Equivalent fatigue stress and non-linear constitutive model for fatigue of rock
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摘要: 传统的岩石疲劳本构模型对循环加卸载次数敏感性方面存在明显不足,无法准确描述残余变形与疲劳损伤进程的关系。在蠕变与疲劳试验基础上,通过对岩石蠕变和疲劳的时间（循环次数）与变形归一化,分析验证了两者间存在某种“同源性”。运用流变理论描述疲劳荷载下岩石变形全过程,基于等寿命Gerber曲线方程与Goodman直线方程,提出了通过疲劳寿命与应力关系的方式,定义了一种新的疲劳应力等效方法。用村山黏弹塑性体替换Kelvin黏弹性体,并加入开关函数和岩石完整度参数对Bingham黏塑性体进行改造,建立了一种新的7参数岩石非线性疲劳变形本构模型。该模型能较好地表征疲劳荷载下岩石减速、等速和加速疲劳变形的全过程,其加速疲劳变形段的完整度参数随着循环次数N增加而减小,能够体现疲劳损伤对加卸载次数因素的敏感性。Abstract: The traditional damage model is insensitive to cycles of loading and unloading, and it is obviously inadequate for the characterization of fatigue deformation and failure of rock. Based on the creep and fatigue tests, the "homology" hypothesis of the two kinds of deformation is verified by normalizing the time (cycle number) and deformation of rock creep and fatigue. The rheological theory is used to describe the whole process of fatigue deformation of rock under fatigue loads, and susequently the improved fatigue stress equivalence is put forward based on the equal life curve equation, Gerber and Goodman linear equation. The Kelvin visco-elastomer is replaced by the Murayama visco-elastomer, and the switch function and rock integrity parameters are added to non-linear treatment of Bingham viscoplastic body to establish a 7-parameter non-linear fatigue model for rock. The results show that the model can characterize the whole process of rock deceleration, constant velocity and accelerated fatigue deformation under the fatigue loads. The integrity parameter decreases as the number of cycles, N, increases, and this trend reflects the sensitivity of the fatigue damage to factors of loading and unloading times. The research put a foundation for the long-term deformation prediction of engineering rock mass.
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0. 引言
变形响应预测是大坝设计的重点和难点，通常采用数值模拟的方法进行，在此基础上可以指导现场施工。坝料参数是影响大坝变形预测结果的重要因素。受土石料物理力学性质的复杂性、施工质量的不确定性和试验测量误差等影响，实际筑坝材料参数与设计参数存在着差异。许多学者通过拟合实测资料反演坝料参数，来提高大坝结构性态评价的准确性。但反演具有后验性，不能指导当前坝体实际施工。另外反演得到的确定性参数也无法考虑因设计、施工等导致的实际坝料参数的空间变异性。目前，很多学者采用随机场理论来研究坝料物理力学特性的空间变异性并对大坝结构响应进行概率性分析，例如王宗凯等[1]、杨鸽等[2]、Chen等[3]、Chi等[4-5]、Chen等[6]、王建娥等[7]。
