基于KL展开的可靠度分析方法及其应用

谭晓慧; 董小乐; 费锁柱; 龚文平; 修临天; 侯晓亮; 马海春

doi:10.11779/CJGE202005002

基于KL展开的可靠度分析方法及其应用 English Version

1.
合肥工业大学资源与环境工程学院,安徽　合肥　230009
2.
中国地质大学工程学院,湖北　武汉　430074
3.
安徽省建设工程测试研究院有限责任公司,安徽　合肥　230051

基金项目:

国家自然科学基金项目 41572282

国家自然科学基金项目 41972278

详细信息

作者简介:
谭晓慧(1971—),女,教授,博士生导师,主要从事岩土工程的数值模拟和可靠度方面的研究工作。E-mail: tanxh@hfut.edu.cn

中图分类号: TU43
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出版历程
- 收稿日期: 2019-08-15
- 网络出版日期: 2022-12-07
- 刊出日期: 2020-04-30

Reliability analysis method based on KL expansion and its application

1.
School of Resources and Environmental Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China
2.
Faculty of Engineering, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China
3.
Anhui Construction Engineering Test and Research Institute Co., Ltd., Hefei 230051, China

摘要

摘要: 空间变异性是土体的固有属性。为了分析土体空间变异性对岩土工程可靠度的影响,提出基于KL展开的一阶可靠度分析方法（KL-FORM）和基于KL展开的响应面法（KL-RSM）。两种方法均采用KL展开法进行随机场的离散,再采用FORM或RSM进行可靠度分析。通过将KL级数展开系数视为可靠度分析中的基本变量,将KL展开法与FORM或RSM有机地结合在一起。提出了确定KL展开项数的迭代计算方法,给出了KL展开法的流程图以及KL-FORM流程图。采用KL-FORM及KL-RSM对空间变异非饱和土体中浅基础以及不排水饱和黏土边坡的可靠度分析表明：KL-FORM及KL-RSM具有较高的计算精度与计算效率；在指定的随机场离散精度条件下,KL级数展开项数及基础工程的可靠指标均随着自相关距离的增加而减少。
- 空间变异性 /
- 可靠度分析 /
- 随机场理论 /
- Karhunen-Loeve级数展开法 /
- FORM /
- RSM
Abstract: The spatial variability is an inherent attribute of soil properties. To consider the influences of spatial variability of soils on the reliability of geotechnical engineering, a KL-FORM and a KL-RSM are proposed, in which the Karhunen-Loeve expansion method is used for the discretization of random field, and the first-order reliability method (FORM) or response surface method is adopted for the reliability analysis based on the results of KL expansion. By considering the coefficients of the KL series expansion as the basic variables in the reliability analysis, the KL expansion method and the FORM or RSM can be combined together. An iterative method is proposed for determining the number of KL expansion terms, and flow charts of the KL expansion and the KL-FORM are presented. The proposed KL-FORM and KL-RSM are demonstrated by two case studies: a shallow foundation in a spatially variable unsaturated soil, and an undrained saturated clay slope with spatial variability. The case studies show that the KL-FORM and the KL-RSM are computationally accurate and efficient. Under the requirements of a certain discrete error, the number of KL expansion items and the reliability index decrease with the increase of autocorrelation distance.
- spatial variability /
- reliability analysis /
- random field theory /
- Karhunen-loeve expansion /
- first-order reliability method /
- response surface method

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0. 引言

由于土体物质组成、沉积条件及气候变化等因素的不同,土体具有空间变异性,即土层中任意两点的性质各不相同但又具有某种相关性,因此空间变异性又称为空间自相关性。在早期的岩土工程可靠度分析与设计中,研究者们常忽略土体空间变异性的影响。随着研究的深入,人们发现土体空间变异性对岩土工程的可靠指标及破坏概率具有较为重要的影响^[1-3]。

土体的空间变异性可以用随机场理论来模拟^[4],该理论采用连续的自相关函数来表示随机场。为了在数值模拟中考虑土性参数的空间变异性,需要将连续的随机场离散成有限数目的随机变量。常用的随机场离散方法有点估计法、局部平均法、加权积分法与级数展开法等^[5-7]。其中,Karhunen–Loeve级数展开法（简称KL展开法）可用于模拟互相关非正态随机场,因此应用较广。

