0.   引言

粗粒土是指粒径在0.075~60 mm的土颗粒含量高于土样总质量50%的土^[1]。由于其具有压实性能好、渗透系数大、抗剪强度高等特点，被广泛用于建造堤坝、路堤等土工构筑物，以及各种透水结构和设施。渗透性是土的基本性质之一，其大小对于土工构筑物的稳定性和功能发挥有着至关重要的影响。土的渗透性一般用渗透系数予以表征，如何确定粗粒土的渗透系数一直是学术及工程界关注的热点^[2-5]，亦是难点。

土的渗透系数通常可以通过试验确定^[3-7]。但是粗粒土的渗透试验存在试样尺寸大、制样困难、试验周期较长等问题。因此业界一直在致力于建立渗透系数的计算公式。既有研究表明，影响粗粒土渗透系数的因素包括颗粒级配^[6-7]、颗粒形状^{[4, 6]}、孔隙特征^[8]、矿物成分^{[2, 5]}、温度^[3]、流体性质^[9]等。其中，对于同种粗粒土（成因及矿物成分相同的土体，一般可以被视为同种土），考虑其往往具有接近的颗粒形状，那么可以说颗粒级配及孔隙特征是影响其渗透系数的两个最重要因素^[8-9]，几乎能决定渗透系数。因此，原则上任一种粗粒土的渗透系数应可由颗粒级配和孔隙特征参量计算确定。基于颗粒级配和孔隙特征参量，国内外学者建立了多个粗粒土渗透系数计算公式，如：Terzaghi公式^[10]、Shahabi公式^[11]、Hazen改进公式^[12]、Chapuis公式^[12]、水利水电科学研究院公式^[13]、朱崇辉公式^[5]、杨志浩公式^[4]等。

虽然既有研究提出了不少粗粒土的渗透系数计算公式，其中有些同时考虑了级配及孔隙因素影响，但是这些计算公式普遍存在适用性较差的问题。这是因为这些公式在考虑颗粒级配对计算渗透系数的影响时，都不能充分利用土体颗粒级配信息，采用的d₁₀（小于某粒径的土粒质量占土总质量10%的粒径）或d₂₀，d₃₀，d₅₀，C_u（不均匀系数）、C_c（曲率系数）等级配参数虽然都能描述级配曲线的某些特征，但是都不能对应唯一级配曲线。仅基于尚不能解决级配参数与颗粒级配唯一对应问题的参数建立的渗透系数计算公式，适用性自然很难理想。

因此，要对粗粒土渗透系数进行准确计算，首先要建立科学的粗粒土颗粒级配描述模型。该模型应能对连续、间断级配粗粒土的整体级配进行准确唯一的定量表达，并且也能描述不同线形的土体级配曲线（如S形、直线形、凹形、凸形等）。为了定量描述颗粒级配，Talbot等^[14]采用幂函数形式方程描述混凝土粗细骨料级配，但在半对数坐标情况下，该方程只能描述凹形或接近直线形曲线；Swamee等^[15]提出了三参数级配方程用于描述沉积物级配，但该方程只能描述S形曲线，对凹形或直线形级配曲线描述效果较差，并且该方程无法满足小于颗粒最大粒径时的对应质量含量始终为100%，甚至在最大粒径位置拟合得到的颗粒含量出现较大差异^[16]。针对以上级配方程的不足，朱俊高等^[16]构造了可用于描述不同线形级配曲线的级配方程。但该级配方程仅对连续级配有较好适用性，无法描述间断级配，而间断级配粗粒土在岩土工程中普遍存在^{[13, 17-18]}。

由此可见，虽然各种级配描述模型相继被提出，推动了级配定量描述研究，但对于既可以描述不同线形级配曲线，又能准确唯一定量描述粗粒土连续、间断级配的颗粒级配通用模型研究成果很少有报道。

