基于比拟方程法的桩承式加筋体三维分析方法

李晓龙; 史宏彦

doi:10.11779/CJGE202005015

基于比拟方程法的桩承式加筋体三维分析方法 English Version

李晓龙^1,,
史宏彦²

1.
广东粤路勘察设计有限公司,广东　广州　510000
2.
广东工业大学,广东　广州　510006

详细信息

作者简介:
李晓龙(1990—),男,硕士,工程师,主要从事公路与桥梁的设计和相关科研工作。E-mail: 137448973@qq.com

中图分类号: TU470
计量
- 文章访问数: 258
- HTML全文浏览量: 17
- PDF下载量: 93
出版历程
- 收稿日期: 2019-08-04
- 网络出版日期: 2022-12-07
- 刊出日期: 2020-04-30

3-D analysis method for pile-supported geosynthetic reinforcements based on analog equation method

LI Xiao-long^1,,
SHI Hong-yan²

1.
Guangdong Yuelu Highway Survey and Design Co., Ltd., Guangzhou 510000, China
2.
Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China

摘要

摘要: 桩承式加筋体的载荷–变形是复杂的三维力学问题,目前三维理论分析方法尚不完善。鉴于此,以三维情况下方形布桩的加筋体为研究对象,将其视为受上部荷载和桩间土反力共同作用下的空间薄膜,并基于最小势能原理推导了其三维平衡偏微分方程组。鉴于该方程组具有形式复杂及高度非线性的特点,针对荷载均匀分布及无地基反力的情况,应用薄膜分析中的比拟方程法进行求解,据此计算加筋体的变形与拉力,初步建立了一种桩承式加筋体的三维分析方法。最后,通过一个现场试验算例计算和结果对比分析初步验证了三维分析方法的合理性。
- 桩承式加筋路堤 /
- 加筋体 /
- 三维分析 /
- 比拟方程法
Abstract: The load-deformation behavior of pile-supported geosynthetic reinforcements (GRs) is a complicated three-dimensional mechanical problem, and so far the 3-D analytical methods have not been well-established. Therefore the GRs with piles in square-type layout under 3-D conditions are taken as the research objects, which are regarded as the spacial membranes under the combined effect of the upper load and the subsoil reaction among piles. The partial differential equilibrium equations are derived based on the minimum potential energy principle. For the conditions of uniform load and without subsoil reaction, the analog equation method in the membrane analysis is used to solve the equations in view of their complex forms and highly nonlinear characteristics. Then the deformation and tensile force of GRs are accordingly calculated, and the 3-D analytical method for the pile-supported GRs is established. Finally, the rationality of the method is validated primitively by comparing the calculated and observed results of a field test example.
- pile-supported geosynthetic-reinforced embankment /
- geosynthetic reinforcement /
- 3-D analysis /
- analog equation method

HTML全文

0. 引言

桩承式加筋路堤具有工后沉降小、稳定性高及施工时间短等优点,目前在国内外工程实践中得到广泛应用,其核心原理是路堤填土的土拱效应及加筋体的张力膜效应。然而,桩承式加筋体的载荷–变形是极为复杂的三维力学问题,尽管国内外学者从室内外试验、数值模拟及理论分析等方面做了大量的研究工作,但仍明显落后于工程实践,如何对桩承式加筋体的变形与拉力进行合理计算分析成为学者们长期关注的问题。

目前,国内外有多种方法计算桩承式加筋体的变形与拉力,如Low圆弧线法、抛物线法、英国规范BS8006方法、德国规范EBGEO方法及其一系列修正方法。上述方法的共同点是将桩间条带区域的加筋体视为研究对象,将加筋体的载荷–变形视为平面应变问题,这与桩承式加筋体的三维变形和受力特性明显不相符。

针对上述情况,学者们对桩承式加筋体的三维变形与受力特性进行了深入研究,从不同角度提出了加筋体的三维分析方法。Jones等^[1]、Halvordson等^[2]、Plaut等^[3]在加筋体三维分析方面做了一系列研究工作,分别将加筋体视为方形薄板、带球形节点的索网及中心支承的圆形薄膜,同时将桩帽区域和桩间区域的软土视为不同刚度的分布弹簧,基于最小势能和有限差分法求解离散点的位移,从而求得加筋体的三维变形和受力。饶为国等^[4]提出将加筋体和垫层作为一个整体网垫考虑,以四边简支矩形薄板模拟网垫单元,根据大挠度薄板理论和Winkler弹性地基梁,提出了网垫层挠度的双三角级数解。郑俊杰等^[5]、张军等^[6]以单桩处理范围内的复合地基为研究对象,同样将加筋体和垫层视为四边简支的矩形薄板,根据大挠度薄板理论并假设加筋体变形为重三角函数形式,分别以布辛奈斯克法和桩土差异沉降计算薄板中点的最大挠度,据此可求得薄板的变形和受力状态。赵明华等^[7]根据环形大挠度薄板理论建立了加筋体的控制微分方程,并利用变参迭代法求解出加筋体的挠曲变形函数,同时通过力状态量的量纲化求得加筋体应力状态。闫澍旺等^[8]指出加筋垫层大挠度薄板理论分析模型的边界条件与实际情况存在差异,提出了四角弹性支承、其余为自由边界的矩形薄板模型,并假定其挠度方程为两正弦函数叠加的形式,将荷载传递分为假定和实际两个状态,采用伽辽金法和功能原理对加筋垫层的挠度进行分步求解。李波等^[9],徐超等^[10]均基于分区域计算的思想,将桩间条带区域加筋体按平面问题考虑,并分别假设其变形形态为圆弧线和抛物柱面；对于内部区域加筋体变形形态则分别假设为球面和空间抛物面,据此计算加筋体的应变和拉力。与此相类似的还有庄妍等^[11]提出的椭圆抛物面计算方法。Kang^[12]基于ABAQUS二维和三维分析结果,提出用四次多项式所表示的空间曲面模拟加筋体的三维变形,在荷载均匀分布、无地基反力及仅考虑加筋体竖向变形的情况下,根据弹性膜理论推导并求解了加筋体竖向平衡偏微分方程,由此建立一种简化的三维分析方法。