研究发现[4-5, 7]，与传统的确定性有限元分析相比，考虑了坝料参数空间不确定性得到的大坝随机有限元计算结果更接近实测值，可以更客观地反映工程实际情况，从而为土石坝的安全运行提供更加合理准确的评价。然而，大多数研究中用来描述筑坝材料参数空间变异性的随机场数字特征（均值、标准差和相关距离）都是通过工程类比的方式根据经验假设而来。基于筑坝材料的真实物理力学参数试验样本进行随机场数字特征统计分析的研究很少。由于表征坝料压实质量的现场干密度（孔隙率）与坝料力学特性存在密切关系，是影响大坝变形控制水平的重要因素，所以在大坝填筑过程中记录了大量的干密度测点。Guo等[8]基于法国某堆石坝填筑期间现场干密度的监测点数据，探讨了三种不同类型随机场对坝坡稳定性计算结果的影响。Mouyeaux等[9]也基于法国某土石坝填筑期间现场干密度统计数据讨论了筑坝土石料模型参数的空间变异性。Chen等[6]对中国东南某面板堆石坝填筑期间现场孔隙率测点进行了统计分析，通过孔隙率和E-B模型参数之间的回归模型建立了模型参数的随机场，发现忽略土石料参数的不确定性会有60%以上的概率低估大坝的最大竖向位移。Chi等[4-5]利用中国观音岩心墙堆石坝填筑期间现场干密度监测样本和室内三轴试验结果，构建了考虑干密度和E-B模型参数相关性的随机场。发现考虑参数空间变异性的大坝有限元计算结果接近反演模拟结果，从而可以不通过反演计算便能在蓄水之前较准确地预测土石坝的结构响应。
由于土石坝是分层填筑施工的，填筑的施工参数一般根据施工前的碾压试验确定，在整个坝体的施工中保持不变。坝料填筑的干密度实测数据随着填筑高度的增加逐步累积，在某一填筑高程后就可根据之前累积的填筑干密度测点进行统计。采用基于不同填筑阶段动态变化的坝料现场干密度的均值、标准差和相关距离建立坝料干密度随机场，结合坝料变形参数与干密度关系，构建坝体变形参数的随机场，然后进行随机有限元计算，以预测竣工后整个大坝的结构响应。在此基础上，当大坝安全响应不满足规范要求时，或要提高大坝安全标准时，可优化坝料填筑干密度的数字特征，对应调整下一填筑阶段现场坝料的碾压施工参数，以提高大坝安全的可靠性。
为此，基于已有的研究基础，采用不同填筑阶段动态变化的坝料现场干密度的随机场数字特征，来研究其不确定性对大坝结构响应的影响规律。基于二次响应面方程，构造了大坝结构响应的统计特征与现场坝料干密度数字特征的函数关系，并建立了大坝结构响应的超越概率表达式。通过调整大坝结构响应的超越概率，可以给出下一施工阶段现场坝料干密度控制指标的优化建议，从而指导后续坝料的碾压填筑施工，最后通过实例应用验证了所提方法的可行性。
1. 随机场原理
相关距离δ是随机场中表述土体参数自相关性的重要参数[10]，在相关距离内认为两点是强相关的，反之不相关，其表达式为
δ=2∫∞0c(h)dh。 (1) 式中：h为空间平均距离；c(h)为自相关函数。
本文相关非正态随机场生成的表达式为
Xj(x,y,z)=G−1j{Φ[X0j(x,y,z)]}。 (2) 式中：j为第j个参数，(x, y, z)为三维空间中点的坐标，G-1(·)为非正态累积概率分布的反函数，Φ(·)为标准正态累积概率分布函数，互相关标准正态随机场X0(x, y, z)可通过协方差矩阵分解法来模拟[7]。
2. 土石料变形参数的概率分布函数
本文采用邓肯E-B模型来描述土石料的非线性应力应变关系。由于记录了现场坝料大量的干密度测点，因此很容易检验干密度的概率分布，而确定E-B模型参数概率分布所需要的大量试验样本很难获取。由于土石料干密度与其力学参数存在密切联系[4-6]，可以建立干密度和E-B模型参数间的经验函数关系。基于随机变量的函数的概率分布理论，可以进一步地由干密度的概率分布模型推导出E-B模型参数的概率分布模型，设干密度与E-B模型参数的函数关系为
Y=fY(ρ)。 (3) 式中：ρ为干密度；Y=K，n，Kb，m，ϕ0，Δφ，Rf；f(•)为经验回归模型。则Y的概率密度函数可表示为
gY(y)={gρ(f−1Y(y))|(f−1Y(y))′|(α⩽y<β)0( 其他) 。 (4) 式中：g(•)为概率密度函数；α和β分别为Y的最大值和最小值。本文E-B模型参数概率分布函数的确定和随机场的生成可参考文献[4，5]，此处不再赘述。
3. 坝料干密度随机场数字特征优化方法
研究发现[4-6]，基于筑坝土石料现场填筑干密度的数字特征和其与E-B模型参数的相互关系，通过构建干密度和E-B模型参数的相关随机场，来进行大坝随机有限元计算，能够较准确地预测大坝结构响应指标的统计规律。在此基础上，可以建立坝料现场填筑干密度的数字特征与大坝结构响应指标统计参数之间的相关关系。通过调整结构响应的统计规律，从而优化坝料填筑干密度的数字特征。由于可操作性强，高效可靠，响应面法经常被用来建立表示有限元正分析中输入参数与输出结构响应之间复杂非线性隐式关系的显式函数表达式[11]。于是，为了保证计算精度的前提下提高计算效率，基于响应面法，本文采用不含交叉项的二次多项式，构建以现场干密度随机场数字特征为自变量，大坝结构响应控制指标的统计特征为因变量的回归函数模型，即
