考虑状态相关的砂土非正交弹塑性本构模型

路德春; 金辰逸; 梁靖宇; 李泽华; 杜修力

doi:10.11779/CJGE20211457

考虑状态相关的砂土非正交弹塑性本构模型 English Version

1.
北京工业大学城市与工程安全减灾教育部重点实验室, 北京 100124
2.
北京建筑大学土木与交通工程学院, 北京 100044

基金项目:

国家自然科学基金项目 52025084

国家自然科学基金项目 52108294

详细信息

作者简介:
路德春(1977—)，男，博士，教授，主要从事岩土与城市地下工程等方面的教学与研究工作。E-mail: dechun@bjut.edu.cn

中图分类号: TU441
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出版历程
- 收稿日期: 2021-12-07
- 网络出版日期: 2023-02-23
- 刊出日期: 2023-01-31

State-dependent non-orthogonal elastoplastic constitutive model for sand

1.
Key Lab of Urban Security and Disaster Engineering, Ministry of Education, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China
2.
School of Civil and Transportation Engineering, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing, 100044, China

摘要

摘要: 砂土的力学特性具有显著的状态相关性，主要体现为不同应力状态与密实状态下砂土的变形特性具有显著差异。合理的状态相关硬化规律与剪胀规律描述是反映砂土状态相关变形特性的基础。提出了能够有效描述砂土等向压缩规律与临界状态规律的微分表达式，并基于等向压缩硬化规律建立了状态相关因子ω，发展了砂土状态相关的硬化参数H，旨在合理确定塑性应变增量的大小；在利用非正交塑性流动法则确定塑性应变增量的方向的过程中，引入了状态变量ψ对分数阶次μ的影响，从而考虑了塑性应变增量方向的状态相关性，合理地描述了砂土的状态相关剪胀性。进一步，结合引入了状态变量的Hooke定律，确定了弹性应变增量，从而发展得出能够描述砂土状态相关特征的非正交弹塑性本构模型。通过合理预测Toyoura砂的常规三轴排水及不排水试验结果，验证了所建模型能够有效捕获砂土的状态相关力学特性。
- 砂土 /
- 状态相关 /
- 本构模型 /
- 非正交塑性流动法则 /
- 弹塑性
Abstract: The mechanic characteristics of sand have obvious features of state dependence, which is mainly reflected by the fact that the deformation characteristics of sand in different stress and density states significantly differ. The reasonable description for the state-dependent hardening rule and dilatancy rule of sand is the basis to describe the state-dependent deformation characteristics of sand. A differential expression which can effectively describe the isotropic compression and critical state of sand is proposed. Based on the hardening rule under isotropic compression condition, a state-dependent hardening factor ω is proposed, and the state-dependent hardening parameter H is developed in order to reasonably decide the magnitude of plastic strain increment. In the process of determining the direction of plastic strain increment by adopting the non-orthogonal plastic flow rule, the influences of state parameter ψ on fractional order μ are introduced, and the state dependence of the direction of plastic strain increment is considered, thus reasonably describing the state-dependent dilatancy of sand. Furthermore, by introducing the state parameter into the Hooke's law, the elastic strain increment is obtained, and a non-orthogonal elastoplastic constitutive model which can describe the state dependence of sand is proposed. By reasonably predicting the results in triaxial drained and undrained tests on the Toyoura sand, it is proved that the established model can effectively capture the state-dependent mechanic characteristics of sand.
- sand /
- state dependence /
- constitutive model /
- non-orthogonal plastic flow rule /
- elastoplasticity

