基于微震与电磁辐射联合监测的多元岩爆预警方法研究

周春华; 李云安; 尹健民; 汪洋; 周朝; 郭喜峰

doi:10.11779/CJGE202003007

基于微震与电磁辐射联合监测的多元岩爆预警方法研究 English Version

周春华^{1, 2,},
李云安^1, ,,
尹健民²,
汪洋²,
周朝²,
郭喜峰³

1.
中国地质大学工程学院,湖北　武汉　430074
2.
长江科学院水利部岩土力学与工程重点实验室,湖北　武汉　430010
3.
长江科学院重庆分院,重庆　400026

基金项目:

国家重点研发计划项目 2016YFC0401803

国家自然科学基金委与广东省联合基金重点基金项目 U1711266

中央级公益性科研院所基本科研业务费项目 CKSF2019190/YT

详细信息

作者简介:
周春华（1978— ）,男,博士研究生,高级工程师,主要从事岩石力学、地应力测量与岩爆监测方面的研究工作。E-mail：zhouchunhuajx@sina.com

通讯作者:
李云安, E-mail：liyunan@cug.edu.cn

中图分类号: TU452
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出版历程
- 收稿日期: 2019-04-22
- 网络出版日期: 2022-12-07
- 刊出日期: 2020-02-29

Multivariate early warning method for rockbursts based on comprehensive microseismic and electromagnetic radiation monitoring

1.
Faculty of Engineering, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China
2.
Key Laboratory of Geotechnical Mechanics and Engineering of Ministry of Water Resources, Yangtze River Scientific Research Institute, Wuhan 430010, China
3.
Chongqing Branch Institute, Yangtze River Scientific Research Institute, Chongqing 400026, China

摘要

摘要: 黑龙江某抽水蓄能电站在施工初期的岩爆现象显著,随着地下厂房的深层开挖亟需开展诱发岩爆的监测预警研究。首次采用微震和电磁辐射联合监测方法对水电站地下洞室诱发岩爆的前兆信息进行了识别和特征分析,提出基于微震累计能量、视应力变化梯度、累计视体积率、电磁辐射强度变化率和脉冲数变化率5个量化预警指标的多元预警方法,并在地下厂房潜在岩爆的重点区域进行了应用。研究结果表明：在岩爆诱发期,微震累计能量呈增加趋势,同时呈现视应力减小及累计视体积骤增等特征；电磁辐射强度和脉冲数波动幅度较大,围岩破坏前兆特征显著；基于联合监测的多元预警法判定的预警时间及圈定的微破裂活动空间分布与工程实际相吻合,应用效果较好,可为类似工程岩爆监测预警提供新思路。
- 地下厂房 /
- 岩爆 /
- 前兆信息 /
- 微震监测 /
- 电磁辐射 /
- 多元预警
Abstract: The phenomenon of rockbursts is notable during the initial stage of the construction of a pumped storage power station in Heilongjiang Province, and thus it is urgent to study the monitoring and early warning of the induced rockbursts along with the deep excavation of the underground powerhouse. The microseismic (MS) and electromagnetic radiation (EMR) monitoring systems are firstly used to identify and analyze the precursory information of the induced rockbursts in the underground caverns of the hydropower station. Meanwhile, a multivariate early warning method is also proposed based on the five quantitative early warning parameters, cumulative energy of microseismic events, apparent stress gradient, cumulative apparent volume rate, variation rate of electromagnetic radiation intensity and variation rate of pulse number. Then the multivariate early warning method is applied in the key area of the underground powerhouse for the potential rockbursts. The comprehensive monitoring results show that there is an increasing trend of the cumulative energy of microseismic events in the early stage of rockbursts while the apparent stress decreases and the cumulative apparent volume increases sharply. In addition, the intensity of electromagnetic radiation and the number of pulses are characterized by large fluctuations, and the precursory characteristics of the surrounding rockmass damage are significant. The application results show that the early warning time and the delineated location of microfracture activity are both consistent with the engineering practice. The proposed method is proved to be effective and may provide new ideas for the early warning of the rockbursts induced in the similar projects.
- underground powerhouse /
- rockburst /
- precursory information /
- microseismic monitoring /
- electromagnetic radiation /
- multivariate early warning

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0. 引言

Terzaghi单向固结理论^[1]可便捷地描述土体在外荷载作用下的固结过程，在理论研究及工程实践中得到广泛的应用。该理论假设被研究的土体是单层、均质的，土中的孔隙完全被水充满，因此主要适用于分析单层饱和土固结问题。地球表面的天然土体大多是不完全饱和且成层的，这类土体固结问题的分析需要采用非饱和土固结理论^[2]，且需要考虑土体的成层性。双层地基是最简单的成层地基，其固结研究可作为成层地基固结研究的基础^[3]。因此，双层非饱和土地基固结的研究具有重要的理论和现实意义。

自Biot提出含封闭气泡的土体固结理论^[4]后，国内外学者为研究非饱和土固结提出了各自的固结模型^{[2, 5-10]}。研究非饱和土的固结时需根据土中流体的连续性采用不同的固结理论^[5]，殷宗泽等^[9]的模型适用于气封闭的土，Fredlund等^[2]、杨代泉等^[6]和陈正汉等^[7-8]的模型适用于水、气各自连通的土，大多数非饱和土固结的研究均是针对水、气各自连通的双开敞系统^[10]。为进一步贴合特定工程实际情况，陈正汉等还研究了非线性^[11]和弹塑性损伤^[11-12]的非饱和土固结。目前，基于水、气连通的非饱和土一维固结的双参数理论框架^[2]，许多学者对非饱和土一维固结问题进行了一系列解析解的求解。Qin等^[13-14]给出了瞬时或指数荷载作用的非饱和土一维固结问题的解析解；在此基础上，秦爱芳等^[15]考虑土体的流变特性及固结过程中渗透系数的变化，得到黏弹性非饱和土一维固结的解答。Shan等^[16]引入压力函数并运用分离变量法直接在时间域内得到考虑不同边界和不同外荷载的非饱和土一维固结方程的齐次解及非齐次解。Zhou等^[17]引入新的变量将超孔隙水压和超孔隙气压耦合的方程组解耦，解耦后方程组可用简单明了的数学方法推导出解析解。Ho等^[18]给出了非等温条件的非饱和土一维固结的解答。Wang等^[19]引入第三类边界条件描述半渗透边界，得到半渗透边界下非饱和土一维固结的半解析解。尽管上述研究有助于理解非饱和土的一维固结特性，但仅适用于分析单层非饱和土的固结问题。

鉴于土体本身的成层性^[20-21]，很多学者尝试对成层非饱和土固结问题进行研究。Shan等^[22]给出了单面渗透条件下多层非饱和土固结的解析解，但该解答假定不同土层的体积变化系数是相同的。Zhou等^[23]给出双层非饱和土固结的数值解，尽管方程对不同土层采用不同的体积变化系数，但在其参数分析中，两层土的体积变化系数仍然被取为同一值。Moradi等^[24]利用数值方法分析了4层非饱和土在部分渗透边界下的一维固结。以上研究中，Shan等^[22]给出的解析解未在不同土层中考虑不同体积变化系数；已有的数值解没有明确的解析表达式，不便其被应用于实际固结问题分析中。由于成层非饱和土固结问题的复杂性，该问题的研究仍处在探索阶段。

本文基于Fredlund等^[2]提出的非饱和土一维固结方程，利用Laplace变换等方法推导得到考虑不同体积变化系数的双层非饱和土地基，在单面渗透和双面渗透边界下一维固结的解析表达式，并借助参数分析研究双层非饱和土地基一维固结特性。在求解偏微分方程时，采用Laplace变换的方法可更加快捷且准确地推导出具有直观数学表达式的解析解及半解析解，且（半）解析解便于实际问题的特性分析^{[18-19, 25-28]}。值得指出的是，在利用Laplace积分变换得到通解后，本文借助连续条件建立了一个可简化求解两层非饱和地基固结问题解答的矩阵关系式，此方法可在成层非饱和土固结问题中进一步拓展。

