0.   引言

重庆市、湖北省境的三峡库区范围内广泛分布有三叠系巴东组一段和三段含膏盐地层,其总厚度达百余米至1000米不等,这些地层中建有或者正在建设有总数达200多座的公路与铁路隧道。而石膏岩层中含大量硫酸盐等侵蚀性物质,这种侵蚀环境将对隧道混凝土衬砌产生很大的破坏作用,长期作用下会导致结构混凝土强度下降、酥松、成层剥落,从而降低隧道结构的整体承载能力^[1],对其正常运营的安全性带来严重隐患；因此,开展硫酸盐侵蚀环境下隧道结构的损伤机制及力学性能演化规律研究对于保证隧道安全性和耐久性具有重要的理论价值和现实意义。

但是,硫酸盐对混凝土的侵蚀过程是离子扩散、化学反应和力学损伤耦合作用下的复杂变化过程,这个过程涉及的因素多,各因素之间又存在高度耦合^[2],这给硫酸盐侵蚀环境中混凝土结构的耐久性研究带来了巨大挑战。研究者对硫酸盐侵蚀问题已经进行了较多的研究工作,目前这些研究工作主要可分为试验研究和理论研究,试验研究主要集中在硫酸根离子传输规律和宏观力学性能退化规律的试验研究上,理论探索上则主要依托扩散–反应方程建立侵蚀理论模型^[3-4]。牛荻涛等^[5]进行了干湿交替环境下的喷射混凝土硫酸盐侵蚀试验,并采用XRD、TG-DSC和SEM对侵蚀后喷射混凝土产物的物相组成及微观形貌进行观察,得出了钢纤维混凝土抗侵蚀能力优于普通混凝土的结论。逯静洲等^[6]用试验方法研究了经历荷载历史的混凝土在硫酸盐侵蚀和干湿交替作用下损伤特征,发现降低水灰比和适量掺入减水剂可以提升高强混凝土抵抗侵蚀的能力。Stawiski等^[7]在实验室里对混凝土试件进行了长达5 a的硫酸盐溶液浸泡腐蚀,并采用超声波法测试了混凝土试件内部强度,测试结果表明结构内部的强度分布具有不均匀性。数学模型是除了试验手段外,研究混凝土硫酸盐侵蚀的又一种有力工具。针对硫酸根离子在混凝土中的扩散–反应问题,Ikumi等^[8-9]提出了一种简化的化学–力学方法来评估暴露在硫酸盐环境中的混凝土结构的损伤演化,模型考虑了硫酸盐消耗、裂缝引起的渗透加速和孔隙填充引起的扩散系数降低,以此分析该过程中混凝土的失效模式。Zuo等^[10-11]根据fick定律和化学反应动力学,建立了硫酸盐离子在水泥浆料中的扩散模型,对硫酸盐侵蚀水泥浆体过程中石膏和钙矾石的形成进行了定量分析,但是模型将扩散系数视为常量,并没有考虑扩散系数的时变性质。Islam等^[12]建立了一个与湿度和与温度有关的硫酸盐扩散系数表达式,并采用有限元法对其进行了求解,可用于非饱和水泥稳定路面的膨胀破坏评估和预测。

目前,衬砌的硫酸盐侵蚀问题研究中,对于如何量化侵蚀作用下微观结构的演变对宏观力学性能的影响和明晰各因素之间的耦合关系方面仍然需要进一步研究,将硫酸盐扩散–反应问题与隧道衬砌宏观力学相结合的系统性研究更是鲜见,如何搭建硫酸根离子的扩散–反应过程与隧道衬砌宏观力学性能演化规律之间的“桥梁”是一个亟待解决的问题。为此,本文通过数学方法,首先在传统扩散–反应模型研究基础上,充分考虑其不足之处,建立了改进后的硫酸根离子扩散–反应控制偏微分方程组,计算了混凝土的无量纲损伤参数,然后根据混凝土强度退化规律和钢筋黏结性能退化规律,提出了硫酸盐侵蚀作用下的钢筋混凝土衬砌承载力演化模型,旨在更精准的模拟混凝土受硫酸盐侵蚀的微—宏观损伤全过程,进而为硫酸盐地层中地下混凝土结构耐久性评估提供参考。