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0. 引言

地震液化是国内外历次大地震中导致土工建构筑物失效破坏和造成严重经济损失的主要因素之一^[1-3]。地震液化导致的地面过大沉降和水平侧移是造成房屋、桥梁和地下生命管线等基础设施破坏的主要原因。当前国内外采用的可液化地基处理技术主要包括换填法、加密处理、固化技术（水泥、微生物固化等）、导排法（加速超静孔压消散）等,碎石桩法被认为是最经济和抗液化内涵最全面的技术手段,其抗液化效果在以往国内外历次大地震中得到检验^[4-5]。在碎石桩复合地基中,桩体材料渗透性比地基土更大,在地震过程中和震后可以作为排水通道,缩短渗流路径,改善排水条件。因此,可加速地震时场地超静孔隙水压力消散,使振动时孔压增长和消散同时发生,降低孔压峰值,提高处理地基的抗液化能力。

黄茂松等结合实际工程对振冲碎石桩加固饱和粉砂地基各施工过程的孔压规律进行了全面研究^[6],并建议了可应用于工程分析的的碎石桩排水效应简化分析方法^[7]。此外,国内外许多学者从模型试验和理论研究层面对碎石桩复合地基排水效应或固结过程展开研究。李立军等^[8]通过常重力振动台模型试验对比了碎石桩和水泥土桩加固液化地基的效果,发现碎石桩模型中地基土的超静孔压明显更小,由此得出碎石桩复合地基的排水效应对地基土抗液化贡献更为显著；Sasaki等^[9]将饱和砂箱固定在常重力振动台上研究砾石桩的排水性能和地基土超静孔压增长和消散特性,发现砾石排水桩可以迅速降低土体中的超静孔压水平,防止地基液化；Huang等^[10]通过常重力振动台试验发现,经碎石桩处理后的场地在振动过程中超静孔压累积速率明显降低,地基土体的整体刚度增强,地表沉降显著减小；Dashti等^[11]开展的超重力振动台试验表明,碎石桩加速了地震过程中地基土体三维排水过程,显著减小液化持时并进一步减小了震后残余沉降量；Badanagki等^[12]通过离心模型试验发现碎石桩的排水效应显著减小了倾斜场地的水平和竖向位移。

Seed等^[13]最早建立了考虑碎石桩水平向排水的微分方程,通过引入室内三轴不排水试验得到的孔压增长模型,得到考虑地震荷载的碎石桩复合地基的孔压控制方程,通过数值求解得到了不同碎石桩设计参数下超静孔压增长和消散规律并用于指导工程实践；徐志英^[14]建立了考虑地震过程中砾石排水桩径竖向排水的处理场地超静孔压演化偏微分方程,给出了超孔隙水压力的一般解析式。其后,国内学者在理论层面对碎石桩复合地基的堆载固结问题研究较多：Tang等^[15]建立了变荷载作用下考虑井阻效应和涂抹效应的径竖向组合渗流解析解；郭彪等^[16]推导了考虑桩体和土体径竖向渗流、上部荷载逐级施加、扰动区渗透系数线性变化的较全面的散体材料桩复合地基解析解；卢萌盟等^[17-18]给出了考虑桩体固结与土体渗透性抛物线变化和地基中附加应力沿深度线性分布的荷载效应的碎石桩复合地基固结解析解。

由此可见,模型试验主要集中在碎石桩排水效应和抗液化效果的宏观现象观测,尚未和理论研究相结合；而碎石桩理论研究多集中于对碎石桩复合场地堆载预压固结的孔压解析表达,而考虑地震荷载的研究成果多把建立的超静孔压解析式与和按照Seed简化方法得到的等效振次相联系,并未对碎石桩复合地基的排水性能进行深入研究。振动荷载作用下碎石桩复合地基的渗流与排水性能值得进一步研究。

本文在已有解析解的基础上,进一步推导了任意荷载作用下考虑径竖向渗流的碎石桩复合地基水平向和竖向渗流计算表达式,并开展了一组碎石桩处理地基超重力振动台模型试验,结合本文推导的径竖向渗流量表达式,发现计算得到的沉降量与模型试验实测沉降量吻合良好,验证了本文提出的碎石桩复合地基径竖向渗流计算表达式的正确性。