1. 双层非饱和土一维固结模型及其求解

1.1 一维固结模型

厚度H的双层非饱和土地基在大面积均布荷载 ${q_0}$ 作用下的一维固结模型如图 1，h_i(i = 1，2) 表示第i层土底面的深度。地基表面为完全渗透边界，底面根据不同的排水情况分别考虑为完全渗透或完全不渗透边界。在双层非饱和土一维固结的分析中，采用Fredlund等^{[2, 29]}的假设并作如下补充：①非饱和土地基由两层土组成；②在两层非饱和土固结过程中孔隙水和孔隙气的渗流满足连续条件；③初始时刻产生的超孔隙压力沿竖向均布且连续。

图 1 双层非饱和土一维固结模型

Figure 1. 1D consolidation model for double-layered unsaturated soils

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图 1模型的一维固结控制方程可表示为^{[2, 13, 29]}

$\frac{{\partial u_{\text{w}}^{(i)}(z, t)}}{{\partial t}} = - C_{\text{w}}^{(i)}\frac{{\partial u_{\text{a}}^{(i)}(z, t)}}{{\partial t}} - C_{\text{v}}^{w(i)}\frac{{{\partial ^2}u_{\text{w}}^{(i)}(z, t)}}{{\partial {z^2}}} ，$

(1a)

$\frac{{\partial u_{\text{a}}^{(i)}(z, t)}}{{\partial t}} = - C_{\text{a}}^{(i)}\frac{{\partial u_{\text{w}}^{(i)}(z, t)}}{{\partial t}} - C_{\text{v}}^{a(i)}\frac{{{\partial ^2}u_{\text{a}}^{(i)}(z, t)}}{{\partial {z^2}}} 。$

(1b)

式中， $u_{\text{w}}^{(i)}$ 和 $u_{\text{a}}^{(i)}$ 为第i层的超孔隙水压力和超孔隙气压力，z为深度，t为时间。式（1）中的 $C_{\text{w}}^{(i)}$ 和 $C_{\text{v}}^{w(i)}$ 分别为孔隙水的相互作用常数和固结系数， $C_{\text{a}}^{(i)}$ 和 $C_{\text{v}}^{a(i)}$ 分别为孔隙气的相互作用常数和固结系数，可表示如下^[13]：

$C_{\text{w}}^{(i)} = (m_{1k}^{w(i)} - m_2^{w(i)})/m_2^{w(i)} ，$

(2a)

$C_{\text{v}}^{w(i)} = k_{\text{w}}^{(i)}{\text{/}}({\gamma _{\text{w}}}m_2^{w(i)}) ，$

(2b)

$C_{\text{a}}^{(i)} = m_2^{a(i)}{[m_{1k}^{a(i)} - m_2^{a(i)} - {u_{{\text{atm}}}}n_0^{(i)}(1 - S_{{\text{r0}}}^{(i)}){(\bar u_{\text{a}}^0)^{ - 2}}]^{ - 1}} ，$

(2c)

$C_{\text{v}}^{a(i)} = \frac{{k_{\text{a}}^{(i)}RT{{(g\bar u_{\text{a}}^0M)}^{ - 1}}}}{{m_{1k}^{a(i)} - m_2^{a(i)} - {u_{{\text{atm}}}}n_0^{(i)}(1 - S_{{\text{r0}}}^{(i)}){{(\bar u_{\text{a}}^0)}^{ - 2}}}} 。$

(2d)

式中 $m_{1k}^{a(i)}$ 和 $m_{1k}^{w(i)}$ 为K₀条件下第i层土中相应于法向应力变化的气体和水体积的变化系数； $m_2^{a(i)}$ 和 $m_2^{w(i)}$ 为K₀条件下第i层土中相应于基质吸力变化的气体和水体积的变化系数； $k_{\text{a}}^{(i)}$ 和 $k_{\text{w}}^{(i)}$ 为第i层土中孔隙气和孔隙水的渗透系数； ${\gamma _{\text{w}}}$ 为孔隙水的重度； $n_0^{(i)}$ 和 $S_{r0}^{(i)}$ 为第i层初始时刻的孔隙比和饱和度； ${u_{{\text{atm}}}}$ 和 $\bar u_{\text{a}}^{\text{0}} = u_{\text{a}}^{\text{0}} + {u_{{\text{atm}}}}$ 分别为大气压和绝对孔隙气压， $u_{\text{a}}^{\text{0}}$ 为初始的超孔隙气压力；R为通用气体常数；T为绝对温度。

在瞬时荷载作用下，非饱和土层将产生超孔隙水压力。根据假设条件③，初始条件为

$u_{\text{w}}^{(i)}(z, 0) = u_{\text{w}}^{\text{0}} ， u_{\text{a}}^{(i)}(z, 0) = u_{\text{a}}^0 。$

(3)

式中， $u_{\text{w}}^{\text{0}}$ 为初始的超孔隙水压。式（3）中的初始值可利用经验公式计算^[29]。

土层接触面上满足连续条件：

$u_{\text{w}}^{(1)}({h_1}^ - , t) = u_{\text{w}}^{(2)}({h_1}^ + , t) ， u_{\text{a}}^{(1)}({h_1}^ - , t) = u_{\text{a}}^{(2)}({h_1}^ + , t) ，$

(4)

$k_{\text{w}}^{(1)}\frac{{\partial u_{\text{w}}^{(1)}({h_1}^ - , t)}}{{\partial z}} = k_{\text{w}}^{(2)}\frac{{\partial u_{\text{w}}^{(2)}({h_1}^ + , t)}}{{\partial z}} ，$

(5a)

$k_{\text{a}}^{(1)}\frac{{\partial u_{\text{a}}^{(1)}({h_1}^ - , t)}}{{\partial z}} = k_{\text{a}}^{(2)}\frac{{\partial u_{\text{a}}^{(2)}({h_1}^ + , t)}}{{\partial z}} 。$

(5b)

图 1中的边界情况为单面渗透或双面渗透边界：

① 单面渗透的边界条件表示为

$u_{\text{a}}^{(1)}(0, t) = u_{\text{w}}^{(1)}(0, t) = \frac{{\partial u_{\text{a}}^{(2)}({h_2}, t)}}{{\partial z}} = \frac{{\partial u_{\text{w}}^{(2)}({h_2}, t)}}{{\partial z}} = 0 \text{；}$

(6)

② 双面渗透的边界条件表示为

$u_{\text{a}}^{(1)}(0, t) = u_{\text{w}}^{(1)}(0, t) = u_{\text{a}}^{(2)}({h_2}, t) = u_{\text{w}}^{(2)}({h_2}, t) = 0 。$

(7)

1.2 两种边界下Laplace域内的解析解

式（1a）和（1b）可采用Laplace变换转化为常微分方程，函数 $f(z, t)$ 的Laplace变换及其逆变换定义为

$\tilde f(z, s) = \int_0^\infty {f(z, t)} {{\text{e}}^{ - st}}{\text{d}}t ，$

(8a)

$f(z, t) = {(2{\text{π }}j)^{ - 1}}\int_{\beta - j\infty }^{\beta + j\infty } {\tilde f(z, s)} {{\text{e}}^{st}}{\text{d}}s 。$

(8b)

式中 $\tilde f(z, s)$ 为 $f(z, t)$ 在Laplace变换域内的表达式；s为时间t的Laplace变换参数。

利用式（8a）并结合初始条件式（3）可以得到控制方程式（1a）和（1b）在Laplace域内的常微分方程组：

$s\tilde u_{\text{w}}^{(i)} - u_{\text{w}}^0 = - C_{\text{w}}^{(i)}(s\tilde u_{\text{a}}^{(i)} - u_{\text{a}}^0) - C_{\text{v}}^{w(i)}\frac{{{{\text{d}}^2}\tilde u_{\text{w}}^{(i)}}}{{{\text{d}}{z^2}}} ，$

(9a)

$s\tilde u_{\text{a}}^{(i)} - u_{\text{a}}^0 = - C_{\text{a}}^{(i)}(s\tilde u_{\text{w}}^{(i)} - u_{\text{w}}^0) - C_{\text{v}}^{a(i)}\frac{{{{\text{d}}^2}\tilde u_{\text{a}}^{(i)}}}{{{\text{d}}{z^2}}} 。$