在随机场离散之后,常采用蒙特卡罗模拟法（MCSM）进行岩土工程的可靠度分析^[2-3,8-10]。MCSM虽然计算简单,但需要进行大量的数值模拟,计算工作量非常大。为了减少计算工作量,Ghanem等^[11]提出了谱随机有限元法,但对于复杂的系统问题,该方法包含的方程组非常多,计算较为困难。Cho^[3]基于随机场的离散结果,采用拉丁超立方抽样来进行可靠度分析,此举虽然减少了计算量,但仍需要上千次的定值法计算。李典庆等^[12]基于KL展开法的随机场离散结果,采用概率配点法及多项式混沌展开法（PCE）进行可靠度分析。该方法的计算效率优于MCSM,但对定值法程序的调用次数仍然较多。

对于随机场离散的KL法,其级数展开项的系数是独立标准正态随机变量。若视KL的级数展开系数为可靠度分析中的基本变量,则可采用可靠度分析中常用的一阶可靠度分析方法（FORM）或响应面法（RSM）进行可靠度分析,从而可以较好地提高可靠度分析的计算效率。

综上所述,本文提出可靠度分析的KL-FORM算法及KL-RSM算法。此两种方法均采用KL展开法进行随机场的离散,再分别采用FORM或RSM进行可靠度分析。通过将KL-FORM及KL-RSM应用于浅基础及边坡工程的可靠度分析来描述本文方法的具体实现过程及优点。

1. 土体的空间变异性及随机场的离散

1.1 土体的空间变异性

土体的空间变异性（空间自相关性）可以用自相关函数表示,常用的自相关函数类型有指数型、高斯型、二阶自回归型、指数余弦型和三角型等^[13]。以二维可分离高斯型自相关函数为例,其表达式为

$ρ (x_{1}, x_{2}) = \exp [- {(\frac{x_{11} - x_{21}}{L_{h}})}^{2} - {(\frac{x_{12} - x_{22}}{L_{v}})}^{2}]$ ,

(1)

式中,x₁,x₂为空间坐标,x_ij是空间坐标的坐标分量（i,j = 1,2）,L_h,L_v分别为水平与竖直坐标方向的自相关距离^[9,12]。

1.2 随机场离散的Karhunen-Loeve级数展开法

在有限元分析中,随机场模型一般不能直接使用,需要将随机场用有限个随机变量表示,这个过程称为随机场的离散。

（1）正态随机场

设研究对象有N个随机场,对于第i (i =1, …, N)个随机场,若该随机场是正态随机场,则其KL离散结果为^[14-16]

${\hat{H}}_{i} (x) = μ_{X_{i}} + σ_{X_{i}} {\hat{H}}_{i}^{D} (x) = μ_{X_{i}} + σ_{X_{i}} \sum_{j = 1}^{M} \sqrt{λ_{j}} f_{j} (x) χ_{j i}$ 。

(2)

式中,Ĥ_i(x)为考虑了随机场均值 $μ_{X_{i}}$ 与均方差 $σ_{X_{i}}$ 的随机场最终离散值；x为空间位置坐标,可以是一维、二维或三维坐标； ${\hat{H}}_{i}^{D}$ (x)为离散后的标准正态随机场；M是随机场的级数展开项数； $λ_{j}$ , $f_{j} (x)$ 分别为自相关函数ρ(x₁,x₂)的第j个特征值和特征函数；χ为考虑随机场之间互相关性的随机向量矩阵,其大小为M×N,

$χ = ξ L_{1}^{T}$ ,

(3)

式中,ξ为独立标准正态空间（U空间）的随机向量矩阵,其大小为M×N；L₁为由相关标准正态空间（Y空间）中互相关系数R_Y（大小为N×N）经cholesky分解得到的下三角矩阵；上标T表示矩阵的转置。对于正态随机场,R_Y与原始空间（X空间）中互相关系数矩阵R_X相等。

（2）对数正态随机场

对于第i (i=1, 2, 3, …, N)个随机场,若该随机场是对数正态随机场,则其KL离散结果为^[14-16]

$\begin{matrix} {\hat{H}}_{i} (x) = \exp (μ_{\ln}_{X_{i}} + σ_{\ln X_{i}} {\hat{H}}_{i}^{D} (x)) \\ = \exp (μ_{\ln}_{X_{i}} + σ_{\ln X_{i}} \sum_{j = 1}^{M} \sqrt{λ_{j}} f_{j} (x) χ_{j i}) \end{matrix}$ ,

