0.   引言

中国地形复杂多变且地震频发，随着国家经济的快速发展和土地资源的日渐紧缺，更多的工程项目将不得不建设在复杂的不规则地形上。大量震害调查和强震观测表明^[1]，山地、峡谷、河谷等局部不规则地形会将入射波和反射波同地形引起的散射波相互叠加，使地震波发生局部放大或缩减，形成显著的地形效应。地形效应对场地附近结构的抗震安全会带来重大影响^[2]，因而在抗震设计和研究中理应给予足够的重视。

目前，已有诸多学者针对局部地形的地震效应开展了大量研究，且多集中于山岭、峡谷、盆地、河谷等单一地形^[3-5]。但研究山岭峡谷、山岭河谷、山岭盆地等由多个单一地形组合而成的复合地形的地震响应才是最符合实际的。

复合场地地震效应的研究方法主要包括解析法和数值法。解析法通常以复变函数法和波函数展开法为主，并已用于研究了半圆形凸起与凹陷相连地形^[6]、等腰梯形山丘半圆峡谷^[7]等复合地形对平面SH波的散射问题，但解析法受限于自身简化条件而往往难以处理复杂地形。因此，数值方法凭借其广泛的适用性，在地形更为复杂的复合场地的地震研究中备受关注。通过引进边界元法，巴振宁等^[8]研究了高山峡谷地形对平面P波和SV波的散射问题，高严等^[9]讨论了SV波垂直入射时盆地和山岭耦合场地对地表运动的影响。此外，黏弹性人工边界法等其他数值方法^[10-11]也常被用于复合场地地震响应的研究。

尽管以边界元法和黏弹性人工边界法为主的数值方法已被广泛应用于复合场地地震研究中，但这些数值方法仍在精确度和计算量之间难以达到较好的平衡。与此同时，无限元法凭借其相对容易实现、精度较高、可更简单地处理半空间的不规则性等优点，成为模拟无限边界的另一种更为良好的数值手段。目前，有限/无限元法已被应用于单一场地的地震响应研究，例如峡谷地形^[12]和含水谷地形^[13]，但有限/无限元法用于复合场地地震响应研究的仍尚少。

综上所述，山岭峡谷地形作为一种典型的复合地形，其对地震动的影响研究已取得了重要进展，但山岭-峡谷复合地形中峡谷赋水的情况（含水谷）考虑较少，且往往未考虑山岭、含水谷的相对位置关系对于地震动响应的影响。更多地，对于SV波跨临界角入射问题在诸多场地地震研究关注较少。为此，首先对近域中含水谷地形存在的土-水耦合问题进行了理论分析，随后结合Yang等^[14]提出的基于自由场精确解的地震动输入法，应用有限/无限元法建立了山岭-含水谷复合地形的半空间模型，在经与Luco等^[15]研究结果验证的基础上，利用该模型系统讨论了山岭和含水谷的相对位置关系、入射波类型和入射角度对山岭-含水谷复合场地地震动响应的影响规律。

1.   基于自由场精确解的地震动输入法

图 1（a）为P/SV波斜入射下含复合地形的二维半无限空间示意图，O点为坐标原点，近域包括山岭、含水谷地形区域及周围关注的土体区域，远域则延伸到无穷远。图 1（a）对应的地震动输入自由场模型如图 1（b）所示。本文研究针对近断层地震，由于其触发的地震波传至地表的距离有限，地震波多沿斜角方向入射至近域，并引致地表持续震动，故假设震源位于近域外的左下侧，其中${\theta _{{\rm P}i}}$和${\theta _{{\rm S}i}}$分别为P波和SV波的入射角。

图  1  半无限空间内近-远域边界示意图

Figure  1.  Boundaries of near field in half-space

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本文采用Yang等^[14]提出的频域下基于自由场精确解的二维地震动输入法，该方法适用于近断层地震背景下P/SV波任意角斜入射工况（包括跨临界角^[14]），且入射波及次生波波阵面均视为平面形式。需注意，局部地形引起的散射波场使得真实边界响应难以获得，故通常采用自由场边界响应来计算等效地震力^[16]。该方法^[14]具体为以下2点。

（1）计算频域下自由场模型近-远域边界上节点的位移$\left\{U_{\mathrm{b}}^{\rm f}\right\}$和应力$\left\{\sigma_{\rm b}^{\rm f}\right\}$