ˉμS=a+n∑j=1bjˉμρj+n∑j=1cjˉμ2ρj， (5) ˉσS=d+n∑j=1ejˉσρj+n∑j=1fjˉσ2ρj+n∑j=1gjˉδj+n∑j=1hjˉδ2j。 (6) 式中：S为大坝结构响应控制指标；μ，σ分别为均值和标准差；a，b，c，d，e，f，g，h为待定系数；n为坝料种类个数；为了消除变量间量级的差异，ˉμ，ˉσ，ˉδ为无量纲化处理的结果，以ˉμ为例：
ˉμ = μ−μminμmax−μmin。 (7) 大坝结构性态通常服从一定的概率分布[5-6]，对大坝结构响应的随机有限元计算结果进行统计分析和概率分布检验，设其概率累积分布函数为G（S，μS，σS），常用的概率分布函数有对数正态分布函数：
G(S,{\mu _S},{\sigma _S}) = \int_0^S {\frac{1}{{\sqrt {2{\rm{\mathsf{π}}} } tr}}\exp \left[ { - \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{\ln t - q}}{r}} \right)}^2}} \right]} dt 。 (8) 式中：q = \ln {\mu _S} - \frac{{{r^2}}}{2}；r = \sqrt {\ln \left[ {1 + {{\left( {\frac{{{\sigma _S}}}{{{\mu _S}}}} \right)}^2}} \right]} 。
则大坝结构响应的超越概率为
P(S) = 1 - G(S,{\mu _S},{\sigma _S}) = {f_S}(S,{\mu _{{\rho _1}}}, \cdots ,{\mu _{{\rho _n}}},{\sigma _{{\rho _1}}}, \cdots ,{\sigma _{{\rho _n}}},{\delta _1}, \cdots ,{\delta _n}) 。 (9) 根据安全设计需求，选取多个大坝结构响应指标S值及其超越概率P，通过求解以下方程组，可以得到坝料干密度随机场数字特征的优化取值，从而指导下一填筑阶段现场坝料的碾压施工：
\left.\begin{array}{l}{P}_{1}={f}_{S}({S}^{1},{\mu }_{{\rho }_{1}},\cdots ,{\mu }_{{\rho }_{n}},{\sigma }_{{\rho }_{1}},\cdots ,{\sigma }_{{\rho }_{n}},{\delta }_{1},\cdots ,{\delta }_{n})\text{，}\\ {P}_{2}={f}_{S}({S}^{2},{\mu }_{{\rho }_{1}},\cdots ,{\mu }_{{\rho }_{n}},{\sigma }_{{\rho }_{1}},\cdots ,{\sigma }_{{\rho }_{n}},{\delta }_{1},\cdots ,{\delta }_{n})\text{，}\\ \cdots \cdots \text{ }\end{array}\right\} (10) 4. 实例分析
4.1 工程概况
观音岩心墙堆石坝位于中国金沙江中游，典型断面如图 1所示，最大坝高75 m，其三维有限元模型如图 2所示。现场干密度监测值表明[12]，坝体压实质量在空间上存在着明显的非均匀性，导致岩土体参数的空间变异性[13]。
4.2 观音岩大坝各分区坝料干密度数字特征
大坝实际填筑过程如图 3所示。堆石料、心墙料、反滤料Ⅰ和Ⅱ的填筑层厚度分别为0.9，0.3，0.6 m，填筑到坝顶高程1140 m时，堆石料、心墙料、反滤料Ⅰ和Ⅱ分别记录了175，230，142，133个干密度测点。图 4为简化后的干密度取样示意图，经K-S检验，这些干密度服从对数正态分布[4-5]。
对现场干密度测点进行统计，图 5为不同填筑阶段各坝料干密度均值和标准差。曲线中每个点指的是坝体填筑到该点对应高程时，对此时该高程以下累积的所有干密度测点进行统计分析得到的数字特征。
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图 5 不同填筑阶段坝料干密度统计特征Figure 5. Statistic of dry density of soils at different filling stages从图 5可以看出，在整个填筑过程中，堆石料、心墙料、反滤料Ⅰ和反滤料Ⅱ的现场干密度的均值变化波动范围分别为2.135~2.15，1.719~1.791，2.06~2.08，2.045~2.073 g/cm3，由三轴室内试验[14]结果可知，观音岩大坝坝料干密度每变化0.01 g/cm3，E-B模型中模量参数K和Kb就会变化几十甚至上百[4-5]，其中心墙干密度均值变化范围最大，这对有限元计算结果影响较大。堆石料、心墙料、反滤料Ⅰ和反滤料Ⅱ现场干密度的标准差变化波动范围分别为0.014~0.024，0.013~0.111，0.017~0.035，0.019~0.031 g/cm3。各分区干密度标准差变化波动较大，其中心墙的干密度标准差波动最大，最大值超过土石坝施工填筑要求[2]的0.1 g/cm3，这表明其干密度值存在明显离散性，从而导致坝料E-B模型参数的不确定性。
