考虑状态相关的砂土非正交弹塑性本构模型

路德春; 金辰逸; 梁靖宇; 李泽华; 杜修力

doi:10.11779/CJGE20211457

考虑状态相关的砂土非正交弹塑性本构模型 English Version

1.
北京工业大学城市与工程安全减灾教育部重点实验室, 北京 100124
2.
北京建筑大学土木与交通工程学院, 北京 100044

基金项目:

国家自然科学基金项目 52025084

国家自然科学基金项目 52108294

详细信息

作者简介:
路德春(1977—)，男，博士，教授，主要从事岩土与城市地下工程等方面的教学与研究工作。E-mail: dechun@bjut.edu.cn

中图分类号: TU441
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出版历程
- 收稿日期: 2021-12-07
- 网络出版日期: 2023-02-23
- 刊出日期: 2023-01-31

State-dependent non-orthogonal elastoplastic constitutive model for sand

1.
Key Lab of Urban Security and Disaster Engineering, Ministry of Education, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China
2.
School of Civil and Transportation Engineering, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing, 100044, China

摘要

摘要: 砂土的力学特性具有显著的状态相关性，主要体现为不同应力状态与密实状态下砂土的变形特性具有显著差异。合理的状态相关硬化规律与剪胀规律描述是反映砂土状态相关变形特性的基础。提出了能够有效描述砂土等向压缩规律与临界状态规律的微分表达式，并基于等向压缩硬化规律建立了状态相关因子ω，发展了砂土状态相关的硬化参数H，旨在合理确定塑性应变增量的大小；在利用非正交塑性流动法则确定塑性应变增量的方向的过程中，引入了状态变量ψ对分数阶次μ的影响，从而考虑了塑性应变增量方向的状态相关性，合理地描述了砂土的状态相关剪胀性。进一步，结合引入了状态变量的Hooke定律，确定了弹性应变增量，从而发展得出能够描述砂土状态相关特征的非正交弹塑性本构模型。通过合理预测Toyoura砂的常规三轴排水及不排水试验结果，验证了所建模型能够有效捕获砂土的状态相关力学特性。
- 砂土 /
- 状态相关 /
- 本构模型 /
- 非正交塑性流动法则 /
- 弹塑性
Abstract: The mechanic characteristics of sand have obvious features of state dependence, which is mainly reflected by the fact that the deformation characteristics of sand in different stress and density states significantly differ. The reasonable description for the state-dependent hardening rule and dilatancy rule of sand is the basis to describe the state-dependent deformation characteristics of sand. A differential expression which can effectively describe the isotropic compression and critical state of sand is proposed. Based on the hardening rule under isotropic compression condition, a state-dependent hardening factor ω is proposed, and the state-dependent hardening parameter H is developed in order to reasonably decide the magnitude of plastic strain increment. In the process of determining the direction of plastic strain increment by adopting the non-orthogonal plastic flow rule, the influences of state parameter ψ on fractional order μ are introduced, and the state dependence of the direction of plastic strain increment is considered, thus reasonably describing the state-dependent dilatancy of sand. Furthermore, by introducing the state parameter into the Hooke's law, the elastic strain increment is obtained, and a non-orthogonal elastoplastic constitutive model which can describe the state dependence of sand is proposed. By reasonably predicting the results in triaxial drained and undrained tests on the Toyoura sand, it is proved that the established model can effectively capture the state-dependent mechanic characteristics of sand.
- sand /
- state dependence /
- constitutive model /
- non-orthogonal plastic flow rule /
- elastoplasticity

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0. 引言

实际工程中岩质边坡大多是由岩桥和不连续节理面组成的复杂地质体^[1-2]，且大多数岩质边坡节理面相对于工程尺度呈显著的非贯通特征。由于岩桥和不连续节理面大都埋入边坡内部，节理面的发育具有显著的随机性，故对其稳定性分析较为复杂和困难。在断续节理顺层岩质边坡内部存在共面和雁型两种节理面^[3-4]。破坏模式区别在于岩桥贯通模式：若是节理间岩桥贯通则为平面型破坏模式；若是相邻节理间岩桥贯通则为阶梯状（或多阶梯）破坏模式。在强震^[5-6]、降雨^[7-8]、开挖^[9]、长期蠕变时空演化及其他作用^[10-11]下发生的阶梯状滑坡表明：当岩桥发生破坏后，通过与相邻节理面搭接或多层节理面搭接形成阶梯状和多阶梯状破坏模式（图 1）。

图 1 三荔高速顺层岩质阶梯状滑面失稳案例^[8]

Figure 1. Typical case of stepped sliding of jointed rock landslides in Sandu-Libo Expressway^[8]

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基于平面型破坏模式，Jennings^[12]提出了断续节理强度参数的加权平均计算公式：tanφ = ktanφ_j + (1-k)tanφ_r，c=kc_j+(1-k)c_r（k为裂隙连通率）。该式考虑了岩桥和节理面抗剪强度参数的差异性，却未考虑其相关性（本文研究对象为次生节理，该类节理可视为由完整岩石演化而来）。虽然邹宗兴^[13]探究了顺层岩质边坡滑带抗剪强度参数弱化系数的问题，但是，从规范中相关规定和实际情况可知^{[2, 14]}，内摩擦角正切值与黏聚力两者的弱化程度并不一致。目前研究大都忽略了岩桥和节理面强度参数的相关性和差异性，或对两者仍采用相同的破坏准则，其合理性受到削弱。节理面抗剪性能并不总能满足M-C破坏准则，尤其当 ${\sigma _{\text{n}}}$ 较小时计算出的剪切强度明显偏大^[15]。Barton等^[16-18]通过研究节理面直剪特性，并基于试验结果提出了可用于评估不规则、无充填节理面峰值抗剪强度的非线性JRC-JCS经验公式（即B-B破坏准则），可较好反映节理面的抗剪性能。