假定已知的地震加速度时程数据记录于原点O，并将其视为地震动输入点。通常地震数据中的水平和竖向加速度时程分别对应于SV波和P波入射工况。故针对每一频率下的地震动输入边界条件均假定：单位水平和竖向加速度分别施加于SV波和P波入射下的地震动输入点O。将上述边界条件带入文献[14]所述P/SV波斜射下自由场应力和位移的精确解中，可得每个频率下在单位加速度作用下自由场近-远域边界上节点的位移$\left\{U_{\mathrm{b}}^{\rm f}\right\}$和应力$\left\{\sigma_{\rm b}^{\rm f}\right\}$。

（2）基于给定的地震数据，反算施加于复合场地模型近-远域边界上节点的等效地震力$F_{\mathrm{\rm eq}}$

本文时域分析中采用台中TCU068观测站记录的1999年集集地震地表加速度时程。其采样间隔为$\Delta t$= 0.005 s，SV波和P波分别选取图 2（a），（b）所示水平向和竖向加速度时程图。对图 2进行快速傅里叶变换，即可得到如图 3所示的原始加速度频谱（为便于后文时频转换计算，此处仅展示原始加速度频谱，傅里叶谱见文献[17]），由于f > 25 Hz时频谱幅值几乎为零，因此本文选取实际频率范围为0~25 Hz^[18]。对于加速度频谱上（图 3）的每一个频率$\omega$，其对应频域下的二维等效地震力${F_{\rm eq}}$为

图  2  集集地震的加速度时程

Figure  2.  Histories of acceleration of Chi-Chi Earthquake

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图  3  集集地震的原始加速度频谱

Figure  3.  Frequency spectra of original acceleration of Chi-Chi Earthquake

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式中：$[{F_{\rm rb}}]$为无限元的动态阻抗矩阵；$[A]$为将面力转化为节点力的面积矩阵。特别地，式（1）在近-远域左边界上取“-”，在右边界和下边界上取“+”。

在本文数值分析中，由式（1）计算所得等效地震荷载$\left\{F_{\mathrm{\rm eq}}\right\}$将作为外荷载施加于数值模型的近-远域边界上来计算频域下系统响应。

2.   有限域内的土-水耦合

为考虑局部地形中赋存水体对地震波传特性的影响，因此需建立考虑水动力效应和土-水耦合效应的数值单元。如图 1所示，含水谷地形存在于近域且由有限单元离散模拟，因此土-水耦合仅存在于有限域内。

假设本文动力学研究中水体变形属于小变形问题，即水体密度${\rho _{\rm l}}$和体积弹性模量K在计算过程中保持不变。水体在地震作用下并非单一刚体运动，故本文水体是可压缩的、无黏性的（即水中的摩擦力可忽略，仅存在P波）^[19]，且不考虑其自重。对于水体部分，超出静水压力的部分动水压力p为^[20]

式中：${\nabla ^2}$为二维的拉普拉斯算子；$c_{\mathrm{\mathrm{P, l}}}$为P波在水中传播的速度。土-水界面和水体自由表面上的边界条件分别为^[19-20]

式中：$\varDelta$为界面粒子的位移；下标n为土-水界面的法向方向；下标int表示土-水界面上的粒子；下标sur表示水体自由表面上的粒子；‥为对时间求二阶导数。

随后，采用Galerkin形式的加权-残差法对式（2）进行化简，得到如下矩阵形式的水体离散方程：

式中：$[\boldsymbol{H}]$，$[\boldsymbol{Q}]$为与水单元的压力形状函数${N_{\rm l}}$相关的矩阵；向量$\{ {\boldsymbol{B}_{\rm int}}\}$取决于土-水界面上的法向方向动水压力的形状函数${N_{\rm l,int}}( \subset {N_{\rm l}})$，${N_{\rm l}}$与土单元的位移形函数相同。上述矩阵和向量的具体表达式为

式中：对于所考虑的二维问题，${{{\varOmega }}_{\rm R}}$，${S_{\rm R}}$分别为每个水单元的面积和该单元在土-水界面上的对应长度。

与土-水界面上的水体相关的节点力$\left\{F_{1}\right\}$可由土-水界面上的各个节点的贡献叠加得到：

式中：$\left\{ {{\boldsymbol{N}_{\rm s,int}}} \right\}$为一个行向量，由土-水界面上的土单元各节点的位移形函数组成。

定义土-水界面上的沿着界面法向方向的土体位移$\{ U_{\rm int}^{\rm nd}\} ( \subset {N_{\rm l}})$，上标nd代表土-水界面上的沿着界面法向方向的土体自由度。土-水界面上的界面粒子的法向加速度$\{ {\ddot \varDelta _{\rm n,int}}\}$可表示为

