Implicit DEM analyses of size and shape effects on crushing strength of rockfill particles
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摘要: 采用隐式离散元法（DEM），亦称非光滑接触动力学（NSCD）法，模拟了堆石料单颗粒的一维压缩破碎过程。采用多面体颗粒近似真实堆石料颗粒的不规则棱角状形状，并通过Voronoi空间划分将母颗粒离散成若干多面体子颗粒，子颗粒间通过接触面上的内聚力模型（CZM）胶结发生相互作用，胶结断裂则可反映颗粒的破碎过程，可避免传统DEM中常用的碎片替代法和胶结小球法的缺点。首先使用巴西劈裂试验获得CZM参数，其后开展了不同粒径颗粒的一维压缩试验，结果表明颗粒破碎强度服从Weibull分布，且破碎强度大小和变异性均随着颗粒尺寸的增大而减小。还进一步模拟了不同形状颗粒的压缩试验，发现颗粒形状与加载方向均对颗粒破碎强度有显著影响。长轴方向加载破碎强度通常最低，且在相同等效粒径下，球状、椭球状、扁平状颗粒的平均破碎特征强度依次降低。Abstract: An implicit version of discrete element method (DEM) called non-smooth contact dynamics (NSCD) is used to simulate the crushing process of single rockfill particle under one-dimensional (1D) compression. The angular and irregular shapes of rockfill particles are represented using polyhedrons, which are discretized into smaller elementary cells through the Voronoi tessellation. The interaction between neighboring elementary cells is described by the cohesive zone model (CZM), where hybrid tensile and shear failure modes are considered. Consequently, particle crushing can be captured by the breakage of CZM bonds subjected to external loading. The proposed method for modeling the particle crushing avoids drawbacks of the traditional fragment replacement method and bonded sphere method in DEM. The Brazilian splitting tests on granite are performed to calibrate the parameters for CZM. 1D compression tests on single particles with different sizes and shapes further reveal that the crushing strength of particles follows the Weibull distribution, and both the magnitudes and the variances decrease with the increasing particle size. For the particles with different principal axes (e.g., elongated and platy), the crushing strength loaded in the major axis is the smallest among all directions. It is also shown that the elongated and platy particles have smaller average strength than the spherical ones given the same equivalent particle size.
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0. 引言
