基于等效时间的双屈服面三维流变模型

胡亚元; 丁盼

doi:10.11779/CJGE202001006

基于等效时间的双屈服面三维流变模型 English Version

胡亚元,
丁盼

浙江大学滨海和城市岩土工程研究中心,浙江　杭州310058

详细信息

作者简介:
胡亚元（1968— ）,男,博士,副教授,主要从事环境土工和土体本构关系的研究工作。E-mail：huyayuan@zju.edu.cn

中图分类号: TU43
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出版历程
- 收稿日期: 2019-01-15
- 网络出版日期: 2022-12-07
- 刊出日期: 2019-12-31

Three-dimensional rheological model for double-yield surface based on equivalent time

Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China

摘要

摘要: 为了同时描述土体剪缩剪胀及流变特性,运用Yin-Graham等效时间法建立了双屈服面三维流变模型。首先,以Yin-Graham三维流变方程作为反映剪缩机制的第一屈服面流变方程；其次,以Matsuoka-Nakai屈服准则作为反映剪胀机制的第二屈服面,以黏塑性功为硬化参数,采用非相关联流动法则,借鉴Mesri建模思路构建应力-黏塑性功-时间关系,利用等效时间法得到应力-黏塑性功-黏塑性功速率关系式,借助Perzyna过应力理论建立第二屈服面三维流变方程；再次,按照双屈服面模型理论将以上两个流变方程结合起来,提出一个基于等效时间的双屈服面三维流变模型,并利用经典的四阶Rung-Kutta方法编制差分计算程序,获得流变模型的数值解答；最后,利用加拿大膨润土及香港重塑海相沉积土三轴固结不排水流变试验将预测值与实测值进行对比,以验证该模型在流变试验中的适用性。结果表明：建立的流变模型可以较好地模拟不排水流变试验多级加载和单级加载发展过程以及土体剪缩剪胀特性。
- 等效时间 /
- 剪缩剪胀特性 /
- 双屈服面 /
- 流变模型
Abstract: In order to describe shear contractibility, dilatancy and rheological properties of soils, Yin-Graham’s equivalent time method is used to derive a three-dimensional rheological model for double-yield surface. Firstly, Yin-Graham’s three-dimensional rheological equation is used as the first yield surface rheological equation reflecting the shear-contraction mechanism. Secondly, Matsuoka-Nakai yield criterion is used as the second yield surface reflecting the dilatancy mechanism, viscoplastic work is used as hardening parameter and the non-associated flow rule is adopted, the stress-viscoplastic work-time relationship is proposed using Mesri’s modeling idea, stress-viscoplastic work-viscoplastic work rate relationship is obtained according to the equivalent time method, and the second yield surface three-dimensional rheological equation is established under Perzyna’s over-stress theory. Again, according to the theory of double-yield surface model, a three-dimensional rheological model of double-yield surface is proposed by combining the two rheological equations. The classical fourth-order Rung-Kutta method is used to compile the difference calculation program, and the numerical solution of the rheological model is obtained. Finally, the predictions are compared with the measured values by using triaxial consolidation undrained rheological test data of Canadian bentonite and remoulded Hong Kong marine deposits to verify the applicability of the model in rheological tests. The results show that the model can simulate the development process of multi-stage and single-stage loading in undrained rheological tests, and can reflect dilatancy and shear contractibility of soils.
- equivalent time /
- dilatancy and shear contractibility /
- double-yield surface /
- rheological model

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0. 引言

隧道是现代化城市和城市间地下交通、运输的重大基础设施，尤其海底隧道、跨江河隧道等建设，提出了一些列挑战和机遇。土压力是评判隧道施工质量、健康服役、抗震性能等关键力学指标，但是受限于土体内部受力变形机制未明确，准确获得土压力问题具有复杂性。

近些年来，众多学者在隧道围压计算方法、物理试验及土压力测试方法方面，取得重要进展和代表性成果，在此做简要阐述和归纳。Terzaghi^[1]基于活动门试验，探讨了土拱效应的产生机理，提出了极限平衡方法下隧道拱顶松动区土压力计算公式；陈若曦等^[2]采用主应力线偏转方法，修正了不同土体条件下侧向土压力系数计算方法；刘晶波等^[3]开展动力离心试验，研究了不同埋深条件下矩形隧道地震动土压力响应；Wang等^[4]基于一系列离心模型试验，研究了干砂中不同方向地震荷载下不同隧道模型的地震响应，提出了垂直方向地震荷载会显著提升隧道衬砌动态弯矩；Cilingir等^[5]采用动力离心试验和数值模拟方法，研究不同类型地震动输入对圆形和方形隧道抗震性能影响，发现隧道衬砌的围压峰值及增量主要受输入加速度峰值影响，与地震持续时间及频率含量无关；芮瑞等^[6]基于自主研发标定装置，对膜式土压力盒进行加卸载标定试验，结果表明加载过程标定曲线为线性分布，卸载过程标定曲线可通过指数拟合；魏永权等^[7]开展了大模量土体中微型土压力传感器BY-4离心标定试验，揭示了引起标定曲线发生非线性的原因为土体模量变化，基于匹配误差对标定曲线进行修正；梁波等^[8]详细介绍了标定试验常用的加压方式，并结合试验所用两种土压力盒性质，选用固结仪作为标定过程的加压设备；蔡正银等^[9]开展离心模型土压力盒标定试验，分析温度、砂层厚度、土颗粒粒径变化对标定系数的影响。