将式（4）代入式（6c），结合式（9），并将界面粒子的位移$\varDelta$以离散化的形式表示：

随后，将式（10）代入式（5），结合式（7）可得到：

式中：$[Z]=\left[H_{\text {met }}\right]-\omega^{2}\left[Q_{\text {int }}\right]$仅用于简化表达，无具体物理意义。

在自振频率为$\omega$的简谐波外力作用下，土体部分的节点位移响应$\left\{ U \right\}$可由下式所示的运动方程求得：

式中：在近域范围内，$[\boldsymbol{K}]$为全局刚度矩阵；$[\boldsymbol{M}]$为全局质量矩阵；总的广义节点力$\{R\}$可分为两部分：

式中：$\left\{F_{\rm eq}\right\}$为作用在近-远域边界上的等效地震力；$\left\{F_{1}\right\}$为土-水界面上与水体相关的节点力。

将式（11）代入式（13），并将所得项$\{R\}$代入式（12），即可得在考虑土-水耦合的土体运动方程：

式中：$[\boldsymbol{S}]^*$为等效的结构动态阻抗矩阵，

式中：${[S_{\rm int}^{\rm nd}]^ * }$为近域内土-水界面上的土单元节点自由度；$[{S^{\rm a}}]$为近域内其它土单元节点自由度。

${[S_{\rm int}^{\rm nd}]^ * }$的具体表达式为

式中：${\left[ {S_{\rm int}^{\rm nd}} \right] }$代表土体部分的贡献，其余部分代表与土-水界面相关的水体部分的贡献。

3.   有限/无限元法和二维地震分析程序

3.1   有限/无限元法概述

为模拟波向无限域的传播过程，需在计算域外设置人工边界。常用手段有黏弹性边界（施加阻尼器），透射边界（设定人工波速）等，本文将采用无限单元（构造衰减函数）模拟近域边界。近域中土体和水体均选用Q8有限单元离散和模拟；远域则选用退化的5节点（D5）无限单元模拟，其位移形函数在局部坐标系$({{ξ , \eta }})$中为^[21]

式中：$P\left( \xi \right)$为局部坐标系下的波传衰减函数，

式中：${\alpha _{\rm l}}$为位移振幅衰减系数；${k_{\rm l}}$局部坐标的波数衰减因子；${\alpha _{\rm l}}$和${k_{\rm l}}$具体取值详见文献[14]。

3.2   基于有限/无限元法的二维地震分析程序

山岭-含水谷复合地形的地震动响应计算的二维地震分析程序可概述为以下3步：

（1）地震波数据处理：对于如图 3所示地震频谱中所关注的频率范围（0~25 Hz），选择$\Delta \omega$=0.1 Hz ^[18]的频率增量对其进行划分，以获得频率离散值。

（2）在频域内求解系统响应：对于每个频率离散值，可通过式（1）计算得等效地震力$\left\{F_{\mathrm{\rm eq}}\right\}$。随后由式（14）求得频率内近域和边界上节点的位移响应$\{U\}$和加速度响应$\{\ddot{U}\}=-\omega^{2}\{U\}$。

（3）将频域解变换到时域解：将近域和边界上节点的响应分量乘以对应的加速度频谱谱值（图 3），得到每个频率${\text{ω }}$的谱响应。然后，对$\omega$进行逆傅里叶变换，即可得近域和边界上的总时程响应。

4.   实例分析验证

4.1   频域解验证

为验证上述二维地震分析程序中求解系统频域响应的合理性（对应3.2节第2步），本节在频域内将程序求解结果与Luco等^[15]的数值解进行对比。由于Luco等^[15]的分析模型中无水单元，故本节验证模型为减小水体的影响仅建立一个水体单元，如图 4（a）所示。土体的材料属性^[13]：泊松比$v$= 0.33，弹性模量${E_{\rm s}}$= 2 GPa，密度${\rho _{\rm s}}$= 2000 kg/m³，迟滞阻尼比$\beta$= 0.01。水体的材料属性^[13]：密度${\rho _{\rm l}}$= 1000 kg/m³，体积弹性模量K = 2 GPa，P波在水中的传播速度${c_{\rm P,l}}$= 1414 m/s，忽略黏度的作用。