因此，本文收集了粗粒土成套颗粒级配、孔隙率、渗透系数试验数据，基于分形理论导得的双分形级配模型被用来描述粗粒土的颗粒级配。在此基础上，利用其中的级配数据验证双分形级配模型对连续和间断级配的适用性，并得到模型参数；然后基于级配模型参数和Kozeny-Carman公式，构造出包含级配参量和孔隙率的粗粒土渗透系数计算公式，并利用前述粗粒土的级配模型参数、孔隙率和渗透系数实测数据对公式进行验证。

1.   粗粒土双分形级配模型

1.1   “质量-粒径”双分形级配模型

“分形”一词首先由Mandelbrot提出^[19]。随着分形理论的发展，分形几何逐渐成为人们认识自然、研究事物、解决问题的有力工具^[19-21]，并广泛应用在岩土工程中^[20-23]。其中，Tyler等^[20]提出采用“质量-粒径”形式的一维分形表达式描述土体颗粒级配：

式中：R为任一已知粒径；${R_{\text{T}}}$为整个土体最大颗粒粒径；D为分形维数；r为粒径小于R的任一颗粒粒径；M(r < R)为粒径小于R的颗粒质量；${M_{\text{T}}}$为土体总质量。

由于岩土材料颗粒级配可能呈现二重甚至多重分形特征^[24-25]。考虑在多重分形模型中，一个由不同颗粒组分组成的土体颗粒级配可以被认为由多个组分分形模型所表示的颗粒级配累加形成，此时的M(r < R)可以表述为^[26]

式中：m为分形模型维数；${M_{{\text{T}}i}}$为组成土体的第i个级配组分的质量；M_i(r < R)为第i个级配组分中粒径小于R的土粒质量。基于式（1），可以导得多重分形情况下M_i(r < R)^{[20, 26]}：

式中，${R_{{\text{T}}i}}$为组成土体的第i个级配组分中的最大颗粒粒径，且为了统一表达，规定${R_{{\text{T1}}}}$为各组分粒径中的最大值，即${R_{{\text{T1}}}}$=${R_{\text{T}}}$，D_i为对应级配组分的分形维数。当R > ${R_{{\text{T}}i}}$时，式（3）等号右侧项取为${M_{{\text{T}}i}}$。

根据式（2），（3），并令m=2，可得到二维分形（双分形）级配模型^[26]：

式中，${R_{{\text{T1}}}}$=${R_{\text{T}}}$。当R > ${R_{{\text{T2}}}}$时，式（4）等号右侧第二项取${M_{{\text{T2}}}}$。

式（4）各参数范围分别为0 < ${R_{{\text{T2}}}}$≤${R_{\text{T}}}$，0≤ ${M_{{\text{T}}i}}$≤${M_{\text{T}}}$，0 < D_i < 3，i为1或2。对于一个级配确定的土体，其颗粒最大粒径${R_{\text{T}}}$、总质量${M_{\text{T}}}$是已知的。所以对于双分形级配模型，共有${R_{{\text{T2}}}}$，${M_{{\text{T1}}}}$(${M_{\text{T}}}$-${M_{{\text{T2}}}}$)，D₁，D₂四个待定参数，待定参数可结合级配实测数据回归分析得到。具体为：采用式（4）计算得出不同粒径R_j的对应M(r < R_j)，以M(r < R_j)与${M_{\text{T}}}$之比与实际级配曲线（颗粒分析试验实测）上的同一粒径相应质量百分含量P(r < R_j)的差值平方和F作为目标函数，如式（5）所示。当F达到最小时，即可得到所求参数^{[16, 26]}。