综上所述，可以发现现有研究多集中于隧道土压力理论计算及动力或静力荷载下围压响应分析，以及地下挡土墙结构土压力测试方法，而关于隧道环境中土压力计测试可靠性问题，尚缺乏对比研究与认知。因此，本文选取线性误差、平均幅值误差、响应速率为指标，对柔性软接触土压计ESP-Ⅱ和两种国际代表性土压传感器进行评估，验证所用土压力计测量可靠性。

1. 试验设备与模型设计

1.1 试验设备

本次模型试验在中国地震局工程力学研究所DCIEM-40-300型离心机上进行（图 1），有效旋转半径5.0 m，台面尺寸1.6 m×0.8 m，最大离心加速度100g，动台台面尺寸1.6 m×0.8 m，振动加速度30g，振动荷载1500 kg，振动频宽10~300 Hz，激振位移10 mm。

图 1 DCIEM-40-300型离心机振动台系统

Figure 1. Shaking table test system of DCIEM-40-300 centrifuge

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1.2 土体材料选取

试验所用土体为天津细砂，其主要物理参数：土颗粒相对质量密度G_s为2.641，不均匀系数C_u为1.7，曲率系数C_c为0.96，限制粒径D₆₀为0.185 mm，最大干密度ρ_dmax和最小干密度ρ_dmin分别为1.696，1.482 g/cm³。图 2为该砂的级配曲线，采用砂雨法进行制模，控制相对密实度80%。

图 2 砂的级配曲线

Figure 2. Grain-size distribution curve of sand

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1.3 隧道设计与制作

查阅文献可知，工程常见圆形隧道直径在6~15 m之间。而在离心模型试验中应考虑模型箱边界效应，故本次试验原型隧道直径设置为10 m，衬砌厚度设置为0.5 m，长度设置为10 m。模型隧道外径及长度根据几何相似比确定即可，对隧道来说，抗震设计主要考虑其抗弯能力，因此模型衬砌设计应以抗弯刚度为主，模型隧道设计依托于抗弯刚度等效原则：

。

${N^4}{E_m}{J_m} = {E_p}{J_p} 。$

故本次试验设计选择铝合金作为模型材料，表 1为模型与原型对应的参数指标。

表 1 原型/模型隧道参数

Table 1. Parameters of prototype/model tunnel

材料参数	原型材料	模型材料
弹性模量/GPa	35.5	71
隧道外径/mm	10000	200
隧道内径/mm	9000	190
衬砌厚度/mm	500	5
隧道长度/mm	20000	400

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1.4 模型布设及测试方案

图 3为模型与传感器的总体布设图，根据国家现行规范：《公路隧道设计细则：JTG/T D70—2010》与《铁路隧道设计规范：TB10003—2016》中对隧道界限埋深的定义，计算得到本次试验隧道界限埋深约为10.8~13.5 m，结合试验所用模型箱尺寸，将隧道埋深设置为12.5 m（对应模型0.25 m），为评估柔性软接触式土压力计测试可靠性，在隧道中心断面拱顶、拱腰、拱底分别布设工力所自制的柔性软接触式土压力计ESP-Ⅱ以及两种国际代表性土压力计（美国Measurement公司EPL-D1型土压力计、日本TML公司PDA型土压力计），监测隧道动态及静态衬砌土压力；为测试土体动力响应，按层布设加速度传感器，监测动态加速度变化。

图 3 离心模型试验设计方案及实物图

Figure 3. Design scheme and physical image of centrifugal model tests

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图 4所示为本次试验的输入荷载，基于图 4（a）逐级递增的离心加速度，以分析3种土压力计的静力测试精度及指标下隧道衬砌土压力变化特征，基于图 4（b）~（d）依次输入的峰值0.1g正弦波、0.1g EL-Centro波、0.3g EL-Centro波、0.3g正弦波，以分析3种土压力计动力响应敏感性及震后土压力增量变化规律。

图 4 输入荷载

Figure 4. Input loadings

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2. 静力响应可靠性分析

本节采用线性误差、平均幅值误差作为评价指标，分析静力荷载下位于隧道衬砌上的3种土压力计测试准确性。

根据相关规范《岩土工程仪器基本参数及通用技术条件：GB/T 15406—2007》，线性误差 ${E_{\text{L}}}$ 、平均幅值误差 ${E_{\text{A}}}$ 定义如下：