图  4  含单一半圆形峡谷的半无限空间

Figure  4.  Half-space with a semi-circular canyon

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为与Luco等^[15]的解进行比较，取无量纲频率${\text{η }} = 2{\text{a}}/{\lambda _{\rm s}} = 0.5$，其中$a$为半圆形峡谷的半径。根据已给定的土体参数和实际计算频率的上限（25 Hz），计算得土体中剪切波波长为${\lambda _{\rm s}}$= 24.5 m，对应${\text{a}}$= 6 m。土水单元网格尺寸基于$L \leqslant {\lambda _{\rm s}}/5$的准则^[18]取L = 2 m，为保证散射波通过无限单元能够充分衰减，定义x和y轴方向上局部地形尺寸与近域尺寸之比的最大值为S（比例系数）。基于文献[13]，模型比例系数取S= 0.5时在0~25 Hz能充分保证无限元对散射波的良好吸收。图 4所示模型近域尺寸取宽80 m，深60 m，满足$S = 0.15 \leqslant 0.5$，故该模型在0~25 Hz频率范围所得计算结果是可靠的。此外，对于P波和SV波，分别选取${\theta }_{{\rm P}i}（或{\theta }_{{\rm S}i}）$为1°或45°两种入射工况。

如图 4（b）所示，O (0，0)点为坐标原点，地震动输入点设置于O_f (40，0)。通过在O_f点施加单位水平加速度（SV波）或单位竖直加速度（P波）的边界条件，应用3.1节提出的二维地震分析程序前2步，可得到归一化的地表水平（$\left| {\tilde u/ {U_{\rm P}}} \right|$或$\left| {\tilde u/ {U_{\rm SV}}} \right|$）或竖向（$\left| {\tilde v/ {U_{\rm P}}} \right|$或$\left| {\tilde v/ {U_{\rm SV}}} \right|$）位移幅值，其中$U_{\mathrm{P}}$和$U_{\mathrm{sv}}$分别代表入射P波和SV波作用下O_f处的位移幅值。数值结果连同Luco等^[15]的结果绘于图 5，6，分别对应P波和SV波两种工况。由图 5，6可知，数值结果与Luco的结果吻合较好，这表明二维地震分析程序第2步和模型尺寸具有较高的准确度。

图  5  P波标准化地表位移

Figure  5.  Normalized ground displacements of P-waves

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图  6  SV波标准化地表位移

Figure  6.  Normalized ground displacements of SV-waves

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4.2   时域解验证

为验证上述二维地震分析程序中求解系统时域响应的准确性，建立如图 7所示模型，模型尺寸和材料参数同4.1节，本节选取${\theta }_{{\rm P}i}（或{\theta }_{{\rm S}i}）$=45°工况。O (0，0)点为坐标原点，地震动输入点设置于点O (0，0)，并于O点分别输入图 2所示的集集地震的水平（SV波）和竖向（P波）加速度时程，应用3.1节完整的二维地震分析程序计算得到O点的加速度时程（反算解），并同图 2所示集集地震的加速度时程（原始数据）一起绘于图 8。由图 8可见加速度时程的反算解和原始数据高度吻合，证明二维地震分析程序、加速度频谱选取实际频率范围0~25 Hz是准确可靠的。

图  7  包含一个水单元的自由场

Figure  7.  Free fields containing a water element

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图  8  O点的加速度时程

Figure  8.  Time histories of ground acceleration at point O

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4.3   复合场地模型中土水耦合验证

由于既有文献少有涉及含水局部地形场地地震动响应的研究，而文献[13]已采用有限/无限元法研究了单一含水谷地形对场地地震动响应的影响规律。故本节在时域内将求解结果与Yang等^[13]的数值解进行对比，以验证本文复合场地模型中土水耦合的准确性。假定土壤为均匀黏弹性介质，土体的材料属性^[13]：泊松比$\nu$=0.33，弹性模量${E_{\rm s}}$=2 GPa，密度${\rho _{\rm s}}$=2000 kg/m³，迟滞阻尼比$\beta$= 0.02。水体忽略黏度，其材料属性^[13]：密度${\rho _{\rm l}}$= 1000 kg/m³，体积弹性模量K = 2 GPa，P波在水中的传播速度${c_{\rm P,l}}$= 1414 m/s。

假定山岭和含水谷剖面均为坡角成45°的等腰梯形，为减少山岭的影响，取山岭宽度和高度分别取1，0.2 m，山岭和含水谷之间距离1 m，含水谷宽度100 m，则深度取20 m，模型总尺寸设置为400 m×60 m（满足$S = 0.25 \leqslant 0.5$），如图 9所示。对于P波和SV波，选取${\theta _{{\rm P}i}} = {\theta _{{\rm S}i}} =$30°工况。O (0，0)点为坐标原点，地震动输入点设置于点O，并分别输入图 2所示的集集地震的水平（SV波）和竖向（P波）加速度时程，应用二维地震分析程序计算系统时域响应。

图  9  复合场地退化为单一含水谷地形示意图

Figure  9.  Schematic diagram of irregular topography degraded to valley containing liquid