式中，t为颗粒分析试验所测试的粒径数目，对应土体粗粒组筛分则为试验筛数目，R_j为第j个测试粒径。

在此需要说明的是，与一般通过拟合已有试验数据构造的颗粒级配模型不同，双分形模型式（4）是在将岩土材料视为由两种分形组分颗粒组成的材料的基础上提出的，基于分形理论导得，并不是拟合公式。研究表明^[26]：双分形级配模型式（4）不仅对不同来源、不同用途的岩土材料颗粒级配均能进行准确唯一的定量表达，其对不同线形（凹形、凸形、S形、直线形）的岩土材料颗粒级配曲线也能进行很好的描述。可以说该模型能包含颗粒级配数据的全部信息。故此，将该模型用于描述粗粒土颗粒级配，或可解决粗粒土渗透系数计算公式的普适性问题。

1.2   双分形级配模型对粗粒土的适用性验证

为论证双分形级配模型能描述粗粒土的级配，采用双分形模型分别对3种粗粒土的颗粒级配数据^{[4-5, 7]}进行分析。其中，文献[4]中花岗岩级配碎石最大粒径为45 mm，取自铁路路基填筑工程的碎石料场，共9组连续型级配；文献[5]中渭河粗粒土试样最大粒径为20 mm，相对质量密度为2.7，密度为1.86 g/cm³，取自渭河陕西杨凌段，共10组连续型级配；文献[7]中砂岩粗粒料试样最大粒径为60 mm，相对质量密度为2.68，取自四川巴蜀江油电厂扩建工程料场，主要矿物成分是石英、长石，饱和抗压强度为102 MPa。共6组间断级配。经分析，3种粗粒土的各组实测级配数据、由双分形模型拟合得到的级配曲线如图 1~3所示。对应的双分形级配模型参数和拟合优度分析结果见表 1（为简化表达，令${M_{\text{T}}}$=100）。

图  1  花岗岩级配碎石试验级配曲线及双分形模型拟合曲线

Figure  1.  Fitting curves of granite-graded macadam by tests and two-dimensional fractal model

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图  2  渭河粗粒土试验级配曲线及双分形模型拟合曲线

Figure  2.  Fitting curves of coarse-grained soil from Weihe River by tests and two-dimensional fractal model

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图  3  砂岩粗粒料试验级配曲线及双分形模型拟合曲线

Figure  3.  Fitting curves of sandstone coarse-grained materials by tests and two-dimensional fractal model

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表  1  粗粒土双分形级配模型参数

Table  1.  Parameters of two-dimensional fractal gradation model for coarse-grained soil

文献来源	级配编号	级配类型	D1	D2	RT1/mm	RT2/mm	MT1	MT2	R2
文献[4]	JP1	连续	2.592	1.912	45	3.0623	64.00	36.00	0.9971
	JP2	连续	2.588	2.528	45	9.1935	55.00	45.00	0.9972
	JP3	连续	2.564	2.580	45	10.3868	49.95	50.05	0.9980
	JP4	连续	2.500	2.000	45	3.9093	69.00	31.00	0.9983
	JP5	连续	2.512	2.472	45	8.1350	67.25	32.75	0.9966
	JP6	连续	2.616	2.204	45	7.1977	83.15	16.85	0.9969
	JP7	连续	2.400	2.024	45	4.9916	75.00	25.00	0.9996
	JP8	连续	2.400	2.224	45	4.4177	75.00	25.00	0.9991
	JP9	连续	2.396	2.416	45	3.9097	74.35	25.65	0.9981
文献[5]	TYU1	连续	1.904	2.328	20	1.4164	77.00	23.00	0.9962
	TYU2	连续	2.292	0.104	20	0.3199	90.00	10.00	0.9979
	TYU3	连续	2.404	1.284	20	0.6747	92.05	7.95	0.9969
	TYU4	连续	2.308	2.380	20	3.6713	71.15	28.85	0.9960
	TYU5	连续	2.300	2.380	20	6.2355	47.10	52.90	0.9964
	TYU6	连续	2.324	2.296	20	5.0453	41.85	58.15	0.9970
	TYU7	连续	2.404	1.924	20	2.6729	39.95	60.05	0.9981
	TYU8	连续	1.840	1.980	20	2.4032	20.00	80.00	0.9984
	TYU9	连续	2.544	0.848	20	1.1443	28.35	71.65	0.9979
	TYU10	连续	2.692	0.400	20	1.0331	17.00	83.00	0.9974
文献[7]	1-3#	间断	2.600	1.584	60	24.5036	58.00	42.00	0.9927
	1-4#	间断	2.376	2.172	60	24.5033	43.50	56.50	0.9959
	1-7#	间断	2.616	1.704	60	18.9698	66.05	33.95	0.9915
	2-1#	间断	2.620	2.004	60	21.5590	65.00	35.00	0.9928
	2-2#	间断	1.500	2.608	60	27.8484	16.05	83.95	0.9824
	2-3#	间断	2.604	1.204	60	0.5987	76.00	24.00	0.9807