1. 微分方程的建立

地震引起的振动荷载作用于散体材料桩复合地基时,可认为各桩体和桩周土的受力性状相同,任选一受力变形复合体作为分析计算模型,如图1所示。本文做以下假设：①桩体和桩周土遵循等应变假设,即在同一深度处地基土体和桩体的竖向变形相等；②复合地基中水的渗流符合达西定律；③忽略桩体内的水平向渗流；④在任一深度z处,从土体流入桩体的水量等于桩体中向上水流的增量；⑤土体饱和、土颗粒和水不可压缩。

图 1 碎石桩处理地基计算模型示意图

Figure 1. Schematic diagram of numerical model for stone column-improved ground

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根据有效应力原理,任意时刻变荷载作用下土体的应力应变关系满足下式：

$ε_{v} = \frac{σ^{'}}{E_{s}} = \frac{q - {\bar{u}}_{s}}{E_{s}}$ ,

(1)

式中, $ε_{v}$ 为土体体变, $E_{s}$ 为土体压缩模量,q为任意荷载作用下产生的总应力,一般用经验孔压模型替代^[13], ${\bar{u}}_{s}$ 为土体任一深度的平均超静孔压。

式（1）两边对时间求偏导得

$\frac{\partial ε_{v}}{\partial t} = - \frac{1}{E_{s}} [\frac{\partial {\bar{u}}_{s}}{\partial t} - \frac{\partial q}{\partial t}] 。$

(2)

根据文献[15,19],对于径竖向渗流情况,由饱和土体变与固结排水量等量关系以及达西定律,可得

$- \frac{k_{sh}}{γ_{w}} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial u_{s}}{\partial r}) - \frac{k_{sv}}{γ_{w}} \frac{\partial^{2} {\bar{u}}_{s}}{\partial z^{2}} = \frac{\partial ε_{v}}{\partial t}$ ,

(3)

式中,k_sh和k_sv分别为地基土的水平向和竖向渗透系数, $γ_{w}$ 为水的重度。

根据假设④,且根据碎石桩与土体交界面处连续条件可得

$\frac{\partial^{2} u_{p}}{\partial z^{2}} = - \frac{2 k_{sh}}{r_{p} k_{p}} \frac{\partial u_{s}}{\partial r} |_{r = r_{p}},$

(4)

式中,u_p为任一深度处桩体内的超静孔压,r_p为桩体半径,k_p为桩体渗透系数。

任一深度地基土的平均超静孔压值定义参考已有研究^[15-17]：

${\bar{u}}_{s} = \int_{r_{p}}^{r_{e}} \frac{1}{π (r_{e}^{2} - r_{p}^{2})} \times 2 π r u_{s} d r$ ,

(5)

式中,r_e为碎石桩单桩影响半径。

式（2）～（5）为碎石桩复合地基微分控制方程。方程求解的初始条件和边界条件为

$\frac{\partial u_{s}}{\partial r} |_{r = r_{e}} = 0,$

(6)

$u_{p} |_{z = 0} = 0, {\bar{u}}_{s} |_{z = 0} = 0,$

(7)

$\frac{\partial u_{p}}{\partial z} |_{z = H} = 0, \frac{\partial {\bar{u}}_{s}}{\partial z} |_{z = H} = 0,$

(8)

${\bar{u}}_{s} |_{t = 0} = u_{0} (z) = 0$ ,

(9)

$u_{s} |_{r = r_{p}} = u_{p}$ 。

(10)

2. 微分方程的求解

参照Tang等^[15,19]对该类问题的求解过程和解的形式,可得如下 ${\bar{u}}_{s}$ 的解析表达式：

${\bar{u}}_{s} (z, t) = \int_{0}^{t} \frac{d q}{d ζ} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{2}{M} \sin \frac{M z}{H} e^{- A_{rv} (t - ζ)} d ζ,$

(11)

