“矢量和法”抗滑稳定计算模型的力学概念错误

孙建生

doi:10.11779/CJGE202105024

“矢量和法”抗滑稳定计算模型的力学概念错误 English Version

孙建生

太原理工大学水利科学与工程学院,山西　太原　030024

详细信息

作者简介:
孙建生(1958—),男,硕士,副教授,硕士生导师,主要从事水工结构及其抗振方向的研究工作。E-mail: SJSD1053@163.com

中图分类号: TU432
计量
- 文章访问数: 331
- HTML全文浏览量: 31
- PDF下载量: 313
出版历程
- 收稿日期: 2020-11-29
- 网络出版日期: 2022-12-04
- 刊出日期: 2021-04-30

Mechanical concept errors in anti-sliding stability computational model of "vector sum method"

SUN Jian-sheng

Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China

摘要

HTML全文

0. 引言

钙质砂是由珊瑚骨骼、贝类、虫黄藻类等海洋生物残骸沉积而成，其主要组成成分是碳酸钙^[1-3]，是我国南海岛礁吹填的主要材料。因其生成环境、成因以及物质组成等因素影响，钙质砂具有颗粒易破碎、形状极不规则、内孔隙发育、微观结构复杂等显著区别于陆源石英砂的特点^[4-6]。随着“一带一路”国家战略和建设“海洋强国”政策方针的推进，研究钙质砂工程力学特性具有重要意义^[7-9]。

钙质砂作为填方工程的天然材料，其应力状态复杂多变，土体受到各向异性应力状态影响而产生初始静剪应力，在建（构）筑物的自重和动荷载（波浪、地震和交通荷载等）作用下，易引起地基强度降低、变形过大以及液化失稳等灾害。实际上，动荷载作用下剪切应力做功将导致材料损伤效应的累积，不排水条件下表现为孔压增长。因此，可以将孔压的升高与土体颗粒在运动或重排过程中所耗损的能量建立关联。损耗能作为标量，相较于应力、应变等矢量，可直接数学叠加，大幅度降低分析难度。Nemat-Nasser等^[10]首先提出了耗散能量的概念，建立其与残余孔压的关系，来有效地评估孔隙水压力的产生和发展过程。Kokusho^[11]和Pan等^[12]提出了土骨架破坏产生的单位体积耗散能与应变和残余孔压累积直接相关，为评价砂土在不规则循环应力条件下的抗液化能力提供了有效方法。总体而言，上述研究主要针对石英砂，能否适用于钙质砂仍需进一步探究。

本文以饱和钙质砂为研究对象，开展不排水条件下循环剪切三轴试验，探究相对密实度、初始静剪应力以及循环应力对其孔压发展的影响；同时，引入能量法，建立钙质砂孔压与损耗能之间联系，提出基于能量损耗的液化评价方法，为钙质砂地基稳定性分析提供理论依据和技术支撑。

1. 试验材料与方案

1.1 试验材料

本文试验材料为中国南海某岛礁的天然钙质砂，颗粒多呈灰白色，形状有片状、块状、棒状等，颗粒内孔隙多、微观结构复杂，如图 1所示。

图 1 典型钙质砂颗粒电镜扫描（SEM）图像

Figure 1. SEM image of typical calcareous sand particles

下载: 全尺寸图片幻灯片

经过现场取材、清水冲洗、烘干等过程后，对粒径大于5 mm的颗粒进行剔除，处理后颗粒分布级配曲线如图 2所示，主要基本物理性质参数见表 1。不难发现，试样基本不含0.1 mm以下的细颗粒，不均匀系数和曲率系数分别为6.84和0.78，属于不良级配砂土。

图 2 钙质砂颗分级配曲线

Figure 2. Grain-size distribution curve of calcareous sand

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 1 钙质砂物理性质指标

Table 1. Physical properties of calcareous sand

相对质量密度	d₅₀/ mm	不均匀系数	曲率系数	最大孔隙比	最小孔隙比
2.79	2.0	6.84	0.78	1.15	0.87

下载: 导出CSV

| 显示表格

1.2 试验方案

结合实际工况，采用CKC三轴试验系统模拟复杂应力条件下饱和钙质砂循环剪切试验，先进行有效围压为100 kPa的等向固结后再根据试验设计的初始静偏应力状态进行非等向固结，具体方案如表 2所示。初始静剪应力比SSR和循环应力比CSR可通过式（1）和（2）计算。