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如图 1~3所示，采用双分形级配模型分析不同粗粒土级配数据符合程度很好，级配曲线呈现出3种线形：凹形、S形及近乎直线形。

由表 1可以看到，对于19组连续级配、6组间断级配的拟合优度R²范围为0.9807~0.9996。表明整体上级配拟合效果很好，局部点的些许差异影响不大。基于表 1所得的双分形级配模型参数，可以根据式（4）准确绘制出与之唯一对应的粗粒土颗粒级配曲线，说明双分形级配模型的参数组合可表征粗粒土颗粒级配的全部信息。

上述分析表明，本文的双分形模型对不同来源的、不同最大粒径的粗粒土的连续级配、间断级配均有很好的描述效果，并能反映粗粒土不同线形的级配曲线，可以对粗粒土的全部级配信息进行很好的表达。基于表 1所得的双分形模型参数，可作为代表粗粒土颗粒级配的参量，用于后续建立粗粒土渗透系数计算公式。

2.   粗粒土渗透系数计算公式的建立

由前述分析可知，双分形级配模型可以对粗粒土的连续级配、间断级配进行很好的描述。为建立可以充分考虑级配因素影响的粗粒土渗透系数公式奠定了可靠的基础。

基于粗粒土的双分形级配模型参数，以孔隙率表征土体孔隙特征，本文构建含孔隙率和级配参量的粗粒土渗透系数计算公式如下：

式中：k为渗透系数计算值（10^-2 cm/s），n为孔隙率，D₁，D₂，${M_{\text{T}}}$为双分形模型参数，其值通过1.1节方法获得；M(r < ${d_{\text{c}}}$)为采用式（4）计算的粒径小于${d_{\text{c}}}$的颗粒质量；A₀，A₁，A₂，B₁，B₂，${d_{\text{c}}}$为通过对实测渗透系数进行拟合确定的常数。需要说明的是，对于不同种类的粗粒土，这些常数的数值大小会受到颗粒形状、矿物成分影响。因此，在拟合分析前应先根据土体成因、矿物成分确认粗粒土种类，从而划分统计单元进行分析。此外，本文主要研究颗粒级配、孔隙特征（孔隙率）对粗粒土渗透系数的影响，对于其它因素的作用将在今后的研究中开展，本文不作重点分析。

式（6）共由3项累加形成，以量化孔隙特征及级配因素共同作用对于渗透系数的关键影响。其中，首项表示孔隙特征的作用，后2项表示级配因素的作用。具体建立过程如下：

式（6）中的第1项基于Kozeny-Carman公式^[27-28]导得，代表了孔隙特征对渗透系数的影响。Kozeny-Carman公式为

式中：$\gamma$为水的重度；C为常数；μ为水的动力黏度；S₀为比表面积（cm²/cm³）。

式（7）表明，当其它渗透系数影响因素不变时，k与n³/(1-n)²具有线性关系。文献[11，29]采用孔隙比e的函数的形式e³/(1+e)，而实际上n³/(1-n)²= e³/(1+e)。因此，当颗粒级配不变时，渗透系数与孔隙率的函数形式可为