综上所述，首先，岩桥和节理面分别服从M-C和B-B破坏准则，岩桥和节理面强度参数采用不同弱化系数K_φ和K_c。然后，开展考虑后缘倾斜拉裂缝存在的阶梯状岩桥剪切破坏模式下边坡稳定性研究，开展对比分析和参数敏感性分析，获取各关键参数对断续节理顺层岩质边坡稳定性的影响规律。最后，基于台阶型边坡外形特征，开展台阶法开挖次数和坡角角度对节理顺层岩质边坡安全系数影响规律的探究。同时考虑水力作用的影响，探究出流缝被堵塞和未堵塞对边坡稳定性的影响，分析拉裂缝倾角和拉裂缝充水高度对边坡稳定性的影响规律。

1. 断续节理顺层边坡阶梯状失稳模式

1.1 B-B破坏准则与M-C破坏准则的参数转换

岩桥服从M-C破坏准则，节理面服从B-B破坏准则。考虑岩桥和节理面抗剪强度参数的差异性，利用不同的弱化系数K_c和K_φ获取岩桥强度参数c_r，φ_r。根据相关学者研究^[19-20]，获得两准则参数具体转换为（图 2）

图 2 B-B与M-C破坏准则相关参数转换示意图

Figure 2. Conversion parameters of B-B and M-C failure criteria

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，

$\varphi = \arctan \left( {\frac{{\partial \tau }}{{\partial {\sigma _{\text{n}}}}}} \right)\text{，}$

(1)

$\frac{{\partial \tau }}{{\partial {\sigma _{\text{n}}}}} = tan\left( {{\text{JRC}}\lg \frac{{{\text{JCS}}}}{{{\sigma _{\text{n}}}}} + {\varphi _{\text{b}}}} \right) -$

$\frac{\text{πJRC}}{180\mathrm{ln}10}\left[ta{n}^{2}\left(\text{JRC}\mathrm{lg}\frac{\text{JCS}}{{\sigma }_{\text{n}}}+{\phi }_{\text{b}}\right)+1\right]\text{，}$

(2)

$c = \tau - {\sigma _{\text{n}}}\tan \varphi 。$

(3)

通过式（1）~（3）可获取节理面黏聚力c_j和内摩擦角φ_j，结合K_c，K_φ可获得岩桥黏聚力c_r和内摩擦角φ_r。

1.2 岩桥与节理面强度参数弱化特性

断续节理顺层岩质边坡与贯通节理岩质边坡破坏机理有些不同^[21-22]，因而岩桥和节理面强度参数存在显著的弱化特性，并存在以下两方面的假定：

（1）根据节理接触状态，节理面所受到的法向应力等于总法向应力乘以传压系数。本文假定节理面承担的法向应力与岩桥部分承担的法向应力一致。

（2）实际边坡中岩桥和节理面搭接处是应力集中部位，存在明显弱化现象，且向岩桥内部弱化趋势逐渐减弱。本文假定忽略岩桥局部弱化情况，取完整岩桥相关强度参数。

基于以上两个假定，通过引入弱化系数将弱化特性体现在强度参数上面，可有效体现节理面对断续节理顺层岩质边坡稳定性的影响。

1.3 断续节理顺层岩质边坡阶梯状失稳模式构建

基于上述相关假定，构建阶梯状滑动极限状态失稳模式如图 3所示，为求解方便建立直角坐标系，A点坐标为(0，0)，X轴方向指向向右，Y轴方向指向向上。注意：根据黄达等的研究^{[2, 23]}，当岩桥倾角小于90°时主要发生剪切破坏；岩桥倾角大于90°时主要发生张拉破坏。本文构建的分析模型中岩桥倾角小于90°（中 ${\beta _{\text{3}}}$ ），故分析模型适用于岩桥剪切破坏。

图 3 顺层岩质边坡岩桥剪切贯通阶梯状失稳模式图

Figure 3. Shear cut through mode of rock bridges of stepped sliding of jointed rock slope

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中，边坡坡角和坡顶角分别为 $\beta$ ， $\alpha$ ，OB水平距离为L，边坡高度为H+Ltan $\alpha$ 。BB₁高度为H₁+Ltan $\alpha$ ，倾角为 ${\beta _{\text{1}}}$ ；B₁B₂，B₃B₄为节理面长度，高度分别为H₂和H₄，倾角分别为 ${\beta _{\text{2}}}$ ， ${\beta _{\text{4}}}$ （岩桥间节理面大都近平行，故 ${\beta _{\text{4}}}$ = ${\beta _{\text{2}}}$ ）。B₂B₃为岩桥剪切破坏长度，高度为H₃，倾角为 ${\beta _{\text{3}}}$ 。BC₂，B₂B₅，B₁B₆与B₄C₂垂直，BC₂₂与B₄C₂₂垂直。坐标参数：B(H/tanβ+L，H+Ltanα)，B₁(H/tanβ+L-(H₁+Ltanα)/tan ${\beta _{\text{1}}}$ , H-H₁)，B₂(H/tanβ+L- (H₁+Ltanα)/tan ${\beta _{\text{1}}}$ -H₂/tan ${\beta _{\text{2}}}$ ，H-H₁-H₂)。

阶梯状滑动裂隙连通率表达式为

${k_Y} = \frac{{\frac{{{H_4} + {H_2}}}{{\sin {\beta _2}}} + \frac{{({H_1} + L\tan \alpha ) \cdot \cos ({\beta _1} - {\beta _2})}}{{\sin {\beta _1}}}}}{{\frac{{{H_4} + {H_2}}}{{\sin {\beta _2}}} + \frac{{{H_3} \cdot {\text{cos(}}{\beta _3} - {\beta _2})}}{{\sin {\beta _3}}} + \frac{{({H_1} + L\tan \alpha ) \cdot \cos ({\beta _1} - {\beta _2})}}{{\sin {\beta _1}}}}} ={k}_{Y1}+{k}_{Y2}\text{，}$

(4)

式中，k_Y为裂隙连通率。k_Y1可提供抗滑力（节理面），k_Y2不可提供抗滑力（后缘倾斜拉裂缝）。

H₄可由H₃，y₄表示：

${H_4}{\text{ = }}H - {H_1} - {H_2} - {y_4} - {H_3} 。$

(5)