式中, $ζ$ 为任意荷载施加的时刻, $A_{rv} = A_{r} + A_{v}$ , $A_{v} = \frac{k_{sv} E_{s}}{γ_{w}} \cdot \frac{M^{2}}{H^{2}}, A_{r} = \frac{β}{1 + ψ^{2} {(\frac{H}{M})}^{2} - A ψ^{2}}, M = \frac{2 m + 1}{2} π$ （m=0,1,2,…）, $β =$ $2 E_{s} k_{h} / (γ_{w} r_{e}^{2} C_{n})$ , $ψ^{2} = 2 (N^{2} - 1) \cdot$ $k_{h} /$ $(k_{w} r_{e}^{2} C_{n})$ , $N = \frac{r_{e}}{r_{p}}$ 为井径比。

式（3）两边对r积分两次,并利用边界条件（6）和（10）可得

$u_{s} = \frac{γ_{w}}{2 k_{sh}} (r_{e}^{2} \ln \frac{r}{r_{p}} - \frac{r^{2} - r_{p}^{2}}{2}) (\frac{\partial ε_{v}}{\partial t} + \frac{k_{sv}}{γ_{w}} \frac{\partial^{2} {\bar{u}}_{s}}{\partial z^{2}}) + u_{p}$ 。

(12)

将式（11）和式（2）代入式（12）可得

$u_{s} = R (r) \cdot G (q, t, z) + u_{p}$ ,

(13)

式中,

$\begin{matrix} G (q, t, z) = \frac{γ_{w}}{2 k_{sh}} \cdot {\frac{1}{E_{s}} {\frac{\partial q}{\partial ζ} - \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{2}{M} \sin \frac{M z}{H} \cdot \\ \int_{0}^{t} [\frac{d}{d t} (\frac{d q}{d ζ}) e^{- A_{rv} (t - ζ)} - A_{rv} \frac{d q}{d ζ} e^{- A_{rv} (t - ζ)}] \cdot d ζ} - \\ \frac{k_{sv}}{γ_{w}} \int_{0}^{t} \frac{d q}{d ζ} \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{2 M}{H^{2}} \sin \frac{M z}{H} e^{- A_{rv} (t - ζ)} d ζ}, \\ R (r) = (r_{e}^{2} \ln \frac{r}{r_{p}} - \frac{r^{2} - r_{p}^{2}}{2}) \end{matrix}$

。

由式（13）可见,在碎石桩桩径影响范围内（影响半径为r_e）,土体任一深度的超静孔压u_s可以写成R与G的乘积与该深度桩体内孔压值u_p的和。其中,函数R仅仅是关于半径r的函数,而函数G与z,t和q相关。以上说明土体中某一深度距离碎石桩中心距为r (r_p ≤r≤r_e)的超静孔压u_s分布形式仅与r有关,不同外荷载仅是通过函数G和u_p影响超静孔压的大小。

在dt时间内,深度z处桩周土径向（水平向）通过碎石桩排水的流量为

$Δ {(q_{sc})}_{z} = k_{sh} i A = \frac{k_{sh}}{γ_{w}} \frac{\partial u_{s}}{\partial r} |_{r = r_{p}} 2 π r_{p} d z d t$ 。

(14)

进一步考虑式（13）,式（14）可化为

$Δ {(q_{sc})}_{z} = \frac{k_{sh}}{γ_{w}} G (z, t, q) (\frac{r_{e}^{2}}{r_{p}} - r_{p}) 2 π r_{p} d z d t$ 。

(15)

式（15）对时间积分即可得到超静孔压累积和消散过程中桩周土深度z处通过碎石桩的水平向排水量。

假设碎石桩处理地基中单桩影响范围边界处的超静孔压为 $u_{e} |_{r = r_{e} = u_{e} (z, t)}$ ,且假设在地基土体中超静孔压从产生到消散过程中满足u_e(z,t)>>u_p,则式（13）可化为

