N}}_i^j$，共计3个。式(22)为矢量表达式，分别在x，y，z轴投影，可得到3个方程，故待求未知量可通过迭代法确定。

b) 求解块体B_n的内力与不平衡力ΔF。

该块体不存在分界面，对块体建立静力平衡方程，有

式(23)为矢量表达式，分别在x轴与y轴方向投影建立平衡方程，可确定该块体的未知内力${{\boldsymbol{N}}_i}$与${\boldsymbol{N}}_i^l$。同时，根据该块体在z方向的静力平衡方程，可得到块体的不平衡力ΔF。

c) 调整F值，直至|ΔF|=0。

(3) 若${\boldsymbol{N}}_i^l$ < 0，说明各块体的滑动模式为与侧滑面脱开，沿底滑面的单面滑动，此时应按“单面滑动”重新进行稳定性核算，求解过程为：

a) 给定安全系数F和$\hat {\boldsymbol{V}}_{\text{1}}^j$与水平面的夹角θ的初值，计算块体B₁的内力。

对块体建立静力平衡方程，有

当$\hat {\boldsymbol{V}}_{\text{1}}^j$与水平面的夹角θ为已知时，通过坐标变换可唯一确定$\hat {\boldsymbol{V}}_{\text{1}}^j$。

分析该块体的内力，当$\hat {\boldsymbol{V}}_{\text{1}}^j$为已知量时，$\boldsymbol{T}_{\text{1}}^j$的方向也随之确定，故未知量包括未知力N₁、$\boldsymbol{N}_{\text{1}}^j$的大小和块体底滑面的单位速度矢量${\hat {\boldsymbol{V}}_{\text{1}}}$，共计3个。式(24)为矢量表达式，分别在x, y, z方向投影，可得到3个方程，故待求的未知量可采用迭代法确定。

b) 计算第i个块体底滑面与分界面的未知内力，其中1 < i < n。

已知${\hat {\boldsymbol{V}}_{i - 1}}$，$\hat {\boldsymbol{V}}_{i - {\text{1}}}^j$，利用式(8)与式(11)，便可确定第i个块体底滑面的单位速度矢量${\hat {\boldsymbol{V}}_i}$。

一旦${\hat {\boldsymbol{V}}_i}$已知，则块体底滑面的抗剪力T_i的方向也随之确定。建立块体的静力平衡方程，有

式(25)为矢量表达式，分别在x, y, z方向投影，可得到3个方程，其中包括未知力${\boldsymbol{N}_i}$, $\boldsymbol{N}_i^j$的大小与单位矢量$\hat {\boldsymbol{V}}_i^j$，共计3个，可采用迭代法求解。

c) 计算第n个块体的未知内力与不平衡力ΔF。

已知${\hat {\boldsymbol{V}}_{n{\text{ - 1}}}}$，$\hat {\boldsymbol{V}}_{n{\text{ - 1}}}^j$，利用式(8)与式(11)计算块体底滑面的单位矢量${\hat {\boldsymbol{V}}_n}$，则该块体底滑面的抗剪力T_n的方向也随之确定。

该块体不存在分界面，对块体建立静力平衡方程，有

式(26)是矢量表达式，在x轴方向投影建立平衡方程，可确定该块体的唯一未知内力${\boldsymbol{N}_n}$的大小。同时，分别建立块体在y轴与z轴方向的静力平衡方程，计算相应的不平衡力ΔF_y与ΔF_z，可得到块体的不平衡力的合力ΔF。

(4) 调整F与θ，直至|ΔF|=0。

综上所述，对于多块体双面滑动的情况，建立的优化模型为

对于多块体单面滑面的情况，建立的优化模型为

根据上述推导，拱坝坝肩多块体稳定问题最终归结为一个若干个自变量的极小值问题，采用粒子群算法、遗传算法等全局优化方法，可保证数值计算的全局收敛性。

2.   算例验证-非对称三维楔形体

如图 4所示为一个几何与材料特征均不对称的楔体，其几何与强度参数如表 2所示。通过计算可知，交棱线产状为179.9° ∠24.2°，根据经典的三维极限平衡法^[24]得到的安全系数为1.398，滑动模式为沿左右滑面交棱线的双面滑动。

图  4  三维楔体滑动算例示意图

Figure  4.  Sketch map of 3D wedge example

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表  2  三维楔体算例的几何参数与强度参数表

Table  2.  Geometric and strength parameters of 3D wedge example

面类型	倾角/(°)	倾向/(°)	内摩擦角φ/(°)	黏聚力c /kPa
左滑面J1	60	105	20	30
右滑面J2	25	195	30	20
坡顶面	0	180	—	—
坡面	70	160	—	—
注：楔体高度H=100 m，岩体重度$\gamma$=26 kN/m3。

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采用本文方法对该简单楔体的稳定性进行分析时，引入一个过交棱线AB的竖直分界面J₃，将楔体离散为B₁与B₂两个块体，考察以下两种情况。