(4)

式中, $μ_{\ln}_{X_{i}}$ , $σ_{\ln X_{i}}$ 为对第i个随机场正态化后的均值与均方差,与 $μ_{X_{i}}$ , $σ_{X_{i}}$ 的关系式见文献[17]。

对于对数正态随机场,相关标准正态空间（Y空间）中互相关系数R_Yij（i, j = 1, 2, 3,…, N）与原始空间（X空间）中互相关系数R_Xij的关系为^[13]

$R_{Y i j} = \frac{\ln (R_{X i j} δ_{X_{i}} δ_{X_{j}} + 1)}{\sqrt{\ln (1 + δ_{X_{i}}^{2})} \sqrt{\ln (1 + δ_{X_{j}}^{2})}}$ 。

(5)

式中, $δ_{X_{j}}^{}$ 是变量X_j的变异系数。

（3）特征值与特征向量的求解

采用式（2）,（4）进行随机场的离散时,一个重要步骤是确定自相关函数的特征值 $λ_{j}$ 和特征函数f_j(x)（j = 1, …, M）,是Fredholm二类积分方程的解^[9,12]：

$\int_{Ω} ρ (x_{1}, x_{2}) f_{j} (x_{1}) d x_{1} = λ_{j} f_{j} (x_{2})$ ,

(6)

式中,Ω是积分区域（随机场空间变量的定义域）。特征函数可以分解为M个正交基函数h_k(x) (k=1, 2, 3,…, M)的线性组合：

$\begin{array}{l} f_{j} (x) = \sum_{k = 1}^{M} d_{j k} h_{k} (x) = d_{j 1} h_{1} + d_{j 2} h_{2} + \dots + d_{j M} h_{M} \\ = (h_{1} h_{2} \dots h_{M}) {(d_{j 1} d_{j2} \dots d_{j M})}^{T} = h {(x)}^{T} D^{(j)} \end{array}$ ,

(7)

式中,h(x),D^(j)是列向量。将这一特征函数的线性展开式代入Fredholm积分方程（式（6））,设残差与每个基函数正交,并根据特征函数的正交性^[16,18],可求得特征值与特征函数满足的矩阵方程如下：

$A D = D Λ$ 。

(8)

式中 D为矩阵A的特征矩阵,D的第j列即为式（7）中D^(j)；Λ为对角矩阵,其对角线上第j个值即为特征值λ_j；矩阵A的元素A_jk（j, k = 1, 2, 3, …, M）为

$A_{j k} = \int_{Ω} \int_{Ω} ρ (x_{1}, x_{2}) h_{j} (x_{2}) h_{k} (x_{1}) d x_{1} d x_{2}$ 。

(9)

以空间一维问题为例,设研究区域为Ω = [x_min,x_max],用[−1, 1]区间的标准Legendre多项式函数(L_k-1(x))表示[x_min,x_max]区间的正交基函数h_k(x)（k = 1, 2, 3,…, M）,即

$h_{k} (x) = \sqrt{(2 k - 1) / 2 S} \cdot L_{k - 1} [(x - T) / S]$ ,

(10)

式中,T,S分别为平移参数与缩放参数,

$T = (x_{\max} + x_{\min}) / 2, S = (x_{\max} - x_{\min}) / 2$ 。

(11)

则可进一步将矩阵A的元素A_jk改写为

$\begin{array}{l} A_{j k} = \int_{x \min}^{x \max} \int_{x \min}^{x \max} ρ (x_{1}, x_{2}) \sqrt{\frac{2 j - 1}{2 S}} \sqrt{\frac{2 k - 1}{2 S}} L_{j - 1} (\frac{x_{1} - T}{S}) \cdot \\ L_{k - 1} (\frac{x_{2} - T}{S}) d x_{1} d x_{2} \\ = \frac{S}{2} \sqrt{(2 j - 1) (2 k - 1)} \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} ρ (S u, S v) L_{j - 1} (u) L_{k - 1} (v) d u d v \end{array}$ 。

(12)

对于某一具体问题,确定自相关函数的类型后,可由式（12）求解矩阵A,由式（8）求得特征值及特征向量（可以利用Matlab的eigs函数求解）,再由式（13）（式（7）的扩展式）求特征函数：