从目前国内外研究成果可见,桩承式加筋体三维分析方法大致可分为两大类：①第一类方法是把加筋体单独作为研究对象,将其视为薄膜或索网进行分析,也有部分学者考虑加筋体的抗弯刚度而将其视为薄板,如Jones等^[1]；②第二类方法是把加筋体和垫层组合体作为研究对象,将其视为矩形薄板或中心支承的圆形薄板进行分析。第一类方法不考虑垫层和加筋体之间的咬合和摩擦作用,忽略了加筋垫层的“柔性筏板效应”,其三维分析结果偏保守,但优点是概念清晰,是真正意义上的筋材变形和受力分析。第二类方法考虑加筋垫层的“柔性筏板效应”,甚至进一步考虑了垫层与地基土之间的摩擦力,但其三维分析结果是筋材和一定厚度垫层所组成的复合薄板的变形和受力,且复合薄板的抗弯拉特性和垫层散体材料特性并不相符。此外,目前桩承式加筋体三维分析大多事先假定了筋材的变形形式,不能反映筋材的真实变形和受力状态。因此,目前桩承式加筋体的三维分析方法尚不完善,有待进一步研究。

针对上述情况,以三维情况下方形布桩的加筋体为研究对象,将其视为受上部荷载和桩间土反力共同作用的空间薄膜,基于最小势能原理推导其三维平衡偏微分方程组,并针对荷载均匀分布及无地基反力的情况应用比拟方程法进行求解,初步建立一种桩承式加筋体的三维分析方法。最后,通过一个现场试验算例计算和结果对比分析初步验证本文方法的合理性。

1. 计算模型

在三维情况下,加筋体可视为角点支承在桩（帽）上的空间薄膜。考虑桩间条带区域加筋体的变形和拉力作为待求解未知量,同时避免边界位移对筋材变形和受力产生过大影响,计算区域应在四桩支承模型的基础上适当增大。根据圣维南原理,当四桩支承模型的边界距离整个计算区域的外边界不小于2倍桩间距时,外边界位移对中部四桩支承加筋体的影响可以忽略。因此,取边长为5倍桩间距的方形区域作为桩承式加筋体计算区域。

进一步对加筋体作如下假定：①加筋体为均匀弹性材料,在外荷载作用下发生大变形,但其抗拉刚度为常量；②受荷前为理想的平面状态,不出现局部松弛；③在桩帽边缘处固定,不考虑桩帽区域内的加筋体；④计算区域外边界处的加筋体不考虑桩帽的影响,且不产生竖向变形。综上所述,可得到如图1所示的桩承式加筋体三维分析计算模型。

图 1 桩承式加筋体三维分析计算模型

Figure 1. Computational model for GRs in 3-D analysis

下载: 全尺寸图片幻灯片

2. 平衡方程的建立

2.1 平衡方程

以加筋体任一点A为研究对象,其在竖向外荷载﹣P_z(x,y)和地基反力R共同作用下产生变形和拉力,竖向变形为–ω,受力分析微单元如图2所示。

图 2 加筋体微单元

Figure 2. Element of GRs

下载: 全尺寸图片幻灯片

考虑Winkler弹性地基,地基反力R为

$R = k_{s} w$ 。

(1)

对于整个计算区域,加筋体的总势能为

$\begin{matrix} Π = \frac{1}{2} \int_{Ω} (N_{x} ε_{x} + N_{y} ε_{y} + N_{x y} γ_{x y}) d Ω - \\ \int_{Ω} (p_{z} - \frac{1}{2} k_{s} w) w d Ω - \int_{Γ} (T_{x} \tilde{u} + T_{y} \tilde{v} + T_{z} \tilde{w}) d s \end{matrix}$ ,

(2)

式中, $T_{x}$ , $T_{y}$ , $T_{z}$ 和 $\tilde{u}$ , $\tilde{v}$ , $\tilde{w}$ 分别为计算模型边界的加筋体拉力分量和位移分量。

根据弹性膜理论,加筋体的本构方程为

$\begin{array}{l} N_{x} = D (ε_{x} + μ ε_{y}), \\ N_{y} = D (ε_{y} + μ ε_{x}), \\ N_{x y} = D \frac{1 - μ}{2} γ_{x y}, \end{array}}$

(3)

式中,D为加筋体的抗拉刚度系数,

$D = \frac{E h}{1 - μ^{2}}$ ,

(4)

其中, $E$ , $h$ , $μ$ 分别为加筋体的弹性模量、厚度和泊松比。

对于初始状态为平面的加筋体,其大变形非线性几何方程为

$\begin{array}{l} ε_{x} = u,_{x} + \frac{1}{2} w,_{x}^{2}, \\ ε_{y} = v,_{y} + \frac{1}{2} w,_{y}^{2}, \\ γ_{x y} = u,_{y} + v,_{x} + w,_{x} w,_{y} 。 \end{array}}$

(5)

将式（3）,（5）代入式（2）,根据最小势能原理,由 $δ Π = 0$ 可得

$\begin{array}{l} N_{x},_{x} + N_{x y},_{y} = 0, \\ N_{y x},_{x} + N_{y},_{y} = 0, \\ N_{x} w,_{x x} + 2 N_{x y} w,_{x y} + N_{y} w,_{y y} + p_{z} - k_{s} w = 0 。 \end{array}}$

(6)

将式（3）,（5）代入式（6）,可得到桩承式加筋体三维平衡方程组式（7）。式（6）,（7）在文献[12]的加筋体竖向平衡方程式（14）的基础上,进一步考虑了加筋体的水平向变形和平衡以及地基土反力作用,并基于加筋体的最小势能推导得到,在一定程度上反映了加筋体在上部荷载和地基土反力共同作用下发生非线性大变形的特性,但其形式复杂,且具有高度非线性的特点,一般情况下难以求得解析解。

$\begin{array}{l} \frac{1 - μ}{2} \nabla^{2} u + \frac{1 + μ}{2} (u,_{x} + v,_{y}),_{x} \\ = - w,_{x} (w,_{x x} + \frac{1 - μ}{2} w,_{y y}) - \frac{1 + μ}{2} w,_{y} w,_{x y}, \\ \frac{1 - μ}{2} \nabla^{2} v + \frac{1 + μ}{2} (u,_{x} + v,_{y}),_{y} \\ = - w,_{y} (w,_{y y} + \frac{1 - μ}{2} w,_{x x}) - \frac{1 + μ}{2} w,_{x} w,_{x y}, \\ [(u,_{x} + \frac{1}{2} w,_{x}^{2}) + μ (v,_{y} + \frac{1}{2} w,_{y}^{2})] w,_{x x} + \\ (1 - μ) (u,_{y} + v,_{x} + w,_{x} w,_{y}) w,_{x y} + \\ [(v,_{y} + \frac{1}{2} w,_{y}^{2}) + μ (u,_{x} + \frac{1}{2} w,_{x}^{2})] w,_{y y} + \frac{p_{z} - k_{s} w}{D} = 0 。 \end{array}}$