1.   改进的扩散-反应方程组

现有的硫酸根离子扩散–反应理论主要有以下方面的不足：

（1）几乎所有相关研究中,扩散–反应方程的边界条件（混凝土表面硫酸根离子浓度）均为定常值。而事实上试验结果和直观经验都表明,硫酸盐溶液中混凝土表面硫酸根离子浓度并不是恒定值,而是一个关于时间的函数,其值随浸泡时间增加而逐步升高,并最终达到稳定,故现有扩散–反应理论的边界条件与实际情况不符。

（2）现有的硫酸根离子扩散–反应理论中,为避免求解强耦合的非线性偏微分方程组,扩散系数几乎都取恒定值,这种处理方式不能准确模拟非稳态扩散—反应过程,也不能体现各个侵蚀环节的“耦合”关系。

为了解决以上两个问题,本文提出了扩散系数的时–空模型和混凝土边界硫酸根离子浓度时变模型,对现有的扩散–反应模型进行了改进,使其更加符合工程实际。

1.1   硫酸盐侵蚀机理

在混凝土成型过程中,水泥中的矿物发生水化反应,生成氢氧化钙、C-S-H凝胶和水合铝酸钙。当混凝土遭受硫酸盐侵蚀时,硫酸根离子通过混凝土孔隙系统输送到混凝土内部,与氢氧化钙反应生成二次石膏。而二次石膏与铝酸钙反应生成钙矾石（膨胀腐蚀产物,${\text{C}}_6\text{A}{\overline{\text{S}}}_3{\text{H}}_{32}$）,导致混凝土膨胀开裂^[13]。含铝相化合物与二次石膏反应生成钙矾石的化学方程式可统一写为^[14]

式中,CA为水泥石中含铝相化合物（${\text{C}}_4\text{A}\overline{\text{S}}{\text{H}}_{12}$,C₃AH₆,C₄AH₁₃和C₃A等）的集合,q为化学方程式统一后$\text{C}\overline{\text{S}}{\text{H}}_2$项的加权平均系数。

1.2   非稳态扩散-反应方程组

硫酸盐对混凝土的侵蚀过程可以归纳为：侵蚀离子与混凝土中的组分发生化学反应,导致混凝土内部膨胀开裂,而微裂纹又反过来影响侵蚀离子在混凝土中的传输速率。有荷载作用时,荷载会产生拉应变或者压应变,将加剧或者抑制混凝土内部微裂纹的生成和扩展,同时还会改变混凝土的孔隙率,从而也将显著改变混凝土中侵蚀离子的扩散系数。这个过程中涉及的各因素之间存在高度耦合（图1）。下面将采用数学–力学方法,建立反映这个耦合过程的扩散–反应的控制方程组。

图  1  硫酸根离子侵蚀混凝土的耦合效应

Figure  1.  Coupling effects of sulfate attack on concrete

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衬砌混凝土的硫酸盐侵蚀问题可以视为一维侵蚀问题,其一维扩散–反应方程可表示为^[10]

式中,$U_{{\text{SO}}_4^{2-}}$为混凝土中硫酸根离子的浓度,$U_{\text{D}}$为因化学反应消耗的硫酸根离子的浓度,$D\text{(}x,t\text{)}$为扩散系数函数,$U_0$为硫酸根离子的初始浓度（初始条件）,$l$为截面宽度,$x$为截面位置,$t$为腐蚀时间,$U_{\text{s}}(t)$为混凝土表面硫酸根离子浓度（边界条件）。