通过式（6），y₄可由H₃表示：

${y_4} = {y_{44}} - {H_3}\frac{{\sin ({\beta _3} - {\beta _2}) \cdot \sin \beta }}{{\sin (\beta - {\beta _2}) \cdot \sin {\beta _3}}} 。$

(6)

将式（5），（6）代入式（4），可获得H₃表达式：

${H}_{3}=\frac{(1-{k}_{Y})\frac{({H}_{1}+L\mathrm{tan}\alpha )\cdot \mathrm{cos}({\beta }_{1}-{\beta }_{2})}{\mathrm{sin}{\beta }_{1}}+(1-{k}_{Y})\frac{H-{H}_{1}-{y}_{44}}{\mathrm{sin}{\beta }_{2}}}{({k}_{Y}-1)\frac{\mathrm{sin}({\beta }_{3}-{\beta }_{2})\cdot \mathrm{sin}\beta }{\mathrm{sin}(\beta -{\beta }_{2})\cdot \mathrm{sin}{\beta }_{3}\cdot \mathrm{sin}{\beta }_{2}}+{k}_{Y}\frac{cos({\beta }_{3}-{\beta }_{2})}{\mathrm{sin}{\beta }_{3}}+\frac{(1-{k}_{Y})}{\mathrm{sin}{\beta }_{2}}}。$

(7)

进而获取点B₄的坐标x₄和y₄：

$\left.\begin{array}{l}{x}_{4}=\frac{H-{H}_{1}-\mathrm{tan}{\beta }_{2}\left(\frac{H}{\mathrm{tan}\beta }+L-\frac{{H}_{1}+L\text{tan}\alpha }{\mathrm{tan}{\beta }_{1}}\right)}{\mathrm{tan}\beta -\mathrm{tan}{\beta }_{2}}-\\ {H}_{3}\frac{\mathrm{sin}({\beta }_{3}-{\beta }_{2})\cdot \mathrm{cos}\beta }{\mathrm{sin}(\beta -{\beta }_{2})\cdot \mathrm{sin}{\beta }_{3}}\text{，}\\ {y}_{4}={x}_{4}\cdot \mathrm{tan}\beta 。\end{array}\right\}$

(8)

将式（8）中y₄代入式（5），可获得H₄表达式。将H₃，H₄及其他相关参数代入阶梯状滑动面岩桥剪切破坏稳定性分析中，可获取其安全系数表达式。

2. 断续节理顺层岩质边坡阶梯状失稳模式的构建

2.1 断续节理阶梯状滑动岩桥剪切破坏稳定性分析

边坡沿缓倾裂隙面滑移导致岩桥发生剪切破坏贯通。因此，可沿缓倾裂隙方向（图 3中B₄C₂方向）计算抗滑力F_resist和下滑力F_induce从而得到该模式下安全系数表达式^[12]。

（1）边坡体沿B₄C₂方向抗滑力的计算

节理面和岩桥承担的法向应力相同，投影在B₄C₂上坡体法向应力 ${\sigma _{{\text{n}}Y}}$ 为

${\sigma _{{\text{n}}Y}} = \frac{{W\cos {\beta _4}}}{{{B_4}{B_6}}} \text{，}$

(9)

式中，W为滑坡体自重，W=γS_Y滑，S_Y滑为滑坡体面积。S_Y滑的计算过程如下：

a）四边形OBC₂₂B₄面积S_Y1的求解

${S_{Y1}} = \frac{{L \cdot L\tan \alpha }}{2} + L \cdot ({H_1} + {H_2} + {H_3} + {H_4}) +$

$\text{ }\frac{{({H}_{1}+{H}_{2}+{H}_{3}+{H}_{4})}^{2}}{2\mathrm{tan}\beta }\text{ }。$

(10)

b）多边形BC₂₂B₄B₃B₂B₁面积S_Y2的求解

$\begin{array}{c}{S}_{Y2}=\frac{{(L\mathrm{tan}\alpha +{H}_{1})}^{2}}{2\mathrm{tan}{\beta }_{1}}+\left(\frac{L\mathrm{tan}\alpha +{H}_{1}}{\mathrm{tan}{\beta }_{1}}+\frac{{H}_{2}}{2\mathrm{tan}{\beta }_{2}}\right)\cdot {H}_{2}+\\ \left(\frac{L\mathrm{tan}\alpha +{H}_{1}}{\mathrm{tan}{\beta }_{1}}+\frac{{H}_{2}}{\mathrm{tan}{\beta }_{2}}+\frac{{H}_{3}}{2\mathrm{tan}{\beta }_{3}}\right)\cdot {H}_{3}+\\ \left(\frac{L\mathrm{tan}\alpha +{H}_{1}}{\mathrm{tan}{\beta }_{1}}+\frac{{H}_{2}}{\mathrm{tan}{\beta }_{2}}+\frac{{H}_{3}}{\mathrm{tan}{\beta }_{3}}+\frac{{H}_{4}}{2\mathrm{tan}{\beta }_{4}}\right)\cdot {H}_{4}\text{，}\end{array}$

(11)

${S}_{Y滑}={S}_{Y1}-{S}_{Y2} 。$

(12)

用H₅≥0对滑动面在坡表出露进行约束：

${H_5} = H - {H_1} - {H_2} - {H_3} - {H_4} (H_{5}≥0) 。$

(13)

c）B₄B₆长度

${B_4}{B_6} = \frac{{{H_4}}}{{\sin {\beta _4}}} + \frac{{{H_3} \cdot {\text{cos(}}{\beta _3} - {\beta _4})}}{{\sin {\beta _3}}} + \frac{{{H_2}}}{{\sin {\beta _2}}} 。$

(14)

阶梯状滑动面为岩桥剪切破坏与相邻节理面连接贯通而成，岩桥倾角大于节理面倾角，故β₃ > β₂=β₄。

由于岩桥和节理面对边坡稳定性的贡献不同，故B₄B₆方向抗滑力为

${F_{{\text{resist}}}} = ({c_r} + {\sigma _{{\text{n}}Y}} \cdot \tan {\varphi _r}) \cdot {B_3}{B_5} + ({B_5}{B_6} + {B_4}{B_3}) \cdot$