(7)

2.2 边界条件

加筋体可视为角点支承在桩（帽）上的空间薄膜,柔性膜材需要依靠预张应力及自身曲面曲率变化来维持稳定和承受荷载,因此薄膜结构分析的前提是找到满足边界条件和初始平衡条件的结构形态,亦即薄膜结构找形分析。对于初始状态为平面的加筋体,主要通过对边界施加微小位移而使内部产生预应力来实现找形分析。

结合前述计算假定,计算模型的边界条件可表述为

$\begin{array}{l} u = \tilde{u} \\ v = \tilde{v} (x, y) \in Γ_{out} \\ w = 0 \end{array}$ ,

(8a)

$\begin{matrix} u = v = w = 0 & ((x, y) \in Γ_{in}) \end{matrix}$ ,

(8b)

式中, $\tilde{u}$ , $\tilde{v}$ 为给定的外边界微小水平位移。

式可以统一写成

$\begin{matrix} u_{i} = {\tilde{u}}_{i} & （ i = 1, 2, 3 & , & (x, y) \in Γ ） \end{matrix}$ 。

(9)

2.3 荷载计算

根据文献[13],桩承式加筋路堤荷载可分为3部分：①直接作用在桩（帽）上的荷载A；②作用在加筋体上由加筋体传递到桩上的荷载B；③通过加筋体直接作用到地基土上的荷载C。若考虑无地基反力的极端情况,如由于地基土固结沉降等原因使加筋体和地基土脱离,则C = 0。因此,作用在加筋体上的总荷载 $F_{GR}$ 由荷载B和荷载C两部分组成,即

$F_{GR} = B + C$ ,

(10)

式中, $F_{GR}$ 可采用Van Eekelen等^[13]提出的同心拱模型（the concentric arches model）计算,具体计算过程详见文献[13]。

基于式（7）形式复杂及高度非线性的特点,本文初步考虑无地基反力的情况,并进一步假定作用在加筋体上的荷载均匀分布,根据桩间距、桩帽尺寸以及作用在加筋体上的总荷载 $F_{GR}$ ,可求得均布荷载（图3）：

$p_{z} = p_{0} = \frac{F_{GR}}{s_{x} \cdot s_{y} - a^{2}} = \frac{B}{s_{x} \cdot s_{y} - a^{2}}$ 。

(11)

图 3 作用在加筋体上的均布荷载

Figure 3. Uniform loads applied on GRs

下载: 全尺寸图片幻灯片

3. 平衡方程的求解

3.1 平衡方程的简化

在无地基反力和荷载均匀分布的情况下,本文将应用比拟方程法（analog equation method,AEM）^[14-17]对式（7）进行求解。具体结合桩承式加筋体分析,在此对比拟方程法原理和所涉及的公式进行简要总结,具体推导过程可详见文献[14~17]。

设 $u = u (x, y)$ , $v = v (x, y)$ 和 $w = w (x, y)$ 为式（7）的解,并在计算区域内二次可导,满足某一泊松方程：

$\nabla^{2} u_{i} = b_{i} (x, y) （ i = 1, 2, 3 ）$ ,

(12)

式中,非齐次项 $b_{i} (x, y)$ 为虚拟源,其物理意义是在同一边界条件下,式（12）对研究对象描述的变形与受力情况和式（7）一致, $b_{i} (x, y)$ 即为原来均匀分布荷载的等效荷载。

根据径向基函数近似求解偏微分方程理论^[14-18],非齐次项 $b_{i} (x, y)$ 可取为

$b_{i} = \sum_{j = 1}^{M} α_{j}^{(i)} f_{j}$ ,

(13)

式中, $α_{j}^{(i)}$ 为待求解的未知系数, $M$ 为计算区域内均匀分布的配置点总数, $f_{j}$ 为径向基函数^[14,16-18],

$f_{j} = \sqrt{r^{2} + c_{0}^{2}}$ ,

(14)

其中, $c_{0}$ 为形状参数,可取为1, $r$ 为计算点到配置点的距离

$r = \sqrt{{(x - x_{j})}^{2} + {(y - y_{j})}^{2}} （ j = 1, 2, \dots, M ）$ 。

(15)

设 $u_{i}^{P}$ , ${\bar{u}}_{i}$ 分别为式（12）的特解以及对应Laplace方程的通解,根据特解法有

$u_{i} = {\bar{u}}_{i} + u_{i}^{P}$ ,

(16)

假设

$\nabla^{2} {\hat{u}}_{j} = f_{j}$ 。

(17)

根据式（12）,（13）,（16）,（17）可得

$u_{i}^{P} = \sum_{j = 1}^{M} α_{j}^{(i)} {\hat{u}}_{j}$ ,

(18)

式中, ${\hat{u}}_{j}$ 可取^[14,16-17]

${\hat{u}}_{j} = - \frac{c_{0}^{3}}{3} \ln (c_{0} \sqrt{r^{2} + c_{0}^{2}} + c_{0}^{2}) + \frac{1}{9} (r^{2} + 4 c_{0}^{2}) \sqrt{r^{2} + c_{0}^{2}}$ 。

(19)

由于通解满足Laplace方程,即有

$\nabla^{2} {\bar{u}}_{i} = 0 （ i = 1, 2, 3 ）$ 。

(20)

结合式（9）,（16）,（18）,Laplace方程通解应满足边界条件：

${\bar{u}}_{i} = {\tilde{u}}_{i} - \sum_{j = 1}^{M} α_{j}^{(i)} {\hat{u}}_{j} （ (x, y) \in Γ ）$ 。

(21)