$u_{s} \approx G (q, z, t) (r_{e}^{2} \ln \frac{r}{r_{p}} - \frac{r^{2} - r_{p}^{2}}{2}),$

(16)

且,

$u_{e} (z, t) \approx G (q, z, t) (r_{e}^{2} \ln \frac{r_{e}}{r_{p}} - \frac{r_{e}^{2} - r_{p}^{2}}{2})$ 。

(17)

结合式（15）,（16）,（17）可得

$Δ {(q_{sc})}_{z} = \frac{k_{sh}}{γ_{w}} \frac{u_{e} (z, t)}{(r_{e}^{2} \ln \frac{r_{e}}{r_{p}} - \frac{r_{e}^{2} - r_{p}^{2}}{2})} (\frac{r_{e}^{2}}{r_{p}} - r_{p}) 2 π r_{p} d z d t 。$

(18)

式（18）即为在dt时间内深度z处地基土通过桩体水平向排水的流量计算式。

将式（16）代入式（5）,并结合式（17）,可得某一深度土体的平均孔压为

${\bar{u}}_{s} \approx \frac{\frac{r_{e}^{4}}{r_{e}^{2} - r_{p}^{2}} \ln \frac{r_{e}}{r_{p}} - \frac{3}{4} r_{e}^{2} + \frac{1}{4} r_{p}^{2}}{(r_{e}^{2} \ln \frac{r_{e}}{r_{p}} - \frac{r_{e}^{2} - r_{p}^{2}}{2})} u_{e} (z, t) 。$

(19)

由此得到在dt时间内,在深度z_i和z_i+1处地基土土竖向渗流流量公式为

$\begin{array}{l} Δ {(q_{s})}_{z = z_{i} \sim z_{i + 1}} = \frac{π k_{sv} r_{e}^{2} (1 - A_{r})}{γ_{w} (z_{i + 1} - z_{i}) (r_{e}^{2} \ln \frac{r_{e}}{r_{p}} - \frac{r_{e}^{2} - r_{p}^{2}}{2})} \cdot \\ [\frac{r_{e}^{4}}{r_{e}^{2} - r_{p}^{2}} \ln \frac{r_{e}}{r_{p}} - \frac{3}{4} r_{e}^{2} + \frac{1}{4} r_{p}^{2}] [u_{e} (z_{i}, t) - u_{e} (z_{i - 1}, t)] d t 。 \end{array}$

(20)

3. 超重力模型试验验证

3.1 试验设备和试验材料

利用浙江大学ZJU-400超重力离心机振动台开展了一组碎石桩处理地基的模型试验,以验证本文所提出计算公式的正确性。超重力离心机通过高速旋转使得模型土体恢复原型自重应力,然后通过机载振动台在模型底部实现地震动输入,从而模拟原型场地地震响应和液化灾变过程^[20]。本次试验在50g离心加速度下进行,选用粘滞系数为水的50倍的甲基硅油保证模型动力时间与渗流时间相似比尺一致。

采用层状剪切模型箱模拟自由场地边界条件,内部尺寸（长×宽×高）为730 mm×330 mm×425 mm。为了合理模拟现场地基土的渗透特性,试验地基土体选用福建细砂掺10%的粉土（钱塘江粉土）,碎石桩采用粗粒径的福建砂,两种材料的基本物性参数和颗分曲线分别见表1和图2。由表1可见,碎石桩材料渗透系数约为地基土体的800倍。Seed等^[13]建议对于碎石桩处理地基,碎石桩材料的渗透系数一般为处理地基土体的两个数量级以上。因此,模型试验设计地基土体和碎石桩材料的渗透特性符合工程实际情况。

表 1 试验材料基本物理参数

Table 1. Physical properties of test materials

指标	G_s	ρ_max/(g·cm^-3)	ρ_min/(g·cm^-3)	ρ_min/(g·cm^-3)	k/(m/s, 27℃)
福建砂掺10%粉土	2.647	1.765	1.386	1.695	1.864×10^-5
福建粗砂	2.644	1.713	1.489	1.605	1.49×10^-2