(1) 块体B₁与B₂无相对运动趋势，以一个整体发生滑动，则有：①由速度场的推论②可知，块体B₁与B₂底滑面的滑动方向均与交棱线AB平行；②分界面J₃未达到极限平衡状态，作用于该面上的剪切力的大小与方向均为未知。

分析这一由两个块体组成的多块体滑动问题，其未知量包括安全系数F，块体B₁与B₂底滑面的法向力N₁与N₂的大小，分界面J₃的法向力大小N₃，剪切力T₃的大小与方向，共计6个；而方程数包括块体B₁与B₂在x, y, z方向的静力平衡条件，总共6个，因此问题是静定的，计算结果回归为经典的极限平衡解。

(2) 块体B₁与B₂有相对运动趋势，此时底滑面与分界面同时达到极限平衡状态。

图 5，6分别列出了分界面J₃的凝聚力c_j=50 kPa时，不同摩擦角${\varphi _j}$对楔体安全系数与各块体滑动方向影响的计算结果。从计算结果可以看出：①随着分界面J₃的摩擦角${\varphi _j}$的增加，楔体的安全系数F也随之不断增大；②由于分界面存在相对运动趋势，且块体B₁底滑面倾角较块体B₂更陡，各块体底滑面的速度方向不再沿着交棱线的方向，而是向块体B₂偏转；③随着分界面J₃的摩擦角${\varphi _j}$的增加，分界面的速度逐渐与竖直方向平行，各块体底滑面速度也逐渐向交棱线方向发生偏转，并趋于与交棱线方向平行，说明当分界面抗剪强度参数取值增大时，左右块体在水平方向发生相对错动趋势变得越来越困难，相应底滑面的速度方向逐渐趋于一致，而分界面的速度矢量也逐渐向竖直方向偏转。

图  5  分界面J₃的摩擦角φ_j与楔体安全系数F_s的关系曲线

Figure  5.  Relationship between friction angle of interface J₃ and F_s of wedge

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图  6  分界面J₃的摩擦角取值不同时，各块体滑动方向的计算结果

Figure  6.  Results of sliding direction of each block under different friction angles of interface J₃

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3.   工程应用

小湾水电站坝址位于云南省西部南涧县与凤庆县交界的澜沧江中游河段，是澜沧江中下游水电开发的关键性工程。工程开发的主要任务是发电，兼有防洪、灌溉、拦沙及航运等综合利用效益。坝址区河流总体流向为由北向南，坝基及坝后抗力体分布的岩性主要为黑云母片麻岩与角闪斜长片麻岩，片理面产状为N75°~80°W/NE∠45°~85°。

小湾水电站坝址区地形地质条件十分复杂。河谷两岸地形陡峻、河谷深切，在地貌上呈“沟梁相间”特点。坝区构造发育，确定性结构面以近EW向与近SN向的断层为主，其中，对坝肩抗滑稳定性影响较大的结构面为位于大坝下游约400 m处的F5断层，产状为N75°~80°W/NE∠80°~85°，如图 7所示。此外，根据坝址区发育的Ⅳ—Ⅴ级结构面统计结果，主要发育有“两陡一缓”共3组优势结构面^[25]，即：①走向近EW的横河向陡倾角结构面；②走向近SN的顺河向陡倾角结构面；③顺坡向的中缓倾角结构面，其中后两组结构面的产状情况如表 3所示。

图  7  小湾拱坝坝址区地形拟合图

Figure  7.  Topographic map of dam site of Xiaowan arch dam

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表  3  坝址区发育的顺河向结构面产状分布

Table  3.  Occurrence distribution of joints along river developed in dam site

结构面类型	高程/m	左岸	右岸
陡倾角结构面	950.0~1245	N5°E/NW∠90°	N5°W/NE∠90°
中缓倾角结构面	1050~1240	N5°E/NW∠40°	N5°W/NE∠40°
	975~1050	N5°E/NW∠26°	N5°W/NE∠26°
	950.5~975	N5°E/NW∠7°	N5°W/NE∠7°

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确定坝肩潜在滑体的边界条件是进行拱坝坝肩稳定分析中十分关键的一步。通过分析可知，位于下游的横河向陡倾角断层F5，断层破碎带宽度可达3.0~6.5 m，并有泥化物质充填，工程性状较差，可作为滑体的下游临空面；坝肩岩体发育的走向与河流方向平行的“一陡一缓”结构面，可分别作为滑体的侧滑面与底滑面；假定坝基岩体在水推力作用下沿坝踵开裂至可能的底滑面，作为滑体的后缘拉裂面。上述结构面相互切割，构成了左右坝肩潜在滑体的边界条件。