堆石料由于较高的实用性和较低的使用成本，在水利工程、公（铁）路工程、机场道路建设等众多工程领域应用广泛。与砂土相比，堆石料粒径较大，在较低的应力条件下就会出现颗粒破碎的现象，对建（构）筑物的宏观力学行为产生重要影响，甚至引发过大或不均匀沉降，因此研究堆石料的颗粒破碎有重要意义。其中颗粒破碎强度与颗粒尺寸和形状两个因素密切相关。
由于堆石料的尺寸较大，实验室试验常采用缩尺模型，但颗粒尺寸的缩小不可避免地带来材料性状上的差异。徐琨等[1]通过对堆石料的不同缩尺试样进行三轴数值剪切试验，研究了颗粒破碎对缩尺效应的影响，探究了缩尺效应的产生机理。堆石料的颗粒破碎，特别是颗粒破碎强度的尺寸效应被认为是引发堆石料缩尺效应的主要因素。McDowell[2]对砂石材料进行了多组一维压缩试验，试验结果表明砂石颗粒的破碎强度分布符合Weibull函数规律。Huang等[3]采用5组粒径不同的玻璃圆球进行一维压缩试验，发现玻璃圆球的破碎强度与球体尺寸相关，且两者之间的关系与Weibull分布预测结果一致。然而玻璃球试验无法反映真实情况下堆石料颗粒复杂形状的影响。
由于颗粒形状的高度不规则性，传统室内试验研究可重复性较差，且缺乏经济便捷的观测手段，因此离散元法（discrete element method，DEM）被广泛应用于颗粒破碎的分析中。目前常用的DEM颗粒破碎模拟方法有碎片替换法（fragment replacement method, FRM），即当作用于颗粒上的特征荷载达到阈值后，采用一组较小的球体代替原有的颗粒。该方法可能引起质量与体积不守恒，并产生额外的孔隙。为了改进该方法，可容许替代子球有一定的初始重叠，并采用一定的计算时步消除颗粒间不平衡力。Bono等[4]通过该方法研究了颗粒断裂机理以及颗粒强度对最终颗粒尺寸分布与等向压缩曲线的影响。另一种常用的DEM颗粒破碎模拟方法是胶结小球法（bonded sphere method，BSM），即采用一组胶结的小球来表示未破碎颗粒，小球之间赋予一定的胶结强度，通过胶结断裂模拟颗粒的破碎过程。Laufer[5]使用BSM研究了脆性颗粒的微观结构不均匀性对颗粒破碎的影响，其中不均匀性由小球之间不同的胶结强度反映。Cheng等[6]在胶结小球团簇中删除了20%的小球以模拟颗粒的内部缺陷，降低颗粒的破碎强度。BSM的不足之处在于采用球体无法表征破碎后颗粒碎片形状的多样性。
本文使用隐式DEM，亦称非光滑接触动力学（non-smooth contact dynamics，NSCD）法[7]，研究颗粒破碎的尺寸和形状效应。其中每个未破碎母颗粒采用多面体近似，可灵活反映真实堆石料颗粒的不规则形状，且通过Voronoi空间划分离散为多个多面体子颗粒。各子颗粒间接触面上设置内聚力胶结模型（cohesive zone model，CZM），通过胶结断裂模拟颗粒破碎。该方法可有效克服上述两种传统方法的缺点，严格满足破碎前后系统的质量与体积守恒，并能同时考虑母颗粒与破碎子颗粒的形状多样性。本文首先基于巴西劈裂试验标定了CZM参数，其后模拟了不同尺寸和形状的单颗粒一维压缩破碎行为，并结合Weibull模型分析了颗粒破碎强度的尺寸和形状效应。
1. 非光滑接触动力学法
NSCD方法与传统DEM类似，均考虑颗粒介质微观上的非连续性，将材料描述为离散颗粒体的堆积，通过颗粒间的相互作用和颗粒运动来反映材料的复杂宏观力学行为。
不同于传统DEM通过颗粒间微小重叠量计算接触力并显式更新颗粒速度和位置，NSCD方法中颗粒间不允许有任何重叠，接触力和位置更新均通过隐式方法求解，因此满足无条件稳定，从而可以使用较传统DEM更大的时间步长，通常拥有更高的计算效率。
对于任意一个接触（即当$\delta = 0$，δ为两个潜在接触颗粒间的间隔），颗粒间的相对速度vn（法向，远离为正）和vt（切向）以及接触力fn（法向）和ft（切向）通过Signorini‒Coulomb条件相关联。其中单侧Signorini条件描述了两个物体之间的不可穿透性，可表述为（见图 1（a））
$$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}}{v}_{\text{n}} > 0\Rightarrow {f}_{\text{n}}=0\text{ }\text{，}\\ {v}_{\text{n}}=0\Rightarrow {f}_{\text{n}}\ge 0\text{ }。\end{array}} \right\} $$ (1) ![]()
图 1 单边接触Signorini-Coulomb条件Figure 1. Signorini-Coulomb condition for a unilateral contact切向力遵循Coulomb摩擦定律（图 1（b）），可以表示为下列不等式:
$$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{ccc}{v}_{\text{t}} > 0& \Rightarrow & {f}_{\text{t}}=-\mu {f}_{\text{n}}\text{ }\text{，}\end{array}\hfill \\ \begin{array}{ccc}{v}_{\text{t}}=0& \Rightarrow & -\mu {f}_{\text{n}}\le {f}_{\text{t}}\le \mu {f}_{\text{n}}\text{ }\text{，}\end{array}\hfill \\ \begin{array}{ccc}{v}_{\text{t}} < 0& \Rightarrow & {f}_{\text{t}}=\mu {f}_{\text{n}}\text{ }。\end{array}\hfill \end{array}} \right\} $$ (2) 式中，μ为颗粒间接触摩擦系数。式（1），（2）构成了数学上的线性互补问题，通常可由Gauss‒Seidel方法求解。
考虑时间步长$\Delta t = {t^{i + 1}} - {t^i}$内，系统的运动方程为
$$ {\mathit{\boldsymbol{M}}}({{\mathit{\boldsymbol{U}}}^{i + 1}} - {{\mathit{\boldsymbol{U}}}^i}) = ({{\mathit{\boldsymbol{F}}}^{\text{c}}} + {{\mathit{\boldsymbol{F}}}^{{\text{ext}}}})\Delta t \text{，} $$ (3) 式中，M为广义质量矩阵（含转动惯量），U为广义速度矢量（含角速度），$ {{\mathit{\boldsymbol{F}}}^{\text{c}}} $和Fext为广义接触力合力和外力矢量（含力矩）。则${t^{i + 1}}$时刻，系统的广义位置矢量q（含转动方向）可使用θ法更新：
$$ {{\mathit{\boldsymbol{q}}}^{i + 1}} = {{\mathit{\boldsymbol{q}}}^i} + \theta {{\mathit{\boldsymbol{U}}}^{i + 1}}\Delta t + (1 - \theta ){{\mathit{\boldsymbol{U}}}^i}\Delta t 。 $$ (4) 当$\theta \ne 0$时即为隐式时间步积分，且当$\theta \geqslant 0.5$时满足无条件稳定。本文取$\theta = 0.5$。
2. 内聚力模型
CZM的概念是假设裂纹发展处存在内聚区，两侧的物质分子或原子之间存在相互作用的内聚力，且内聚力的大小与两侧的相对张开位移有关。当拉伸力到达临界值之后，裂纹开始萌生，随后拉伸力不断下降，裂纹不断扩展直至连接完全断开。
由于堆石料颗粒为脆性材料，本文选择适合脆性断裂的双线型内聚力模型[8]，其内聚力σ本构关系为
$$ \sigma = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{\sigma _{\text{e}}}}}{{{\delta _{\text{e}}}}}{\mathit{\Delta} _{\text{n}}}}&{({\mathit{\Delta} _{\text{n}}} \leqslant {\delta _{\text{e}}})} \\ {{\sigma _{\text{e}}}\frac{{{\delta _{\text{u}}} - {\mathit{\Delta} _{\text{n}}}}}{{{\delta _{\text{u}}} - {\delta _{\text{e}}}}}}&{({\delta _{\text{e}}} < {\mathit{\Delta} _{\text{n}}} \leqslant {\delta _{\text{u}}})} \end{array}} \right. 。 $$ (5) 式中：$ {\mathit{\Delta} _{\text{n}}} $为张开位移量，$ {\sigma _{\text{e}}} $为最大弹性应力，$ {\delta _{\text{e}}} $为最大弹性位移量（即对应于$ {\sigma _{\text{e}}} $处的位移），$ {\delta _{\text{u}}} $为界面失效位移量（即$ \sigma $下降为0时的位移）。
颗粒内部潜在失效面上很少出现单纯拉伸（Ⅰ型）或单纯剪切（Ⅱ型）破坏情况，通常是Ⅰ型与Ⅱ型并存，因此需要考虑混合模式下的界面应力与相对位移关系，如图 2所示。