(9b)

相应地，Laplace域内的连续条件和边界条件为

$\tilde u_{\text{w}}^{(1)}({h_1}^ - , s) = \tilde u_{\text{w}}^{(2)}({h_1}^ + , s) ， \tilde u_{\text{a}}^{(1)}({h_1}^ - , s) = \tilde u_{\text{a}}^{(2)}({h_1}^ + , s) ，$

(10)

$k_{\text{w}}^{(1)}\frac{{{\text{d}}\tilde u_{\text{w}}^{(1)}({h_1}^ - , s)}}{{{\text{d}}z}} = k_{\text{w}}^{(2)}\frac{{{\text{d}}\tilde u_{\text{w}}^{(2)}({h_1}^ + , s)}}{{{\text{d}}z}} ，$

(11a)

$k_{\text{a}}^{(1)}\frac{{{\text{d}}\tilde u_{\text{a}}^{(1)}({h_1}^ - , s)}}{{{\text{d}}z}} = k_{\text{a}}^{(2)}\frac{{{\text{d}}\tilde u_{\text{a}}^{(2)}({h_1}^ + , s)}}{{{\text{d}}z}} 。$

(11b)

${\tilde{u}}_{a}^{(1)}(0, s)={\tilde{u}}_{\text{w}}^{(1)}(0, s)=\frac{\text{d}{\tilde{u}}_{a}^{(2)}({h}_{2}, s)}{\text{d}z}=\frac{\text{d}{\tilde{u}}_{\text{w}}^{(2)}({h}_{2}, s)}{\text{d}z}=0，$

(12)

${\tilde{u}}_{\text{a}}^{(1)}(0, s)={\tilde{u}}_{\text{w}}^{(1)}(0, s)={\tilde{u}}_{\text{a}}^{(2)}({h}_{2}, s)={\tilde{u}}_{\text{w}}^{(2)}({h}_{2}, s)=0\text{ }。$

(13)

求解式（9a），（9b）可得到每一层的通解：

$\tilde u_{\text{w}}^{(i)}(z, s) = C_1^{(i)}{{\text{e}}^{{\xi ^{(i)}}z}} + C_2^{(i)}{{\text{e}}^{ - {\xi ^{(i)}}z}} + C_3^{(i)}{{\text{e}}^{{\eta ^{(i)}}z}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\; C_4^{(i)}{{\text{e}}^{ - {\eta ^{(i)}}z}} + \frac{{u_{\text{w}}^0}}{s} ，$

(14a)

$\tilde u_{\text{a}}^{(i)}(z, s) = - C_1^{(i)}a_5^{(i)}{{\text{e}}^{{\xi ^{(i)}}z}} - C_2^{(i)}a_5^{(i)}{{\text{e}}^{ - {\xi ^{(i)}}z}} - \\ \;\;\;\; C_3^{(i)}a_6^{(i)}{{\text{e}}^{{\eta ^{(i)}}z}} - C_4^{(i)}a_6^{(i)}{{\text{e}}^{ - {\eta ^{(i)}}z}} + \frac{{u_{\text{a}}^{\text{0}}}}{s} 。$

(14b)

式中 $a_1^{(i)} = C_{\text{v}}^{a(i)}C_{\text{v}}^{w(i)}{(sC_{\text{w}}^{(i)})^{{\text{ - 1}}}}$ ， $a_2^{(i)} = (C_{\text{v}}^{a(i)} + C_{\text{v}}^{w(i)}) \cdot$ ${({C}_{\text{w}}^{(i)})}^{-1}，$ ${a}_{3}^{(i)}=s(1-{C}_{\text{a}}^{(i)}{C}_{\text{w}}^{(i)}){({C}_{\text{w}}^{(i)})}^{-1}，{a}_{5}^{(i)}=[{({\xi }^{(i)})}^{2}{C}_{\text{v}}^{w(i)}+$ $s]{(s{C}_{\text{w}}^{(i)})}^{-1}，{a}_{6}^{(i)}=[{({\eta }^{(i)})}^{2}{C}_{\text{v}}^{w(i)}+s]{(s{C}_{\text{w}}^{(i)})}^{-1}，{\xi }^{(i)}=\{[-{a}_{2}^{(i)}-$ ${({a}_{2}^{(i)}{}^{2}-4{a}_{1}^{(i)}{a}_{3}^{(i)})}^{1/2}]/(2{a}_{1}^{(i)}){\}}^{1/2}，{\eta }^{(i)}=\{[-{a}_{2}^{(i)}+({a}_{2}^{(i)}{}^{2}-4{a}_{1}^{(i)}\cdot$ $a_3^{(i)}{)^{1/2}}]/(2a_1^{(i)}){\} ^{1/2}}$ 。 $C_1^{(i)}$ ~ $C_4^{(i)}$ 为8个待定系数，需借助边界与连续条件确定。

将通解（14a）和（14b）代入式（10）~（11b）后，以矩阵形式表示出层间待定系数的关系式：

$\left[ {{C^{(2)}}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_{11}}}&{{m_{12}}}&{{m_{13}}}&{{m_{14}}} \\ {{m_{21}}}&{{m_{22}}}&{{m_{23}}}&{{m_{24}}} \\ {{m_{31}}}&{{m_{32}}}&{{m_{33}}}&{{m_{34}}} \\ {{m_{41}}}&{{m_{42}}}&{{m_{43}}}&{{m_{44}}} \end{array}} \right]\left[ {{C^{(1)}}} \right] ，$

(15a)

$\left[ {{C^{(i)}}} \right] = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {C_1^{(i)}}&{C_2^{(i)}}&{C_3^{(i)}}&{C_4^{(i)}} \end{array}} \right]^{\text{T}}} 。$

(15b)

式中， ${m_{11}}$ ~ ${m_{44}}$ 见附录A。

为求解单面渗透边界条件的解答，将通解（14a）和（14b）分别代入式（12）并用矩阵形式表示为

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\text{1}}&{\text{1}}&{\text{1}}&{\text{1}} \end{array}} \right]\left[ {{C^{(1)}}} \right] = - u_{\text{w}}^0/s ，$

(16a)

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a_5^{(1)}}&{a_5^{(1)}}&{a_6^{(1)}}&{a_6^{(1)}} \end{array}} \right]\left[ {{C^{(1)}}} \right] = u_a^0/s 。$

(16b)

$\left[\begin{array}{cccc}{\xi }^{(2)}{\text{e}}^{{\xi }^{(2)}{h}_{2}}& -{\xi }^{(2)}{\text{e}}^{-{\xi }^{(2)}{h}_{2}}& {\eta }^{(2)}{\text{e}}^{{\eta }^{(2)}{h}_{2}}& -{\eta }^{(2)}{\text{e}}^{-{\eta }^{(2)}{h}_{2}}\end{array}\right]\left[{C}^{(2)}\right]=0，$

(16c)

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a_5^{(2)}{\xi ^{(2)}}{{\text{e}}^{{\xi ^{(2)}}{h_2}}}}&{ - a_5^{(2)}{\xi ^{(2)}}{{\text{e}}^{ - {\xi ^{(2)}}{h_2}}}}&{a_6^{(2)}{\eta ^{(2)}}{{\text{e}}^{{\eta ^{(2)}}{h_2}}}}&{ - a_6^{(2)}{\eta ^{(2)}}{{\text{e}}^{ - {\eta ^{(2)}}{h_2}}}} \end{array}} \right] \cdot \left[ {{C^{(2)}}} \right] = 0 。$

(16d)

式（15a），（15b）代入（16c），（16d）后，结合式（16a），（16b）可得到

$C_1^{(1)} = \frac{{{\chi _2}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) + {\chi _3}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}})}}{{(a_5^{(1)} - a_6^{(1)})({\chi _5} - {\chi _6})s}} ，$

(17a)

$C_2^{(1)} = - \frac{{{\chi _2}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) + {\chi _4}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}})}}{{(a_5^{(1)} - a_6^{(1)})({\chi _5} - {\chi _6})s}} ，$

(17b)