（1）表面离子浓度时变模型

式（2）所示方程的边界条件（表面硫酸根离子浓度）是一个随时间变化的变量。目前,混凝土表面硫酸离子浓度时变模型的研究还很少,但是相关的主要结论可以从氯离子的扩散试验结果中获得。赵羽习等^[15]提出了表面氯离子浓度时变规律的指数模型,该模型物理意义明确,并且与经验相符,不妨将其应用于硫酸根离子扩散规律的研究,提出硫酸根离子表面浓度的指数模型：

式中,$U_0$为混凝土中硫酸根离子的初始浓度,$U_{\max }$为混凝土表面硫酸根离子浓度稳定后的浓度增量,$g$为无量纲拟合参数。$U_{\max }$和$g$与溶液浓度、温度、干湿条件等环境因素相关。根据试验结果,$U_{\max }$近似于水灰比的线性函数,可以得到：

式中,$b_1$和$b_2$是拟合参数,$w/c$为水灰比。

将式（4）代入式（3）可得

（2）反应物的消耗量

在扩散过程中,硫酸根离子将与氢氧化钙发生反应,生成二次石膏,这个反应过程中硫酸根离子消耗量可以表示为

式中,$k_1$为硫酸根离子与氢氧化钙反应生成二次石膏的反应速率,$U_{{\text{Ca}}^{2+}}$为孔隙溶液中钙离子的浓度^[10]。

二次石膏将与混凝土中$\text{CA}$发生反应,生成钙矾石,其化学反应速率方程为：

式中,$U_{\text{CA}}$为混凝土中$\text{CA}$的浓度,$U_{\text{CA0}}$为混凝土中$\text{CA}$的初始浓度,$k_2$为式（1）的反应速率。反应过程中$\text{CA}$的消耗量为：

（3）膨胀应变

反应生成的钙矾石将首先填充混凝土的毛细孔隙,当钙矾石对混凝土中毛细孔隙的填充至最大量后,继续生长的钙矾石将挤压混凝土毛细孔壁,并在孔隙周围产生环向膨胀应变,下面将根据反应物消耗量计算膨胀应变。

各含铝相化合物在充分反应后导致单位体积混凝土的体积变化为^[13]：

式中 ${\left(\frac{\Delta V}{V}\right)}_i$为水泥石中各含铝相化合物生成钙矾石的体积变化率；$m_{Vi}$为摩尔体积；其中$i=1,2,3,4$,分别与${\text{C}}_4\text{A}\overline{\text{S}}{\text{H}}_{12}$,${\text{C}}_{\text{3}}{\text{AH}}_{\text{6}}$,${\text{C}}_{\text{4}}{\text{AH}}_{\text{13}}$和${\text{C}}_{\text{3}}\text{A}$对应。$\frac{C_i}{{\displaystyle \sum C_i}}$为各含铝相初始含量与总量之比值；钙矾石生长引起的混凝土单位体积变化量为

式中,$U_{\text{RCA}}$为混凝土受硫酸盐侵蚀过程中已经参与反应$\text{CA}$的摩尔浓度,按式（8）计算。根据各项反应物的密度和摩尔体积,可以计算出由${\text{C}}_4\text{A}\overline{\text{S}}{\text{H}}_{12}$,${\text{C}}_{\text{3}}{\text{AH}}_{\text{6}}$,${\text{C}}_{\text{4}}{\text{AH}}_{\text{13}}$,${\text{C}}_{\text{3}}\text{A}$生成钙矾石的体积变化率^[14]。

考虑混凝土孔隙填充所消耗的钙矾石后,混凝土平均体积膨胀体应为

式中,$f$为混凝土毛细管孔隙的有效填充系数^[10],${\Phi }_0$为初始孔隙率,可以按照Hansen模型计算：

式中,$f_{\text{vc}}$为混凝土中水泥的体积分数；$w/c$为混凝土的水灰比；$\alpha$为水化程度,按$\alpha \text{=}1-\exp \left[-3.15(w/c)\right]$计算。