$\left\{{\sigma }_{\text{n}Y}\mathrm{tan}\left[{\phi }_{\text{b}}+\text{JRC}\mathrm{lg}\left(\frac{\text{JCS}}{{\sigma }_{\text{n}Y}}\right)\right]\right\}\text{ }。$

(15)

（2）边坡体沿B₄B₆方向下滑力的计算

${F_{{\text{induce}}}} = W \cdot \sin {\beta _4} 。$

(16)

（3）阶梯状岩桥剪切破坏模式安全系数的计算

$\begin{gathered} {F_{\text{s}}} = {\text{\{ }}({c_r} + {\sigma _{{\text{n}}Y}} \cdot \tan {\varphi _{\text{r}}}) \cdot {B_4}{C_2} \cdot (1 - {k_Y}) + \hfill \\ \left\{ {{\sigma _{{\text{n}}Y}}\tan \left[ {{\varphi _{\text{b}}} + {\text{JRC}}\lg \left( {\frac{{{\text{JCS}}}}{{{\sigma _{{\text{n}}Y}}}}} \right)} \right]} \right\} \cdot \hfill \\ \end{gathered}$

${B}_{4}{C}_{2}\cdot {k}_{Y1}\text{}\}/W\cdot \mathrm{sin}{\beta }_{4}\text{ }。$

(17)

将相关参数代入式（17），可求得阶梯状滑动岩桥剪切破坏时边坡安全系数F_s。

2.2 各关键参数对阶梯状滑动岩桥剪切破坏影响分析

（1）对比分析

开展平面型与阶梯状失稳模式下安全系数的对比分析对比结果如图 4所示。参数取值：① k_Y=0.5~1.0， ${\beta _3}$ =35°~80°，K_φ=0.6，K_c=0.2；②k_Y=0.5~1.0， ${\beta _3}$ =35°~80°，K_φ=0.8，K_c=0.4。

图 4 弱化系数K_φ和K_c下安全系数F_S随岩桥倾角β₃和裂隙连通率k_Y的变化曲线

Figure 4. Safety factor F_S versus rock bridge angle β₃ and fracture connectivity rate k_Y under weakening coefficients K_φ and K_c

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其他参数取值：H=100 m，L=25 m， $\alpha$ =10°， $\beta$ =75°， $\gamma$ =25 kN/m³，H₁=2 m，H₂=3 m， ${\beta _1}$ =75°， ${\beta _2}$ =35°，φ_b=20°，JRC=6，JCS=40 MPa。

由可知，当 ${\beta _{\text{3}}}$ = ${\beta _{\text{2}}}$ =35°时为平面型失稳模式。随 ${\beta _{\text{3}}}$ 的增大，平面型失稳模式转化为阶梯状失稳模式，F_s呈减小趋势，且 ${\beta _{\text{3}}}$ 越大，减小得越快，这与文献[4]中数值模拟的结果规律相一致。由图 4（a）可知，k_Y越小岩桥对边坡稳定性的贡献越大，故F_s越高。此时随着 ${\beta _{\text{3}}}$ 的变化，对F_s的影响越来越显著。由图 4对比可知，随K_φ和K_c的增大，岩桥抗剪强度参数相应减小，故F_s相对降低，这是由于以节理面参数为基础，K_φ和K_c越大，岩桥强度参数越小，故F_s越低。

（2）参数敏感性分析

探究裂隙连通率k_Y和基本摩擦角φ_b、粗糙度系数JRC和壁面有效抗压强度JCS、弱化系数K_φ和K_c、岩桥倾角 ${\beta _{\text{3}}}$ 和节理面倾角 ${\beta _{\text{2}}}$ 对阶梯状滑动边坡稳定性的影响，具体如图 5所示。参数取值如表 1所示，其他参数取值：图 5（a）~中H=50 m， $\alpha$ =10°， $\gamma$ =25 kN/m³，H₁=2 m，H₂=3 m。中H=100 m， $\alpha$ =10°， $\gamma$ =25 kN/m³，H₁=1 m，H₂=3 m。节理面参数取值时，应保证φ_b+JRClg(JCS/ ${\sigma _{\text{n}}}$ )最大值不大于70°。

图 5 阶梯状失稳模式各关键参数对边坡稳定性的影响规律

Figure 5. Influences of key parameters on stability of stepped failure mode of slope

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表 1 参数分析图 5参数取值

Table 1. Values of parameters in Fig. 5

参数	k_Y	φ_b/(°)	K_φ	K_c	JRC	JCS /MPa	β₃/(°)	β₂ /(°)	β/(°)	L/m	β₁/(°)
图 5(a)	0.2~1.0(0.1)	20~36(4)	0.8	0.4	6	50	50	40	60	16	60
图 5(b)	0.8	28	0.650.6~0.95 (0.05)	0.05~0.40 (0.05)	6	30	60	45	60	15	60
图 5(c)	0.65	20	0.6	0.3	0~18(3)	20~100(20)	50	40	60	22	60
图 5(d)	0.6	20	0.8	0.4	10	40	30~75(5)	25~50(5)	58	10	60

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由图 5可知，随k_Y，K_φ和K_c的增大，F_S显著减小。φ_b增大同样提高了岩桥和节理面抗剪强度参数，Fs呈非线性增大趋势。F_S随JRC和JCS的增大均呈非线性增大趋势，只是后者增加得越来越慢。F_S随β₃的增大而非线性减小，且减小趋势非常显著，即岩桥倾角越大，减小越快。这是由于岩桥倾角越大，构成的阶梯状滑动面更容易下滑，边坡越不稳定。故所呈现的效果与滑动面的倾角越大边坡越不稳定的情况类似，因此，F_S越小。F_S随 ${\beta _{\text{2}}}$ 的增大而非线性减小，且减小趋势较为显著。