3.2 简化方程的求解

式（20）,（21）组成的Laplace方程第一边值问题,可用边界元法^[14-17]求解,相应的边界积分方程为

$c {\bar{u}}_{i} (P) = - \int_{Γ} [u^{*} (r_{P Q}) {\bar{u}}_{i},_{n} (Q) - {\bar{u}}_{i} (Q) u^{*},_{n} (r_{P Q})] d Γ$ 。

(22)

式中 P为区域点, $P (x, y) \in Ω \cup Γ$ ；Q为边界积分点, $Q (ξ, η) \in Γ$ ； $r_{P Q}$ 为点P和Q之间的距离； $u^{*} (r_{P Q})$ 为Laplace方程的基本解,

$u^{*} (r_{P Q}) = \frac{1}{2 π} \ln (r_{P Q})$ 。

(23)

$u^{*},_{n} (r_{P Q})$ 为基本解对边界积分点外法线方向的偏导数； ${\bar{u}}_{i} (Q)$ , ${\bar{u}}_{i},_{n} (Q)$ 分别为通解情况下边界积分点位移分量及其梯度； $c$ 为与点P边界几何形状有关的常数,根据边界元理论,当点P分别位于光滑边界上以及区域内, $c$ 可分别取0.5,1.0,否则取 $c = θ / 2 π$ ,其中 $θ$ 为点P处切线间的夹角。

对于区域内点,由式（16）,（18）,（22）可得

$\begin{matrix} u_{i} (P) = - \int_{Γ} [u^{*} (r_{P Q}) {\bar{u}}_{i},_{n} (Q) - {\bar{u}}_{i} (Q) u^{*},_{n} (r_{P Q})] d Γ + \\ \sum_{j = 1}^{M} α_{j}^{(i)} {\hat{u}}_{j} (r_{j P}) \end{matrix}$ 。

(24)

由于式（24）为x,y的函数,因此区域内点的位移一阶及二阶导数可对上式直接求导,可得到 $u_{i},_{x}$ , $u_{i},_{y}$ , $u_{i},_{x x}$ , $u_{i},_{y y}$ , $u_{i},_{x y}$ 。

进一步利用边界元法对式（24）及相应的偏导计算进行处理。如图4所示,将计算模型边界离散化且划分为N个常单元,并如前所述取M个配置点。由于计算模型有内外边界,在边界元中属于多连域问题,因此应注意积分回路的正方向：外边界以逆时针方向为正,内边界以顺时针方向为正。

图 4 边界离散化及内部配置点

Figure 4. Boundary discretization and collocation points

下载: 全尺寸图片幻灯片

对于区域内第m个配置点,由式（24）可得

$\begin{matrix} u_{i}^{m} = - \sum_{k = 1}^{N} \int_{Γ_{k}} u^{*} (r_{m k}) {\bar{u}}_{i},_{n} (k) d Γ_{k} + \sum_{k = 1}^{N} \int_{Γ_{k}} {\bar{u}}_{i} (k) u^{*},_{n} (r_{m k}) d Γ_{k} + \\ \sum_{j = 1}^{M} α_{j}^{(i)} {\hat{u}}_{j} (r_{j m}) \end{matrix}$ 。

(25)

由于边界离散化采用常单元,故在单元内 ${\bar{u}}_{i},_{n} (k)$ , ${\bar{u}}_{i} (k)$ 均为常数,令

$\begin{array}{l} G_{m k}^{*} = \int_{Γ_{k}} u^{*} (r_{m k}) d Γ_{k}, \\ H_{m k}^{*} = \int_{Γ_{k}} u^{*},_{n} (r_{m k}) d Γ_{k} 。 \end{array}}$

(26)

对于计算模型内M个配置点,将式（25）写成矩阵形式可得

${u_{i}} = [H^{*}] {{\bar{u}}_{i}} - [G^{*}] {{\bar{u}}_{i},_{n}} + [{\hat{u}}^{*}] {α^{(i)}}$ 。

(27)

同理可得相关偏导表达式 ${u_{i},_{x}}$ , ${u_{i},_{y}}$ , ${u_{i},_{x x}}$ , ${u_{i},_{y y}}$ , ${u_{i},_{x y}}$ 。

边界离散化后,对于边界上第p个节点,由边界积分方程式（22）可得

$c^{p} {\bar{u}}_{i}^{p} = - \sum_{k = 1}^{N} \int_{Γ_{k}} u^{*} (r_{p k}) {\bar{u}}_{i},_{n} (k) d Γ_{k} + \sum_{k = 1}^{N} \int_{Γ_{k}} {\bar{u}}_{i} (k) u^{*},_{n} (r_{p k}) d Γ_{k}$ 。

(28)

同样令

$\begin{array}{l} G_{p k} = \int_{Γ_{k}} u^{*} (r_{p k}) d Γ_{k}, \\ {\tilde{H}}_{p k} = \int_{Γ_{k}} u^{*},_{n} (r_{p k}) d Γ_{k} 。 \end{array}}$

(29)

对于边界上N个节点,将式（28）写成矩阵形式可得

$([\tilde{H}] - [c]) {{\bar{u}}_{i}} = [G] {{\bar{u}}_{i},_{n}}$ 。

(30)

令

$[H] = [\tilde{H}] - [c]$ ,

(31)

则有

${{\bar{u}}_{i},_{n}} = {[G]}^{- 1} [H] {{\bar{u}}_{i}}$ 。

(32)

式（21）边界离散化后写成矩阵形式可得

${{\bar{u}}_{i}} = {{\tilde{u}}_{i}} - [\hat{u}] {α^{(i)}}$ 。

(33)

将式（33）代入式（32）,并令

$\begin{array}{l} [R_{n}] = {[G]}^{- 1} [H], \\ [S_{n}] = - {[G]}^{- 1} [H] [\hat{u}] 。 \end{array}}$

(34)

可得

${{\bar{u}}_{i},_{n}} = [R_{n}] {{\tilde{u}}_{i}} + [S_{n}] {α^{(i)}}$ 。

(35)

将式（33）,（35）代入式（27）,并令

$\begin{array}{l} [E] = [H^{*}] - [G^{*}] [R_{n}], \\ [D] = [{\hat{u}}^{*}] - [H^{*}] [\hat{u}] - [G^{*}] [S_{n}] 。 \end{array}}$

(36)

可得

${u_{i}} = [E] {{\tilde{u}}_{i}} + [D] {α^{(i)}}$ 。

(37)