1.3   扩散系数时-空模型

1.2节中的扩散系数$D(x,t)$是一个关于时间$t$和位置$x$的二元函数,表征了混凝土侵蚀面以下各个深度位置和时刻下离子传输能力的差异。对于影响扩散系数的因素,可以概括为：在混凝土腐蚀开裂前,孔隙率的对扩散系数起控制作用；腐蚀膨胀开裂后,裂缝对扩散系数起控制作用。而荷载将影响混凝土的孔隙率,同时也将加剧或者抑制混凝土内部裂纹的生成和扩展,从而也将显著影响扩散系数。下面将导出$D(x,t)$的全过程表达式。

（1）荷载导致的孔隙率变化及对扩散系数的影响

荷载作用下的混凝土孔隙率为^[16]

式中${\Phi }_0$为初始孔隙率；${\epsilon }_{\text{ve}}$是由外荷载产生的体应变；$K_{\text{m}}$为混凝土的体积模量,取$K_{\text{m}}=\frac{E}{3\times (1-2\mu )}$,$\mu$为混凝土的泊松比；$G_{\text{m}}$为混凝土的剪切模量；$\Theta =\sqrt[3]{1-{\epsilon }_{\text{ve}}}$。

根据弹性力学,将线应变转换为体应变：

式中,${\epsilon }_{\text{le}}$为荷载产生的线应变,可以根据材料力学公式进行计算。

将式（12）,（14）代入式（13）,就可以得到混凝土在应力条件下的孔隙率。

在硫酸盐侵蚀混凝土的过程中,钙矾石在混凝土毛细孔内生长,导致混凝土毛细孔隙逐渐被填充,引起混凝土孔隙率降低。考虑钙矾石填充后的混凝土毛细孔隙率变化量可表示为

此时,混凝土孔隙率表示为

孔隙被填充到最大值的时候孔隙率为

在混凝土发生腐蚀膨胀开裂之前,扩散系数是关于孔隙率的函数。可以用下式来计算^[13]：

式中,$D^{\mu }$为侵蚀离子在自由溶液中的扩散系数,取$1.07\times {10}^{-9}{\text{ m}}^2/\text{s}$；$H$为Heaviside函数,$H(x)=\{\begin{array}{c}1x>0\\ 0x\le 0\end{array}$。

（2）裂缝对扩散系数的影响

腐蚀膨胀继续进行,在轴向荷载和钙矾石生长的共同作用下,混凝土内部将发生开裂,裂纹将加速硫酸根离子在混凝土中的扩散传输进程。由叠加原理可以得到轴向荷载和腐蚀膨胀共同作用下的等效体应变：

将式（11）和（14）代入式（19）可以得到轴向荷载和腐蚀膨胀共同作用下的混凝土内部等效线应变：

引入用裂缝密度函数$d_{\text{cr}}$,用于定量表征混凝土微裂纹演化特征^[14]：

式中,$d_{\text{cr}}$为裂缝密度；$\chi$,$\kappa$为与混凝土强度等级相关的材料参数；${\epsilon }_{\text{th}}$为临界应变（微裂纹开始出现）。

混凝土受拉本构模型及损伤演变曲线见图2所示。图2中$\sigma$为混凝土腐蚀膨胀应力；$f_{\text{t}}$为混凝土抗拉强度；$d_{\text{cr-}0}$为${\epsilon }_{\text{th}}$对应的裂缝密度,取$d_{\text{cr}-0}=0$；$d_{\text{cr}-\mathrm{p}}$为${\epsilon }_{\text{p}}$（峰值应变）对应的裂缝密度,取$d_{\text{cr}-\text{p}}=0.182$；$d_{\text{cr}-\text{u}}$为${\epsilon }_{\text{u}}$（极限拉应变）对应的裂缝密度,取$d_{\text{cr}-\text{u}}=$$0.712$^[14]。

图  2  混凝土受拉应力–应变本构模型及损伤演变曲线

Figure  2.  Tensile stress-strain constitutive model and damage evolution curves of concrete

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当应变小于${\epsilon }_{\text{p}}$时,扩散系数按下式计算：