3. 阶梯状滑动台阶型坡面岩质边坡稳定性分析

3.1 台阶型坡面边坡阶梯状失稳模式构建

典型顺层岩质边坡表现为节理面在坡面出露或者随着开挖进行在开挖面出露。目前针对边坡的开挖处置大都基于台阶法开展，通常情况下坡率设置为1︰0.75（53.13°）或1︰1（45°），台阶之间设置平台（通常设置为2 m，可根据现场实际情况相应调整），达到对边坡卸载和使之更加稳定的目的。台阶型坡面顺层岩质边坡阶梯状岩桥剪切贯通模式如图 6所示。

图 6 台阶型坡面顺层岩质边坡阶梯状岩桥剪切贯通模式图

Figure 6. Shear cut through mode of rock bridges of stepped sliding of jointed rock slope based on step-type slope surface

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基于图 3，6分别设置若干级边坡和台阶，自上而下为A_iD_i (i=1, 2, …，n-1)和A_nA，倾角为α_i (i=1, 2, …, n-1)，高度为h₁+L_A1tanα₁、h_i (i=2, 3, …, n)，平台宽度为d_i (i=1, 2, …, n-1)。考虑边坡开挖顺序均是自上而下进行，故着重探究开挖次数和各级边坡坡率对阶梯状滑动岩质边坡稳定性的影响分析。

（1）台阶型坡面引起边坡几何尺寸的变化

基于2.1节，通过边坡裂隙连通率、几何尺寸和岩土体参数获得阶梯状滑动面位置和安全系数表达式，具体依照2.1节相关内容求解。

台阶法使阶梯状滑动面上部岩体重力荷载减小，若按照2.1节计算公式，滑动面上的正应力、岩桥和节理面参数均随之变化，故为获得开挖次数和坡角角度的影响，设定每组情况下岩桥和节理面抗剪强度参数均一致，而正应力因为上覆荷载的变化而随之变化，进而影响抗滑力计算。开挖效应主要引起边坡体几何尺寸和潜在滑动面上覆岩土体重度的变化，不考虑开挖时滑坡体面积为S_Y滑（式（12）），开挖掉的滑坡体面积为S_Y挖，具体相关几何尺寸计算如下：

台阶型坡面点A₁至坡顶点O的水平距离L_A1为

${L_{A1}} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{{{h_i}}}{{\tan {\alpha _i}}}} + \frac{{{h_n}}}{{\tan \beta }} + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{d_i}} - \frac{H}{{\tan \beta }}}}{{1 - \frac{{\tan \alpha }}{{\tan {\alpha _1}}}}} 。$

(18)

每级开挖体面积计算为

${S}_{Y挖i}=\left({L}_{A1}\cdot \left(1-\frac{\mathrm{tan}\alpha }{\mathrm{tan}{\alpha }_{1}}\right)-\left({\displaystyle \sum _{1}^{i-1}(\frac{{h}_{j}}{\mathrm{tan}{\alpha }_{j}}+{d}_{j}-}\frac{{h}_{j}}{\mathrm{tan}\beta }\right)\right){h}_{i}+\\ \frac{{h}_{i}{}^{2}}{2\mathrm{tan}\beta }-\frac{{h}_{i}{}^{2}}{2\mathrm{tan}{\alpha }_{i}}\text{ (}i\text{=1,2}\text{，}\cdots \text{，}n-\text{1)}\text{，}$

(19)

故开挖体总面积为

${S}_{Y挖}={\displaystyle \sum _{i}^{n-1}{S}_{Y挖i}} 。$

(20)

此时阶梯状滑动台阶型坡面滑坡体区域面积为

${S}_{Y台}={S}_{Y滑}-{S}_{Y挖}\text{ }。$

(21)

有些情况下滑坡体潜在滑动面从台阶型边坡坡面或者平台间出露，即此时未完全包含挖坡体，故在计算开挖后滑坡体面积时需将多减去的部分重新加回。

（2）边坡体沿B₄C₂方向抗滑力的计算

a）若B₃B₄未因开挖而出露，可参照式（9）进行法向应力计算。故投影在B₄C₂上坡体法向应力 ${\sigma }_{\text{n}Y台}$ 为

${\sigma }_{\text{n}Y台}=\frac{{W}_{台}\cdot \mathrm{cos}{\beta }_{4}}{{B}_{4}{B}_{6}} \text{，}$

(22)

式中，W_台为滑坡体自重，W_台= $\gamma {S}_{Y台}$ _， ${S}_{Y台}$ 为滑坡体面积，具体计算见式（21）。

由于开挖时潜在滑动面并未出露，故B₄B₆的长度和抗滑力计算如式（14），（15）不变。

b）若B₃B₄因开挖而出露，此时节理面长度变短，即采用新的B₃B_4台代入式（14），（15）求解因节理面出露而造成法向应力、B₄B₆的长度和抗滑力改变后的数值。

（3）边坡体沿B₄B₆方向下滑力为

${F}_{\text{induce}}={W}_{台}\cdot \mathrm{sin}{\beta }_{4} 。$

(23)

（4）台阶型坡面阶梯状失稳模式安全系数为

${F}_{\text{s}}=\{({c}_{r}+{\sigma }_{\text{n}Y台}\cdot \mathrm{tan}{\phi }_{\text{r}})\cdot {B}_{3}{B}_{5}+({B}_{5}{B}_{6}+{B}_{4}{B}_{3})\cdot$

$\left\{{\sigma }_{\text{n}Y台}\mathrm{tan}\left[{\phi }_{\text{b}}+\text{JRC}\mathrm{lg}\left(\frac{\text{JCS}}{{\sigma }_{\text{n}Y}}\right)\right]\right\}\}{W}_{台}\cdot \mathrm{sin}{\beta }_{4}\text{，}$

(24)