表 2 不排水循环剪切试验方案

Table 2. Summary of undrained cyclic triaxial tests

试验系列	相对密实度 D_r	${q_{\text{s}}}$ / kPa	${q_{{\text{cyc}}}}$ / kPa	SSR	CSR	N_f
Ⅰ	70% （密砂）	0	20	0	0.1	232
		0	25	0	0.125	74
		0	30	0	0.15	17
		0	40	0	0.2	6
		20	30	0.1	0.15	168
		20	45	0.1	0.225	19
		20	50	0.1	0.25	3
		50	50	0.25	0.25	53
		50	60	0.25	0.3	11
		50	70	0.25	0.35	6
		80	70	0.4	0.35	14
		80	80	0.4	0.4	7
		-10	25	-0.05	0.125	78
		-10	30	-0.05	0.15	39
		-10	35	-0.05	0.175	8
		-20	20	-0.1	0.1	210
		-20	25	-0.1	0.125	11
		-20	30	-0.1	0.15	8
		-40	20	-0.2	0.1	57
		-40	25	-0.2	0.125	16
		-40	30	-0.2	0.15	8
Ⅱ	30% （松砂）	0	15	0	0.075	943
		0	20	0	0.1	120
		0	25	0	0.125	37
		0	30	0	0.15	18
		24	30	0.12	0.15	61
		24	35	0.12	0.175	16
		24	40	0.12	0.2	5
		40	15	0.2	0.075	175
		40	20	0.2	0.1	9
		50	12.5	0.25	0.0625	17
		50	15	0.25	0.075	2
		-10	12.5	-0.05	0.0625	382
		-10	15	-0.05	0.075	180
		-10	20	-0.05	0.1	11
		-20	10	-0.1	0.05	246
		-20	12.5	-0.1	0.0625	202
		-20	15	-0.1	0.075	12
		-40	5	-0.2	0.025	104
		-40	7.5	-0.2	0.0375	13
		-40	10	-0.2	0.05	2

下载: 导出CSV

| 显示表格

${\text{SSR}} = \frac{{{q_{\text{s}}}}}{{2{{p'}_0}}}\text{，}$

(1)

${\text{CSR}} = \frac{{{q_{{\text{cyc}}}}}}{{2{{p'}_0}}}。$

(2)

式中： ${q_{\text{s}}}$ 为初始静剪偏应力； ${q_{{\text{cyc}}}}$ 为循环偏应力； ${p'_0}$ 为平均有效正应力。

2. 试验结果与分析

2.1 孔压特性发展规律

图 3给出不同初始偏应力作用下饱和密砂的孔压发展规律曲线。孔隙水压力可分为两类：①随着循环荷载作用实时变化的孔压，即实线所示的瞬态孔压，这种孔压会随着循环荷载的卸载而快速消散；②每个循环加载结束，试样未及时恢复的孔压，即虚线所示的残余孔压。从图 3（a）中可以看出，对于等向固结的试样，残余孔压在前期随着荷载的施加而逐渐累积，而在后期快速增长，直至达到荷载施加前的有效围压，u_lim=100 kPa。如图 3（b）所示，在压缩静偏应力作用下，孔压在加载初期迅速累积，随着循环荷载持续进行，残余孔压逐渐趋于稳定，u_lim=64.6 kPa。在拉伸静偏应力作用下，孔压发展与压缩静偏应力时有类似的变化趋势，孔压在加载初期累积较快而后基本保持不变，u_lim=34.68 kPa。

图 3 钙质砂孔压增长变化规律

Figure 3. Development of pore water pressure of calcareous sand

下载: 全尺寸图片幻灯片

同时，通过式（3）和（4）定义固结应力比K_c和残余孔压比u_r。

${K_{\text{c}}} = \frac{{{\sigma _{{\text{v}}0}}}}{{{\sigma _{{\text{h}}0}}}}\text{，}$

(3)