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计算所得地表最大水平加速度a_xmax和最大竖向加速度a_ymax的数值结果（本文解）连同Yang等^[13]的结果分别绘于图 10（a），（b），其中对图中含水谷所处范围（150~250 m）做横坐标截断处理，其中灰色虚线代表含水谷。由图知本文解与Yang等^[13]的结果十分吻合，这表明本文复合场地模型中涉及的土水耦合是准确可靠的。

图  10  P/SV波斜入射下地表最大加速度

Figure  10.  Maximum ground accelerations of P- or SV-waves

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5.   山岭-含水谷复合地形数值分析模型

文献[13]已研究了水体深度、宽度等条件对单一含水谷地形场地地震动响应的影响规律，本节将在文献[13]基础上进一步研究P/SV波斜射下，地震波入射角度、山岭和含水谷相对位置对复合场地地震响应的影响，本文建立了“山岭-含水谷”和“含水谷-山岭”复合场地两个模型，分别如图 11（a），（b）所示。模型中土体和水体材料参数同4.3节模型保持一致。

图  11  复合场地数值模型示意图

Figure  11.  Numerical model for irregular topography

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假定山岭和含水谷剖面均为坡角成45°的等腰梯形，模型尺寸：山岭底部宽度、含水谷表面宽度以及山岭与含水谷间距均为l，山岭和含水谷高度均为h，且h/l = 0.2，模型总尺寸设置为L×H = 8l×2l（满足$S=3 l/ L=0.375 \leqslant 0.5$）。为研究真实复合场地尺寸，取l = 50 m，则对应h = 10 m，模型总尺寸L×H = 400×100 m。以“山岭-含水谷”复合场地模型为例，对应的有限元网格如图 12所示，有限单元网格尺寸基于$L \leqslant \lambda_{\rm s}/ 5$的准则^[18]取L = 3 m，有限单元数量为5262。对图 12所示模型的水平坐标x进行无量纲处理，即x/l，其中点P_L（x = -75 m，x/l = -1.5）和P_R（x = 75 m，x/l = 1.5）分别代表复合地形地震波入射的“近端”和“远端”。需注意，基于无量纲处理，在满足上述有限单元网格尺寸$L \leqslant \lambda_{\rm s}/ 5$条件下，应用图 11模型计算所得定性和定量结果均适用于等比例放大或缩小的复合场地。

图  12  “山岭-含水谷”复合场地模型对应的有限元网格

Figure  12.  Finite element meshes for irregular topography of hill and water-filled valley

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当SV波入射角增大到某一临界值时，原有的反射P波将从体波形式转化为了面波形式，该角度即为SV波入射时的临界角^[14]。由式（19），（20）计算得SV波的临界角$\theta _{\rm sv}^{\rm cr} \approx$35°。故对于P波和SV波，入射角度（${\theta _{{\rm P}i}}$或${\theta _{{\rm S}i}}$）各选取1°，30°，50°，89°共4种工况。

式中：V为波速比；${c_{\rm P,s}}$和${c_{\rm S,s}}$分别代表P波和SV波在弹性固体中传播的速度；$\lambda$和$\mu$为土体的拉梅常数。

如图 11（a），（b）所示，O (0，0)点为坐标轴原点，地震动输入点设置在O_f (-L/2，0)，并于O_f点分别输入图 2所示的集集地震的水平（SV波）和竖向（P波）加速度时程，应用3.2节总结的二维地震分析程序计算系统响应。

6.   地表地震响应分析

6.1   P波作用下的时域分析

针对“山岭-含水谷”和“含水谷-山岭”两种复合地形工况，入射角度为${\theta _{{\rm P}i}}$为1°，30°，50°，89°的P波引致的时域下地表最大水平加速度a_xmax和竖向加速度a_ymax沿着x/l轴的变化分别如图 13，14所示。后续分析中，为便于分析，对图中山岭、含水谷所处范围（x/l = -1.5~-0.5和x/l = 0.5~1.5）做横坐标截断处理，其中蓝色虚线代表山岭或含水谷。

图  13  P波作用下“山岭-含水谷”和“含水谷-山岭”复合地形的地表最大水平加速度a_xmax

Figure  13.  Maximum horizontal ground accelerations of irregular topographies of hill-valley and valley-hill under P-waves

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图  14  P波作用下“山岭-含水谷”和“含水谷-山岭”复合地形的地表最大竖直加速度a_ymax

Figure  14.  Maximum vertical ground accelerations of irregular topographies of hill-valley and valley-hill under for P-waves