式中，若因开挖节理面出露，采用新的 ${\sigma }_{\text{n}Y台}$ 和B₃B_4台代入相应的位置进行替代。

将相关参数代入式（24）中，可以求得台阶型坡面阶梯状失稳模式岩桥剪切破坏时安全系数F_s。

3.2 算例分析

（1）对比分析

锦屏一级水电站右岸泄洪洞引渠内侧岩质边坡共形成六级台阶，属于典型多级台阶状坡面岩质高边坡。由于文献[24]中采用的各节理面裂隙连通率为100%，故此时发生平面型滑动破坏模式。相关参数如下：后缘拉裂缝处内摩擦角为16.70°，黏聚力为20 kPa，抗拉强度为200 kPa。滑动面g_8sz-1错动带处内摩擦角为30.96°，黏聚力为170 kPa。滑动面g_yj7错动带处内摩擦角为28.81°，黏聚力为150 kPa^[24]。基于本节方法开展与文献[24，25]中计算结果的对比分析（表 2）。

表 2 本文计算结果与文献[24，25]计算结果的对比分析

Table 2. Comparison between calculated results and those obtained in References [24, 25]

滑动面组合	不考虑拉裂缝的贡献^[24]
g_8sz-1错动带	文献[24]极限分析上限解	文献[24]极限平衡解	本文
g_8sz-1错动带	1.058657	1.058652	1.047927
g_yj7错动带	文献[24]极限分析上限解	文献[24]极限平衡解	本文
g_yj7错动带	1.018695	1.018693	1.007019
滑动面组合	考虑拉裂缝的贡献^[25]
g_8sz-1错动带	文献[25]极限平衡解	本文
g_8sz-1错动带	1.289	1.216197
g_yj7错动带	文献[25]极限平衡解	本文
g_yj7错动带	1.256	1.214398

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由表 2可知，与文献[24]计算结果十分接近，差异率在1%以内，与文献[25]计算结果也较为接近，差异率在5%以内，从而验证了本文方法的准确性。结果表明：伴随着后缘拉裂缝的开展，F_S降低达17.08%，表明后缘拉裂缝开展对边坡稳定性的显著影响。

（2）算例分析

台阶型开挖次数和坡角角度对节理岩质边坡稳定性影响显著，故探究它们对台阶型岩质边坡稳定性的影响规律。参数取值为：k_Y=0.75， ${\beta _1}$ =60°， ${\beta _2}$ =30°， ${\beta _3}$ =50°， $\beta$ =45°~53°（坡率1︰1~1︰0.75）， $\alpha$ =0°，H=50 m，H₁=4 m，H₂=3 m，L=15 m，γ=25 kN/m³，K_φ=0.6，K_c=0.2，φ_b=20°，JRC=3，JCS=20 MPa。本节以五级边坡为例，开挖次数和坡角角度对岩质边坡阶梯状失稳模式安全系数的影响规律具体如图 7所示。图 7（a）中虚线表示未考虑节理面出露对抗滑力贡献的丧失，图 7（b），7（c）中红色虚线表示出露的节理面长度。

图 7 开挖次数和坡角角度对阶梯状滑动台阶型坡面边坡安全系数和破坏模式的影响规律

Figure 7. Influences of excavation times and slope angle on safety factor and failure mode of stepped sliding of slope based on step-type slope surface

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由图 7可知，开挖坡率较大时（倾角较小），节理面不易随开挖而出露。此时，随着开挖次数的进行，达到对边坡安全卸载的目的，故F_S相应提高（图 7（a））。而随开挖坡率的减小，节理面在边坡下部出露。由于保持裂隙连通率不变，使得阶梯状滑动面剪出口位置相应提高，故其节理面出露长度相应减小（图 7（b），7（c））。由于节理面出露部分对抗滑力贡献的丧失，使F_S显著降低，开挖坡率越小，降低程度越显著，降低程度分别从 $\beta$ =47°的7.2%增加至 $\beta$ =53°的22.8%，说明节理面对边坡抗滑力的影响。

4. 水力作用下阶梯状滑动岩质边坡稳定性分析

4.1 水力作用下阶梯状滑动岩质边坡失稳模式构建

由于边坡后缘拉裂缝的存在，为水力作用提供了过水通道，因而降雨或地下水会对顺层岩质边坡的稳定性产生更为不利影响。基于图 3，考虑出流缝被堵塞和出流缝未堵塞两种工况^[26]，其中，出流缝未堵塞时采用地下水位中点处水压力最大的水力分布情况^[26-27]，构建了水力作用下阶梯状滑动岩质边坡失稳模式如图 8所示。

图 8 水力作用下阶梯状岩质边坡失稳模式图

Figure 8. Failure mode of stepped sliding of jointed rock slope under water pressure

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基于图 3相关参数，设地下水的重度为γ_w，拉裂缝充水高度为h_w；出流缝被堵塞时节理面、岩桥和拉裂缝所受的水压力分别为U₁，T₁和V₁；出流缝未堵塞时各部分所受的水压力分别为U₂，T₂和V₂。

（1）出流缝被堵塞时边坡安全系数F_S1的计算

根据图 8（a），出流缝被堵塞时节理面、岩桥和拉裂缝所受的水压力分别为

$\left.\begin{array}{l}{U}_{1}=\frac{{\gamma }_{\text{w}}{H}_{2}(2{h}_{\text{w}}+{H}_{2})}{2\mathrm{sin}{\beta }_{2}}+\frac{{\gamma }_{\text{w}}{H}_{4}(2{h}_{\text{w}}+2{H}_{2}+2{H}_{3}+{H}_{4})}{2\mathrm{sin}{\beta }_{4}}\text{，}\\ {T}_{1}=\frac{{\gamma }_{\text{w}}{H}_{3}(2{h}_{\text{w}}+2{H}_{2}+{H}_{3})}{2\mathrm{sin}{\beta }_{3}}\text{，}\\ {V}_{1}=\frac{{\gamma }_{\text{w}}{h}_{\text{w}}^{2}}{2\mathrm{sin}{\beta }_{1}}。\end{array}\right\}$

(25)