分别采用空间递推法和半变异函数法来计算各分区坝料的竖向相关距离δv和水平相关距离δh。图 6和表 1分别给出了不同填筑阶段各分区坝料竖向和水平相关距离。
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图 6 不同填筑阶段各分区坝料竖向相关距离Figure 6. Vertical correlation distances at different filling stages表 1 各分区坝料水平相关距离Table 1. Variation of horizontal correlation distance with elevation水平相关距离/m 1/3坝高(1073.67 m) 2/3坝高(1107.43 m) 总坝高(1140 m) 堆石 45.826 56.260 55.3 心墙 26.246 36.396 51.4 反滤Ⅰ 42.743 48.000 48.3 反滤Ⅱ 41.431 44.866 65.1 从图 6和表 1中可以看出，以上观音岩大坝4种坝料的相关距离基本都是填筑前期较小，填筑后期逐渐变大。这是因为填筑前期的施工质量低于填筑后期，坝料干密度变异性相对较大[12]，另一方面，随着填筑高程的增长，样本取样范围增大，考虑了相邻较远两点的相关性，计算得到的相关距离变大。
4.3 观音岩大坝各分区随机场计算工况的选取
为了分析坝料干密度数字特征与坝体结构响应之间的相关性，选取图 5，6中各分区坝料现场干密度均值、标准差和相关距离变化曲线的转折点，提取此时该拐点填筑高程对应的各分区现场干密度的数字特征作为同一个计算工况，表 2给出了选取的各个计算工况。参照文献[4]进行随机有限元计算，统计分析各个计算工况下填筑完成时的坝体最大沉降和蓄水完成后的坝体表面最大倾度。
表 2 填筑到不同高程时统计的坝料干密度数字特征Table 2. Statistic moments of dry density of dam materials at different filling elevations分区 工况 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高程/m 1067.6 1068.6 1071 1075.1 1075.4 1079.3 1080.5 1084.3 1090.2 1097.8 1109.4 1140 堆石 μρ/(g·cm-3) 2.143 2.143 2.143 2.144 2.143 2.144 2.144 2.146 2.147 2.148 2.148 2.15 σρ/(g·cm-3) 0.023 0.023 0.023 0.022 0.022 0.022 0.021 0.021 0.021 0.021 0.021 0.022 δh/m 45.826 45.826 45.826 56.26 56.26 56.26 56.26 56.26 56.26 56.26 55.3 55.3 δv/m 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.96 2.2 3.4 3.2 3.55 心墙 μρ/(g·cm-3) 1.735 1.731 1.738 1.719 1.726 1.791 1.784 1.77 1.765 1.767 1.776 1.79 σρ/(g·cm-3) 0.014 0.016 0.019 0.025 0.045 0.111 0.108 0.099 0.088 0.087 0.084 0.077 δh/m 26.246 26.246 26.246 36.396 36.396 36.396 36.396 36.396 36.396 36.396 51.4 51.4 δv/m 0.3 0.3 0.454 1.486 0.445 2.067 2.474 2.42 2.47 2.367 2.535 2.585 反滤Ⅰ μρ/(g·cm-3) 2.068 2.066 2.065 2.066 2.066 2.071 2.072 2.075 2.076 2.076 2.078 2.08 σρ/(g·cm-3) 0.024 0.024 0.022 0.019 0.019 0.019 0.019 0.018 0.017 0.017 0.018 0.019 δh/m 42.743 42.743 42.743 48 48 48 48 48 