假设在混合破坏模式下，各模式弹性刚度与单纯破坏模式下相同，即${K_{{\text{m, Ⅰ}}}} = {K_{\text{Ⅰ}}}$和${K_{{\text{m, Ⅱ}}}} = {K_{{\text{Ⅱ}}}}$，并采用二阶损伤准则：
$$ \begin{array}{*{20}{l}} \end{array}{\left( {\frac{{\sigma _{{\text{em, Ⅰ}}}^{}}}{{\sigma _{{\text{eⅠ}}}^{}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\sigma _{{\text{em, Ⅱ}}}^{}}}{{\sigma _{{\text{eⅡ}}}^{}}}} \right)^2} = 1 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {\left( {\frac{{\delta _{{\text{em, Ⅰ}}}^{}}}{{\delta _{{\text{eⅠ}}}^{}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\delta _{{\text{em, Ⅱ}}}^{}}}{{\delta _{eⅡ}^{}}}} \right)^2} = 1 。 $$ (6) 另设混合模式下剪切与拉伸位移分量之比$\beta = $ ${\delta _{{\text{m, Ⅱ}}}}/{\delta _{{\text{m, Ⅰ}}}}$，则混合模式下的最大弹性位移和弹性应力分别为
$$ \delta _{{\text{em}}}^{} = \delta _{{\text{eⅠ}}}^{}\delta _{{\text{eⅡ}}}^{}\sqrt {\frac{{1 + {\beta ^2}}}{{{{(\delta _{{\text{eⅡ}}}^{})}^2} + {{(\delta _{{\text{eⅠ}}}^{}\beta )}^2}}}} \text{，} $$ (7) $$ \sigma _{{\text{em}}}^{} = \delta _{{\text{eⅠ}}}^{}\delta _{{\text{eⅡ}}}^{}\sqrt {\frac{{K_{\text{Ⅰ}}^{\text{2}} + {{({K_{{\text{Ⅱ}}}}\beta )}^2}}}{{{{(\delta _{{\text{eⅡ}}}^{})}^2} + {{(\delta _{{\text{eⅠ}}}^{}\beta )}^2}}}} 。 $$ (8) 当相对张开位移大于$\delta _{{\text{em}}}^{}$或界面应力大于$\sigma _{{\text{em}}}^{}$时，接触界面开始损伤。
设界面完全破坏时的断裂能为
$$ {G_{\text{m}}} = {G_{{\text{m, Ⅰ}}}} + {G_{{\text{m, Ⅱ}}}} \text{，} $$ (9) 式中，界面断裂时的总内聚能$ {G_{\text{m}}} $为混合Ⅰ型内聚能$ {G_{{\text{m, Ⅰ}}}} $和混合Ⅱ型内聚能$ {G_{{\text{m, Ⅱ}}}} $之和。当界面断裂能大于上述值时，界面完全破坏，内聚力消失。$ {G_{\text{m}}} $对应于双线段与横坐标所围三角形面积（见图 2）。
采用第一近似准则作为界面完全破坏时的内聚能比例关系，满足如下能量分配关系：
$$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}}\frac{{G}_{\text{m, Ⅰ}}}{{G}_{\text{Ⅰ}}}=\frac{{\text{(}{\delta }_{\text{eⅡ}}^{}\text{)}}^{2}}{{({\delta }_{\text{eⅡ}}^{})}^{2}+{({\delta }_{\text{eⅠ}}^{}\beta )}^{2}}\text{ }\text{，}\\ \frac{{G}_{\text{m, Ⅱ}}}{{G}_{\text{Ⅱ}}}=\frac{{({\delta }_{\text{eⅠ}}^{}\beta )}^{2}}{{({\delta }_{\text{eⅡ}}^{})}^{2}+{({\delta }_{\text{eⅠ}}^{}\beta )}^{2}}\text{ }。\end{array}} \right\} $$ (10) 至此混合模式响应可完全通过单纯拉伸和单纯剪切模式参数定义，且可求得混合模式下极限破坏位移：