基于式（25），坡体法向应力 ${\sigma _{{\text{n}}1}}$ 为

${\sigma _{{\text{n}}1}} = \frac{{W\cos {\beta _4} - {U_1} - {T_1}\cos ({\beta _3} - {\beta _4}) - {V_1}\cos ({\beta _1} - {\beta _4})}}{{{B_4}{B_6}}} 。$

(26)

坡体抗滑力F_resist1为

${F_{{\text{resist1}}}} = ({c_r} + {\sigma _{{\text{n}}1}} \cdot \tan {\varphi _r}) \cdot {B_3}{B_5} + ({B_5}{B_6} + {B_4}{B_3}) \cdot {\text{ }}$

$\left\{{\sigma }_{\text{n1}}\mathrm{tan}\left[{\phi }_{\text{b}}+\text{JRC}\mathrm{lg}\left(\frac{\text{JCS}}{{\sigma }_{\text{n1}}}\right)\right]\right\}\text{ }。$

(27)

坡体下滑力F_induce1为

${F}_{\text{induce1}}=W\mathrm{sin}{\beta }_{4}+{T}_{1}\mathrm{sin}({\beta }_{3}-{\beta }_{4})+{V}_{1}\mathrm{sin}({\beta }_{3}-{\beta }_{4})。$

(28)

出流缝被堵塞时边坡安全系数F_S1为

$\begin{gathered} {F_{{\text{S1}}}} = {\text{\{ }}({c_r} + {\sigma _{{\text{n1}}}} \cdot \tan {\varphi _{\text{r}}}) \cdot {B_4}{C_2} \cdot (1 - {k_Y}) + \hfill \\ \left\{ {{\sigma _{{\text{n}}1}}\tan \left[ {{\phi _{\text{b}}} + {\text{JRC}}\lg \left( {\frac{{{\text{JCS}}}}{{{\sigma _{{\text{n1}}}}}}} \right)} \right]} \right\} \cdot {B_4}{C_2} \cdot {k_{Y1}}{\text{\} /}} \hfill \\ \end{gathered}$

$\text{(}W\cdot \mathrm{sin}{\beta }_{4}+{T}_{1}\mathrm{sin}({\beta }_{3}-{\beta }_{4})+{V}_{1}\mathrm{sin}({\beta }_{1}-{\beta }_{4})\text{)}。$

(29)

（2）出流缝未堵塞时边坡安全系数F_S2的计算

根据图 8（b），出流缝未堵塞时节理面、岩桥和拉裂缝所受的水压力分别为

$\left.\begin{array}{l}{U}_{2}=\frac{{\gamma }_{\text{w}}{H}_{2}(2{h}_{\text{w}}+{H}_{2})}{2\mathrm{sin}{\beta }_{2}}+\frac{{\gamma }_{\text{w}}{H}_{4}^{2}}{2\mathrm{sin}{\beta }_{4}}\text{，}\\ {T}_{2}={\gamma }_{\text{w}}[({h}_{\text{w}}+{H}_{2}+{H}_{3}-{H}_{4})({h}_{\text{w}}+{H}_{2}+{H}_{3}-3{H}_{4})+\\ (-{h}_{\text{w}}-{H}_{2}+{H}_{3}+{H}_{4})(3{h}_{\text{w}}+3{H}_{2}+{H}_{3}+{H}_{4})]/8\mathrm{sin}{\beta }_{3}\text{，}\\ {V}_{2}=\frac{{\gamma }_{\text{w}}{h}_{\text{w}}^{2}}{2\mathrm{sin}{\beta }_{1}}。\end{array}\right\}$

(30)

基于式（30），坡体法向应力 ${\sigma _{{\text{n2}}}}$ 为

${\sigma _{{\text{n2}}}} = \frac{{W\cos {\beta _4} - {U_2} - {T_2}\cos ({\beta _3} - {\beta _4}) - {V_2}\cos ({\beta _1} - {\beta _4})}}{{{B_4}{B_6}}} 。$

(31)

坡体抗滑力F_resist2为

${F_{{\text{resist2}}}} = ({c_{\text{r}}} + {\sigma _{{\text{n}}2}} \cdot \tan {\varphi _{\text{r}}}) \cdot {B_3}{B_5} + ({B_5}{B_6} + {B_4}{B_3}) \cdot$

$\left\{{\sigma }_{\text{n}2}\mathrm{tan}\left[{\phi }_{\text{b}}+\text{JRC}\mathrm{lg}\left(\frac{\text{JCS}}{{\sigma }_{\text{n}2}}\right)\right]\right\}\text{ }。$

(32)

坡体下滑力F_induce2为

${F}_{\text{induce2}}=W\cdot \mathrm{sin}{\beta }_{4}+{T}_{2}\mathrm{sin}({\beta }_{3}-{\beta }_{4})+{V}_{2}\mathrm{sin}({\beta }_{1}-{\beta }_{4})。$

(33)

出流缝被堵塞时边坡安全系数F_S2为

$\begin{gathered} {F_{{\text{S2}}}} = {\text{\{ }}({c_r} + {\sigma _{{\text{n2}}}} \cdot \tan {\varphi _r}) \cdot {B_4}{C_2} \cdot (1 - {k_Y}) + \hfill \\ \left\{ {{\sigma _{{\text{n2}}}}\tan \left[ {{\varphi _{\text{b}}} + {\text{JRC}}{{\lg }_{10}}\left( {\frac{{{\text{JCS}}}}{{{\sigma _{{\text{n2}}}}}}} \right)} \right]} \right\} \cdot {B_4}{C_2} \cdot {k_{Y1}}{\text{\} }}/ \hfill \\ \end{gathered}$

$\text{(}W\cdot \mathrm{sin}{\beta }_{4}+{T}_{2}\mathrm{sin}\text{(}{\beta }_{3}-{\beta }_{4}\text{)}+{V}_{2}\mathrm{sin}({\beta }_{1}-{\beta }_{4})\text{)}。$

(34)