48 48 48.3 48.3 δv/m 1.247 1.088 1.09 1.033 1.033 1.098 1.134 1.172 1.7 2.05 1.74 6.53 反滤Ⅱ μρ/(g·cm-3) 2.068 2.072 2.062 2.055 2.055 2.056 2.058 2.06 2.06 2.06 2.06 2..06 σρ/(g·cm-3) 0.024 0.023 0.03 0.025 0.025 0.023 0.022 0.021 0.02 0.02 0.019 0.0186 δh/m 41.431 41.431 41.431 44.866 44.866 44.866 44.866 44.866 44.866 44.866 65.1 65.1 δv/m 1.159 1.029 0.647 1.282 1.282 1.890 1.828 1.711 1.534 1.556 1.533 1.88 4.4 观音岩大坝不确定最大沉降和最大倾度分析
坝体的最大沉降通常被用来判断大坝是否出现裂缝的依据。变形倾度(ΔS/Δx)是指坝身同一高程两观测点间的竖向位移差ΔS与水平间距Δx的比值，反映了大坝不均匀沉降变形程度[15-16]。
图 7给出了观音岩大坝基于不同填筑阶段干密度数字特征计算的竣工后整个坝体最大沉降DY和最大倾度λ的均值，其趋势与不同阶段心墙现场干密度均值在反方向上的变化基本保持一致。图 8给出了不同填筑阶段最大沉降和最大倾度的标准差，其趋势与不同阶段心墙现场干密度标准差的变化也基本保持一致。此外经计算，最大沉降和最大倾度的标准差与心墙竖向相关距离的相关系数分别为0.93，0.88，这表明不同填筑阶段两者的变化基本保持一致。
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图 7 基于不同填筑阶段干密度数字特征计算的竣工期整个坝体最大变形响应均值Figure 7. Mean values of maximum deformation response of whole dam body based on statistics of different filling stages![]()
图 8 基于不同填筑阶段干密度数字特征计算的竣工期整个坝体最大变形响应标准差Figure 8. Standard deviations of maximum deformation response of the whole dam body based on statistics of different filling stages由此可知，心墙干密度的数字特征对大坝结构响应的影响最大，这是因为最大沉降和最大倾度出现在心墙的中上部和顶部。最大变形的均值和标准差分别与干密度的均值和标准差以及相关距离相关，这与其他学者计算结果的变化规律相同[1, 6, 8]。经K-S检验，最大沉降和最大倾度服从对数正态分布[4]。图 9，10给出了基于不同填筑阶段统计的坝料干密度数字特征计算得到的竣工后整个坝体的最大沉降和最大倾度的超越概率曲线。
根据中国土石坝规范[17]，坝体最大沉降/最大坝高和倾度都需要控制在1%以内。填筑前期，最大沉降和最大倾度完全超越了确定性评价标准，填筑后期，其超越概率开始减小。因此可以通过调整超越概率曲线，合理设计坝料干密度的数字特征来调整施工过程中坝料的压实质量。
4.5 观音岩大坝各分区随机场数字特征优化调整
从图 7，8可以看出，当填筑到高程1084.3 m时，坝体最大变形响应的统计特征开始趋于稳定，此时，除了心墙料的竖向相关距离外，其他坝料的水平和竖向相关距离变化不大，为了提高计算效率，本文只选取心墙的竖向相关距离作为响应面方程中相关距离自变量：
{\bar \mu _S} = a + {b_1}{\bar \mu _{{\rho _1}}} + {b_2}{\bar \mu _{{\rho _2}}} + {b_3}{\bar \mu _{{\rho _3}}} + {b_4}{\bar \mu _{{\rho _4}}} + {c_1}\bar \mu _{{\rho _1}}^2 + {c_2}\bar \mu _{{\rho _2}}^2 + {c_3}\bar \mu _{{\rho _3}}^2 + {c_4}\bar \mu _{{\rho _4}}^2 \text{，} (11) {\bar \sigma _S} = d + {e_1}{\bar \sigma _{{\rho _1}}} + {e_2}{\bar \sigma _{{\rho _2}}} + {e_3}{\bar \sigma _{{\rho _3}}} + {e_4}{\bar \sigma _{{\rho _4}}} + {g_2}{\bar \delta _2} + {f_1}\bar \sigma _{{\rho _1}}^2 + {f_2}\bar \sigma _{{\rho _2}}^2 + {f_3}\bar \sigma _{{\rho _3}}^2 + {f_4}\bar \sigma _{{\rho _4}}^2 + {h_2}\bar \delta _2^2 。 (12) 式中：S=DY，λ；下标1，2，3，4分别代表堆石料、心墙料、反滤料Ⅰ和反滤料Ⅱ。