$$ \delta _{{\text{um}}}^{} = \frac{{1 + {\beta ^2}}}{{\delta _{{\text{em}}}^{}}}\frac{{\delta _{{\text{eⅠ}}}^{}\delta _{{\text{uⅠ}}}^{}\delta _{{\text{eⅡ}}}^{}\delta _{{\text{uⅡ}}}^{}}}{{\delta _{{eⅡ} }^{}\delta _{{\text{uⅡ}}}^{} + {\beta ^2}\delta _{{\text{eⅠ}}}^{}\delta _{{\text{uⅠ}}}^{}}} 。 $$ (11) 3. 颗粒破碎研究
3.1 内聚力模型参数确定
CZM参数为界面的固有特性，但由于缺乏在矿物成分尺度上的微观测量技术，一般根据标准试验结果校准模型参数，此类校准方法广泛应用于DEM研究，如Jiang等[9]使用巴西劈裂试验获取相关参数。
为选取合理的微观参数，并验证NSCD方法对颗粒破碎过程模拟的适用性，本文采用巴西劈裂试验标定CZM参数，模拟前人发表的三峡花岗岩试验结果[10]。试样岩柱厚度与直径均为50 mm，通过晶粒生成软件NEPER[11]离散成总计800个Voronoi多面体子单元，子单元之间接触界面赋予CZM胶结。根据巴西劈裂试验结果确定CZM参数：KⅠ为80 N/mm3，KⅡ为120 N/mm3，$\sigma _{{\text{eⅠ}}}^{}$为9 MPa，$\sigma _{{\text{eⅡ}}}^{}$为11.5 MPa，GⅠ为900 mJ/mm2，GⅡ为1125 mJ/mm2，$\nu $为0.3，$\rho $为2650 kg/m3，其中$\rho $为颗粒密度。
NSCD模拟结果与文献[10]中试验结果的荷载‒位移关系如图 3所示，均大致在轴向位移0.5 mm时达到峰值荷载35 kN。试验中试样与加载板的接触点处存在高度应力集中，形成局部破碎区，以及试样表面微小粗糙的破碎，使得荷载‒位移曲线在初始段增长缓慢。NSCD模型假设颗粒为刚体，荷载‒位移曲线增长迅速，与其它数值模拟结果一致[12]。
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图 3 巴西劈裂试验荷载-位移曲线（内嵌图为岩柱断裂模式）Figure 3. Load-displacement curves in Brazilian disk split tests (inset shows fracture pattern of disk)试样的最终破坏情况如图 3内嵌图所示，结果符合巴西劈裂试验的破坏模式，即试样沿加载方向开裂形成两个半圆形碎片，为典型的拉伸破坏型式。模拟结果验证了NSCD方法与CZM能够模拟脆性材料的破碎以及相关参数的取值合理。
3.2 单颗粒一维压缩试验
试验由两个刚性平行加载板组成，测试过程中忽略重力，下部加载板固定，上部加载板施加恒定压缩速率（轴向应变率为0.4 /s），如图 4所示。经验证确认，进一步减小加载速率对结果无显著影响。刚性加载板和颗粒之间的接触摩擦系数取为0.3。
首先，通过空间内30个平面随机切割球体生成多面体母颗粒，以近似真实堆石料颗粒的棱角状不规则形态。生成的母颗粒等效直径D ≈ 27.5 mm（即与母颗粒体积相同的球体直径），再经NEPER软件离散成75个Voronoi子颗粒。Cantor等[13]研究表明，当子颗粒数不小于75时，颗粒强度不再有明显的离散依赖性。子颗粒间CZM参数与前述巴西劈裂试验相同。为进一步体现颗粒内部微观结构的不均匀性，考虑子颗粒间CZM黏结强度的差异，$\sigma _{{\text{eⅠ}}}^{}$及$\sigma _{{\text{eⅡ}}}^{}$同时乘以一个在[0.75，1.25]之间呈正态分布的随机系数。图 5展示了该颗粒的压缩荷载‒位移曲线以及破碎后的试样。由图 5可知，随着轴向压缩位移的增大，荷载反力迅速增大，之后由于颗粒破碎（部分界面内聚力衰减），荷载反力小幅波动上升，轴向位移至0.7 mm时达到峰值荷载Fp = 5.7 kN后急剧下降至0附近（此时轴向位移约为1.5 mm）。此后曲线的剧烈波动来自颗粒碎片的进一步压缩破碎，整个模拟过程符合脆性材料的压碎特征[14]。
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图 5 单颗粒一维压缩荷载‒位移曲线（内嵌图为颗粒破碎形态）Figure 5. Load-displacement curve for single-particle compression tests (inset shows crushed particle)3.3 颗粒破碎强度Weibull分布
McDowell等[2, 15]通过理论分析表明，颗粒的断裂强度遵循Weibull分布，其关系式为