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图 2 试验材料级配曲线

Figure 2. Grain-size distribution curves of test materials

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3.2 模型布置

模型试验传感器布置如图3所示。模型土层厚度为400 mm。在振动台台面布置一个三向加速度计记录模型底层振动输入,在中轴线左侧50 mm沿深度布置6个水平加速度计,在中轴线右侧50 mm沿深度布置6个孔压计,分别在距离中轴线左右两侧各150 mm对称布置土压力计和弯曲元,在模型地表布置1个激光位移传感器监测模型的表面沉降。

图 3 离心模型试验布置图

Figure 3. Schematic configurations of centrifuge model

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在模型地基中设计了3×7共21根碎石桩,桩体贯穿整个液化土层。碎石桩的桩径d采用和Adalier等^[21]的离心模型试验原型尺寸一致,为1.5 m,对应模型尺寸为3 cm,桩间设计为10 cm,计算得到碎石桩处理地基的置换率为7%。

考虑到前述公式推导假设地基土的渗透系数为常数,本文选用频率1 Hz、峰值加速度小于0.05g的等幅正弦波作为台面输入（如图4所示）,以避免过大的振动引起过高的超静孔压甚至触发液化,导致地基土体渗透系数发生显著变化^[22]。试验共进行两次振动,振动1结束后,所有通道稳定15 min以上等待振动1产生的超静孔压完全消散,再开始振动2。

图 4 两次台面振动输入

Figure 4. Input motions at base of two shaking events

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3.3 典型试验结果

图5,6分别给出了两次振动的模型地表沉降和模型内部超静孔压时程曲线。由图5可见,振动初期地表沉降出现“不降反升”的异常现象。有两个可能的原因：首先,在振动初期的近似不排水循环剪切过程中,由于模型土体需要满足变形协调导致模型地表出现上下起伏的动态变形,但平均（残余）位移是向下发展的；此外,振动造成超静孔压上升,模型土体骨架有瞬态卸载、有限膨胀的响应,也会造成模型地表短时的微小隆起。

图 5 模型地表沉降时程曲线

Figure 5. Time histories and prediction of surface settlement

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图 6 超静孔压时程曲线

Figure 6. Time histories of excess pore water pressure

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由图6可见,随着振动的发生,模型不同深度土层的超静孔压随着振动迅速累积,并在振动结束时达到峰值。振动1中,不同深度超静孔压峰值在6～13 kPa；振动2中,不同深度的超静孔压峰值在16～22 kPa。振动停止后,模型深层的超静孔压消散比浅层更快,说明振后模型内孔隙水向上渗流。

对照图5,6,可以发现地表沉降发展与超静孔压消散存在对应关系。地表沉降与超静孔压累积主要发生在振动过程,振后随着超静孔压消散沉降继续发生,但振后固结沉降比例相对较小,这与以往离心机振动台试验结果一致^[23]。主要原因在于模型地基地表是自由排水边界,振动过程中就发生了显著的孔隙水向上消散。由图6可见,振动1情况模型全部深度的超静孔压比（r_u=u/ ${σ^{'}}_{v0}$ ,u为任意时刻的超静孔压, ${σ^{'}}_{v0}$ 为初始上覆有效应力）都小于0.4,振动对模型地基造成的损伤较小,对应模型地表沉降较小；振动2情况模型浅层r_u接近0.8,其余深度r_u小于0.3,模型地表沉降大于振动1引起的地表沉降。

已有研究^[24]表明,砂土液化时土体渗透系数比未液化时增大数量级的倍数。Shahir等^[25]提出的随超静孔压比变化的砂土变渗透系数表达式如下：

$\frac{k}{k_{i}} = {\begin{cases} 1 + (α - 1) r_{u}^{β_{1}}, r_{u} < 1 (孔压累积阶段) \\ α, r_{u} = 1 \\ 1 + (α - 1) r_{u}^{β_{2}}, r_{u} < 1 (孔压消散阶段) \end{cases}$ 。