${u_{\text{r}}} = \frac{u}{{{\sigma _{{\text{h}}0}}}}。$

(4)

式中： ${\sigma _{{\text{v}}0}}$ 和 ${\sigma _{{\text{h}}0}}$ 分别为初始有效竖向应力和水平应力，u为残余孔压。

图 4给出了饱和密砂的极限残余孔压比和固结应力比的关系曲线。从图中可以看出，饱和密砂的极限残余孔压比随着固结应力比的增大呈先增大后减小的趋势，在K_c=1（等向固结）时，极限残余孔压比达到最大值u_{r, lim}=1，且大致上呈线性分布，与循环应力幅值大小无明显关系。

图 4 极限残余孔压比与固结应力比的关系

Figure 4. Relationship between ultimate residual pore pressure ratio and consolidation stress ratio

下载: 全尺寸图片幻灯片

对于同一材料的砂土，其在循环荷载作用下有效应力路径将沿着平行于等向固结线（ICL）的方向逐渐靠近临界状态线（CSL），而与循环应力幅值无关，如图 5所示。因此，对于给定的初始应力状态（σ_h0，σ_v0），会与临界状态线相交于一点，且理论上初始应力点与最终应力点之间的水平距离 $\Delta u$ 为试验中的极限残余孔压，如式（5）所示。根据u_r和K_c定义，可得到两者关系如式（6），符合图 4所示的线性关系。

${u_{\lim }} = \Delta u = {\sigma _{{\text{h}}0}} - \frac{{{\sigma _{{\text{v}}0}} - {\sigma _{{\text{h}}0}}}}{{m - 1}}\text{，}$

(5)

${u_{{\text{r, lim}}}} = \frac{{{u_{\lim }}}}{{{\sigma _{{\text{h0}}}}}} = 1 - \frac{{{K_{\text{c}}} - 1}}{{m - 1}}。$

(6)

图 5 初始静剪应力状态对残余孔压影响示意图

Figure 5. Influences of initial static shear stress on residual pore pressure

下载: 全尺寸图片幻灯片

2.2 损耗能演化规律

动荷载作用下饱和砂土损耗的能量主要用于颗粒的相对运动和重新排列。因此，引入能量法，提出基于损耗能的砂土液化评价方法。循环加载过程中一个振次的损耗能W可用应力-应变滞回圈的面积表示，即：

$W = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\frac{1}{2}} ({q_{i + 1}} + {q_i})({\varepsilon _{{\text{a, }}i + 1}} - {\varepsilon _{{\text{a, }}i}}) 。$

(7)

式中：n为计算增量的总个数， ${q_i}$ 和 ${\varepsilon _{{\text{a, }}i}}$ 分别为第i个增量的偏应力和轴向应变。

图 6分别给出饱和钙质砂在不同初始静偏应力作用下残余孔压比与正交化损耗能的内在关系，正交化损耗能W_n为损耗能W与初始有效水平正应力 ${\sigma _{{\text{h0}}}}$ 的比值。结果显示：饱和密砂的残余孔压初期增长缓慢，随着W_n的增大而较快增长，最后趋于稳定；在饱和松砂中也观察到类似的变化趋势。这说明残余孔压与损耗能的关系主要取决于初始应力条件。

图 6 残余孔压比与损耗能的关系

Figure 6. Relationship between residual pore pressure ratio and dissipated energy

下载: 全尺寸图片幻灯片

从图 7可以看出，饱和钙质砂在失稳破坏时所积累的损耗能随着初始静剪应力的增加而增加；对于同一初始应力状态，密砂所需能量始终大于松砂。研究表明^[13-14]，饱和砂土在循环荷载作用下损耗能主要与初始应力和相对密实度有关，受循环荷载幅值影响极小，具体可用式（8）表示：

${W'_{\text{n}}} = {10^{a\left( {{D_{\text{r}}} - 0.78} \right)}}{10^{b\left( {{\text{SSR}} - 1.0} \right)}}。$

(8)

图 7 损耗能与初始静剪应力比的关系

Figure 7. Relationship between dissipated energy and initial static shear stress ratio