当${\epsilon }_{\text{p}}<\epsilon \le {\epsilon }_{\text{u}}$的时候,扩散系数按下式计算：

当膨胀应变超过${\epsilon }_{\text{u}}$后,混凝土中的硫酸根离子扩散系数可等同于自由溶液中的扩散系数。

（3）扩散系数全过程表达式

综上,侵蚀全过程中,扩散系数表达式可归纳为

根据式（24）,可以计算荷载和腐蚀耦合作用下的硫酸根离子扩散系数。

2.   衬砌宏观力学性能演化模型

隧道等地下结构遭受硫酸盐侵蚀以后,混凝土强度将发生劣化,构件截面的有效承载面积将减少；此外,混凝土疏松将导致钢筋与混凝土之间的黏结力降低,从而导致承载力下降。下面在改进后的扩散–反应理论的基础上研究受硫酸盐侵蚀后的钢筋混凝土衬砌承载力退化模型。

2.1   混凝土强度演化模型

试验研究显示,对受硫酸盐侵蚀的混凝土构件,其初期强度有所增加,而后期强度急剧降低^[17],分析其机理,是因为腐蚀初期腐蚀产物填充孔隙,使混凝土更密实,抗压强度因密实度的提高而增加。随着腐蚀程度的增加,膨胀应变超过抗拉强度,混凝土内部产生了微观裂纹和宏观裂纹,损伤导致强度急剧降低。因此,硫酸盐腐蚀作用下混凝土强度演化过程可以分为强度上升段和强度下降段。

（1）强度上升段

在混凝土内部产生微裂纹之前,其强度与孔隙率相关,凝土抗压强度与孔隙率关系式为^[18]

式中,H,P为拟合参数。那么在受侵蚀后的混凝土强度和初始强度有如下关系：

其中,$f_{\text{c}}^{\text{sul}}$为受硫酸盐侵蚀后的强度,$f_{\text{c}}^{\text{0}}$为混凝土初始强度,化简可得：

在混凝土被钙矾石填充到最大量的时候,此时混凝土的孔隙率为${\Phi }_{\text{f}}$,对应的混凝土强度为$f_{\text{c}}^{\text{max}}=f_{\text{c}}^0\cdot {\text{e}}^{-{\rm H}\text{(}{\Phi }_{\text{f}}-{\Phi }_0\text{)}}$。

（2）强度下降段

混凝土填充孔隙至最大量以后,钙矾石继续生长将挤压混凝土毛细孔壁,导致混凝土内部膨胀开裂,致使混凝土强度下降。引入标量损伤参数$\omega$来表征混凝土的劣化过程^[14]：

式中,${\omega }_0$为与峰值应力对应的损伤参数,$\sigma$为应力,按混凝土受拉本构关系计算,$f_t$为${\epsilon }_{\text{p}}$对应的峰值应力。

对于一维腐蚀,$\omega$为一个关于腐蚀时间$t$和深度$x$的二元函数,那么截面上的等效损伤参数（平均损伤程度）可以表示为

可以看出,截面的等效损伤参数$\overline{\omega }$是一个关于腐蚀时间$t$的函数。

截面的等效高度为

而混凝土内部产生微观裂缝后混凝土的强度劣化规律为

式中,$f_{\text{c}}^{\text{sul}}$为受硫酸盐侵蚀后的混凝土强度,$f_{\text{c}}^{\text{0}}$为未受腐蚀混凝土强度。综上分析,侵蚀全过程中混凝土强度的演化可以归纳为

2.2   钢筋混凝土衬砌承载力预测模型

（1）钢筋混凝土衬砌承载力退化分析

隧道衬砌同时承受弯矩和轴力,可以视为偏心受压构件,当衬砌遭受硫酸盐侵蚀发生劣化后,衬砌正截面有效承载面积将随着腐蚀程度的增加而减小,钢筋和混凝土之间的黏结力也将降低,此时钢筋约束裂缝开展的荷载将降低,中和轴将向受压侧偏移,受压区高度减小,衬砌截面受力图示见图3。