$f (x_{p}) = [f_{1} (x_{p}) \dots f_{M} (x_{p})] = {(\begin{array}{l} h_{1} \\ h_{2} \\ \dots \\ h_{M} \end{array})}^{T} (\begin{array}{l} d_{11} d_{21} \dots d_{M 1} \\ d_{12} d_{22} \dots d_{M 2} \\ \begin{matrix} ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{matrix} \\ d_{1 M} d_{2 M} \dots d_{M M} \end{array}) = h^{T} D$ 。

(13)

1.3 级数展开项数的确定

进行随机场的离散时,式（2）,（4）中级数展开项数M在理论上应为无穷大。但实际上由于计算工作量的限制,通常只取特征值由大到小的前M项进行随机场的离散。这种近似处理会给KL展开法带来一定误差。为了保证KL展开法的精度,应在合理计算随机场离散误差的基础上确定KL法的级数展开项数。文献[15,19]采用期望能的比率因子确定离散误差；文献[20,21]采用逐点误差的平均值确定离散误差。文献[22]探讨了求解KL展开法离散误差的几种方法,推荐采用逐点均方误差绝对值的平均值来求解整个离散域的随机场离散误差 $ε$ ,

$ε = \frac{1}{N_{e}} \sum_{j = 1}^{N_{e}} | ε (x_{j}) |$ ,

(14)

式中,N_e为离散点个数,ε(x_j)为空间离散点x_j处的均方误差。 $ε (x)$ 可由下式求得：

$ε (x_{p}) = 1 - \sum_{i = 1}^{M} λ_{i} f_{i}^{2} (x_{p})$ 。

(15)

由式（14）,（15）可见,随机场的离散误差与自相关函数的特征值 $λ_{i}$ 及特征函数f_i(x)有关。由式（7）～（13）可知,特征值只与随机场离散域大小及自相关函数有关；特征函数除了与随机场离散域大小及自相关函数有关,还与离散点的位置有关。但是,特征值及特征函数都与随机场的均值及变异系数无关。由于自相关性是土体的本质属性,一般认为同一土层不同的土性参数对应于相同的自相关函数及自相关距离^[23],因此,同一研究对象中不同土性参数随机场对应的离散误差相同。

1.4 KL展开法的流程图

综上所述,可以按图1所示的流程图采用KL展开法进行随机场的离散。其主要步骤如下：

图 1 随机场离散的KL展开法流程图

Figure 1. Flow chart of KL expansion for random field discretization

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（1）确定离散点的坐标及离散点个数。对于有限元等数值计算,可以在每个网格中心点或节点处进行随机场的离散。

（2）给定级数展开项数M的值,由式（12）求解矩阵A,由式（8）求解矩阵A的特征值及特征向量。

（3）在每个离散点由式（10）,（11）,（13）求解特征函数f(x)；由式（14）,（15）求解随机场的离散误差ε。

（4）判断离散误差 $ε$ 是否小于误差允许值 $ε_{0}$ 。若 $ε$ ≥ $ε_{0}$ ,则令级数展开项数M = M+1并回到步骤（2）继续计算；否则,表示随机场的离散误差已满足要求,进入步骤（5）进行随机场的离散。

（5）利用式（2）或（4）进行随机场的离散时,需要首先在U空间中生成满足独立标准正态分布（N(0,1)分布）的随机向量矩阵ξ。由式（2）知,对于随机场的每一次实现,它是由M行数据组成的列向量。

（6）当考虑随机场之间的互相关性时,需要先确定相关标准正态空间（Y空间）的互相关系数R_Y；对其进行Cholesky分解,得下三角矩阵L₁；再由式(3)求解随机向量χ。若各随机场间无互相关性,则χ = ξ。

（7）在每一离散点处求解式（2）或（4）中M项级数和,得到原空间（X空间）中标准正态随机场的离散值（Ĥ_i^D(x)）。

对于正态随机场,在式（2）中代入随机场的均值及均方差即可得到随机场的最终离散值。对于非正态随机场,需要求解对应的正态随机场的均值与均方差,再由式（4）求解随机场的最终离散值（Ĥ_i(x)）。