下载: 全尺寸图片幻灯片

式中：a和b为经验参数，根据本次试验数据可分别取0.65，1.5。图 8对损耗能的试验实测值与通过式（8）所得的预测值进行对比，发现两者基本落在斜率为1的对角线两侧，表明能量模型可较好地预测不同试验条件下饱和钙质砂的损耗能。

图 8 损耗能实测值与预测值

Figure 8. Measured and predicted values of dissipated energy

下载: 全尺寸图片幻灯片

3. 结论

（1）饱和钙质砂的极限残余孔压比随固结应力比呈先增大后减小的趋势，在K_c=1时存在最大值，临界状态理论可以解释此现象。

（2）不排水循环加载条件下饱和钙质砂的损耗能与试样的初始静剪应力比和相对密实度有关，受循环应力比影响极小，可通过构建的能量模型较好地预测不同试验条件下饱和钙质砂所累积的损耗能。

图 1 滑裂面极限平衡抗滑稳定计算简图

Figure 1. Calculation diagram of ultimate equilibrium and anti-sliding stability of sliding surface

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 2 滑裂面切向滑动力及抗滑力矢量图

Figure 2. Vector Diagram of tangential sliding force anti-sliding force on sliding surface

下载: 全尺寸图片幻灯片

参考文献(24)