$$ {P_{\text{s}}}(\sigma |V) = \exp \left[ { - {{\left( {\frac{\sigma }{{{\sigma _0}}}} \right)}^m}} \right] \text{，} $$ (12) 式中，${P_{\text{s}}}(\sigma |V)$为体积等于V的颗粒在应力$\sigma $作用下的生存概率，${\sigma _0}$对应于${P_{\text{s}}}$= 0.368处的特征强度，指数m称为Weibull模量，表示颗粒强度的变异性。
颗粒破碎强度可通过颗粒内最大拉应力量化[16]：
$$ \sigma = \frac{{{F_{\text{p}}}}}{{{D^2}}} \text{，} $$ (13) 式中，$ {F_{\text{p}}} $为荷载‒位移曲线的峰值荷载，根据文献[17]确定为观察到至少35%荷载下降并产生颗粒分离或坍塌的力。
为反映颗粒破碎强度的变异性，本文进一步对D ≈ 27.5 mm的母颗粒采用不同随机切割和离散（均包含75个子颗粒），生成30组不同颗粒，图 6展示了部分生成颗粒。McDowell[18]及Huang等[3]研究表明，样本数为30时满足颗粒强度统计需要。单颗粒一维压缩试验获得的颗粒破碎强度统计结果如图 7所示，模拟数据大致满足Weibull分布，经拟合可得${\sigma _0} = $10.5 MPa，m = 4.20，能较好地反映颗粒之间的强度差异，验证了该方法在模拟单颗粒压缩破碎上的适用性。
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图 6 部分生成颗粒的Voronoi离散Figure 6. Examples of particle discretization using Voronoi tessellation![]()
图 7 等效直径27.5 mm单颗粒破碎强度Weibull分布Figure 7. Weibull distribution of crushing strength for particles with equivalent diameter of 27.5 mm3.4 颗粒破碎强度尺寸效应
大量的颗粒破碎试验结果表明，颗粒破碎强度存在明显的尺寸效应，即颗粒破碎强度随粒径的增大而减小[19]。本文选取5组不同尺寸（D ≈ 27.5，31.6，35.7，39.7，43.9 mm，如图 8所示）但形状相似的可破碎颗粒进行一维压缩试验，母颗粒按尺寸不同分别离散为75，114，165，229，307个Voronoi子颗粒，保证子颗粒大小相近，均约等于6 mm。为统计分析，每组尺寸的样本数取为30[3, 18]。
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图 8 不同尺寸颗粒的Voronoi离散Figure 8. Discretization of particles with different sizes using Voronoi tessellation不同尺寸颗粒的破碎统计结果见表 1。可见特征强度随颗粒尺寸的增大而减小，与试验结果[19]一致。与此相反，Weibull模量随颗粒尺寸的增大而增大。这是由于，随着颗粒尺寸的增加，颗粒内部潜在失效面随之增多，宏观上表现更加均匀，因此强度与变异性均降低（Weibull模量越大变异性越小）。上述数值模拟结果与Griffith的理论一致[20]。
表 1 不同尺寸颗粒破碎强度的Weibull参数Table 1. Weibull parameters for particles with different sizes等效直径D/mm 子颗粒数 特征强度σ0/MPa Weibull模量m 27.5 75 10.50 4.20 31.6 114 10.00 4.77 35.7 165 8.71 6.04 39.7 229 8.04 7.31 43.9 307 7.92 8.49 传统统计理论认为，颗粒破碎强度随粒径的增加而降低，且二者存在幂指数关系[21]：
$$ {\sigma _D} = k{D^{ - \alpha }} 。 $$ (14) 式中：${\sigma _D}$为颗粒粒径为D时对应的破碎特征强度；k为材料常数；α为破碎形态常数。
根据式（14），将模拟结果与传统统计理论模型进行拟合，如图 9所示，其中幂指数α = 0.68，材料常数k = 101.7，可以明显观察到颗粒的尺寸效应，拟合结果与石灰岩室内试验结果较接近[17]。
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图 9 特征强度与颗粒粒径关系Figure 9. Relationship between characteristic strength and particle size3.5 颗粒破碎强度形状效应