2. 基于KL展开的可靠度分析方法

2.1 基于KL展开的一次二阶矩法（KL-FORM）

为了减少计算工作量,提高计算效率,本文根据KL展开法的特点提出KL-FORM法。由推导可知,当研究对象确定时,随机场的均值、均方差、特征值、特征函数及互相关系数都是定值,式（2）～（4）中的变量只剩下独立标准正态空间中的随机向量矩阵ξ,其矩阵大小为M × N（M,N分别为级数展开项数与随机场个数）。因此,离散区域中各点的随机场离散值都由这n = M × N个随机变量决定。由于满足随机场离散精度要求的级数展开项数M值一般较小,随机场个数N值一般也很小,则随机变量的个数n也较小。在此情况下,可以视这n个随机变量为可靠度分析中的基本变量,并采用常规的一阶可靠度分析方法进行可靠度分析。此时,可靠度分析中的基本变量为X = [X₁, …, X_n],其中X_i为独立标准正态变量（i = 1, 2, 3,…, n）；可靠指标的迭代求解公式与常规的FORM法相同,详见文献[24]。记这种基于KL展开的FORM为KL-FORM,其计算流程图见图2。流程图中,大写字符X表示随机变量；小写字符x表示随机变量的值,与表示随机场离散时空间位置坐标x的含义不同。

图 2 KL-FORM流程图

Figure 2. Flow chart of KL-FORM

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在KL-FORM法的计算流程（图2）中,随机变量初值x₀取n个独立标准正态变量的均值,即x₀是n个零组成的行向量。采用中心差分法求解功能函数对基本变量的偏导数∂Z/∂X时,FORM算法的每次迭代过程中会生成N_s= 2n+1= 2NM+1个样本点。对于每一个样本点,先将行向量x改写为大小为M×N的随机向量矩阵ξ,再将其代入KL展开法的离散式（2）或（4）,即可在该样本点进行随机场的离散。之后,对于每一组离散后的随机场,可以调用数值模拟子程序来求解对应的功能函数值。

采用中心差分法求解验算点x处偏导数∂Z/∂X的具体公式为

$\partial Z / \partial X_{i} = (Z_{i}^{+} - Z_{i}^{-}) / 2 m σ_{X_{i}}$ ,

(16)

式中,Z_i⁺,Z_i⁻分别为第i个基本变量取x_i^*+ $m σ_{X_{i}}$ 和x_i^*− $m σ_{X_{i}}$ ,且其它变量仍取x_i^*时的功能函数值；m为求导时控制样本点位置的常数,一般取m=1^[25]。

综上所述,在KL-FORM法中,随机场的离散与验算点的迭代计算有机地联系在一起,在FORM的每次迭代计算过程中均需进行N_s=2NM+1次随机场的离散及功能函数的求解。其中,功能函数的求解需要调用数值模拟程序进行计算。一般地,FORM迭代3～6次后可靠指标即可收敛,因此,KL-FORM所需要的随机场离散次数（即功能函数的计算次数）只需(3～6)×(2n+1)次,远远小于KL-MCSM所需模拟次数。

2.2 基于KL展开的响应面法（KL-RSM）

与KL-FORM类似,亦可基于随机场的KL离散结果,采用RSM进行可靠度分析,本文称该方法为KL-RSM。KL-RSM与KL-FORM的计算流程大体相似,只需将图2中左侧的FORM流程替换为RSM流程,即可得到KL-RSM的流程图。

对于响应面法,响应面型式的确定与样本点位置的选择非常重要。本文选取的响应面型式为常规的二次多项式型式,通过对响应面的迭代计算来确定最终的响应面及可靠指标。采用文献[26]的方法来选取样本点的位置,该方法的主要特点是：生成第1～2个响应面的方法与常规的响应面法相同,即选取以验算点为中心的2n+1个点作为样本点（其中n为随机变量数）。生成第i（i≥3）个响应面时,以生成第2个响应面的2n+1个点为基础,每次新增一个样本点进入样本点组,其中新增的样本点为上一迭代计算中的验算点。对这2n+1+(i-2) =2n+i-1个样本点进行响应面的拟合,进而可得到第i（i≥3）个响应面,并以此类推。与常规响应面法相比,该方法具有更高的计算效率。

2.3 程序实现

在本文的算例分析中,可靠度分析及随机场离散均由Matlab程序实现,浅基础承载力及边坡安全系数由Flac软件的Fish语言进行数值模拟。通过Matlab软件对Fish程序的调用来实现程序的自动运行求解。