将相关参数代入式（29），（34），可求得出流缝被堵塞和未堵塞时边坡的安全系数F_S1，F_S2。

4.2 拉裂缝相关参数和拉裂缝充水高度对边坡稳定性的影响

裂缝倾角 ${\beta _1}$ 和拉裂缝充水高度h_w对边坡稳定性影响显著。基于此，开展出流缝被堵塞与未堵塞时的对比分析与 ${\beta _1}$ 和h_w对边坡稳定性的参数敏感性分析，如所示。参数取值： ${\beta _1}$ =60°~90°，h_w=0~2.0 m。其他参数取值：H=100 m，L=25 m， $\alpha$ =10°， $\beta$ =75°， $\gamma$ =25 kN/m³，H₁=2 m，H₂=3 m，β₂=35°，φ_b=20°，JRC=6，JCS=40 MPa， ${\gamma _{\text{w}}}$ =10 kN/m³。

图 9 F_s随拉裂缝倾角β₁和拉裂缝充水高度h_w的变化曲线

Figure 9. F_S versus angle β₁ and depth h_w of water in tensile cracks

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由图 9可知，当出流缝被堵塞或未堵塞时，F_S均随着h_w的增加而降低，且均随着 ${\beta _1}$ 的增加而降低。由与（b）对比可知，当 ${\beta _1}$ =60°时，出流缝被堵塞时F_S1随着h_w的增加降低了22.0%，出流缝未堵塞时F_S2降低了3.1%，出流缝被堵塞时F_S对h_w的变化较敏感。在不考虑水力作用的情况下，当 ${\beta _1}$ =60°时，F_S=1.41；当出流缝被堵塞且h_w=2.0 m时，与不考虑水力作用时相比，F_S下降了62.8%；当出流缝未堵塞且h_w=2.0 m时，与不考虑水力作用时相比，F_S下降了20.3%。因此，水力作用对带裂缝边坡的稳定性有重要的影响。

5. 结论

本文开展了阶梯状岩桥剪切贯通失稳模式下各关键参数对断续节理顺层岩质边坡稳定性影响规律的研究，获得4点结论。

（1）假定岩桥服从M-C破坏准则，节理面服从B-B破坏准则，考虑岩桥和节理面强度参数的弱化系数K_φ，K_c，依据节理面强度参数和弱化系数K_φ，K_c获得了岩桥内摩擦角φ_r和黏聚力c_r。

（2）基于断续节理顺层岩质边坡阶梯状岩桥剪切失稳模式，通过对比分析验证了该模式的准确性。研究表明：裂隙连通率k_G(k_Y)、基本摩擦角φ_b、粗糙度系数JRC、弱化系数K_c和岩桥倾角 ${\beta _3}$ 对F_S影响显著。尤其β₃越大，F_S减小越显著，边坡越不稳定。

（3）通过对比分析验证了台阶型坡面岩质边坡阶梯状失稳模式稳定性计算结果的准确性。研究表明：开挖次数和坡率对断续节理顺层岩质边坡稳定性影响显著。开挖范围不涉及潜在滑动面时边坡更为稳定，而开挖一旦使节理面出露便使得边坡稳定性大幅下降，最高下降达22.8%，因此当开挖范围涉及到潜在滑动面时，此时使得边坡稳定性显著下降。故在实际工程中，不能盲目放坡，应先对目标边坡地质情况进行细致调研，才能真正达到放坡促使边坡更为稳定的目的。

（4）通过对比分析以及参数分析探究了水力作用对边坡稳定性的影响规律。研究表明：水力作用对边坡稳定性的不利影响十分显著。其中，出流缝被堵塞时边坡F_S下降非常显著，h_w=2.0 m时F_S下降达62.8%，出流缝未堵塞时安全系数下降较为显著；拉裂缝倾角和拉裂缝充水高度对边坡稳定性有一定的不利影响。在实际工程中对于带裂缝边坡，不能忽视水力作用的影响，在实际工程中，对易滑边坡及时做出排水措施。

图 1 Cambria砂的e-lnp变化规律

Figure 1. Variation of e with increasing lnp for Cambria sand

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图 2 Toyoura砂的e-lnp变化规律

Figure 2. Variation of e with increasing lnp for Toyoura sand

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图 3 参量h及ICL切线斜率

Figure 3. Parameter h and gradients of ICL

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图 4 Toyoura砂的临界状态线

Figure 4. Critical state line of Toyoura sand

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状态变量 $\psi$

State parameter $\psi$

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图 6 分析硬化特性时的应力路径

Figure 6. Stress paths when analyzing hardening characteristics

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图 7 硬化规律分析

Figure 7. Analysis of hardening rule

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图 8 e-lnp空间应力路径

Figure 8. Stress paths in e-lnp space

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图 9 排水剪切过程中的剪胀规律

Figure 9. Stress-dilatancy rule under drained triaxial compression

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图 10 非正交塑性流动方向分析

Figure 10. Analysis of non-orthogonal plastic direction

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图 11 p₀=100 kPa时Toyoura砂三轴排水剪切试验模型预测

Figure 11. Model predictions on Toyoura sand for p₀=100 kPa under drained triaxial compression

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图 12 p₀=500 kPa时Toyoura砂三轴排水剪切试验模型预测

Figure 12. Model predictions on Toyoura sand for p₀=500 kPa under drained triaxial compression

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图 13 e₀=0.735时Toyoura砂三轴不排水剪切试验模型预测

Figure 13. Model predictions on Toyoura sand for e₀=0.735 under undrained triaxial compression

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图 14 e₀=0.833时Toyoura砂三轴不排水剪切试验模型预测

Figure 14. Model predictions on Toyoura sand for e₀=0.833 under undrained triaxial compression

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图 15 e₀=0.907时Toyoura砂三轴不排水剪切试验模型预测

Figure 15. Model predictions on Toyoura sand for e₀=0.907 under undrained triaxial compression

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表 1 Toyoura砂的模型参数

Table 1 Model parameters of Toyoura sand

M $\nu$ ρ ${\lambda _{\text{a}}}$ e_a0 e_c0

1.25 0.3 0.4 0.135 1.973 0.958

m n ξ N β Δe_L

3.5 1.7 0.4 0.90 25.0 0.155

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