$C_{\text{3}}^{(1)} = - \frac{{{\chi _5}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) - {\chi _1}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(1)}u_{\text{w}}^0)}}{{(a_5^{(1)} - a_6^{(1)})({\chi _5} - {\chi _6})s}} ，$

(17c)

$C_{\text{4}}^{(1)} = \frac{{{\chi _6}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) - {\chi _1}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}})}}{{(a_5^{(1)} - a_6^{(1)})({\chi _5} - {\chi _6})s}} 。$

(17d)

式中， ${\chi _1}$ ~ ${\chi _6}$ 为中间变量，具体表达式见附录B。

利用式（15a），（15b）和（17a）~（17d），即可得到

$C_1^{(2)} = \frac{{{\chi _{11}}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) + {\chi _{12}}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}})}}{{(a_5^{(1)} - a_6^{(1)})({\chi _5} - {\chi _6})s}} ，$

(18a)

$C_2^{(2)} = \frac{{[{\chi _{11}}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) + {\chi _{12}}(u_a^0 + a_6^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}})]{{\text{e}}^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}}}{{(a_5^{(1)} - a_6^{(1)})({\chi _5} - {\chi _6})s}} ，$

(18b)

$C_{\text{3}}^{(2)} = \frac{{{\chi _{13}}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) + {\chi _{14}}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}})}}{{(a_5^{(1)} - a_6^{(1)})({\chi _5} - {\chi _6})s}} ，$

(18c)

$C_{\text{4}}^{(2)} = \frac{{[{\chi _{13}}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) + {\chi _{14}}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}})]{{\text{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}}}{{(a_5^{(1)} - a_6^{(1)})({\chi _5} - {\chi _6})s}} 。$

(18d)

式中， ${\chi _{11}}$ ~ ${\chi _{14}}$ 为中间变量，具体表达式见附录B。

同理，双面渗透边界下待定系数的表达式如下：

$C_1^{(1)} = \frac{{ - {\varphi _2}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) + {\varphi _3}}}{{(a_5^{(1)} - a_6^{(1)}){\varphi _1}s}} + \frac{{{\varphi _4}}}{{(a_5^{(2)} - a_6^{(2)}){\varphi _1}s}} ，$

(19a)

$C_2^{(1)} = \frac{{{\varphi _2}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) - {\varphi _5}}}{{(a_5^{(1)} - a_6^{(1)}){\varphi _1}s}} - \frac{{{\varphi _4}}}{{(a_5^{(2)} - a_6^{(2)}){\varphi _1}s}} ，$

(19b)

$C_{\text{3}}^{(1)} = - \frac{{{\varphi _6} + {\varphi _7}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}})}}{{(a_5^{(1)} - a_6^{(1)}){\varphi _1}s}} - \frac{{{\varphi _8}}}{{(a_5^{(2)} - a_6^{(2)}){\varphi _1}s}} ，$

(19c)

$C_{\text{4}}^{(1)} = \frac{{{\varphi _9} + {\varphi _7}(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}})}}{{(a_5^{(1)} - a_6^{(1)}){\varphi _1}s}} + \frac{{{\varphi _8}}}{{(a_5^{(2)} - a_6^{(2)}){\varphi _1}s}} ，$

(19d)

$C_1^{(2)} = \left( {\frac{{{\varphi _{12}} + {\varphi _{13}}}}{{a_5^{(2)} - a_6^{(2)}}} - \frac{{{\varphi _{10}} + {\varphi _{11}}}}{{a_5^{(1)} - a_6^{(1)}}}} \right)\frac{1}{{{\varphi _1}s}} ，$

(20a)

$C_2^{(2)} = \left( {\frac{{{\varphi _{10}} + {\varphi _{11}}}}{{a_5^{(1)} - a_6^{(1)}}} - \frac{{{\varphi _{12}} - {\varphi _{14}}}}{{a_5^{(2)} - a_6^{(2)}}}} \right)\frac{{{{\text{e}}^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}}}{{{\varphi _1}s}} ，$

(20b)

$C_{\text{3}}^{(2)} = \left( {\frac{{{\varphi _{15}} + {\varphi _{16}}}}{{a_5^{(1)} - a_6^{(1)}}} + \frac{{{\varphi _{17}} - {\varphi _{18}}}}{{a_5^{(2)} - a_6^{(2)}}}} \right)\frac{1}{{{\varphi _1}s}} ，$

(20c)

$C_{\text{4}}^{(2)} = - \left( {\frac{{{\varphi _{15}} + {\varphi _{16}}}}{{a_5^{(1)} - a_6^{(1)}}} + \frac{{{\varphi _{17}} + {\varphi _{19}}}}{{a_5^{(2)} - a_6^{(2)}}}} \right)\frac{{{{\text{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}}}{{{\varphi _1}s}} 。$

(20d)

式中， ${\varphi _1}$ ~ ${\varphi _{{\text{19}}}}$ 为中间变量，具体表达式见附录B。

非饱和土地基一维固结的第i层的应变 $\varepsilon _{\text{v}}^{(i)}$ 与净法向应力和基质吸力存在如下关系式^[29]：

$\frac{{\partial \varepsilon _{\text{v}}^{(i)}}}{{\partial t}} = m_{1k}^{s(i)}\frac{{\partial (\sigma - u_{\text{a}}^{(i)})}}{{\partial t}} + m_2^{s(i)}\frac{{\partial (u_{\text{a}}^{(i)} - u_{\text{w}}^{(i)})}}{{\partial t}} ，$

(21)

式中， $m_{1k}^{s(i)}$ 和 $m_2^{s(i)}$ 为K₀条件下相应于净法向应力变化和净基质吸力变化的体积变化系数。

式（21）对时间t作Laplace变换后有

$\tilde \varepsilon _{\text{v}}^{(i)} = (m_2^{s(i)} - m_{1k}^{s(i)})(\tilde u_{\text{a}}^{(i)} - u_{\text{a}}^0/s) - m_2^{s(i)}(\tilde u_{\text{w}}^{(i)} - u_{\text{w}}^0/s) 。$

(22)

因此，双层非饱和土地基一维固结沉降量为

$\tilde w(s) = \int_0^{{h_1}} {\tilde \varepsilon _{\text{v}}^{(1)}(z, s){\text{d}}z} + \int_{{h_1}}^{{h_2}} {\tilde \varepsilon _{\text{v}}^{(2)}(z, s){\text{d}}z} 。$

(23)

1.3 时间域内半解析解

在1.2节中，由式（14a），（14b），（17a）~（17d），（18a）~（18d）和（23）可表示出单面渗透下Laplace域内的解析解，由式（14a），（14b），（19a）~（19d），（20a）~（20d）和（23）则可表示出双面渗透下Laplace域内的解析解。借助Crump方法^[30]进行Laplace逆变换，可获得时间域内相应边界条件下的超孔隙水压力 $u_{\text{w}}^{(i)}(z, t)$ 、超孔隙气压力 $u_{\text{a}}^{(i)}(z, t)$ 和沉降 $w(t)$ 在时间域的半解析解。

2. 结果与讨论

2.1 半解析解验证

本研究采用有限差分法的数值解和文献[]的解析解验证本文数学方法和半解析解。参数取值如下： ${q_0}$ =100 kPa， $u_{\text{a}}^{\text{0}}$ =20 kPa， $u_{\text{w}}^{\text{0}}$ = 40 kPa，g = 9.8 m/s²， ${\gamma _{\text{w}}}$ =9.8 kN/m³，R = 8.314 J/(mol·K)，T = 293.16 K，M=0.02895 kg/mol， $n_0^{(1)}$ =0.4， $S_{{\text{r0}}}^{(1)}$ = 0.75， $k_{\text{a}}^{(1)}$ =10^-9 m/s， $k_{\text{w}}^{(1)}$ =10^-10 m/s， ${h_1}$ =5 m， $n_0^{({\text{2}})}$ = 0.5， $S_{{\text{r0}}}^{(2)}$ =0.8， $k_{\text{a}}^{(2)}$ =10^-8 m/s， $k_{\text{w}}^{({\text{2}})}$ =10^-9 m/s，H= ${h_2}$ =10 m， $m_{1k}^{s(i)}$ = -2.5·10^-4 kPa^-1， $m_2^{s(i)}/m_{1k}^{s(i)}$ =0.4， $m_{1k}^{w(i)}/m_{1k}^{s(i)}$ =0.2， $m_2^{w(i)}/m_{1k}^{w(i)}$ = 4（取值参考文献[13, 22]）。