3. 非饱和土中浅基础的可靠度分析

3.1 算例及数值模型

某非饱和黏土中条形浅基础宽度B = 2 m,基础底部受到竖直向下的均布荷载p = 400 kPa,地下水位距地表6 m。地表降雨强度为60 mm/d,降雨历时3 d。基底中心点的允许沉降量为s_a = 50 mm。为了分析该条形基础在降雨结束时的可靠度,采用Flac软件建立了如图3所示的数值计算模型。根据文献[27]的研究结果,取地基土体水平及竖直方向的研究范围分别为基础宽度的5倍和3倍,则模型大小为10 m×6 m。

图 3 浅基础的数值计算模型

Figure 3. Numerical model for shallow foundation

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（1）初始条件及边界条件

初始条件：设非饱和土中某点的初始吸力与该点至水位面的竖直距离呈线性关系。地下水的重度为9.8 kN/m³,则图3所示数值模型的顶底面初始吸力分别为58.8,0 kPa。

边界条件：模型左右两侧的水平位移为零,模型底部的水平及竖直位移均为零。地表在基础两侧受到降雨入渗作用,模型左右两侧不透水。

（2）参数取值

在模拟非饱和土中地基基础的受力过程时,需要用到的参数有土体的强度参数（有效黏聚力c'和有效内摩擦角φ'）、变形参数（弹性模量E和泊松比μ）及水力参数（土水特征曲线（SWCC）拟合参数和饱和渗透系数k_s）。根据文献[28]的研究结果,采用VG模型来表示非饱和土的土水特征曲线：

$θ_{w} = (θ_{s} - θ_{r}) / {(1 + {(ψ / a)}^{n})}^{m} + θ_{r}$ ,

(17)

式中,θ_w为土体的体积含水率,ψ为土体的吸力,a,n,θ_s,θ_r为SWCC拟合参数（θ_s,θ_r分别为土体的饱和与残余体积含水率）。研究表明^[29]：在进行地基基础的可靠度分析时,土体强度参数对可靠指标的影响远大于其它参数对可靠指标的影响。因此,视土体的有效黏聚力 $c^{'}$ 和内摩擦角 $φ^{'}$ 为具有空间变异性的随机场变量,而视其它参数为定值。土体强度参数的统计特征见表1,其它定值：E = 2.57×10⁷ kPa,μ = 0.29,a = 14.6 kPa,n = 1.26,θ_s = 0.30,θ_r = 0.03,k_s = 60 mm/d。

表 1 土体强度参数的统计特征

Table 1. Statistics of shear strength parameters of soil

变量	均值	变异系数	分布类型
c'/kPa	50	0.3	正态分布
ϕ'/(°)	25	0.2	正态分布

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查阅文献可知^{[12-14,19,30-31]},常用高斯型函数表示土体抗剪强度的自相关函数；土体竖直自相关距离L_v的变化范围相对较小,多集中于0.5～3.0 m；而水平自相关距离L_h的变化范围则较大,常见的变化范围为10～40 m。因此,本文设自相关函数为式（1）所示的高斯型,取L_v=3 m, L_h=30 m为基准计算条件。由于竖直自相关距离的变化范围相对较小,且为了考虑自相关距离的变化对可靠指标的影响,在进行参数的敏感性分析时,令竖直自相关距离L_v恒为3 m,取水平自相关距离L_h为6～45 m和300 m。其中,L_h=300 m代表极大的水平自相关距离。后文如不特别指明,均指基准参数条件下的计算结果。

（3）功能函数的确定及地基承载力的求解

进行可靠度分析时需要确定条形基础的功能函数。不失一般性,设条形基础在竖向荷载P作用下的功能函数为Z=g(X)=R_u(X) −P,式中,g(X)为功能函数,R_u为地基承载力。功能函数与极限承载力是基本变量X的函数。本例中考虑有效黏聚力和有效内摩擦角这两个随机场,因此随机场个数N = 2。设通过KL展开法进行随机场的离散时,级数展开项数为M,则采用KL展开法进行随机场的离散后,产生独立标准正态变量的个数为n = MN = 2M,即基本变量X = (X₁, X₂, …, X_2M)。

分别对两个强度参数进行随机场离散后,对图3模型施加降雨及竖向荷载,可以得到条形基础底面的荷载p与基础底面中心点的沉降量s的关系（即p–s曲线）。文献[32]评价了由p–s曲线确定地基承载力的多种方法,并推荐根据允许沉降确定地基承载力,本文即采用此方法确定地基极限承载力R_u。