将每个计算工况的各分区坝料干密度的数字特征以及求得的坝体最大沉降和最大倾度的统计参数代入到式（11），（12）中，求解得到的响应面方程的待定系数值分别如表 3，4所示，重新选取高程1125 m对应的干密度随机场数字特征作为计算工况来验证响应面预测精度，如表 5所示，响应面函数[18]的预测精度较高，最大相对误差为3%，说明该响应面准确地建立了大坝变形响应的统计特征与各分区坝料干密度随机场数字特征之间的映射关系，为后续大坝变形响应超越概率的推导提供可靠依据。将表 3，4中的响应面系数代入到式（11），（12）中，由式（10）可以得到大坝最大沉降和变形倾度的超越概率表达公式。
表 3 坝体最大变形响应均值的响应面函数中的系数Table 3. Coefficients in response surface function for mean maximum deformation response响应 a b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 {\bar \mu _{DY}} 1.002 0.0350 -1.380 -0.086 -0.113 -0.019 0.386 0.149 0.080 {\bar \mu _\lambda } 1.027 -0.006 -1.673 -0.280 0.388 0.086 0.701 0.172 -0.303 表 4 坝体最大变形响应标准差的响应面函数中的系数Table 4. Coefficients in response surface function for the standard deviation of maximum deformation response响应 d e1 e2 e3 e4 f1 f2 f3 f4 g2 h2 {\bar \sigma _{DY}} 0.229 0.097 1.592 0.624 -0.856 -0.466 -0.822 -0.273 0.706 -0.039 0.036 {\bar \sigma _\lambda } 1.139 -0.040 -0.004 0.329 -0.681 -0.466 0.091 -0.761 0.430 -1.007 0.848 表 5 响应面函数预测精度验证结果Table 5. Validation of predicated results of response surface functions变形统计参数 响应面预测值 有限元计算值 相对误差/% {\bar \mu _{DY}} 0.145 0.149 2.7 {\bar \mu _\lambda } 0.153 0.158 3.0 {\bar \sigma _{DY}} 0.988 0.982 0.6 {\bar \sigma _\lambda } 0.920 0.925 0.5 当大坝填筑到高程1084.3 m，由图 9，10可得不同最大沉降和倾度控制指标的超越概率，如表 6。
表 6 超越概率预测精度验证结果Table 6. Validation of predicated results of exceeding probability变形
响应控制
指标超越概率/
%调整后的超越概率/% 有限元计算的超越概率/% 最大沉降/cm 80 88.62 69.00 69.06 85 53.60 30.00 30.28 90 19.31 9.00 8.79 95 3.67 1.00 1.00 100 0.31 0.10 0.08 最大倾度/% 0.75 99.90 97.00 96.82 0.80 96.82 79.00 78.90 0.90 48.05 13.00 13.05 1.00 2.97 0.10 0.11 为了提高大坝的安全性，进一步调整其最大变形响应的超越概率，如表 6所示，将调整后的假设的超越概率代入方程组（10），可以得到调整后的各分区现场坝料干密度的随机场数字特征如表 7所示。
表 7 调整后的各分区坝料现场干密度随机场数字特征Table 7. Adjusted digital characteristics of dry density of soils分区 数字特征 调整后 堆石 μρ/(g·cm-3) 2.144 σρ/(g·cm-3) 0.021 心墙 μρ/(g·cm-3) 1.791 σρ/(g·cm-3) 0.111 δv/m 2.067 反滤Ⅰ μρ/(g·cm-3) 2.071 σρ/(g·cm-3) 0.019 反滤Ⅱ μρ/(g·cm-3) 2.056 σρ/(g·cm-3) 0.020 对比分析基于调整后随机场数字特征的随机有限元计算结果，如表 6所示，随机有限元计算结果和预期设置的超越概率吻合较好。说明本文提出的现场干密度的数字特征优化方法是有效的，可用于指导下一填筑阶段坝料的碾压施工。