(21)

式中, $k_{i}$ 为未液化前渗透系数初始值,α为液化时渗透系数增大的倍数,β₁和β₂分别为孔压累积阶段和消散阶段的常数,与土体材料有关。

结合图6,对式（21）中参数取值α=10,β₁=2和β₂=10,可得当r_u分别等于0.3,0.4和0.8时,对应的渗透系数增大倍数分别为1.8,2.4和6.7。由图6可见,r_u处于峰值的时间占整个超静孔压从产生到消散的时间比例不足5%。因此,两次振动引起的超静孔压比不足以引起整个模型深度土体渗透系数的显著变化,本文采用常渗透系数假设基本合理。

3.4 渗流公式正确性验证

由图3可见,孔压计布置在4根碎石桩围成的正方形的中点,可近似认为孔压计测值为碎石桩桩径影响范围边界r_e上的值。为验证式（18）和（20）的正确性,利用地基地表沉降量对振动过程中场地超静孔压从产生到消散时间T内的总排水量Q进行校核。假设土颗粒和饱和流体不可压缩,则总排水量等于地基沉降引起的体变值。注意到本文计算模型是基于单桩影响范围的场地沉降,排水量和地表沉降的计算都是基于单桩影响范围,即得到的总排水量Q需除以单桩影响范围的地基土面积才得到对应的沉降量。碎石桩水平排水总量Q_L为地基各深度水平向排水量之和,而竖向排水总量Q_V只考虑最浅层竖向排水量,即

$Q = Q_{L} + Q_{V},$

(22)

$Q_{L} = \int_{0}^{H} \int_{0}^{T} Δ {(q_{s c})}_{z} d t d z,$

(23)

$Q_{V} = \int_{0}^{T} Δ {(q_{s})}_{top_layer} d t$ 。

(24)

图7为根据两次振动超静孔压时程,通过式（22）计算沉降值和激光位移计实测沉降值。由图7可见,振动1情况下本文计算值与实测值接近,而振动2情况下的计算值稍小于实测值。由前述可知,振动2作用下模型浅层土体的渗透系数增大了6.7倍,本文“振动过程中地基土体渗透系数不变”的假设略微低估了模型浅层桩体的渗流量。

图 7 模型地表沉降实测值和计算值对比

Figure 7. Comparison between measured and predicted surface settlements

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图8给出了根据式（22）反算得到的沉降时程预测曲线。由图8可见,振动阶段实测沉降比计算值显著偏大；对于振后渗流固结过程,实测值与计算值接近。由于本文提出的渗流量计算公式仅考虑渗流固结效应,对模型在振动过程中可能出现的诸如渗流速率效应和液化时渗透系数变化等^[26-27]无法合理描述,可以认为本文公式适用于预测土体振后沉降规律。

图 8 模型地表沉降时程实测值和计算值对比

Figure 8. Time histories of measured and predicted surface settlement

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3.5 碎石桩复合地基振动排水特性分析

结合本次离心模型试验土体参数、碎石桩布置和不同深度超静孔压时程,根据式（18）和式（20）得到如图9所示的两次振动下碎石桩复合地基竖向和水平渗流流量随时间变化关系。

图 9 碎石桩复合地基渗流时程

Figure 9. Time histories of discharge water in stone column-improved ground

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由图9可见,水平向和竖向渗流排水在振动一开始就有,表明一旦产生超静孔压,在水力梯度作用下地基就开始进行竖向和水平向排水。在振动阶段地基土体不同深度通过碎石排水的渗流速率逐渐加快,振动停止后渗流速率基本保持稳定,随着超静孔压消散渗流速率逐渐降低。以上径竖向渗流随时间发展规律与图5所示的沉降时程一致。另外,两次振动下地基土体通过碎石桩的水平向渗流量随深度的增加而逐渐增大,不同深度土体通过碎石桩水平向排水量与相应的超静孔压水平正相关。两次振动下竖向渗流量都在浅层最大,且比较接近浅层水平向渗流量,但远小于深层水平向排水量。