同理有

$\begin{array}{l} {u_{i},_{x}} = [E_{x}] {{\tilde{u}}_{i}} + [D_{x}] {α^{(i)}}, \\ {u_{i},_{y}} = [E_{y}] {{\tilde{u}}_{i}} + [D_{y}] {α^{(i)}}, \\ {u_{i},_{x x}} = [E_{x x}] {{\tilde{u}}_{i}} + [D_{x x}] {α^{(i)}}, \\ {u_{i},_{y y}} = [E_{y y}] {{\tilde{u}}_{i}} + [D_{y y}] {α^{(i)}}, \\ {u_{i},_{x y}} = [E_{x y}] {{\tilde{u}}_{i}} + [D_{x y}] {α^{(i)}} 。 \end{array}}$

(38)

对于计算模型内M个配置点,将加筋体三维平衡方程组式（7）写成矩阵形式：

(39)

将式（37）,（38）代入式（39）前两式,可得 ${α^{(1)}}$ , ${α^{(2)}}$ 关于 ${α^{(3)}}$ 的表达式,再将其回代到式（37）,（38）,可得到仅含有未知量 ${α^{(3)}}$ 的位移分量及其偏导数表达式。将上述表达式代入式（39）第三式,即可得到一组关于 ${α^{(3)}}$ 的非线性方程组：

${F ({α^{(3)}})} = {0}$ 。

(40)

利用最优化方法求解上述非线性方程组得到 ${α^{(3)}}$ ,然后求得 ${α^{(1)}}$ , ${α^{(2)}}$ 。求得系数 ${α^{(i)}}$ 后,可求得位移分量及其偏导数,利用式（3）,（5）即可求得拉力分量。对于计算模型内部非配置点,其位移分量和拉力计算原理和配置点相同,只需将相关系数矩阵稍作修改即可,将矩阵元素计算中内部配置点的数值替换成计算点数值,矩阵维数亦作相应调整。

至此,针对三维情况下方形布桩的加筋体,在荷载均匀分布及无地基反力的情况下,初步建立了一种桩承式加筋体的三维分析方法。由上述分析过程可见,基于最小势能原理和比拟方程法建立的加筋体三维分析方法,应用了边界元法对通解部分进行处理,通过边界积分方程（式（22））使原来空间分布的位移分量能利用三维模型的边界位移进行表述（式（37））,实现降维处理,这也是边界元法的最大特点。

4. 算例验证

4.1 算例概况及计算方案

本算例为文献[19～22]中一个现场试验实例,该路堤按正方形布桩,桩间距和桩帽边长分别为2.5 m和0.8 m,先后铺设一层土工布和一层土工格栅（Fortrac 200/200-30 polyester）,路堤填土为约1.25 m厚的黏土质砂。在路堤试验段,1 m厚地基土被挖除使加筋体处于悬空状态,并测量了其不同位置的竖向变形和应变,仪器布置情况如图5所示。

图 5 测量仪器布置

Figure 5. Layout of measuring instruments

下载: 全尺寸图片幻灯片

根据文献[21,22],本算例计算参数：填土高度H=1.25 m,重度γ=18.0 kN/m³,φ=42°~68°,c=0,地基土反力系数k=0,桩间距S_x=S_y=2.50 m,桩帽边长=0.80 m,加筋体抗拉刚度J=1615 kN/m,泊松比μ=0.3,路堤顶面荷载p=0。

路堤填土为黏土质砂,其中φ=42°,c=18.9 kPa,但同心拱模型仅适用于无黏性土,因此文献[21,22]将黏聚力等效到内摩擦角中,且在42°～68°范围进行取值,本文计算时取42°,50°,60°,68°。

内外边界进行如图4所示的离散化,并对外边界施加如图6所示的微小水平位移,边界单元总数N,内部配点总数M及边界位移数值等详见表1。

图 6 外边界水平位移分布

Figure 6. Distribution of horizontal displacements on outer boundary

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 1 算例计算方案

Table 1. Calculation schemes of example

计算方案编号	填土内摩擦角φ/(°)	边界单元总数N	内部配点总数M	加筋体荷载B/(kN·pile^-1)	加筋体均布荷载p₀/kPa	水平位移分量u/m	水平位移分量v/m
1.1	42	228	65	59.849	10.668	0.05	0.05
1.2	50	228	65	50.905	9.074	0.05	0.05
1.3	60	228	65	43.430	7.742	0.05	0.05
1.4	68	228	65	40.445	7.209	0.05	0.05

下载: 导出CSV

| 显示表格

4.2 计算结果及对比分析

根据图5测量仪器布置,本算例主要研究桩间条带区域中心点、桩帽边缘点及四桩中心点的加筋体变形和拉力,因此取如图5所示的点A,B,C作为计算点,其竖向位移、应变及拉力计算结果见表2。

表 2 算例计算结果

Table 2. Calculated results of example

计算方案编号	填土内摩擦角φ/（°）	竖向位移/m		应变值/%					拉力值/(kN·m^-1)
计算方案编号	填土内摩擦角φ/（°）	w_A	w_C	ε_yA	ε_yB	ε_xC	ε_yC	N_yA	N_xB	N_yB	N_xC	N_yC
1.1	42	0.142	0.224	1.64	1.78	1.01	1.01	26.55	24.43	36.10	23.27	23.37
1.2	50	0.134	0.212	1.47	1.59	0.90	0.90	23.82	22.07	32.27	20.84	20.84
1.3	60	0.127	0.201	1.32	1.42	0.81	0.81	21.42	20.02	28.90	18.70	18.70
1.4	68	0.124	0.196	1.26	1.34	0.77	0.77	20.42	19.09	27.42	17.82	17.82

下载: 导出CSV

| 显示表格

表3,4分别是加筋体竖向位移、应变及拉力的计算值与实测值、数值模拟值（ABAQUS模拟,荷载形式采用同心拱模型下均布载,且考虑桩帽区域加筋体）对比,图7～9为相应的对比曲线,其中表4的实测值是根据应变实测值计算得到。值得注意,在计算结果和对比曲线中,取不同的内摩擦角仅因为在计算中采用同心拱模型而将土的黏聚力进行等效及扩大取值范围,相关量值的实测值并不随土的内摩擦角发生变化。