图 2，3分别为单面和双面渗透边界下，不同时刻超孔隙气压力和超孔隙水压力等时线。图 2，3中，SAS为本文的半解析解的计算结果，FDS为利用有限差分方法计算的数值解的结果，AS为Shan等^[22]的单面渗透边界条件下解析解的计算结果。通过图 2，3的比较，证明了本文得到的双层非饱和土地基在单面或双面渗透边界下一维固结的半解析解的有效性。

图 2 单面渗透边界下超孔隙压力等时线比较

Figure 2. Isochrone comparisons of excess pore pressures for single drainage

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图 3 双面渗透边界下超孔隙压力等时线比较

Figure 3. Isochrone comparisons of excess pore pressures for double drainage

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2.2 固结性状分析

基于得到的半解析解，通过算例考察双层非饱和土地基在两种渗透边界下的固结行为。土体体积变化系数 $m_{1k}^{s({\text{1}})}$ = -2.5×10^-4 kPa^-1， $m_{1k}^{s({\text{2}})}$ = -3×10^-4 kPa^-1，其它物理力学参数的取值与2.1节一致。超孔隙气压、超孔隙水压、沉降、时间和深度的无量纲参数采用文献[]中的定义方法，分别为 ${u_{\text{a}}}/{p_0}$ ， ${u_{\text{w}}}/{p_0}$ ， $w* = w/$ $(m_{1k}^{s(1)}{q_0}H)$ ， ${T_{\text{v}}} = - k_{\text{w}}^{(1)}t/({\gamma _{\text{w}}}m_{1k}^{s(1)}{H^2})$ 和 $z/H$ 。

（1）渗透系数比对超孔隙压力影响

描述了不同孔隙气渗透系数比 $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 对两种边界条件下双层非饱和土中超孔隙气压的影响。从可以看出： $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 越大，固结过程中超孔隙气压的消散越快；当上层土和下层土中气相渗透系数不同时，超孔隙气压的深度分布曲线会在层间界面处分为两段曲线。中， $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 的变化在T_v = 10^-5时并未对超孔隙气压力的消散产生影响。因为在单面渗透边界下，非饱和土层中的孔隙气仅能从顶部边界排出，T_v = 10^-5时下层土中的超孔隙气还未开始消散。单面渗透边界下，下层非饱和土中的超孔隙气压开始消散后， $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 的增大将会导致上层非饱和土中超孔隙气压增加。因为在双层非饱和土的固结过程中， $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 越大表示第二层非饱和土的气体渗透系数越大，导致相同时间下第二层土中将有更多的气体向上渗流，从而增加上层土中的超孔隙气压。但单面渗透边界下，当 $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ > 10时，上层低气相渗透系数的非饱和土会限制下层高气相渗透系数的非饱和土中气体的渗流， $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 的增加将不再对双层非饱和土中的超孔隙气压消散产生明显的影响。而在图 4（b）中的双面渗透边界下两层非饱和土的固结过程中，孔隙气可同时从顶面和底面排出，下层气相渗透系数的增大明显地加快双层非饱和地基的固结速率，可以看出下层土的渗流不再受上层土的低渗透性的阻碍。

图 4 超孔隙气压分布曲线

Figure 4. Curves for distribution of excess pore-air pressure with depth

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给出了双层非饱和土中不同的孔隙水渗透系数比 $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ 对两种边界下超孔隙水压的影响。同样地， $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ 越大，双层非饱和土中超孔隙水压消散越快。从图 5（a），（b）可以看出，两种边界条件下，下层土中的超孔隙水压在T_v = 10^-3（单面渗透）和T_v = 10^-6（双面渗透）时已经开始消散，但此时 $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ 的改变未对双层非饱和土中超孔隙压力的消散产生影响。其原因在于非饱和土中超孔隙水压的消散通常为两个阶段，且 $k_{\text{a}}^{(i)}/k_{\text{w}}^{(i)}$ > 1时，两个阶段之间有个“平台期”， $k_{\text{a}}^{(i)}/k_{\text{w}}^{(i)}$ 越大，“平台期”越长^[4]。第一阶段到超孔隙气压消散为0结束，第二阶段在平台期结束后开始。第一阶段由超孔隙气压的消散控制，第二阶段由超孔隙水压的消散控制。因此，在非饱和土的固结过程中， $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ 的变化仅对第二阶段的超孔隙水压消散产生影响。当第二阶段的超孔隙水压开始消散时，两层土的水相渗透系数不同时，超孔隙水压沿深度分布曲线被界面分为两段曲线。此外，从图 4（b），5（b）可以看出，厚度相等的双层非饱和土在双面渗透边界下的固结过程中，较低渗透性土层中的部分超孔隙气和超孔隙水将通过较高渗透性的土层排出。

图 5 超孔隙水压分布曲线

Figure 5. Curves for distribution of excess pore-water pressure with depth

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（2）不同参数对土体沉降的影响

图 6为厚度比h₁/H不同时，双层非饱和土一维固结沉降随时间发展的曲线图，h₁/H的比值可以反映双层非饱和土层中第一层土的占比。当0＜h₁/H＜1时，非饱和土层由两层物理力学参数不同的土层组成；当h₁/H = 0或1时，非饱和土层为单层土。观察图 6可以发现：h₁/H越大，双层非饱和土的沉降发展越慢，且最终沉降量越小。h₁/H越大，表示双层非饱和土的低渗透性土层占比越大，孔隙气和孔隙水排出土体所需的时间就越长，因此双层非饱和土层的沉降发展越慢。相应地，h₁/H越大时，具有较小体积变化系数的土层占比越大，双层非饱和土层的沉降量则越小。比较图 6（a），（b）可以看出，双层非饱和土层在双面渗透边界下明显比在单面渗透边界下更早地达到最终沉降。出现这一现象是因为在双面渗透边界下，非饱和土中的孔隙气和超孔隙水均可更快地排出，导致土体固结速率变快。在图 6（a）中，h₁/H=0时的非饱和土固结沉降发展明显比其它4种情况（h₁/H = 0.3，0.5，0.7，1.0）下的沉降发展快，这是因为h₁/H=0时土层为具有高渗透性的单层土，土体固结速率较快。而双面渗透条件下，h₁/H=1.0时土层为较低渗透性的单层土，非饱和土层中超孔压消散较慢，导致图 6（b）中h₁/H = 1时的沉降较h₁/H为0.3，0.5和0.7时发展慢。

图 6 不同h₁/H的沉降–时间曲线

Figure 6. Curves of settlement vs. time for different values of h₁/H

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非饱和土固结过程中，气相的快速消散会使非饱和土的沉降曲线呈现两个阶段（双S型）^[13]，第一阶段主要由超孔隙气压的消散引起，第二阶段由超孔隙水压的消散引起。呈现了不同的层间孔隙气的渗透系数比 $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 对双层非饱和土沉降的影响，可以看出 $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 主要影响沉降的第一个阶段， $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 越大，土体沉降越快。对比，可以看出，双面渗透边界下 $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 的变化对双层非饱和土固结的影响范围比单面渗透边界时的影响范围大，这是因为双面渗透边界下非饱和土中的孔隙气和孔隙水可以同时通过顶部与底部边界排出。在单面渗透边界条件下（），当 $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ > 10时，由于上部土层孔隙气的低渗透对下部土层中孔隙气渗流的限制， $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 的变化不再对双层非饱和土层的沉降产生影响。

图 7 不同

$k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 的沉降–时间曲线

Figure 7. Curves of settlement vs. time for different values of

$k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$

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为不同层间孔隙水渗透系数比 $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ 对双层非饱和土一维固结沉降的影响。 $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ 的变化只影响超孔隙水压消散的快慢，因此 $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ 的变化只引起第二阶段非饱和土沉降的改变。 $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ 越大，双层非饱和土固结地越快，能越早地达到最终沉降，这个现象在双面渗透条件下表现地更明显。在单面渗透条件下，当第二层土中的超孔隙水压开始第二阶段的消散时， $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ 的改变才会影响双层非饱和土层的沉降；且当 $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ > 10时，受到上层土孔隙水的低渗透性限制， $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ 的增加不再影响双层非饱和土的沉降。