堆石料颗粒除尺寸不同，形状也千差万别。为分析颗粒形状对强度的影响，本文重点研究颗粒的伸长率、平坦度和纵横比3个形状参数的影响，即颗粒3个主轴间的比例[22]，分别定义为：伸长率EⅠ = I/L，平坦度FⅠ = S/I，纵横比AR = S/L，其中S，I，L分别为颗粒短轴、中轴、和长轴的长度。
选择3种代表性颗粒形状，分别记为S1球状：EⅠ = 1，FⅠ = 1，AR = 1；S2椭球状：EⅠ = 2/3，FⅠ = 1，AR = 2/3；S3扁平状：EⅠ = 2/3，FⅠ = 2/3，AR = 4/9，如图 10所示。为便于分析，控制其它因素尽可能相同，即3种颗粒的体积相同（D ≈ 27.5 mm），棱角也保持一致，且都离散成75个形状相近的子颗粒。
模拟结果如图 11，12所示（S1结果见3.3部分），由于椭球状与扁平状颗粒具有不同的主轴方向，且其不同主轴方向的一维压缩破碎强度差异较大，需分别考虑。不同形状的特征强度与Weibull模量汇总如表 2所示。可知对于单颗粒一维压缩，颗粒轴长比及受力方向对颗粒破碎强度均有重要影响，通常短轴方向强度最高而长轴方向最低，与相关研究结论一致[23]；在等效粒径相同情况下，伸长率EⅠ更小的椭球状和扁平状比球状平均强度低，而平坦度FⅠ和纵横比AR减小，平均强度也相应降低。
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图 11 S2椭球状颗粒的破碎强度Weibull分布Figure 11. Weibull distribution of crushing strength for ellipsoidal particles (S2)![]()
图 12 S3扁平状颗粒的破碎强度Weibull分布Figure 12. Weibull distribution of crushing strength for platy particles (S3)表 2 不同形状颗粒破碎强度的Weibull参数Table 2. Weibull parameters for particles with different shapes形状 S1 S2 S3 $ {\sigma _0} $/MPa m $ {\sigma _0} $/MPa m $ {\sigma _0} $/MPa m 长轴 10.5 4.2 8.86 2.35 6.53 3.66 中轴 10.5 4.2 9.18 5.15 8.32 5.26 短轴 10.5 4.2 9.18 5.15 10.6 3.74 平均值 10.5 4.2 9.07 4.2 8.48 4.2 颗粒形状对颗粒破坏模式有重要影响[24]，不同形状颗粒在压缩过程中的破坏情况也有差异，如图 13所示。与球状颗粒不同，椭球状及扁平状颗粒在破坏过程中，裂缝集中于颗粒的中短轴线所在平面，这是由于颗粒长轴方向远端部分距离加载作用点更远，受到的影响较小，故破碎更集中。
4. 结论
本文采用NSCD法，结合CZM，模拟了堆石料单颗粒的一维压缩破碎行为。其中可破碎颗粒采用多面体近似真实堆石料颗粒的不规则棱角状形状，通过Voronoi空间划分离散成若干多面体子颗粒，子颗粒间设置CZM胶结模型，且胶结强度呈正态分布，以反映真实堆石料颗粒内部的不均匀性。采用巴西劈裂试验标定CZM参数。结果表明，NSCD法和CZM能合理描述单颗粒的一维压缩破碎过程，且颗粒破碎强度符合Weibull分布。得到以下3点结论。
（1）对于不同等效粒径的颗粒，颗粒破碎特征强度随尺寸增大而减小，两者呈幂指数关系。特征强度的降低源于较大尺寸颗粒通常具有更多潜在失效面。
（2）颗粒破碎强度的Weibull模量随尺寸的增加而增加，预示着尺寸增大造成颗粒宏观特性更加均匀，强度变异性因之减小。
（3）颗粒形状与受力方向对颗粒破碎强度有重要影响，长轴方向加载破碎强度最低，且等效直径相同情况下，伸长率、平坦度、纵横比下降均会造成颗粒平均强度的下降。
本文仅分析了单颗粒一维压缩破碎问题，且采用简化的随机胶结强度CZM无法反映真实堆石料颗粒的各向异性微观结构缺陷，Zhu等[25]的研究表明天然颗粒存在内在薄弱面，并对颗粒破碎强度起决定性影响，后续可开展更为深入的研究。颗粒破碎强度和能量的尺寸效应前人已建立了相关理论准则，可与DEM模拟结果对比验证，以得到更为明确的理论成果。另外，也可采用本文方法进一步研究颗粒堆积的一维压缩和三轴剪切试验，探究颗粒破碎对颗粒材料宏细观力学行为，如抗剪强度、剪胀特性、组构演化、临界状态的影响[26]。
致谢: 感谢香港科技大学朱凡博士为本研究内容提出的宝贵意见。 -
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图 1 单边接触Signorini-Coulomb条件