表 3 加筋体竖向位移值及应变值对比

Table 3. Comparison between vertical displacement and strain values of GRs

对比项目	测量仪器	实测值	模拟值	计算值
竖向位移/m	SP03	0.36	0.215~0.245	0.196~0.224
	SP07	0.17	0.139~0.159	0.124~0.142
	SP08	0.17	0.139~0.159	0.124~0.142
应变/%	ε1	2.05	0.97~1.27	1.34~1.78
	ε2	1.73
	ε3	1.50
	ε6	1.50	1.13~1.47	1.26~1.64
	ε10	1.36	1.13~1.47	1.26~1.64
	ε7	1.14	0.75~0.98	0.77~1.01
	ε8	0.97	0.75~0.98	0.77~1.01

下载: 导出CSV

| 显示表格

表 4 加筋体拉力值对比

Table 4. Comparison of tensile force values of GRs

位置	方向	实测值/(kN·m^-1)	模拟值/(kN·m^-1)	计算值/(kN·m^-1)
桩间条带中心	y	29.34	18.27~23.81	20.42~26.55
桩间条带中心	y	25.84	18.27~23.81	20.42~26.55
四桩中心点	x	25.40	17.45~22.77	17.82~23.27
四桩中心点	y	23.28	17.45~22.77	17.82~23.27

下载: 导出CSV

| 显示表格

图 7 加筋体竖向位移值对比

Figure 7. Comparison of vertical displacement values of GRs

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 8 加筋体应变值对比

Figure 8. Comparison of strain values of GRs

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 9 加筋体拉力值对比

Figure 9. Comparison of tensile force values of GRs

下载: 全尺寸图片幻灯片

由计算结果及对比曲线可知,加筋体的竖向位移、应变及拉力的计算值和模拟值均随填土的等效内摩擦角增大而减小。根据桩–网复合地基的土拱理论,土拱效应随填土内摩擦角增大而增强,使直接作用在桩（帽）上的荷载增大,作用在加筋体上的荷载减少,因此加筋体的竖向位移、应变及拉力相应减小。

从实测、模拟和计算的结果可发现,加筋体的竖向位移最大值出现在四桩中心点,应变较大值出现在桩帽边缘（点B）,而桩间条带中心点（点A）应变值较四桩中心点（点C）大,由此可大致判断桩间条带区域为主受力区,四桩中心区域为次受力区。

从图7对比结果看,加筋体的竖向位移计算值与模拟值整体较接近,但均与现场实测值有较大误差,特别是在四桩中心区域,误差均约为30%～40%。此外,文献[21]除均布载外还对倒三角分布的情况以及采用应变实测值进行变形计算,偏保守的二维计算结果也远小于竖向位移现场实测值。

由图8对比曲线可见,本文方法应变计算值和模拟值较为接近,在二维方法计算值及模拟值分布范围内,且与实测值较为吻合,在等效内摩擦角较小时接近于实测值,随着等效内摩擦角增大而逐渐偏离实测值,与实测平均值相差约1%～27%。

图9拉力对比曲线与应变对比情况一致,本文方法拉力计算值在等效内摩擦角较小时接近于实测数据计算值,随着等效内摩擦角增大而逐渐出现偏离情况,与实测数据计算值相差约0.04%～29%。

上述对比分析结果表明,本文方法计算值与模拟值在总体上较一致,但两者均与现场实测值有较大程度的误差,这在一定程度上说明了误差除了来源于分析方法本身以外,更主要来源于理论分析的定解条件、外部荷载等与实际情况（特别是现场试验）的差异：

（1）初始状态模拟误差。本文方法及现有的研究成果均假定加筋体（或复合薄板）在受荷前处于理想的平面状态,但根据文献[21]所述,本文算例实际情况是加筋体在受荷前出现局部松弛,其造成的竖向位移并未在计算及模拟中加以考虑。

（2）边界条件模拟误差。本文方法假定加筋体在桩帽边缘固定,不考虑桩帽区域加筋体,而实际情况是桩帽区域加筋体在受荷后产生滑移及拉伸,这就是算例计算值和模拟值在四桩中心区域较接近,而在桩间条带区域相差较大的原因。此外,由对称性可知图5点A,B所在的竖向平面为对称面,此处加筋体的横向变形受约束,这是在理论分析和数值模拟中常用的边界条件,但实际上现场试验分区域以及非等厚度填土会导致此处的加筋体产生横向滑移及拉伸。

（3）荷载模拟误差。本文采用同心拱模型计算加筋体荷载并假定其均匀分布,但该模型仅适用于无黏性土,因此加筋体荷载大小和分布形式可能与实际情况有较大区别。另外,根据文献[19]所述,算例路堤填土实际上并非等厚度,填土高度实际上是1.23～1.28 m,这也为加筋体荷载计算带来一定程度的误差。上述土拱模型计算及填土厚度非均匀情况所导致的误差,对于本文算例低填土路堤情况可能尤为明显,因为此时路堤填土中的土拱效应实际上未得到完全发挥（ $H <$ $S_{x} / 2, H < \sqrt{S_{x}^{2} + S_{y}^{2}} / 2$ ）^[13]。

根据算例计算和结果对比分析,以及上述的误差定性分析,本文三维分析方法的合理性得到初步验证。

5. 结论

本文将方形布桩的加筋体视为受上部荷载和桩间土反力共同作用下的空间薄膜,推导了其三维平衡方程组,并对无地基反力及均布荷载情况进行求解,最后通过一个现场试验算例验证本文方法的合理性。

（1）通过最小势能原理推导了加筋体的三维平衡偏微分方程组,其在现有的弹性膜理论分析方法基础上进一步考虑了筋材的水平向变形和平衡以及地基土反力,在一定程度上反映了加筋体在上部荷载和地基土反力共同作用下发生非线性大变形的特性,但其形式复杂且具有高度非线性的特点。

（2）在无地基反力及均布荷载的情况下,应用比拟方程法对三维平衡方程组进行求解,由此初步建立了一种桩承式加筋体三维分析方法。该方法应用了边界元法对通解部分进行处理,通过边界积分方程使原来空间分布的位移分量能利用边界线的位移进行表述,实现了降维处理。

（3）通过算例计算及结果对比分析,本文方法的合理性得到了初步验证。此外,计算结果对比及误差的定性分析表明,加筋体在加载前的局部松弛以及在桩帽、桩间条带横向的边界条件,对加筋体的变形与受力分析影响较大。