式中，A₀为与土的颗粒形状（或比表面积）及流体性质等方面相关的常数。

式（8）表达的这一线性关系形式也被Taylor^[30]、Shahabi等^[11]、Carrier^[29]、Dolzyk等^[31]、苏立君等^[32]所采用，只是所采用的A₀取值有所不同。其中，Shahabi等^[11]建立了类似式（8）的砂土渗透系数经验公式，被Dolzyk等^[31]运用到粗粒土渗透系数分析中，并获得了较好的计算效果。苏立君等^[32]通过试验得出了不同粒级砂土渗透系数与n³/(1-n)²具有很好的线性相关性。

在孔隙特征参量确定的情况下，充分表达级配因素是建立准确、具有普遍适用性的粗粒土渗透系数计算公式的关键。从考虑颗粒级配对渗透性影响的重要性及全面性来说，渗透系数计算公式需表达出整体级配的作用；同时，既有研究表明^{[4-5, 13]}，对渗透性有显著影响的、可表征级配特性的具体参数是应当反映在渗透系数计算公式中的。根据这两方面考虑来构建式（6）中第2项、第3项的表达形式及具体内容。

式（6）中的第2项、第3项的表达形式是受傅里叶级数启发得到，用于表达粗粒土颗粒级配变化对其渗透系数的影响：在信号处理中，一个时域波形可由多项角频率的频域函数叠加来表征，体现了不同频率对整体波形的影响。而颗粒级配对渗透系数有重要影响，并且不同的颗粒级配表征参量有着不同影响，这是肯定的。这样，表达不同级配参量与渗透系数的关系似乎可借鉴于以一系列简单正弦波描述整个波形曲线的傅里叶级数。于是，在使用多种函数来处理实测数据都不能获得良好效果的情况下，本文尝试采用三角函数表征颗粒级配对粗粒土渗透系数的影响，意外获得了很好的效果，说明三角函数或许在表征复杂规律时有特别的作用，其中的物理机制值得深入研究。

式（6）第2项表示整体颗粒级配对渗透系数的影响：在分形理论中，分形维是分形集复杂性的定量表征，且这种复杂性所涉及的丰富信息伴随着分形理论的研究及应用逐渐被分形维所表现出来^[19-26]。而对于基于整个岩土材料级配数据计算得到的分形维，是整个岩土材料颗粒级配复杂性的一种度量，则是可以用于表征整体级配特征的。那么对应于双分形级配模型，分形维数D₁，D₂分别表达第一、第二级配组分级配特征，其组合则表征了粗粒土级配的整体特征。并且在研究中曾尝试像（D₁+D₂）、D₁/D₂等多种组合形式，发现其中（D₁-D₂）这一组合对于渗透系数的计算效果是最佳的。因此，式（6）第2项以分形维组合（D₁-D₂）表征粗粒土整体级配对渗透系数的关键影响。这种影响是现有的一些仅依靠个别级配参数建立的渗透系数计算公式难以表达的。但用于描述形成整个土体级配的两个分形演化进程下的2个分形维的差值（D₁-D₂）所蕴含的深层物理含义仍需要待分形理论的进一步发展而被揭示。

式（6）中第3项代表了与渗透性相关的某颗粒粒径d_c及小于该粒径d_c的颗粒含量对粗粒土渗透系数的影响：关于粗粒土的研究表明^[13]，当得知粗粒土的粗细料区分粒径后，可以根据小于该粒径的颗粒含量（细料含量）反映土体中粗、细料的相互填充关系及其对于渗透系数的影响情况。因此，相对于某一特征粒径，细料含量与渗透系数的关系则更加明确。故而考虑在此以某一具体颗粒粒径${d_{\text{c}}}$作为“区分粒径”，并将与之相对应的细料含量M(r < ${d_{\text{c}}}$)/M_T表达在渗透系数计算公式中，以期发挥与粗粒土中区分粒径及细料含量相类似的作用，并量化细料含量对渗透系数的重要影响。