Figure 1. Signorini-Coulomb condition for a unilateral contact
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图 3 巴西劈裂试验荷载-位移曲线（内嵌图为岩柱断裂模式）
Figure 3. Load-displacement curves in Brazilian disk split tests (inset shows fracture pattern of disk)
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图 5 单颗粒一维压缩荷载‒位移曲线（内嵌图为颗粒破碎形态）
Figure 5. Load-displacement curve for single-particle compression tests (inset shows crushed particle)
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图 6 部分生成颗粒的Voronoi离散
Figure 6. Examples of particle discretization using Voronoi tessellation
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图 7 等效直径27.5 mm单颗粒破碎强度Weibull分布
Figure 7. Weibull distribution of crushing strength for particles with equivalent diameter of 27.5 mm
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图 8 不同尺寸颗粒的Voronoi离散
Figure 8. Discretization of particles with different sizes using Voronoi tessellation
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图 9 特征强度与颗粒粒径关系
Figure 9. Relationship between characteristic strength and particle size
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图 11 S2椭球状颗粒的破碎强度Weibull分布
Figure 11. Weibull distribution of crushing strength for ellipsoidal particles (S2)
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图 12 S3扁平状颗粒的破碎强度Weibull分布
Figure 12. Weibull distribution of crushing strength for platy particles (S3)
表 1 不同尺寸颗粒破碎强度的Weibull参数
Table 1 Weibull parameters for particles with different sizes
等效直径D/mm 子颗粒数 特征强度σ0/MPa Weibull模量m 27.5 75 10.50 4.20 31.6 114 10.00 4.77 35.7 165 8.71 6.04 39.7 229 8.04 7.31 43.9 307 7.92 8.49 
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表 2 不同形状颗粒破碎强度的Weibull参数
Table 2 Weibull parameters for particles with different shapes
形状 S1 S2 S3 $ {\sigma _0} $/MPa m $ {\sigma _0} $/MPa m $ {\sigma _0} $/MPa m 长轴 10.5 4.2 8.86 2.35 6.53 3.66 中轴 10.5 4.2 9.18 5.15 8.32 5.26 短轴 10.5 4.2 9.18 5.15 10.6 3.74 平均值 10.5 4.2 9.07 4.2 8.48 4.2
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