非均布载及考虑地基反力情况下三维平衡方程组求解,考虑加筋体加载前局部松弛及桩帽区域加筋体影响等问题还有待于进一步研究。

图 1 桩承式加筋体三维分析计算模型

Figure 1. Computational model for GRs in 3-D analysis

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 2 加筋体微单元

Figure 2. Element of GRs

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 3 作用在加筋体上的均布荷载

Figure 3. Uniform loads applied on GRs

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 4 边界离散化及内部配置点

Figure 4. Boundary discretization and collocation points

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 5 测量仪器布置

Figure 5. Layout of measuring instruments

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 6 外边界水平位移分布

Figure 6. Distribution of horizontal displacements on outer boundary

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 7 加筋体竖向位移值对比

Figure 7. Comparison of vertical displacement values of GRs

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 8 加筋体应变值对比

Figure 8. Comparison of strain values of GRs

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 9 加筋体拉力值对比

Figure 9. Comparison of tensile force values of GRs

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 1 算例计算方案

Table 1 Calculation schemes of example

计算方案编号	填土内摩擦角φ/(°)	边界单元总数N	内部配点总数M	加筋体荷载B/(kN·pile^-1)	加筋体均布荷载p₀/kPa	水平位移分量u/m	水平位移分量v/m
1.1	42	228	65	59.849	10.668	0.05	0.05
1.2	50	228	65	50.905	9.074	0.05	0.05
1.3	60	228	65	43.430	7.742	0.05	0.05
1.4	68	228	65	40.445	7.209	0.05	0.05

下载: 导出CSV

表 2 算例计算结果

Table 2 Calculated results of example

计算方案编号	填土内摩擦角φ/（°）	竖向位移/m		应变值/%					拉力值/(kN·m^-1)
计算方案编号	填土内摩擦角φ/（°）	w_A	w_C	ε_yA	ε_yB	ε_xC	ε_yC	N_yA	N_xB	N_yB	N_xC	N_yC
1.1	42	0.142	0.224	1.64	1.78	1.01	1.01	26.55	24.43	36.10	23.27	23.37
1.2	50	0.134	0.212	1.47	1.59	0.90	0.90	23.82	22.07	32.27	20.84	20.84
1.3	60	0.127	0.201	1.32	1.42	0.81	0.81	21.42	20.02	28.90	18.70	18.70
1.4	68	0.124	0.196	1.26	1.34	0.77	0.77	20.42	19.09	27.42	17.82	17.82

下载: 导出CSV

表 3 加筋体竖向位移值及应变值对比

Table 3 Comparison between vertical displacement and strain values of GRs

对比项目	测量仪器	实测值	模拟值	计算值
竖向位移/m	SP03	0.36	0.215~0.245	0.196~0.224
	SP07	0.17	0.139~0.159	0.124~0.142
	SP08	0.17	0.139~0.159	0.124~0.142
应变/%	ε1	2.05	0.97~1.27	1.34~1.78
	ε2	1.73
	ε3	1.50
	ε6	1.50	1.13~1.47	1.26~1.64
	ε10	1.36	1.13~1.47	1.26~1.64
	ε7	1.14	0.75~0.98	0.77~1.01
	ε8	0.97	0.75~0.98	0.77~1.01

下载: 导出CSV

表 4 加筋体拉力值对比

Table 4 Comparison of tensile force values of GRs

位置	方向	实测值/(kN·m^-1)	模拟值/(kN·m^-1)	计算值/(kN·m^-1)
桩间条带中心	y	29.34	18.27~23.81	20.42~26.55
桩间条带中心	y	25.84	18.27~23.81	20.42~26.55
四桩中心点	x	25.40	17.45~22.77	17.82~23.27
四桩中心点	y	23.28	17.45~22.77	17.82~23.27

下载: 导出CSV

参考文献(22)