此外，根据式（6）中第2项、第3项三角函数所表征的级配影响特性可知：A₁表示整体级配对渗透系数的最大影响，B₁为粗粒土渗透系数随两组分级配分形维差值变化而重复变化的表征；A₂表示区分粒径及对应细料含量对渗透系数的最大影响；B₂为粗粒土渗透系数随区分粒径及细料含量变化而重复变化的表征。

综上，式（6）基于双分形级配模型参数和Kozeny-Carman公式而建立，既考虑了孔隙率的作用，也能表达颗粒级配对粗粒土渗透系数的影响。其中，级配因素包含了整体级配和粗细料区分粒径${d_{\text{c}}}$及对应细料颗粒含量两方面。

3.   粗粒土渗透系数计算公式的验证

考虑文献[4，5，7]中的各粗粒土渗透试样同时具备颗粒级配、孔隙率及相应渗透系数实测值的全套数据，本节仍采用文献[4，5，7]的实测数据来验证和说明式（6）的合理性。

3.1   连续级配粗粒土渗透系数的计算

基于文献[4]的各连续级配粗粒土试样的级配双分形模型参数（表 1）和孔隙率，用式（6）对各试样的实测渗透系数进行拟合，可得到花岗岩级配碎石渗透系数^[4]的计算公式：

将按式（9）计算所得渗透系数值与对应的花岗岩级配碎石渗透系数实测数据绘于图 4中，可见式（9）的计算效果较好。

图  4  花岗岩级配碎石渗透系数实测值及计算值

Figure  4.  Measured and calculated values of permeability coefficient of granite-graded macadam

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采取同样方法，用式（6）处理渭河粗粒土^[5]各试样渗透系数实测数据，可得

将计算结果和实测数据列于表 2，可见式（10）的计算效果较好。将本文计算结果与文献[5]中的公式计算结果对比，可知本文公式结果与实测值更接近。

表  2  渭河粗粒土试样渗透系数实测值及计算值

Table  2.  Measured and calculated values of permeability coefficient of coarse-grained soil samples from Weihe River

级配 编号	渗透系数k/ (10-2cm·s-1)			$\frac{{M{\text{(}}r < {d_{\text{c}}}{\text{)}}}}{{{M_{\text{T}}}}}/$%	相对误差δ/%
	试验 值	计算 值[5]	式（10）计算值		δ[5]	δ式（10）
TYU1	6.70	9.50	6.64	31.54	41.79	0.90
TYU2	4.50	7.90	4.71	31.74	75.56	4.67
TYU3	2.80	—	2.66	35.79	—	5.00
TYU4	2.40	5.20	2.48	41.54	116.67	3.33
TYU5	2.30	4.10	2.31	42.97	78.26	0.43
TYU6	2.10	3.00	1.86	48.13	42.86	11.43
TYU7	1.90	2.20	1.74	72.13	15.79	8.42
TYU8	1.00	1.50	1.35	81.95	50.00	35.00
TYU9	0.96	—	1.07	83.01	—	11.46
TYU10	0.88	—	0.77	92.16	—	12.50
注：相对误差δ=|k计算值-k实测值|/k实测值×100%。

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文献[13]认为：当组成土体的细料含量小于30%时，细料颗粒不能充分填充粗料孔隙，此时土体渗透系数基本由粗料渗透性决定，细料不起主要作用；当细料含量达到30%时，粗料孔隙被细料填满，细料开始参与构成土体骨架，并且细料含量越高，细料颗粒对土体渗透系数的影响则越大；当细料颗粒含量超过70%时，粗料对渗透系数的影响显著降低，直至不再发挥作用，细料最终起控制作用。