5. 结论
基于随机场理论，探讨了不同填筑阶段坝料干密度的数字特征对大坝不确定响应的影响，推求了坝体最大沉降和最大倾度超越概率的表达式，对于大坝施工过程中压实质量控制指标的优化具有借鉴意义，得到主要4点结论。
（1）受现场施工质量的影响，填筑前期统计得到的观音岩大坝各坝料干密度的数字特征较小，填筑后期逐渐增大并趋于稳定。
（2）心墙干密度随机场数字特征对大坝不确定结构响应的影响最大。基本不同填筑阶段干密度数字特征计算的整个坝体最大沉降和最大倾度的均值在反方向上与心墙干密度均值变化趋势基本一致，不同填筑阶段最大沉降和最大倾度的标准差与心墙干密度标准差的变化趋势基本保持一致。
（3）相比于填筑前期，填筑后期观音岩大坝最大沉降和最大倾度的超越概率曲线左移且曲线的倾斜度在竖直方向变大，大坝变形响应性状趋于稳定。
（4）采用本文方法构建的大坝变形响应的超越概率表达式是可行的，通过调整超越概率变化规律，合理制定下一施工阶段坝料干密度随机场数字特征，可以为大坝变形控制和填筑施工提供一定的参考，具有重要的理论意义和工程应用价值。
目前填筑前期干密度测点数量占累积总数量的比例较小，为了保证前期干密度数字特征统计结果的精度，未来需要进行采样方法研究。施工过程中前期、中期和后期的施工质量对坝料干密度数字特征的统计分析结果有较大影响，下一步需要将同一分区的坝料按照填筑过程中的施工质量再进行分区。此外，大坝安全评价还涉及其他响应指标，例如，蓄水期心墙的水力劈裂、地震工况下坝体的永久变形、筑坝砂砾料的液化安全性、粘土心墙料动强度安全性，以及坝基层液化安全性等，这些结构响应指标和坝料干密度数字特征间的关系需要进一步研究。
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图 1 不同幅值下疲劳荷载的应力-应变曲线
Figure 1. Stress-strain curves of fatigue loads under different amplitudes
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图 2 不同应力比下蠕变变形-时间、疲劳残余变形-荷载循环次数曲线
Figure 2. Curves of creep deformation-time and residual deformation- cycle times of fatigue loads under different stress ratios
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图 11 不同应力条件下疲劳变形模拟
Figure 11. Fitting of fatigue deformation of stone under different stresses
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图 12 不同条件下岩石进入加速段非线性变形时完整度
Figure 12. Integrity
of rock entering nonlinear deformation in acceleration section under different conditions 表 1 各类岩样的荷载条件
Table 1 Load conditions of various types of rock samples
文献 岩石种类 单调加载强度 /MPa 破坏门槛值 /MPa 变形门槛值 /MPa 循环荷载值/MPa 频率 /Hz 文献[11] 花岗岩A56 112.35 89.88 3.00 28.09 106.73 0.2 文献[11] 花岗岩A47 112.35 89.88 3.00 28.09 106.73 1.0 文献[11] 花岗岩A22 112.35 89.88 3.00 22.47 101.11 1.0 文献[12] 砂岩S2 87.55 70.04 2.00 10.00 80.00 0.1 文献[12] 砂岩S2 87.55 70.04 2.00 10.00 80.00 1.0 文献[12] 砂岩S10 134.08 107.26 2.00 10.00 117.30 0.1 文献[12] 砂岩S10 134.08 107.26 2.00 10.00 117.30 1.0 文献[14] 白砂岩#5 119.60 95.68 3.00 23.92 101.66 0.2 文献[14] 白砂岩#3 119.60 95.68 3.00 35.88 107.64 0.2 文献[14] 白砂岩#1 119.60 95.68 3.00 35.88 95.68 0.2 
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