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首先在时域下讨论P波引致的地表最大水平加速度a_xmax，如图 13所示。整体上，对于“山岭-含水谷”和“含水谷-山岭”工况，随着P波入射角度$\theta_{P\mathrm{i}}$的增加，地表最大水平加速度a_xmax均会显著增大。当${\theta _{{\rm P}i}}$ =1°时，如图 13（a）所示，两种复合地形工况对应的a_xmax均呈现整体相对稳定但伴随轻微波动的变化趋势。当P波斜入射时，如图 13（b）~（d）所示，对于“山岭-含水谷”工况，地震波入射近端（点P_L）的最大水平加速度a_xmax相较远端（点P_R）明显被放大，且a_xmax在两端的差值随着${\theta _{{\rm P}i}}$的增加而显著增大；对于“含水谷-山岭”工况，地震波入射近端最大水平加速度a_xmax较远端仅有轻微的放大，a_xmax在两端的差值较小且几乎不随${\theta _{{\rm P}i}}$的增加而变化。Yang等^[13]研究发现，P波斜入射时，含水谷的地震波入射近端的a_xmax相较远端被明显放大。可见当山岭位于含水谷左侧（地震波入射前侧）时，山岭的存在能一定程度上抑制含水谷对P波入射近端a_xmax的放大作用；而当山岭位于含水谷右侧（地震波入射背侧）时，抑制作用则不明显。

其次在时域下讨论P波引致的地表最大竖向加速度a_ymax，如图 14所示。整体上看，对于“山岭-含水谷”和“含水谷-山岭”两种工况，地表最大竖向加速度a_ymax的整体幅值随着P波入射角度${\theta _{{\rm P}i}}$的增加无明显变化，可见地表最大水平加速度a_xmax对于P波入射角${\theta _{{\rm P}i}}$变化的敏感性明显大于地表最大竖向加速度a_ymax。当${\theta _{{\rm P}i}}$=1°时，如图 14（a）所示，两种复合地形工况对应的最大竖向加速度a_ymax均在整体上保持较为稳定的变化趋势。

当P波斜入射时，如图 14（b）~（d）所示，两种复合地形工况对应的a_ymax在地震波入射近端和远端之间的差值均很小。由此可见，P波斜入射下，山岭和含水谷的相对位置关系对地表最大竖向加速度a_ymax影响较小，而对地表最大水平加速度a_xmax影响较大。

6.2   SV波作用下的时域分析

针对“山岭-含水谷”和“含水谷-山岭”两种工况，入射角度${\theta _{{\rm S}i}}$为1°，30°，50°，89°的SV波引致的时域下地表最大水平加速度a_xmax和最大竖向加速度a_ymax沿着x/l轴的变化分别如图 15，16所示，其中SV波的临界角$\theta _{\rm sv}^{\rm cr} \approx$35°，故${\theta _{{\rm S}i}} =$30°代表亚临界角，${\theta _{{\rm S}i}} =$50°，89°代表跨临界角。

图  15  SV波斜入射下“山岭-含水谷”和“含水谷-山岭”复合地形的地表最大水平加速度a_xmax

Figure  15.  Maximum horizontal ground accelerations of irregular topographies of hill-valley and valley-hill under SV-waves

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图  16  SV波斜入射下“山岭-含水谷”和“含水谷-山岭”复合地形的地表最大竖向加速度a_ymax

Figure  16.  Maximum vertical ground accelerations of irregular topographies of hill-valley and valley-hill under SV-waves

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首先在时域下讨论SV波斜入射引致的地表最大水平加速度a_xmax，如图 15所示，可以发现随着SV波入射角度${\theta _{{\rm S}i}}$的增加，两种复合地形工况对应a_xmax的整体幅值均没有明显变化。当${\theta _{{\rm S}i}} =$1°时，如图 15（a）所示，两种复合地形工况对应的a_xmax沿x/l轴的变化均呈现整体相对稳定的变化趋势。当SV波入射角度${\theta _{{\rm S}i}}$为30°，89°时，如图 15（b），（d）所示，“山岭-含水谷”工况在地震波入射近端（点P_L）和远端（点P_R）之间a_xmax的差值极小；而“含水谷-山岭”地震波入射近端的a_xmax相较于远端明显被放大。值得注意的是，对于如图 15（c）所示的SV波跨临界角工况（${\theta _{{\rm S}i}} =$50°），由于跨临界条件带来的地表最大水平加速度a_xmax的剧烈振荡，导致a_xmax沿横坐标x/l的变化趋势完全改变，此时“山岭-含水谷”地震波入射远端的a_xmax相较于近端被明显放大，而“含水谷-山岭”两端的a_xmax差值反而很小，这恰恰与其他入射角度的结果相反。