图 8 不同

$k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ 的沉降–时间曲线

Figure 8. Curves of settlement vs. time for different values of

$k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$

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3. 结论

（1）基于Fredlund和Hasan提出的针对水、气连通的非饱和土一维固结理论，本文得到单面渗透和双面渗透两种渗透边界条件下，瞬时荷载作用的双层非饱和土地基一维固结的半解析解。通过与两种边界下的有限差分结果和单面渗透边界下已有的解析解的计算结果的比较，验证了本文的半解析解的可靠性。

（2）本文半解析解可考虑双层非饱和土地基中不同的体积变化系数；且本文在给出单面渗透情况下的解时，同时给出了双面渗透情况下的解。因此本文的解通用性更强，更便于进行参数影响分析。

（3）在双层非饱和土地基一维固结过程中，固结快慢由较小渗透系数的土层决定；最终固结沉降量由各层土的体积变化系数与土层占比决定，与边界情况无关。

（4）单面渗透边界下，当 $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 和 $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ 大于10后， $k_{\text{a}}^{(2)}/k_{\text{a}}^{(1)}$ 和 $k_{\text{w}}^{(2)}/k_{\text{w}}^{(1)}$ 的增加将不再对双层非饱和土地基的固结产生影响。此种情况若要提高双层非饱和土地基的固结速率，可将底面边界处理为渗透边界。

附录A：式(15a)中矩阵的元素表达式

${m_{11}} = {{\text{e}}^{({\xi ^{(1)}} - {\xi ^{(2)}}){h_1}}}(a_{\text{5}}^{(1)}{\alpha _1} - a_{\text{6}}^{(2)}{\alpha _2})/{\alpha _\xi } ，$

(A1)

${m_{12}} = {{\text{e}}^{ - ({\xi ^{(1)}} + {\xi ^{(2)}}){h_1}}}( - a_{\text{5}}^{(1)}{\alpha _3} + a_{\text{6}}^{(2)}{\alpha _4})/{\alpha _\xi } ，$

(A2)

${m_{13}} = {{\text{e}}^{({\eta ^{(1)}} - {\xi ^{(2)}}){h_1}}}(a_{\text{6}}^{(1)}{\alpha _5} - a_{\text{6}}^{(2)}{\alpha _6})/{\alpha _\xi } ，$

(A3)

${m_{14}} = {{\text{e}}^{ - ({\eta ^{(1)}} + {\xi ^{(2)}}){h_1}}}( - a_{\text{6}}^{(1)}{\alpha _7} + a_{\text{6}}^{(2)}{\alpha _8})/{\alpha _\xi } ，$

(A4)

${m_{21}} = {{\text{e}}^{({\xi ^{(1)}} + {\xi ^{(2)}}){h_1}}}( - a_{\text{5}}^{(1)}{\alpha _3} + a_{\text{6}}^{(2)}{\alpha _4})/{\alpha _\xi } ，$

(A5)

${m_{22}} = {{\text{e}}^{( - {\xi ^{(1)}} + {\xi ^{(2)}}){h_1}}}(a_{\text{5}}^{(1)}{\alpha _1} - a_{\text{6}}^{(2)}{\alpha _2})/{\alpha _\xi } ，$

(A6)

${m_{23}} = {{\text{e}}^{({\eta ^{(1)}} + {\xi ^{(2)}}){h_1}}}( - a_{\text{6}}^{(1)}{\alpha _7} + a_{\text{6}}^{(2)}{\alpha _8})/{\alpha _\xi } ，$

(A7)

${m_{24}} = {{\text{e}}^{( - {\eta ^{(1)}} + {\xi ^{(2)}}){h_1}}}(a_{\text{6}}^{(1)}{\alpha _5} - a_{\text{6}}^{(2)}{\alpha _6})/{\alpha _\xi } ，$

(A8)

${m_{31}} = {{\text{e}}^{( - {\eta ^{(2)}} + {\xi ^{(1)}}){h_1}}}( - a_{\text{5}}^{(1)}{\alpha _9} + a_{\text{5}}^{(2)}{\alpha _{10}})/{\alpha _\eta } ，$

(A9)

${m_{32}} = {{\text{e}}^{ - ({\eta ^{(2)}} + {\xi ^{(1)}}){h_1}}}(a_{\text{5}}^{(1)}{\alpha _{11}} - a_{\text{5}}^{(2)}{\alpha _{12}})/{\alpha _\eta } ，$

(A10)

${m_{33}} = {{\text{e}}^{({\eta ^{(1)}} - {\eta ^{(2)}}){h_1}}}( - a_{\text{6}}^{(1)}{\alpha _{13}} + a_{\text{5}}^{(2)}{\alpha _{14}})/{\alpha _\eta } ，$

(A11)

${m_{34}} = {{\text{e}}^{ - ({\eta ^{(1)}} + {\eta ^{(2)}}){h_1}}}(a_{\text{6}}^{(1)}{\alpha _{15}} - a_{\text{5}}^{(2)}{\alpha _{16}})/{\alpha _\eta } ，$

(A12)

${m_{41}} = {{\text{e}}^{({\eta ^{(2)}} + {\xi ^{(1)}}){h_1}}}(a_{\text{5}}^{(1)}{\alpha _{11}} - a_{\text{5}}^{(2)}{\alpha _{12}})/{\alpha _\eta } ，$

(A13)

${m_{42}} = {{\text{e}}^{({\eta ^{(2)}} - {\xi ^{(1)}}){h_1}}}( - a_{\text{5}}^{(1)}{\alpha _9} + a_{\text{5}}^{(2)}{\alpha _{10}})/{\alpha _\eta } ，$

(A14)

${m_{43}} = {{\text{e}}^{({\eta ^{(1)}} + {\eta ^{(2)}}){h_1}}}(a_{\text{6}}^{(1)}{\alpha _{15}} - a_{\text{5}}^{(2)}{\alpha _{16}})/{\alpha _\eta } ，$

(A15)

${m_{44}} = {{\text{e}}^{( - {\eta ^{(1)}} + {\eta ^{(2)}}){h_1}}}( - a_{\text{6}}^{(1)}{\alpha _{13}} + a_{\text{5}}^{(2)}{\alpha _{14}})/{\alpha _\eta } 。$

(A16)

$\left. \begin{array}{l} {\alpha _1} = k_{\rm{a}}^{(1)}/k_{\rm{a}}^{(2)}{\xi ^{(1)}} + {\xi ^{(2)}}, {\rm{ }}{\alpha _2} = k_{\rm{w}}^{(1)}/k_{\rm{w}}^{(2)}{\xi ^{(1)}} + {\xi ^{(2)}}, \\ {\alpha _3} = k_{\rm{a}}^{(1)}/k_{\rm{a}}^{(2)}{\xi ^{(1)}} - {\xi ^{(2)}}, {\rm{ }}{\alpha _4} = k_{\rm{w}}^{(1)}/k_{\rm{w}}^{(2)}{\xi ^{(1)}} - {\xi ^{(2)}}, \\ {\alpha _5} = k_{\rm{a}}^{(1)}/k_{\rm{a}}^{(2)}{\eta ^{(1)}} + {\xi ^{(2)}}, {\rm{ }}{\alpha _6} = k_{\rm{w}}^{(1)}/k_{\rm{w}}^{(2)}{\eta ^{(1)}} + {\xi ^{(2)}}, \\ {\alpha _7} = k_{\rm{a}}^{(1)}/k_{\rm{a}}^{(2)}{\eta ^{(1)}} - {\xi ^{(2)}}, {\rm{ }}{\alpha _8} = k_{\rm{w}}^{(1)}/k_{\rm{w}}^{(2)}{\eta ^{(1)}} - {\xi ^{(2)}}, \\ {\alpha _9} = k_{\rm{a}}^{(1)}/k_{\rm{a}}^{(2)}{\xi ^{(1)}} + {\eta ^{(2)}}, {\rm{ }}{\alpha _{10}} = k_{\rm{w}}^{(1)}/k_{\rm{w}}^{(2)}{\xi ^{(1)}} + {\eta ^{(2)}}, \\ {\alpha _{11}} = k_{\rm{a}}^{(1)}/k_{\rm{a}}^{(2)}{\xi ^{(1)}} - {\eta ^{(2)}}, {\rm{ }}{\alpha _{12}} = k_{\rm{w}}^{(1)}/k_{\rm{w}}^{(2)}{\xi ^{(1)}} - {\eta ^{(2)}}, \\ {\alpha _{13}} = k_{\rm{a}}^{(1)}/k_{\rm{a}}^{(2)}{\eta ^{(1)}} + {\eta ^{(2)}}, {\rm{ }}{\alpha _{14}} = k_{\rm{w}}^{(1)}/k_{\rm{w}}^{(2)}{\eta ^{(1)}} + {\eta ^{(2)}}, \\ {\alpha _{15}} = k_{\rm{a}}^{(1)}/k_{\rm{a}}^{(2)}{\eta ^{(1)}} - {\eta ^{(2)}}, {\rm{ }}{\alpha _{16}} = k_{\rm{w}}^{(1)}/k_{\rm{w}}^{(2)}{\eta ^{(1)}} - {\eta ^{(2)}}。 \end{array} \right\}$