图  3  受腐蚀钢筋混凝土衬砌截面

Figure  3.  Cross section of reinforced concrete linings under sulfate attack

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（2）受压区高度

受硫酸盐侵蚀的偏压构件受压区高度通过下式求解：

式中$R_{\text{g}}^{\text{sul}}$,$R_{\text{w}}^{\text{sul}}$为受腐蚀构件中钢筋的抗拉强度标准值和混凝土抗压强度；$A_{\text{g}}$,${A^{\prime }}_{\text{g}}$为受拉和受压钢筋的截面面积；$e$,$e^{\prime }$为轴力到受拉和受压钢筋重心的距离；$h_0^{}$为截面有效高度,按照腐蚀后的等效截面高度计算,

其中,$a$为受拉钢筋保护层厚度。当构件受到侵蚀以后,混凝土疏松将导致钢筋和混凝土之间的黏结应力退化,此时钢筋的抗拉、压强度可以等效修正为

其中,$k_{\text{b}}$为钢筋黏结性能退化系数,取$k_{\text{b}}=$$1.0534{\text{e}}^{-0.4625d_{\text{f}}/c}$,$d_{\text{f}}$为侵蚀深度,$c$为钢筋保护层厚度^[19]。

将式（34）和（35）代入式（33）,可以求解得到侵蚀作用下截面的受压区高度：

式中,$A=\frac{R_{\text{w}}b(1-\overline{\omega })}{2}$,$B=R_{\text{w}}b(1-\overline{\omega })\left[e-(1-\overline{\omega })h\text{+}a\right]$,$C=-k_{\text{b}}{R}_{\text{g}}(A_{\text{g}}e\mp {A^{\prime }}_{\text{g}}{e}^{\prime })$。

（3）承载力计算

按照钢筋混凝土衬砌承载力计算方法^[20],对于大偏心受压构件$(x\le 0.55h_0)$,考虑受压钢筋的作用,经历腐蚀后截面强度按照下式计算：

式中,$a^{\prime }$为受压钢筋保护层厚度,当不考虑受压钢筋的截面强度大于按照式（37）计算的截面强度时,则强度计算时不考虑受压钢筋的作用。

对于小偏心受压构件$(x>0.55h_0^{})$,截面强度则按照下式计算：

3.   计算结果分析和试验验证

联立方程（2）,（6）,（7）,可以得到硫酸盐侵蚀问题的扩散–反应控制方程组,其中式（2）中的扩散系数$D(x,t)$用1.3节中的方法计算。这是一个强耦合的非线性偏微分方程组,且边界条件是关于自变量$t$的函数,该方程组无法获得解析解。本文采用Comsol Multiphysics软件求解该方程组。Comsol Multiphysics是一款基于有限元方法求解偏微分方程的数值仿真软件,相比其他仿真软件,其既能解决多物理场耦合问题背后复杂的偏微分方程组,又不必花费大量的时间用于编程和求解。具体过程如下。

（1）选取Comsol Multiphysics内置的系数型偏微分方程作为控制方程,其一般形式见式（39）。待求解的偏微分方程组含3个方程,故程序中需要设置3个系数型偏微分方程,这3个方程的因变量分别为$U_{{\text{SO}}_4^{2-}}$,$U_{\text{D}}$和$U_{\text{CA}}$。

式中,$\Delta =\left(\frac{\partial }{\partial x}\cdot \frac{\partial }{\partial y}\right)$,$e_{\text{a}}$为质量系数,$d_{\text{a}}$为阻尼系数,$c$为扩散系数,$\alpha$为守恒通量对流系数,$\gamma$为守恒通量源,$\beta$为对流系数,$a$为吸收系数,$f$为源项。

（2）在每个系数型方程中设置相应的系数,具体如下：

方程（2）：$d_a=1$,$\alpha =k_1{U}_{{\text{Ca}}^{2+}}$,$c=D(x,t)$,其余项为0,其中$D(x,t)$按1.3节方法迭代计算；