3.2 随机场的离散误差与级数展开项数的关系

由式（14）,（15）求得的随机场离散误差ε与KL级数展开项数M的关系见图4。为了对比分析,图中绘出了竖直自相关距离L_v = 3 m时多种水平自相关距离（L_h为 6,9,12,15,30,45,300 m）的ε–M曲线。为了分析L_v的影响,亦绘出了L_h 取基准值30 m而L_v = 2 m时的ε–M曲线。可见：L_v为恒定值3m时,L_h越大,随机场的离散误差越小。若规定随机场离散误差的允许值为ε₀= 5%,则L_h为6,9 m时,最优级数展开项数M的值分别为6,5；当L_h≥12 m时,不同L_h对应的随机场离散误差已非常接近,最优级数展开项数M均可取4。L_v= 2 m且L_h= 30 m时,最优级数展开项数M = 5。

图 4 随机场离散误差与级数展开项数的关系

Figure 4. Relationship between discretization error (ε) and number of expansion items (M)

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3.3 可靠指标的求解

以级数展开项数M = 4为例,两个随机场离散后的基本变量为X = [X₁, X₂, X₃,…, X₈],其中,X₁～X₄与X₅～X₈分别对应于随机场 $c^{'}$ , $φ^{'}$ 的离散变量。对于KL-FORM算法,迭代计算5次后,验算点坐标值、功能函数值及可靠指标都趋于稳定,迭代稳定时的可靠指标β = 2.56。在KL-FORM算法的每次迭代计算过程中求解偏导数∂Z/∂X时,都将生成N_s = 17个样本点,并进行17次随机场的离散。KL-FORM迭代计算过程中2个随机场（ $c^{'}$ , $φ^{'}$ ）离散值的对应关系见图5。图5（a）～（d）分别是第1、2、4、5次迭代计算时,17组 $c^{'}$ , $φ^{'}$ 的随机场离散值数据对,图中不同颜色分别代表17组随机场离散结果。对于第1次迭代,验算点的迭代初值为零,因此两个随机场的所有离散值在随机场均值附近上下波动；随着迭代次数的增加,验算点位置发生变化,（ $c^{'}$ , $φ^{'}$ ）数据对的离散程度也有所增加。当迭代计算趋于稳定时（第4～5次迭代）,验算点坐标趋于收敛,随机场的离散值也趋于稳定,因此,图5中第4次与第5次迭代的图形形状类似。

图 5 两个随机场离散值的对应关系

Figure 5. Relationship between discrete values of two random fields

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当采用数值法求解功能函数时,可靠度分析的主要计算工作量是计算功能函数。所需计算功能函数的次数越少,可靠度分析的计算效率就越高。5次FORM迭代共需进行17×5=85次随机场的离散及功能函数的求解。如果采用KL-MCSM来进行可靠度分析,其所需的模拟次数约为N_s = 100/P_f^[17]。由于与β = 2.56对应的P_f = 5.2×10^-3,则所需的蒙特卡罗模拟次数约为20000次,它是使用KL-FORM计算85次的235倍。因此,与KL-MCSM相比,KL-FORM算法具有极高的计算效率。

3.4 可靠指标与级数展开项数及自相关距离的关系

为了进一步分析可靠指标与级数展开项数及自相关距离的关系,分别计算了水平自相关距离L_h 为 6,9,12,15,30,45,300 m且竖直自相关距离L_v= 3 m,L_h =30 m及L_v= 2 m时,降雨结束条件下非饱和土地基中条形基础的可靠指标,结果见图6所示。

图 6 可靠指标β与级数展开项数的关系

Figure 6. Relationship between reliability index and number of series expansion items

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由图6可见,当L_v= 3 m时,对于L_h= 6 m,M≥ 6时可靠指标值趋于稳定；对于L_h=9 m,M≥5时可靠指标值趋于稳定；L_h≥12 m之后,可靠指标在M≥4时趋于稳定。当L_v= 2 m且L_h=30 m时,M≥5时可靠指标值趋于稳定。此结论与第3.2节由离散误差确定级数展开项数的结论一致,这验证了由随机场离散误差来确定级数展开项数的合理性。由图6亦可见本例中竖直自相关距离对可靠指标的影响不明显。