同样地，Yang等^[13]研究发现，一般情况下，含水谷地形效应引致的水平地震动响应a_xmax在含水谷SV波入射近端相较于远端的放大现象仍然存在，但当SV波跨临界角入射时，含水谷SV波入射远端a_xmax相较于近端a_xmax被放大。这说明山岭位于含水谷左侧（地震波入射前侧）时，能一定程度上抑制含水谷对SV波入射近端a_xmax的放大作用，而当山岭位于含水谷右侧（地震波入射背侧）时，抑制作用则不明显，这与P波斜入射时的现象类似；但当SV波跨临界角入射时，当山岭位于含水谷左侧（地震波入射前侧）时，抑制作用不明显，当山岭位于含水谷右侧（地震波入射背侧）时，反而能一定程度上抑制含水谷对SV波入射远端a_xmax的放大作用。

其次在时域下讨论SV波引致的地表最大竖向加速度a_ymax，如图 16所示。随着SV波入射角度${\theta _{{\rm S}i}}$的增加，两种复合地形工况对应的地表最大竖向加速度a_ymax的整体幅值均显著增大。特别地，对于如图 16（c）所示的SV波跨临界角工况（${\theta _{{\rm S}i}}$=50°），a_ymax的整体幅值被异常放大，这于Lee等^[22]和Yang等^[13]不考虑上覆水体影响的数值结果一致。对比图 15，16可知，地表最大竖向加速度a_ymax对SV波入射角${\theta _{{\rm S}i}}$变化的敏感性远大于地表最大水平加速度a_xmax。

对比图 14，16可知，山岭、含水谷相对位置关系对SV波斜射引致地表最大竖向加速度a_ymax的影响相较于P波斜射工况更不明显。此外，根据图 16（a）~（d）所对应的SV波斜入射工况计算结果可以发现，两种复合地形工况对应的a_ymax在地震波入射近端（点P_L）和远端（点P_R）的差值均很小。这证明山岭和含水谷的相对位置关系对SV波斜入射引致的地表最大竖向加速度a_ymax几乎没有影响，而对地表最大水平加速度a_xmax影响较大。

综上，对P/SV波入射（${\theta }_{{\rm P}i}或{\theta }_{{\rm S}i}=$30°，50°，89°）引致的两种复合地形近端P_L和远端P_R的a_xmax进行了统计对比，如表 1所示，其中“山岭-含水谷”和“含水谷-山岭”复合地形分别用HV和VH表示。

表  1  复合地形两端的最大水平加速度a_xmax

Table  1.  Maximum accelerations at two sides of irregular topography

项目		HV地形下axmax/(m·s-2)	VH地形下axmax/(m·s-2)	对比结果
θPi=30°	近端	3.41	3.60	HV < VH
	远端	3.26	3.48	HV < VH
θPi=50°	近端	6.59	7.26	HV < VH
	远端	6.29	6.72	HV < VH
θPi=89°	近端	13.93	16.02	HV < VH
	远端	13.71	14.44	HV < VH
θSi=30°	近端	4.93	5.32	HV < VH
	远端	4.91	4.92	HV≈VH
θSi=50°	近端	4.90	4.91	HV≈VH
	远端	5.31	4.96	HV > VH
θSi=89°	近端	4.91	5.27	HV < VH
	远端	4.89	4.91	HV≈VH

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由表 1可知，一般情况下，“山岭-含水谷”两端的a_xmax均不大于“含水谷-山岭”，仅当SV波跨临界角（${\theta _{{\rm S}i}} =$50°）入射时，“山岭-含水谷”远端的最大水平加速度a_xmax大于“含水谷-山岭”远端。这意味着一般情况下，山岭位于含水谷的地震波入射侧时，复合地形两端受到的地震影响更小。但考虑到地震波的入射方向往往是难以预测的，因此建筑物的修建仍应远离山岭-含水谷复合地形的两侧，以避免复合地形对场地地震动的放大作用。