[1]	朱大勇, 卢坤林, 台佳佳, 等. 基于数值应力场的极限平衡法及其工程应用[J]. 岩石力学与工程学报, 2009, 28(10): 1969-1975. doi: 10.3321/j.issn:1000-6915.2009.10.002 ZHU Da-yong, LU Kun-lin, TAI Jia-jia, et al. Limit equilibrium method based on numerical stress field and its application to engineering[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2009, 28(10): 1969-1975. (in Chinese) doi: 10.3321/j.issn:1000-6915.2009.10.002
[2]	葛修润. 岩石疲劳破坏的变形控制律、岩土力学试验的实时X射线CT扫描和边坡坝基抗滑稳定分析的新方法[J]. 岩土工程学报, 2008, 30(1): 1-20. doi: 10.3321/j.issn:1000-4548.2008.01.001 GE Xiu-run. Deformation control lew of rock fatigue failure, real-time X-ray CT scan of geotechnical testing, and new method of stability analysis of slopes and dam foundation[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2008, 30(1): 1-20. (in Chinese) doi: 10.3321/j.issn:1000-4548.2008.01.001
[3]	刘艳章, 葛修润, 李春光, 等. 基于矢量法安全系数的滑坡与坝基稳定分析[J]. 岩石力学与工程学报, 2007, 26(10): 2130-2140. doi: 10.3321/j.issn:1000-6915.2007.10.025 LIU Yan-zhang, GE Xiu-run, LI Chun-guang, et al. Stability analysis of slope and dam foundation based on vector method safety factor[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2007, 26(10): 2130-2140. (in Chinese) doi: 10.3321/j.issn:1000-6915.2007.10.025
[4]	吴振君, 葛修润. 求解边坡矢量和安全系数的条分法[J]. 岩土力学, 2009, 30(8): 2337-2342. doi: 10.3969/j.issn.1000-7598.2009.08.025 WU Zhen-jun, GE Xiu-run. Solving vector sum factor of safety of method of slices[J]. Rock and Soil Mechanics, 2009, 30(8): 2337-2342. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1000-7598.2009.08.025
[5]	郭明伟, 李春光, 葛修润, 等. 基于矢量和分析方法的边坡边坡滑面搜索[J]. 岩土力学, 2009, 30(6): 1775-1781. doi: 10.3969/j.issn.1000-7598.2009.06.043 GUO Ming-wei, LI Chun-guang, GE Xiu-run, et al. Searching potential slip surface of slopes based on the vector sum analysis method[J]. Rock and Soil Mechanics, 2009, 30(6): 1775-1781. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1000-7598.2009.06.043
[6]	邓琴, 郭明伟, 李春光, 等. 基于边界元法的边坡矢量和稳定分析[J]. 岩土力学, 2010, 31(6): 1971-1976. doi: 10.3969/j.issn.1000-7598.2010.06.049 DENG Qin, GUO Ming-wei, LI Chun-guang, et al. Vector sun method for slope stability analysis boundary element method[J]. Rock and Soil Mechanics, 2010, 31(6): 1971-1976. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1000-7598.2010.06.049
[7]	沈华章, 张国发, 王水林, 等. 基于矢量分析法的边坡下滑推力计算[J]. 岩土力学, 2016, 37(4): 1096-1108. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX201604025.htm SHEN Hua-zhang, ZHANG Guo-fa, WANG Shui-lin, et al. Calculation of downslide thrust of slope based on vector analysis method[J]. Rock and Soil Mechanics, 2016, 37(4): 1096-1108. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX201604025.htm
[8]	刘艳章. 边坡及坝基抗滑稳定的矢量和分析方法研究[D]. 武汉: 中国科学院武汉岩土力学研究所, 2007. LIU Yan-zhang. Vector Sun Analysis Method of Slopes and Dam Foundation Stability Against Sliding[D]. Wuhan: Institute of Rock and Soil Mechanics, Chinese Academy of Sciences, 2007. (in Chinese)
[9]	郭明伟, 葛修润, 李春光, 等. 边坡和坝基抗滑稳定分析的三维矢量和法及其工程应用[J]. 岩石力学与工程学报, 2010, 29(1): 8-20. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX201001001.htm GUO Min-wei, GE Xiu-run, LI Chun-guang, et al. Three dimensional vector sum method employed in slope and dam foundation stability analysis and its applications to practical engineering[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2010, 29(1): 8-20. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX201001001.htm
[10]	郭明伟, 葛修润, 李春光, 等. 基于矢量和方法的边坡稳定性分析中整体下滑趋势方向的探讨[J]. 岩土工程学报, 2009, 31(4): 577-583. doi: 10.3321/j.issn:1000-4548.2009.04.014 GUO Ming-wei, GE Xiu-run, LI Chun-guang, et al. Study on potential sliding direction in slope stability analysis based on vector sum method[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2009, 31(4): 577-583. (in Chinese) doi: 10.3321/j.issn:1000-4548.2009.04.014
[11]	沈辉, 罗先启, 李野, 等. 乌东德拱坝坝肩三维抗滑稳定分析[J]. 岩石力学与工程学报, 2012, 31(5): 1026-1033. doi: 10.3969/j.issn.1000-6915.2012.05.020 SHEN Hui, LUO Xian-qi, LI Ye, et al. Three- dimensional stability analysis of dam abutment of Wudongde arch dam[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2012, 31(5): 1026-1033. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1000-6915.2012.05.020
[12]	罗勇, 周春梅, 吴燕玲, 等. 基于矢量和法的矿山边坡稳定性分析[J]. 武汉工程大学学报, 2010, 32(12): 43-46. doi: 10.3969/j.issn.1674-2869.2010.12.011 LUO Yong, ZHOU Chun-mei, WU Yan-ling, et al. Stability analysis of mine slope based on vector sun analysis method[J]. Journal of Wuhan Institute of Technology, 2010, 32(12): 43-46. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1674-2869.2010.12.011