(A17)

${\alpha _\xi } = 2(a_{\rm{5}}^{(2)} - a_{\rm{6}}^{(2)}){\xi ^{(2)}}, {\alpha _\eta } = 2(a_{\rm{5}}^{(2)} - a_{\rm{6}}^{(2)}){\eta ^{(2)}}。$

(A18)

附录B：中间变量表达式

${\chi _1} = {{\text{e}}^{2({\eta ^{_{(2)}}} + {\xi ^{_{(2)}}}){h_2}}}{M_2} + {M_8} - {{\text{e}}^{2{\xi ^{_{(2)}}}{h_2}}}{M_3} - {{\text{e}}^{2{\eta ^{_{(2)}}}{h_2}}}{M_7} ，$

(B1)

${\chi _2} = {{\text{e}}^{2({\eta ^{_{_{(2)}}}} + {\xi ^{_{_{(2)}}}}){h_2}}}{M_5} - {{\text{e}}^{2{\xi ^{_{_{(2)}}}}{h_2}}}{M_6} - {{\text{e}}^{2{\eta ^{_{_{(2)}}}}{h_2}}}{M_9} + {M_{10}} ，$

(B2)

${\chi _3} = {\chi _4} + {\chi _5} - {\chi _6} 。$

(B3)

${\chi _4} = {{\text{e}}^{2({\eta ^{_{(2)}}} + {\xi ^{_{(2)}}}){h_2}}}({m_{11}}{m_6} - {m_2}{m_{31}}) + {m_{21}}{m_8} - {m_4}{m_{41}} - \\ {{\text{e}}^{2{\xi ^{_{(2)}}}{h_2}}}({m_{11}}{m_8} - {m_2}{m_{41}}) - {e^{2{\eta ^{_{(2)}}}{h_2}}}({m_{21}}{m_6} - {m_4}{m_{31}}) ，$

(B4)

${\chi _5} = - {{\text{e}}^{2({\eta ^{_{(2)}}} + {\xi ^{_{(2)}}}){h_2}}}{c_1} + {{\text{e}}^{2{\xi ^{_{(2)}}}{h_2}}}{c_2} + {{\text{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}{c_3} - {c_4} ，$

(B5)

${\chi _6} = {{\text{e}}^{2({\eta ^{_{(2)}}} + {\xi ^{_{(2)}}}){h_2}}}({m_1}{m_{33}} - {m_{13}}{m_5}) + {m_3}{m_{43}} - {m_{23}}{m_7} - \\ {{\text{e}}^{2{\xi ^{_{(2)}}}{h_2}}}({m_1}{m_{43}} - {m_{13}}{m_7}) - {{\text{e}}^{2{\eta ^{_{(2)}}}{h_2}}}({m_3}{m_{33}} - {m_{23}}{m_5}) 。$

(B6)

$\left. \begin{array}{l} {\chi _{11}} = {b_1} - {{\rm{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}{b_2},{\rm{ }}{\chi _{12}} = {b_3} - {{\rm{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}{b_4},\\ {\chi _{13}} = {b_5} + {{\rm{e}}^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}{b_6},{\rm{ }}{\chi _{14}} = {b_7} + {{\rm{e}}^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}{b_8}。 \end{array} \right\}$

(B7)

${\varphi _1} = {{\text{e}}^{2({\xi ^{(2)}} + {\eta ^{(2)}}){h_2}}}{a_1} + {{\text{e}}^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}{a_2} + {{\text{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}{a_3} + {a_4} ，$

(B8)

${\varphi _2} = {{\text{e}}^{2({\eta ^{(2)}} + {\xi ^{(2)}}){h_2}}}{M_5} + {{\text{e}}^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}{M_6} + {{\text{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}{M_9} + {M_{10}} ，$

(B9)

${\varphi _3} = [{{\text{e}}^{2({\eta ^{(2)}} + {\xi ^{(2)}}){h_2}}}({m_2}{m_{32}} - {m_{12}}{m_6}) + {{\text{e}}^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}({m_2}{m_{42}} - {m_{12}}{m_8}) +\\ {{\text{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}({m_4}{m_{32}} - {m_{22}}{m_6}) + {m_4}{m_{42}} - {m_{22}}{m_8}](u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(1)}u_{\text{w}}^0) ，$

(B10)

${\varphi _4} = {{\text{e}}^{{\eta ^{(2)}}{h_2}}}({e^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}{m_2} + {m_4})(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(2)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) + \\ {{\text{e}}^{{\xi ^{(2)}}{h_2}}}({{\text{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}{m_6} + {m_8})(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(2)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) ，$

(B11)

${\varphi _5} = {\varphi _3} - {\varphi _1}(u_{\text{a}}^0 + a_6^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) ，$

(B12)

${\varphi _6} = ({{\rm{e}}^{2({\eta ^{(2)}} + {\xi ^{(2)}}){h_2}}}{c_1} + {{\rm{e}}^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}{c_2} + {{\rm{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}{c_3} + {c_4})(u_a^0 + a_5^{(1)}u_{\rm{w}}^{\rm{0}}) ，$

(B13)

${\varphi _7} = {{\text{e}}^{2({\eta ^{(2)}} + {\xi ^{(2)}}){h_2}}}{M_2} + {M_8} + {{\text{e}}^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}{M_3} + {{\text{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}{M_7} ，$

(B14)

${\varphi _8} = {{\text{e}}^{{\eta ^{(2)}}{h_2}}}({{\text{e}}^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}{m_1} + {m_3})(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(2)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) + \\ {{\text{e}}^{{\xi ^{(2)}}{h_2}}}({{\text{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}{m_5} + {m_7})(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(2)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) ，$

(B15)

${\varphi _9} = {\varphi _6} - {\varphi _1}(u_a^0 + a_5^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) ，$

(B16)

${\varphi _{10}} = ({{\text{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}{b_2} + {b_1})(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) ，$

(B17)

${\varphi _{11}} = ({{\text{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}{b_4} + {b_3})(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) ，$

(B18)

${\varphi _{12}} = {{e} ^{{\eta ^{(2)}}{h_2}}}({m_1}{m_4} - {m_2}{m_3})(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(2)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) ，$

(B19)

${\varphi _{13}} = {{\text{e}}^{{\xi ^{(2)}}{h_2}}}({{\text{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}{a_1} + {a_2})(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(2)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) ，$

(B20)

${\varphi _{14}} = {{\text{e}}^{ - {\xi ^{(2)}}{h_2}}}({{\text{e}}^{2{\eta ^{(2)}}{h_2}}}{a_3} + {a_4})(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(2)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) ，$

(B21)

${\varphi _{15}} = ({{\text{e}}^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}{b_6} - {b_5})(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) ，$

(B22)

${\varphi _{16}} = ({{\text{e}}^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}{b_8} - {b_7})(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(1)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) ，$

(B23)