6.3   位移频谱分析

由上文时域分析可知，时域下复合地形两端点的地震动响应差异较大，故提取复合地形两端点的水平和竖向方向的位移频谱曲线分别如图 17，18所示，分别对应P波和SV波工况。基于上述时域分析中考虑的P/SV波入射角度，此处选取3种工况：P波一般角度入射工况（${\theta _{{\rm P}i}} =$30°）、SV波一般角度入射工况（${\theta _{{\rm S}i}}$=30°）、SV波跨临界角入射工况（${\theta _{{\rm S}i}}$=50°）。由于地震激励多集中于低频段内，例如图 3所示集集地震加速度频谱的主要频带分布于0~10 Hz，故图 17，18的位移频谱分析限定在该频带内，纵轴取归一化的地表水平（$\left| {\tilde u/ {U_{\rm P}}} \right|$或$\left| {\tilde u/ {U_{\rm SV}}} \right|$）或竖向（$\left| {\tilde v/ {U_{\rm P}}} \right|$或$\left| {\tilde v/ {U_{\rm SV}}} \right|$）位移幅值，其中${U_{\rm P}}$和${U_{\rm SV}}$分别代表入射P波和SV波作用下O处的位移幅值。

图  17  “山岭-含水谷”和“含水谷-山岭”复合地形两端点水平位移频谱图

Figure  17.  Frequency spectra of horizontal displacement of irregular topographies of hill-valley and valley-hill

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图  18  “山岭-含水谷”和“含水谷-山岭”复合地形两端点竖向位移频谱图

Figure  18.  Frequency spectra of vertical displacement of irregular topographies of hill-valley and valley-hill

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如图 17（a）~（d），当P/SV波一般入射时（${\theta _{{\rm P}i}}/{\theta _{{\rm S}i}} =$30°），“含水谷-山岭”地形在左端点P_L的水平位移频谱在5~8 Hz内明显大于“山岭-含水谷”地形，在右端点P_R处两类复合地形的水平位移频谱则变化不大。这与图 13（b），15（b）所示P/SV波一般角度入射下，“山岭-含水谷”最大水平加速度a_xmax在地震波入射近端较远端明显被放大的现象是一致的。如图 17（e），（f）所示，对于SV波跨临界角入射时（${\theta _{{\rm S}i}} =$50°），“山岭-含水谷”地形在右端点P_R的水平位移频谱在5~10 Hz内明显大于“含水谷-山岭”地形，在左端点P_L处两类复合地形的水平位移频谱则变化不大。这与图 15（c）所示SV波跨临界角入射下，“山岭-含水谷”的最大水平加速度a_xmax在地震波入射远端反而较近端明显被放大的现象是一致的。此外，“山岭-含水谷”和“含水谷-山岭”复合地形右端点P_R的水平位移频谱相较左端点P_L均更为振荡，这是由于右端点P_R离地震动输入点O较远，受散射波扰动较大。

观察图 18（a）~（f）可知，3类工况下，“山岭-含水谷”两端的竖向位移频谱和“含水谷-山岭”均相差不大，这说明山岭、含水谷相对位置对复合地形两端的竖向位移频谱影响较小。这与图 14（b），16（b），16（c）所示P/SV波入射下，山岭和含水谷相对位置对两端最大竖向加速度a_ymax影响甚微的结论是一致的。类似地，由于右端点P_R离地震动输入点O_f较远，受散射波扰动较大，“山岭-含水谷”和“含水谷-山岭”复合地形右端点P_R的竖向位移频谱相较左端点P_L也均更为振荡。

7.   结论

本文在时域下研究了P波和SV波作用下山岭、含水谷相对位置关系以及地震波入射角度对复合场地地震响应的影响规律，并着重讨论了跨临界角的影响，得到4点结论。

（1）山岭位于含水谷地震波入射前侧时，P波或SV波斜射下地表最大水平加速度在复合地形两端的差值不大；当山岭位于含水谷地震波入射背侧时，P波或SV波地表最大水平加速度在地震波入射近端被放大。这说明当P波或SV波斜入射时，位于含水谷地震波入射前侧的山岭能一定程度上抑制含水谷对地震波入射近端处地表最大水平加速度的放大作用。

（2）SV波跨临界角入射下，当山岭位于含水谷地震波入射前侧时，地表最大水平加速度在复合地形地震波入射远端被放大；当山岭位于含水谷地震波入射背侧时，地表最大水平加速度在复合地形两端的差值反而不大。

（3）P/SV波一般角度入射时，“含水谷-山岭”左端水平位移频谱大于“山岭-含水谷”；SV波跨临界角入射时，“山岭-含水谷”右端水平位移频谱大于“含水谷-山岭”。山岭、含水谷相对位置对复合地形两端竖向位移频谱影响则较小。

（4）建筑物的修建应远离山岭-含水谷复合地形的两侧，以避免复合地形对场地地震动的放大作用。

在后续研究中，将进一步考虑水体深度、宽度等参数对于山岭-含水谷复合场地地震动响应的影响，并将研究扩展到其它含水复合地形，例如山岭-含水谷-山岭复合地形等，以期评估地震灾害对复杂地形的影响。