方程（6）：$d_{\text{a}}=1$,$f=k_1{U}_{{\text{SO}}_4^{2-}}{U}_{{\text{Ca}}^{2+}}$,其余项为0；

方程（7）：$d_{\text{a}}=1$,$f=-\frac{k_2{U}_{{\text{DSO}}_4^{2-}}{U}_{\text{CA}}}{q}$,其余项为0。

（3）建立几何模型。创建宽度为$L$(衬砌厚度),长度为单位长度的长方形区域作为硫酸根离子的扩散域,自由剖分网格,边界条件为狄氏边界条件。

（4）设定初始条件和边界条件。初始条件为离子的初始浓度$U_0$,边界条件为混凝土表面离子浓度,按照式（3）所示的指数模型输入。

（5）计算求解。

3.1   计算参数

取厚度为0.1 m的钢筋混凝土衬砌为研究对象,其迎土面侧受硫酸盐侵蚀,其余各面为封闭边界,进行一维侵蚀模拟,各参数的取值如表1所述。

表  1  主要计算参数

Table  1.  Main parameters used in the model

计算参数	单位	数值	数据来源
$U_0$	${\text{mol/m}}^{\text{3}}$	0	—
$U_{\max }$	${\text{mol/m}}^{\text{3}}$	75	—
$L$	$\text{m}$	0.1	—
$U_{\text{CA0}}$	${\text{mol/m}}^{\text{3}}$	450	文献[10]
$U_{{\text{Ca}}^{2+}}$	${\text{mol/m}}^{\text{3}}$	21.5	文献[10]
$q$	—	2.46	文献[14]
$\chi$	—	1.77	文献[14]
$\kappa$	—	5.61	文献[14]
$k_1$	${\text{s}}^{-1}$	1.22×10−8	文献[10]
$k_2$	${\text{s}}^{-1}$	1.22×10−9	文献[10]
$R_{\text{w}}$	MPa	335	HRB335
$A_{\text{g}}$,${A^{\prime }}_{\text{g}}$	mm2	157	—
$a$,$a^{\prime }$	mm	20	—
$R_{\text{w}}$	MPa	19	C25

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3.2   离子传输分析

求解方程组以后,对数据进行整理,可以得到硫酸根离子浓度的分布规律,见图4所示。从图4可以看出,表面硫酸根离子浓度（x=0）随时间增加而增加。在最初180 d里,混凝土表面离子浓度快速增加,后期逐渐缓慢,400 d后浓度趋于稳定。混凝土内部各点硫酸根离子浓度与扩散时间呈正相关的关系,而与深度呈负相关的关系。此外,随着侵蚀时间的增加,混凝土表层一定深度范围内的硫酸根离子浓度不再随深度增加而降低,而是和表面离子浓度一致,达到了稳定值。这是因为随着侵蚀时间的增加,受侵层的开裂前缘不断向前移动,产生了“边界移动”现象。可以认为这一区域内混凝土已经完全腐蚀并退出工作。

图  4  离子浓度随时间和位置的变化图

Figure  4.  Change of sulfate ion concentration with time and position

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在模型中考虑不同的荷载水平和水灰比,以分析不同参数对硫酸根离子传输行为的影响。图5显示了不同荷载水平下硫酸根离子的传输规律（720 d）,其中$L$为应力水平,$L=\sigma /f_{\text{u}}$,$f_{\text{u}}$为极限强度。从图5可以看出,荷载作用下,硫酸根离子的整体分布规律与无应力状态下的分布规律具有一致性,但不同荷载水平下浓度曲线体现出了一定的区别,应力水平越高（受压为正,受拉为负）,离子浓度越低,但是总体上荷载对离子传输影响不大。

图  5  荷载水平对离子浓度的影响

Figure  5.  Influences of load on ion concentration

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图6显示了不同水灰比的混凝土中硫酸根离子的传输规律（720 d）,从图中可知,离子浓度与水灰比呈负相关的关系。在$w/c=0.56$和$w/c=0.28$工况下,试件表面的离子浓度分别为70,$56{\text{ mol/m}}^{\text{3}}$,相差20%,说明水灰比对离子传输行为的影响非常显著。