由式（9）可知，本文分析文献[4]中花岗岩级配碎石的级配及渗透系数所得的区分粒径${d_{\text{c}}}$=4.728 mm。在式（4）中，令R=4.728 mm，可得各试样M(r < 4.728)/M_T的范围为43.12%~61.52%，表明在花岗岩级配碎石各试样中细料含量较高，粒径小于4.728 mm的细料颗粒对渗透系数有重要影响。式（9）表达出的这一影响机制与文献[13]中提出的细料对土体渗透系数影响的一般认识相符。并且，文献[4]将d₅₀运用到花岗岩级配碎石渗透系数计算中，而颗粒含量50%完全在43.12%~61.52%这一范围内，进一步反映了式（9）以4.728 mm和小于该粒径的颗粒含量来表达细料对所研究的花岗岩级配碎石渗透系数影响的合理性。此外，在式（10）中，以${d_{\text{c}}}$=2.6897 mm作为渭河粗粒土试样的区分粒径，其对应的M(r < 2.6897)/M_T计算结果见表 2。可以看到渭河粗粒土试样TYU1-TYU10的细料含量逐渐增加，说明细料对于渗透系数的影响在逐渐提高，甚至达到控制作用，这亦符合文献[13]的研究结论。

通过对文献[4，5]的粗粒土颗粒级配及渗透系数实测数据分析可知，式（6）对于连续级配粗粒土渗透系数计算具有较好的适用性。与此同时，式（6）充分考虑了孔隙率及整体级配因素，并且体现了具体的粗细料区分粒径及细料含量对渗透系数的影响，该影响机制符合文献[13]给出的粗细料对渗透系数影响的一般认识。因而证明了式（6）的合理性。

3.2   间断级配粗粒土渗透系数的计算

基于文献[7]的各间断级配粗粒土试样的级配双分形模型参数（表 1）和密度，采用式（6）对各试样的实测渗透系数进行拟合，得到渗透系数计算式：

同时采用式（11）Terzaghi计算式^[10]、Carrier式^[29]、水利水电科学研究院公式^[13]、杨志浩计算式^[4]分别对该粗粒土试样渗透系数进行计算，得到相应计算值，对应表示为k_式（11），k_T，k_C，k_水科院，k_杨志浩。实测值及各公式计算值见表 3。

表  3  砂岩粗粒料的渗透系数实测值与计算值

Table  3.  Measured and calculated values of permeability coefficient of sandstone coarse-grained materials

级配 编号	实测值		$\frac{{M(r < {d_{\text{c}}})}}{{{M_{\text{T}}}}}/$%	渗透系数计算值/(10-2 cm·s-1)						相对误差/%
	ρd/ (g·cm-3)	k/ (10-2 cm·s-1)		k式（11）	kT	kC	k水科院	k杨志浩		δ式（11）	δT	δC	δ水科院	δ杨志浩
1-3#	1.89	84.10	32.27	84.14	4.15	37.12	149.84	8.78		0.05	95.07	55.86	78.17	89.56
1-4#	1.91	60.71	32.10	60.39	20.45	143.42	138.75	15.62		0.53	66.32	136.24	128.55	74.27
1-7#	1.89	6.17	38.95	5.32	2.51	25.65	31.71	6.09		13.78	59.32	315.72	413.94	1.30
2-1#①	1.91	7.14	40.80	8.56	1.67	18.21	22.20	4.90		19.89	76.61	155.04	210.92	31.37
2-1#②	1.82	8.76	40.80	9.22	2.54	27.93	30.93	6.73		5.25	71.00	218.84	253.08	23.17
2-1#③	1.74	10.64	40.80	10.04	3.50	39.91	40.39	8.79		5.64	67.11	275.09	279.61	17.39
2-2#①	1.91	0.79	50.08	0.75	0.90	8.80	0.89	2.32		5.06	13.92	1013.92	12.66	193.67
2-2#②	2.00	0.39	50.08	0.29	0.54	5.53	0.61	1.65		25.64	38.46	1317.95	56.41	323.08
2-2#③	1.79	1.17	50.08	1.69	1.55	15.47	1.37	3.53		44.44	32.48	1222.22	17.09	201.71
2-3#①	1.91	0.59	56.83	0.58	0.67	5.17	0.50	1.32		1.69	13.56	776.27	15.25	123.73
2-3#②	2.00	0.11	56.83	0.11	0.40	3.25	0.34	0.94		0	263.64	2854.55	209.09	754.55
2-3#③	1.81	0.90	56.83	1.33	1.06	8.30	0.72	1.87		47.78	17.78	822.22	20.00	107.78