[13]	赵家成, 吴剑, 晏华斌. 矢量和方法在重力坝深层抗滑稳定评价上的应用[J]. 水电能源科学, 2013, 31(1): 53-56. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SDNY201301016.htm ZHAO Jia-cheng, WU Jian, YAN Hua-bin. Application vector sum analysis method in gravity dam stability evaluation against deep slilding[J]. Water Resources and Power, 2013, 31(1): 53-56. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SDNY201301016.htm
[14]	秦晓艳, 金鑫, 介玉新, 等. 加筋土边坡的矢量和法稳定分析[J]. 水力发电学报, 2012, 31(5): 223-249. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SFXB201205037.htm QIN Xiao-yan, JIN Xin, JIE Yu-xin, et al. Stability analysis on reinforced soil slopes with vector sum analysis method[J]. Journal of Hydroelectric Engineering, 2012, 31(5): 223-249. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SFXB201205037.htm
[15]	沈华章, 郭明伟, 王水林, 等. 基于离散元的边坡矢量和稳定分析方法研究[J]. 岩土力学, 2016, 37(2): 592-600. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX201602037.htm SHEN Hua-zhang, GUO Ming-wei, WANG Shui-lin, et al. Vector sum method for slope stability analysis based on discrete elements[J]. Rock and Soil Mechanics, 2016, 37(2): 592-600. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX201602037.htm
[16]	邹烨, 郭明伟, 王水林, 等. 地震荷载下三维边坡动力稳定分析[J]. 岩石力学与工程学报, 2017, 36(5): 1174-1184. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX201705013.htm ZOU Ye, GUO Ming-wei, WANG Shui-lin, et al. Dynamic stability analysis of three dimensional slopes under seismic loads[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2017, 36(5): 1174-1184. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX201705013.htm
[17]	平曈其, 罗先启, 郑安兴. 地震作用下裂隙对岩质边坡稳定性影响分析[J]. 岩土力学, 2015, 38(2): 600-606. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX201502045.htm PING Tong-qi, LUO Xian-qi, ZHENG An-xing. Analysis of influence of cracks on rock slope stability under seismic loading[J]. Rock and Soil Mechanics, 2015, 38(2): 600-606. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX201502045.htm
[18]	薛海斌, 党发宁, 尹小涛, 等.应变软化边坡稳定性分析[J]. 岩土工程学报, 2016, 38(3): 570-576. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC201603026.htm XUE Hai-bin, DANG Fa-ning, YIN Xiao-tao, et al. Stability analysis method for strain softening slopes[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2016, 38(3): 570-576. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC201603026.htm
[19]	张海涛, 罗先启, 沈辉, 等. 基于矢量和的滑面应力稳定分析方法[J]. 岩土力学, 2018, 39(5): 1691-1699. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX201805019.htm ZHANG Hai-tao, LUO Xian-qi, SHEN Hui, et al. Vector-sum-based slip surface stress method for analyzing slip mass stability[J]. Rock and Soil Mechanics, 2018, 39(5): 1691-1699. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX201805019.htm
[20]	王伟, 陈国庆, 郑水全, 等. 考虑张拉-剪切渐进破坏稳定性分析[J]. 岩土力学, 2019, 40(增刊1): 468-476. https://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10616-1019216879.htm WANG Wei, CHEN Guo-qing, ZHENG Shui-quan, et al. Study on the Vector sum method of slope considering tensile-shear progressive failure[J]. Rock and Soil Mechanics, 2019, 40(S1): 468-476. (in Chinese) https://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10616-1019216879.htm
[21]	邹烨, 严东方. 基于矢量和法的三维边坡滑面搜索研究[J]. 水利与建筑工程学报, 2019, 17(4): 107-111, 171. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-FSJS201904019.htm ZOU Ye, YAN Dong-fang. Critical slip surface of three dimensional slope based on vector sun method[J]. Journal of Water Resources and Architectural Engineering, 2019, 17(4): 107-111, 171. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-FSJS201904019.htm
[22]	孙加平, 魏星, 宋保保. 基于最小势能原理的三维边坡稳定矢量和法[J]. 长江科学院院报, 2020, 37(11): 102-106. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-CJKB202011021.htm SUN Jia-ping, WEI Xing, SONG Bao-bao. Vector sum analysis method for analyzing the stability of three dimensional slope based on minimum potential energy[J]. Journal of Yangtze River Scientific Research Institute, 2020, 37(11): 102-106. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-CJKB202011021.htm
[23]	孙建生. 基于有限元应力载荷宏观刚性滑裂面极限平衡稳定计算理论[J]. 岩石力学与工程学报, 2018, 37(4): 862-875. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX201804009.htm SUN Jian-sheng. Theoretical model of stability calculation of macro-rigid sliding planes with FEM stress load based on limit equilibrium[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2018, 37(4): 862-875. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX201804009.htm
[24]	葛修润, 任建喜, 李春光, 等. 三峡左厂3#坝段深层抗滑稳定三维有限元分析[J]. 岩土工程学报, 2003, 25(4): 389-394. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC200304001.htm GE Xiu-run, REN Jian-xi, LI Chun-guang, et al. 3D-FEM analysis of deep sliding stability of #3 dam foundation of left power house of three Gorges Project[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2003, 25(4): 389-394. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC200304001.htm