4. 土质边坡的可靠度分析

4.1 算例及数值模型

以文献[12]中具有空间变异性的不排水饱和黏土边坡算例进行对比分析。该边坡高5 m,坡率1∶2。黏聚力c_u是具有空间变异性的对数正态随机场,黏聚力的均值为23 kPa,变异系数为0.3,水平及竖直自相关距离分别为25,2.5 m,自相关函数为高斯型。其它土性参数为定值（弹模E = 100 kPa,泊松比μ = 0.3,重度 $γ$ = 20 kN/m³）。

采用Flac建立如图7所示的数值计算模型,共划分1000个单元,1081个节点。进行数值计算时,设模型左右边界的水平位移为0,模型底边界的水平及竖直位移均为0。

图 7 边坡的数值计算模型

Figure 7. Numerical model for slope

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不失一般性,对边坡进行可靠度分析时,取功能函数形式为Z=g(X)=F_s(X)－1^[24],式中,F_s(X)为边坡的安全系数,由Flac软件的强度折减法求得,X为基本变量,本例中为黏聚力随机场,因此随机场个数N = 1。

4.2 可靠指标的计算结果

文献[12]基于KL级数展开法,取级数展开项数为M=10,采用PCE（polynomial chaos expansion）法进行了该土质边坡的可靠度分析,并给出了基于1000次拉丁超立方取样（LHS）的计算结果,指出后者可视为精确解。本文分别采用KL-FORM及KL-RSM对此边坡进行可靠度分析。为与文献[12]进行对比分析,本文亦取KL的级数展开项数为M = 10。各种方法的可靠指标计算结果见表2,表中相对误差的比较标准是LHS法的可靠指标。

表 2 边坡的可靠指标

Table 2. Reliability indices of a slope

方法	来源	定值法计算次数	可靠指标	相对误差/%
LHS	文献[12]	1000	1.216	—
3阶PCE	文献[12]	286	1.197	1.56
KL-FORM	本文	63	1.186	2.47
KL-RSM	本文	43	1.210	0.49

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由表2可见,本文提出的KL-FORM及KL-RSM与文献[12]中可靠指标非常接近,其相对误差不超过2.5%。从计算效率而言,本文的KL-FORM及KL-RSM分别只需调用定值法程序63及43次,远小于LHS的1000次,亦小于3阶PCE法的286次。这证明本文方法具有良好的计算精度与计算效率。

5. 结语

为了考虑土体空间变异性对岩土工程可靠度的影响,提出基于KL展开的一阶可靠度分析方法（KL-FORM）及基于KL展开的响应面法（KL-RSM）。本文方法采用KL展开法进行随机场的离散,采用FORM或RSM进行可靠度分析。通过将KL级数展开项的系数视为可靠度分析中的随机变量,可以将KL展开法与FORM或RSM有机地结合在一起。

本文提出了根据随机场离散误差确定KL展开法中级数展开项数的迭代判断方法,分别给出了KL展开法流程图及KL-FORM法流程图。通过将KL-FORM应用于条形基础的可靠度分析,结合算例详细介绍了KL-FORM的计算过程及特点。通过将KL-FORM及KL-RSM应用于土质边坡的可靠度分析,进一步验证了本文方法的计算精度与计算效率。

图 1 随机场离散的KL展开法流程图

Figure 1. Flow chart of KL expansion for random field discretization

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图 2 KL-FORM流程图

Figure 2. Flow chart of KL-FORM

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图 3 浅基础的数值计算模型

Figure 3. Numerical model for shallow foundation

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图 4 随机场离散误差与级数展开项数的关系

Figure 4. Relationship between discretization error (ε) and number of expansion items (M)

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图 5 两个随机场离散值的对应关系

Figure 5. Relationship between discrete values of two random fields

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图 6 可靠指标β与级数展开项数的关系

Figure 6. Relationship between reliability index and number of series expansion items

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图 7 边坡的数值计算模型

Figure 7. Numerical model for slope

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表 1 土体强度参数的统计特征

Table 1 Statistics of shear strength parameters of soil

变量均值变异系数分布类型

c'/kPa 50 0.3 正态分布
ϕ'/(°) 25 0.2 正态分布

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表 2 边坡的可靠指标

Table 2 Reliability indices of a slope

方法来源定值法计算次数可靠指标相对误差/%

LHS 文献[12] 1000 1.216 —
3阶PCE 文献[12] 286 1.197 1.56
KL-FORM 本文 63 1.186 2.47
KL-RSM 本文 43 1.210 0.49

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