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将渗透系数实测值与表 3中k_T，k_C，k_水科院，k_杨志浩进行比较可知：除个别数据外，不同公式的计算值以及计算值与实测值之间均存在较大差异，甚至相差1个数量级以上。仅从颗粒级配对渗透系数影响角度进行分析，在Terzaghi公式、水利水电科学研究院公式、杨志浩公式中，分别采用了d₁₀，d₂₀，d₅₀，C_u表征级配的影响。而单纯的几个级配曲线参数并不能表达出粗粒土的全部级配信息，导致计算不准确，造成各式计算值出现“差异”。Carrier^[29]提出在整个粒径分布范围内以级配数据计算比表面积，从而得到了Carrier式，但其采用的级配数据是基于各试验筛的粒径及对应土体含量计算的，相较于其它公式，相当于在级配曲线上多选取了一些粒径点，这对于级配因素的考虑并不全面。此外，就计算效果而言，Carrier式是几个公式中计算效果最不理想的，计算相对误差最大为2854.55%。并且Dolzyk等^[31]采用该式计算不同级配粗粒土渗透系数的相对误差最大也接近2000%。可见，Carrier式的适用性还需要进一步探究。

由于充分考虑了级配因素和孔隙率，式（11）的拟合优度高达0.9995。并且由表 3中呈现的各式计算值及计算误差可知，式（11）的计算效果最好。说明基于双分形模型参数建立的渗透系数计算式（6）对于间断级配粗粒土的渗透系数也能进行较为准确的计算。同时，式（11）给出了砂岩粗粒料的区分粒径为d_c=7.205 mm，对应的M(r < 7.205)/M_T如表 3所示。式（11）表达出了粒径小于7.205 mm的细料颗粒对渗透系数的重要影响，这是与文献[13]的研究结论相合的。

以上分析表明，基于双分形模型参数建立的粗粒土渗透系数计算公式（6），在考虑孔隙率影响的同时，不仅包含了整体级配信息，而且还表达出了影响粗粒土渗透性的具体粗细料区分粒径及细料含量。从而反映出影响粗粒土渗透系数的主要因素是合理的。对于连续、间断级配粗粒土渗透系数计算是适用的。

4.   结论

本文采用基于分形理论导得的双分形颗粒级配模型对已有文献中的粗粒土不同类型颗粒级配进行了描述。在此基础上，考虑孔隙特征影响，构建了包含级配参量和孔隙率的粗粒土渗透系数计算公式，并结合相应级配及孔隙率的粗粒土试样的渗透系数实测数据对公式的适用性及合理性进行了验证和说明，得到的以下2点结论。

（1）双分形级配模型可以准确地定量描述粗粒土的连续级配和间断级配，而且基于双分形级配模型的参数可反演出粗粒土不同线形的原级配曲线，说明双分形级配模型具有广泛适用性。

（2）基于双分形级配模型参量建立的粗粒土渗透系数计算式，包含了孔隙率及整体颗粒级配的所有信息，并且还表达出了具体的粗细料区分粒径及细料含量的影响。该公式考虑了影响粗粒土渗透系数的主要因素，是合理的。对于连续级配和间断级配粗粒土渗透系数的计算均适用。