从表 3可知，随着高程的降低，作为滑体底滑面的中缓倾角结构面产状随着高程的降低具有逐渐变缓的趋势，因此由结构面切割形成的具有台阶状滑面的潜在滑体是一个多块体串联滑动问题。应用本文方法对该问题进行分析求解时，相应的计算条件为：①分别考虑台阶高度h=2.5，5.0，7.5，10.0 m共4种情况形成的具有台阶状底滑面的潜在滑体的抗滑稳定性，如图 8所示；②考虑到台阶状底滑面在一定高程范围内的产状相同，由速度场的推论1可知，分界面的速度${\boldsymbol{V} ^j}$有两种可能情况，即${\boldsymbol{V} ^j}$=0或${\boldsymbol{V} ^j}$与底滑面和分界面的交线平行。为简化计算，稳定分析采用第1种可能情况，即将底滑面产状相同的各块体作为一个整体滑动，相邻两个块体之间无相对运动趋势。具体地说，将左右坝肩滑体离散为3个块体，各块体的分布高程分别为1050.0~1245.0，975.0~1050.0，950.5~975.0 m。从抗滑稳定角度来看，这一处理方式偏于安全。

图  8  左右坝肩台阶状滑面示意图

Figure  8.  Sketch map of stepped slip surface of left and right abutments

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计算采用的岩桥与结构面抗剪强度参数及连通率的建议值见表 4。

表  4  岩桥与结构面的抗剪强度参数及连通率计算参数

Table  4.  Strength parameters of rock bridge, joints and persistence ratio adopted in stability analysis

材料分区	强度参数	岩桥	SN向陡倾角结构面	顺坡向中缓倾角结构面
Ⅰ+Ⅱ类	f′	1.5	0.63	0.7
	c/MPa	2	0.08	0.1
	连通率k	—	0.5	0.3
Ⅲ类	f′	1.1	0.51	0.55
	c/MPa	0.8	0.06	0.07
	连通率k	—	0.7	0.6
Ⅳa类	f′	1	0.47	0.5
	c/MPa	0.6	0.05	0.05
	连通率k	—	0.7	0.7

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非线性有限元分析的作用组合为正常蓄水位+温降，作用于滑体上的外力有自重、拱推力、上下游水压力等。表 5列出了左右坝肩各滑体的抗滑稳定分析成果，图 9，10分别列出了台阶高度h分别为2.5，5.0，7.5，10.0 m时滑体与滑面的空间形状，相应组成滑体的各块体底滑面的滑动方向示意图见图 11。从计算结果可知：①滑体中各块体的滑动模式均为与侧滑面脱开、沿底滑面的单面滑动；②受自重与拱推力共同作用，滑体中各块体的滑动方向为指向下游并偏向河床，且随着台阶高度h的增大，因滑体自重也随之增大，导致其滑动方向也逐渐向河床方向发生偏转；③随着台阶高度h的增大，各滑体的安全系数呈逐渐减小的趋势，但变化幅度不大，其原因为滑体所受的自重相对拱推力较大，对其稳定性的影响占据主导地位。尽管台阶高度h对滑体自重有一定的影响，但影响不大，导致不同台阶高度对应的滑体安全系数的变化不显著。

表  5  左右坝肩各滑体的抗滑稳定分析成果

Table  5.  F_s of sliding mass of left and right abutments

位置	台阶高度h/m
	2.5	5.0	7.5	10.0
左坝肩	4.07	4.05	3.97	3.96
右坝肩	3.89	3.84	3.80	3.77

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图  9  左右坝肩潜在滑体的空间形状

Figure  9.  Schematic view of potential sliding mass of left and right abutments

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图  10  左右坝肩台阶状滑面的空间形状

Figure  10.  Schematic view of stepped slip surface of left and right abutments

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图  11  台阶高度h不同取值时滑体中各块体的滑动方向示意图

Figure  11.  Schematic map of sliding direction of each block in sliding mass under different step heights h

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4.   结论

(1) 针对拱坝坝肩多块体串联滑动问题，提出了一种理论基础严格、计算步骤相对简单的三维稳定分析方法，即将潜在滑体离散为由多个块体组成的破坏模式，通过建立各块体的静力平衡方程与相邻块体之间的位移协调方程，在无需对未知内力引入假定的情况下，问题变为静定可解，问题最终归结为一个含若干个自由度的极小值问题，与全局最优化方法结合，可以获得较好的收敛性能。

(2) 本文方法可以回归到二维Sarma法，是Sarma法在三维多块体领域的推广，在理论上受到了塑性力学上限定理的支持。对多块体串联滑动问题而言，本文方法与严格的三维极限分析方法^[20]相比，在计算过程的简洁性与收敛性方面优势明显。

(3) 将本文方法应用于小湾拱坝工程，对左右坝肩发育的具有台阶状滑面的潜在滑体的抗滑稳定性进行分析计算，结果表明，不同台阶高度h组合获得的滑体的滑动模式均为沿底滑面的单面滑动，且随着台阶高度h的增大，其安全系数也呈逐渐降低的趋势，表明自重在影响滑体的诸多因素中占据主导地位。

本文针对拱坝坝肩多块体串联模式的抗滑稳定分析方法进行了系统的阐述，这一方向同样适用于多块体并联模式的分析计算，但并未涉及在实际工程中更具有一般意义且更为复杂的多块体混联模式，这是今后值得继续深入研究的一个课题。