${\varphi _{17}} = {{\text{e}}^{{\xi ^{(2)}}{h_2}}}({m_5}{m_8} - {m_6}{m_7})(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_6^{(2)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) ，$

(B24)

${\varphi _{18}} = {{\text{e}}^{{\eta ^{(2)}}{h_2}}}({{\text{e}}^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}{a_1} + {a_3})(u_a^0 + a_5^{(2)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) ，$

(B25)

${\varphi _{19}} = {{\text{e}}^{ - {\eta ^{(2)}}{h_2}}}({{\text{e}}^{2{\xi ^{(2)}}{h_2}}}{a_2} + {a_4})(u_{\text{a}}^{\text{0}} + a_5^{(2)}u_{\text{w}}^{\text{0}}) ，$

(B26)

$\left. \begin{array}{l} {a_1} = {m_1}{m_6} - {m_2}{m_5},{\rm{ }}{a_2} = {m_1}{m_8} - {m_2}{m_7},\\ {a_3} = {m_3}{m_6} - {m_4}{m_5},{\rm{ }}{a_4} = {m_3}{m_8} - {m_4}{m_7}, \end{array} \right\}$

(B27)

$\left. \begin{array}{l} {b_1} = {M_4}{m_7} - {M_6}{m_3} + {m_1}{M_{10}},{\rm{ }}{b_2} = {m_1}{M_9} - {M_5}{m_3} + {M_4}{m_5},\\ {b_3} = {M_1}{m_8} - {M_3}{m_4} + {m_2}{M_8},{\rm{ }}{b_4} = {M_1}{m_6} - {M_2}{m_4} + {m_2}{M_7},\\ {b_5} = {M_{10}}{m_5} - {m_3}{M_{12}} - {M_9}{m_7},{\rm{ }}{b_6} = {M_5}{m_7} - {M_6}{m_5} + {m_1}{M_{12}},\\ {b_7} = {M_8}{m_6} - {m_4}{M_{11}} - {M_7}{m_8},{\rm{ }}{b_8} = {M_2}{m_8} - {M_3}{m_6} + {m_2}{M_{11}}。 \end{array} \right\}$

(B28)

$\left. \begin{array}{l}{c}_{1}={m}_{14}{m}_{5}-{m}_{1}{m}_{34}, \text{ }{c}_{2}={m}_{14}{m}_{7}-{m}_{1}{m}_{44}\text{ }，\\ {c}_{3}={m}_{24}{m}_{5}-{m}_{3}{m}_{34}, \text{ }{c}_{4}={m}_{24}{m}_{7}-{m}_{3}{m}_{44}\text{ }。\end{array} \right\}$

(B29)

$\left. \begin{array}{l}{m}_{1}={m}_{11}-{m}_{12}, \text{ }{m}_{2}={m}_{13}-{m}_{14}, \text{ }{m}_{3}={m}_{21}-{m}_{22}\text{ }，\\ {m}_{4}={m}_{23}-{m}_{24}, \text{ }{m}_{5}={m}_{31}-{m}_{32}, \text{ }{m}_{6}={m}_{33}-{m}_{34}\text{ }，\\ {m}_{7}={m}_{41}-{m}_{42}, \text{ }{m}_{8}={m}_{43}-{m}_{44}\text{ }。\end{array} \right\}$

(B30)

$\left. \begin{array}{l}{M}_{1}={m}_{11}{m}_{22}-{m}_{12}{m}_{21}, \text{ }{M}_{2}={m}_{11}{m}_{32}-{m}_{12}{m}_{31}，\\ {M}_{3}={m}_{11}{m}_{42}-{m}_{12}{m}_{41}, \text{ }{M}_{4}={m}_{13}{m}_{24}-{m}_{14}{m}_{23}，\\ {M}_{5}={m}_{13}{m}_{34}-{m}_{14}{m}_{33}, \text{ }{M}_{6}={m}_{13}{m}_{44}-{m}_{14}{m}_{43}，\\ {M}_{7}={m}_{21}{m}_{32}-{m}_{22}{m}_{31}, \text{ }{M}_{8}={m}_{21}{m}_{42}-{m}_{22}{m}_{41}，\\ {M}_{9}={m}_{23}{m}_{34}-{m}_{24}{m}_{33}, \text{ }{M}_{10}={m}_{23}{m}_{44}-{m}_{24}{m}_{43}，\\ {M}_{11}={m}_{31}{m}_{42}-{m}_{32}{m}_{41}, \text{ }{M}_{12}={m}_{33}{m}_{44}-{m}_{34}{m}_{43}。\end{array} \right\}$

(B31)

图 1 现场岩爆发生位置分布

Figure 1. Distribution of rockbursts in site

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图 2 现场岩爆典型破坏迹象

Figure 2. Typical failure signs of rockbursts in site

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图 3 地下厂房分层开挖及传感器位置示意图

Figure 3. Schematic diagram of stratified excavation of underground powerhouse and position of sensors

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图 4 微震监测系统及传感器空间阵列布置

Figure 4. Layout of microseismic monitoring system and spatial array of sensors

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图 5 中层排水廊道电磁辐射监测点布置

Figure 5. Distribution of electromagnetic radiation monitoring points in middle drainage corridor

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图 6 微震事件空间分布

Figure 6. Spatial distribution of microseismic events

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图 7 监测范围内每日微震事件频次与总能量关系

Figure 7. Relationship between daily frequency of microseismic events and total energy in monitoring area

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图 8 事件③诱发围岩崩落迹象

Figure 8. Signs of surrounding rock caving induced by event ③

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图 9 微震事件视应力与累计视体积的时间分布

Figure 9. Temporal distribution of apparent stress and cumulative …apparent volume of microseismic events

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图 10 中层排水廊道电磁辐射监测普查结果

Figure 10. Preliminary survey results of electromagnetic radiation monitoring in middle drainage gallery

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图 11 多元岩爆预警流程

Figure 11. Procedure of multivariate early warning method for induced rockbursts

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图 12 微震事件单日累计能量分布

Figure 12. Distribution of daily accumulated energy of microseismic events

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图 13 视应力变化梯度与累计视体积率随时间演化规律

Figure 13. Evolution of apparent stress change gradient and accumulated apparent volume rate with time

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图 14 微震事件②空间分布

Figure 14. Spatial distribution of microseismic event②

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图 15 电磁辐射强度预警时段分布

Figure 15. Distribution of early warning zones for intensity of electromagnetic radiation

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图 16 电磁辐射脉冲数预警时段分布

Figure 16. Distribution of early warning zones for number of electromagnetic radiation pulse

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表 1 现场典型岩爆特征统计

Table 1 Statistics of typical rockburst characteristics in site

日期	位置（桩号）	岩爆现象	围岩特征	洞室埋深/m	走向
2016-01-01	^#2施工支洞（0+346 m—0+356 m）	左顶拱和拱肩轻微岩爆	左侧顶拱及左侧壁发育两组陡倾角节理,节理面闭合	380	N41°E
2016-04-09	^#3施工支洞（0+075 m—0+087 m）	顶拱中等岩爆,并引起塌方；桩号0+075 m顶拱轻微岩爆,呈片状剥落,并伴有爆裂声	临近发育两NW~NWW向断层、岩质坚硬,节理不发育,岩体完整	380	N49°W
2016-05-28	^#3施工支洞(0+170 m—0+200 m)	顶拱及拱肩局部轻微岩爆,呈片状剥落	岩质坚硬,节理轻度发育,岩体较完整	385	N49°W
2016-06-25	中层排水廊道	局部轻微岩爆	围岩节理一般不发育	336	N49°W
2016-08-07	^#3施工支洞（0+200 m—0+249 m）	顶拱及拱肩局部轻微岩爆,呈片状剥落	岩质坚硬,节理轻度发育	410	N49°W
2017-08-27	^#3施工支洞（0+249 m）	于2016年施工完后,顶拱局部中等岩爆,呈小规模塌方,呈片状剥落	两断层交汇	370	N49°W
2017-09-19	^#4施工支洞（0+620 m—0+680 m）	完工近两年,顶拱局部轻微岩爆,呈片状剥落	节理轻度发育,岩体较完整	170	N49°W

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施引文献(16)

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