4. 结论

本文针对振动荷载作用下碎石桩复合地基的渗流与排水性能问题,基于已有的解析解,进一步推导了任意荷载作用下碎石桩复合地基水平向和竖向渗流计算表达式,并开展了一组碎石桩处理地基超重力振动台模型试验进行验证,得到如下3点结论。

（1）将单根碎石桩及其影响范围的地基土作为一个表征体元来研究,以碎石桩单桩影响边界处的孔压值为已知条件,得到了任意荷载作用下碎石桩复合地基竖向和水平向渗流量计算公式。

（2）假设土颗粒和水不可压缩,将计算得到的模型地基排水量换算为地表沉降值,发现最终沉降的计算值与模型试验实测值一致,验证了本文推导的碎石桩复合地基渗流量计算公式的正确性。

（3）将模型试验测得的超静孔压与本文推导的渗流量计算公式相结合,给出了本次模型试验中不同深度水平向和竖向渗流时程,与实测沉降时程基本吻合。碎石桩复合地基的水平向渗流起主要作用,竖向渗流贡献较小；受下大上小的孔压梯度场的驱动,深层的水平向渗流量明显大于浅层。

在实际工程中,如果能基于地震动强度指标等获得易液化场地的超静孔压水平,则可以利用本文提出的计算公式估算处理地基的震后排水量和地表沉降值,为工程设计和抗震性能调控提供依据。

图 1 Cambria砂的e-lnp变化规律

Figure 1. Variation of e with increasing lnp for Cambria sand

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图 2 Toyoura砂的e-lnp变化规律

Figure 2. Variation of e with increasing lnp for Toyoura sand

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图 3 参量h及ICL切线斜率

Figure 3. Parameter h and gradients of ICL

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图 4 Toyoura砂的临界状态线

Figure 4. Critical state line of Toyoura sand

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状态变量 $\psi$

State parameter $\psi$

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图 6 分析硬化特性时的应力路径

Figure 6. Stress paths when analyzing hardening characteristics

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图 7 硬化规律分析

Figure 7. Analysis of hardening rule

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图 8 e-lnp空间应力路径

Figure 8. Stress paths in e-lnp space

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图 9 排水剪切过程中的剪胀规律

Figure 9. Stress-dilatancy rule under drained triaxial compression

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图 10 非正交塑性流动方向分析

Figure 10. Analysis of non-orthogonal plastic direction

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图 11 p₀=100 kPa时Toyoura砂三轴排水剪切试验模型预测

Figure 11. Model predictions on Toyoura sand for p₀=100 kPa under drained triaxial compression

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图 12 p₀=500 kPa时Toyoura砂三轴排水剪切试验模型预测

Figure 12. Model predictions on Toyoura sand for p₀=500 kPa under drained triaxial compression

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图 13 e₀=0.735时Toyoura砂三轴不排水剪切试验模型预测

Figure 13. Model predictions on Toyoura sand for e₀=0.735 under undrained triaxial compression

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图 14 e₀=0.833时Toyoura砂三轴不排水剪切试验模型预测

Figure 14. Model predictions on Toyoura sand for e₀=0.833 under undrained triaxial compression

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图 15 e₀=0.907时Toyoura砂三轴不排水剪切试验模型预测

Figure 15. Model predictions on Toyoura sand for e₀=0.907 under undrained triaxial compression

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表 1 Toyoura砂的模型参数

Table 1 Model parameters of Toyoura sand

M $\nu$ ρ ${\lambda _{\text{a}}}$ e_a0 e_c0

1.25 0.3 0.4 0.135 1.973 0.958

m n ξ N β Δe_L

3.5 1.7 0.4 0.90 25.0 0.155

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