[1]	JONES B M, PLAUT R H, FILZ G. M. Analysis of geosynthetic reinforcement in pile-supported embankments. Part I: 3D plate model[J]. Geosynthetics International, 2010, 17(2): 59-67. doi: 10.1680/gein.2010.17.2.59
[2]	HALVORDSON K A, PLAUT R H, FILZ G M. Analysis of geosynthetic reinforcement in pile-supported embankments: Part II 3D cable-net model[J]. Geosynthetics International, 2010, 17(2): 68-76. doi: 10.1680/gein.2010.17.2.68
[3]	PLAUT R H, FILZ G M. Analysis of geosynthetic reinforcement in pile-supported embankments. Part Ⅲ: Axisymmetric model[J]. Geosynthetics International, 2010, 17(2): 77-85. doi: 10.1680/gein.2010.17.2.77
[4]	饶为国, 江辉煌, 侯庆华. 桩–网复合地基工后沉降的薄板理论解[J]. 水利学报, 2002(4): 23-27. doi: 10.3321/j.issn:0559-9350.2002.04.005 RAO Wei-guo, JIANG Hui-huang, HOU Qing-hua. Deformation of sheet plate due to residual settlement of pile-net composite foundation[J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2002(4): 23-27. (in Chinese) doi: 10.3321/j.issn:0559-9350.2002.04.005
[5]	郑俊杰, 张军, 马强, 等. 双向增强体复合地基桩土应力比三维分析[J]. 华中科技大学学报(自然科学版), 2010, 38(2): 83-86. doi: 10.13245/j.hust.2010.02.012 ZHENG Jun-jie, ZHANG Jun, MA Qiang, et al. Three dimensional analysis of pile-earth stress ratio of biaxial reinforcement composite foundation[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology(Natural Science Edition), 2010, 38(2): 83-86. (in Chinese) doi: 10.13245/j.hust.2010.02.012
[6]	张军, 郑俊杰, 马强. 路堤荷载下双向增强体复合地基受力机理分析[J]. 岩土工程学报, 2010, 32(9): 1392-1398. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC201009016.htm ZHANG Jun, ZHENG Jun-jie, MA Qiang. Mechanical performance of biaxial reinforcement composite foundation under embankment loads[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2010, 32(9): 1392-1398. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC201009016.htm
[7]	赵明华, 刘猛, 张锐, 等. 路堤荷载下双向增强复合地基荷载分担比及沉降计算[J]. 岩土工程学报, 2014, 36(12): 2161-2169. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC201412003.htm ZHAO Ming-hua, LIU Meng, ZHANG Rui, et al. Calculation of load sharing ratio and settlement of bidirectional reinforced composite foundation under embankment loads[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2014, 36(12): 2161-2169. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTGC201412003.htm
[8]	闫澍旺, 郎瑞卿, 孙立强, 等. 基于薄板理论的刚性桩网复合地基桩土应力比计算[J]. 岩石力学与工程学报, 2017, 36(8): 2051-2060. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX201708025.htm YAN Shu-wang, LANG Rui-qing, SUN Li-qiang, et al. Calculation of pile-soil stress ratio in composite foundation with rigid pile-net based on plate theory[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2017, 36(8): 2051-2060. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YSLX201708025.htm
[9]	李波, 黄茂松, 叶观宝. 加筋桩承式路堤的三维土拱效应分析与试验验证[J]. 中国公路学报, 2012, 25(1): 13-20. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-ZGGL201201002.htm LI Bo, HUANG Mao-song, YE Guan-bao. Analysis of three –dimensional soil arching effect of pile-supported embankment with geosynthetics and its test verification[J]. China Journal of Highway and Transport, 2012, 25(1): 13-20. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-ZGGL201201002.htm
[10]	徐超, 林潇, 沈盼盼. 桩承式加筋路堤张力膜效应模型试验研究[J]. 岩土力学, 2016, 37(7): 1825-1831. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX201607001.htm XU Chao, LIN Xiao, SHEN Pan-pan. Model tests of tensile membrane effect of geosynthetic-reinforced piled embankments[J]. Rock and Soil Mechanics, 2016, 37(7): 1825-1831. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-YTLX201607001.htm
[11]	庄妍, 崔晓艳, 王康宇. 考虑加筋体三维变形的桩承式路堤沉降计算方法[J]. 天津大学学报(自然科学与工程技术版), 2019, 52(12): 1227-1234. https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-TJDX201912002.htm ZHUANG Yan, CUI Xiao-yan, WANG Kang-yu. A method to analyze the settlement of reinforced piled embankment considering the three-dimensional deformation of geosynthetic reinforced structure[J]. Journal of Tianjin University(Science and Technology), 2019, 52(12): 1227-1234. (in Chinese) https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-TJDX201912002.htm
[12]	KANG Fei. A simplified method for analysis of geosynthetic reinforcement used in pile supported embankments[J]. The Scientific World Journal, 2014: 1-9, doi: 10.1155/2014/273253.
[13]	VAN EEKELEN S J M, BEZUIJEN A, VAN TOL A F. An analytical model for arching in piled embankments[J]. Geotextiles and Geomembranes, 2013, 39: 78-102.
[14]	TSIATAS G C, KATSIKADELIS J T. Large deflection analysis of elastic space membranes[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2006, 65: 264-294.
[15]	KATSIKADELIS J T. The analog equation method. A powerful BEM-based solution technique for solving linear and non-linear engineering problems[J]. Boundary Element Method Ⅷ, 1994: 167-182.
[16]	KATSIKADELIS J T, NERANTZAKI M S, TSIATAS G C. The analog equation method for large deflection analysis of membranes: a boundary-only solution[J]. Computational Mechanics, 2001, 27: 513-523.
[17]	KATSIKADELIS J T, TSIATAS G C. The analog equation method for large deflection analysis of heterogeneous orthotropic membranes: a boundary-only solution[J]. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2001, 25: 655-667.
[18]	GOLDBERG M A, CHEN C S, KAPUR S P. Improved multiquadric approximation for partial differential equations[J]. Engineering Analysis with Boundary elements, 1996, 18: 9-17.
[19]	ALMEIDA M S S, EHRLICH M, SPOTTI A P, et al. Embankment supported on piles with biaxial geogrids[C]//Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Geotechnical Engineering 160, 2007, Issue GE4: 185-192.
[20]	ALMEIDA M S S, MARQUES M ES, ALMEIDA M C F, et al. Performance of two “low”piled embankments with geogrids at rio de janeiro[C]//Proceedings of the First Pan American Geosynthetics Conference and Exhibition, 2008, Cancun: 1285-1295.
[21]	VAN EEKELEN S J M, ALMEIDA M S S, BEZUIJEN A. European analytical calculations compared with a full-scale Brazilian piled embankment[C]//Proceedings of IGS10, 2014, Berlin.
[22]	VAN EEKELEN S J M, BEZUIJEN A, VAN TOL A F. Validation of analytical models for the design of basal reinforced piled embankments[J]. Geotextiles and Geomembranes, 2015, 43: 56-81.

施引文献(2)

期刊类型引用(0)

其他类型引用(2)

资源附件(0)

图(9) / 表(4)

计量

文章访问数: 258
HTML全文浏览量: 17
PDF下载量: 93
被引次数: 2

0. 引言
1. 计算模型
2. 平衡方程的建立
2.1 平衡方程
2.2 边界条件
2.3 荷载计算
3. 平衡方程的求解
3.1 平衡方程的简化
3.2 简化方程的求解
4. 算例验证
4.1 算例概况及计算方案
4.2 计算结果及对比分析
5. 结论

基于比拟方程法的桩承式加筋体三维分析方法 English Version

作者简介: 李晓龙(1990—),男,硕士,工程师,主要从事公路与桥梁的设计和相关科研工作。E-mail: 137448973@qq.com

计量

出版历程

3-D analysis method for pile-supported geosynthetic reinforcements based on analog equation method

0. 引言

1. 计算模型

2. 平衡方程的建立

2.1 平衡方程

2.2 边界条件

2.3 荷载计算

3. 平衡方程的求解

3.1 平衡方程的简化

3.2 简化方程的求解

4. 算例验证

4.1 算例概况及计算方案

4.2 计算结果及对比分析

5. 结论

期刊类型引用(0)

其他类型引用(2)

计量

出版历程

目录

0. 引言

1. 计算模型

2. 平衡方程的建立

2.1 平衡方程

2.2 边界条件

2.3 荷载计算

3. 平衡方程的求解

3.1 平衡方程的简化

3.2 简化方程的求解

4. 算例验证

4.1 算例概况及计算方案

4.2 计算结果及对比分析

5. 结论

作者简介:
李晓龙(1990—),男,硕士,工程师,主要从事公路与桥梁的设计和相关科研工作。E-mail: 137448973@qq.com