图  6  水灰比对离子浓度的影响

Figure  6.  Influences of water–cement ratio on ion concentration

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3.3   衬砌承载力退化分析

根据2.2节提出的钢筋混凝土承载力退化模型,取偏心距为50 mm,可以得到承载力退化规律,见图7所示。定义构件承载力劣化系数为腐蚀构件与未腐蚀构件承载力之比,从图8中可以看出,衬砌的承载力也经历了先小幅度增加,再呈阶梯状显著下降的过程。在320 d左右,承载力有急剧的下降,这是因为腐蚀导致有效截面高度降低,受压区高度减小,其破坏模式由小偏心破坏转化为大偏心破坏,故计算得到的承载力存在突变,在第720 d,承载力仅有初始承载力的50%。

图  7  衬砌承载力演化曲线

Figure  7.  Evolution curve of bearing capacity of linings

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图  8  应力-腐蚀耦合加载试验

Figure  8.  Experiment equipment for stress-corrosion coupling

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3.4   试验验证

为了验证提出的模型的正确性,课题组设计了钢筋混凝土偏压构件在荷载–腐蚀–干湿交替耦合作用下承载力试验。试件混凝土标号为C25,的长细比$l_0/b=3.5$。截面尺寸为100 mm×100 mm。采用对称配筋,纵筋4φ10,箍筋φ6@50,保护层厚度20 mm。浸泡前用环氧树脂将构件侧面封闭,模拟一维腐蚀。腐蚀溶液采用5%硫酸钠溶液,干湿循环制度为浸泡7 d然后自然干燥8 d。为了模拟应力–干湿循环–腐蚀耦合试验环境,项目组设计了四拉杆腐蚀–加载试验装置,拉杆和承载钢板均采用不锈钢。加载装置采用定制的弹簧,并用定制加长螺帽锚固。通过旋转螺帽并压缩弹簧对试件施加荷载。试验装置和试件照片见图8。持载期间,荷载偏心距e=70 mm。预先测试出指定偏心距下未腐蚀构件的极限承载力,定义荷载水平$\eta$为装置施加的荷载与极限承载力的比值,取$\eta$=0.5。

试验结果及与预测值的对比分析结果见图9所示,由图9可知,承载力劣化试验结果与本文提出的模型计算结果吻合较好,说明采用本文的模型进行硫酸盐腐蚀环境下钢筋混凝土衬砌的承载力预测是合理可行的。

图  9  承载力劣化系数试验验证

Figure  9.  Experimental verification of degradation coefficient of bearing capacity

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4.   结论

为了探索硫酸盐侵蚀环境下钢筋混凝土衬砌力学性能的退化规律,本文首先建立改进非稳态扩散–反应方程组,然后根据混凝土强度退化规律和钢筋黏结性能退化规律,提出了硫酸盐侵蚀作用下的钢筋混凝土衬砌承载力演化模型,分析了承载力退化规律并进行了试验验证,得到4点结论。

（1）本文方法可以分析硫酸盐侵蚀作用下的隧道钢筋混凝土衬砌承载力演化规律,为硫酸盐地层中的隧道耐久性评估提供参考。

（2）在混凝土腐蚀开裂前,孔隙率对扩散系数的变化起控制作用；腐蚀膨胀开裂后,裂缝对扩散系数的变化起控制作用。

（3）硫酸根离子扩散能力与荷载水平呈负相关的关系,但是整体上荷载水平对离子传输影响不大。水灰比对离子传输性能的影响非常显著,水灰比越高,侵蚀离子扩散能力越强。

（4）钢筋混凝土衬砌在硫酸盐侵蚀过程中,其承载力呈先小幅上升,再显著下降,侵蚀环境下衬砌结构更容易发生大偏心破坏。