${E_{\text{L}}} = \frac{{\left| {\Delta {Y_{{\text{LS}}}}} \right|{\text{max}}}}{{{Y_{{\text{FS}}}}}} \times 100\% \text{，}$

(1)

${E_{\text{A}}} = {\left| {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {\Delta {Y_{{\text{ES}}}}} \right|{\text{max}}} }}{{{Y_{\text{E}}}}}} \right|_{{\text{ave}}}} \times 100\% 。$

(2)

式中： $\Delta {Y_{{\text{LS}}}}$ 为荷载历程上实测值与理论值的最大偏差绝对值，为土压力计的满量程输出（500 kPa）；Y_E为每级荷载真实值， $\Delta {Y_{{\text{FS}}}}$ 为真实值与测量值的最大偏差。

理论计算方面，选取太沙基松动土压力理论计算隧道拱顶土压力，其余测点土压力基于日本土工学会提出的修正惯用法求解：

${\sigma }_{0}={P}_{0}\mathrm{exp}(-{K}_{0}\mathrm{tan}\varphi /{B}_{1})\text{ }\text{，}$

(3)

${\sigma }_{\text{v1}}=\frac{{B}_{1}\gamma -c}{{K}_{0}\mathrm{tan}\varphi }\left[1-\mathrm{exp}\text{(}-{K}_{0}\mathrm{tan}\varphi H/{B}_{1}\text{)}\right]+{\sigma }_{0}\text{ }\text{，}$

(4)

${B}_{1}={R}_{0}\mathrm{cot}(\varphi /8+\text{π}/16)\text{ }\text{，}$

(5)

${\sigma }_{\text{v2}}={\sigma }_{\text{v1}}+W\text{ }\text{，}$

(6)

${\sigma }_{\text{h}}={K}_{0}（{\sigma }_{\text{v1}}+\gamma R)\text{ }。$

(7)

式中： ${\sigma _{\text{v1}}}$ 和 ${\sigma _{\text{v2}}}$ 分别为隧道拱顶和拱底竖向土压力理论值； ${\sigma _{\rm h}}$ 为隧道拱腰侧向土压力理论值；W为隧道自重； ${K_0}$ 为侧向土压力系数；c， $\varphi$ ， $\gamma$ 分别为土体黏聚力、内摩擦角、重度； ${P_0}$ 为地面附加荷载；R为隧道半径。

根据上式及表 2中数据（—为传感器故障导致数据缺失）计算得到ESP-Ⅱ型、PDA型、EPL-D1型线性误差为19.36%，12.7%，21.0%，平均幅值误差为5.79%，48.2%，22.6%。可以发现柔性软接触式土压力计ESP-Ⅱ的线性误差与两种土压力计接近，而平均幅值误差远小于两者，说明ESP-Ⅱ型土压力计已达到较好的测试可靠性与准确性，与国际静力测试水平相当。

表 2 3种土压力计静力测量值及计算值

Table 2. Static measurements and calculated values of three types of soil pressure cells

离心加速度/g	土层深度/m	测量值/kPa			计算值/kPa
离心加速度/g	土层深度/m	ESP-Ⅱ	PDA	EPL-D1	计算值/kPa
5	1.25	9.26	—	37.83	18.13
	1.75	4.33	5.82	9.34	11.15
	2.25	—	53.01	61.40	34.43
10	2.5	15.66	—	59.52	36.27
	3.5	14.10	18.21	25.33	22.30
	4.5	—	76.09	83.67	52.57
15	3.75	21.24	—	76.17	54.40
	5.25	22.98	33.64	45.13	33.44
	6.75	—	94.24	106.14	70.70
20	5	26.14	—	90.65	72.53
	7	30.98	51.34	67.03	44.59
	9	—	111.45	126.32	88.83
35	8.75	38.52	—	130.59	126.94
	12.25	55.01	114.05	142.16	78.04
	15.75	—	152.51	178.98	143.24
50	12.5	51.36	—	174.97	181.34
	17.5	78.37	174.82	216.41	111.48
	22.5	—	191.26	227.81	197.64

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3. 动力响应可靠性分析

本节采用响应速率作为评价指标，分析了动力荷载下隧道衬砌上的3种土压力计测试敏感性，及3种土压力计土压力增量变化。

3.1 动力响应敏感性分析

土压力计最重要的动力精度指标为其对动力荷载的敏感程度，采用响应滞时 ${T_{\text{d}}}$ （首次土压力峰值与加速度峰值的平均迟滞时间）反应3种土压力计对动力荷载的敏感程度。限于篇幅，本小节仅给出首次振动的动力响应结果，同时对土压力值进行归一化处理，如图 5所示，通过图 5计算得ESP-Ⅱ、PDA、EPL-D1土压力计的平均响应滞时分别为14.9，19.4，15.2 ms，换算成响应速率为67.1，51.5，65.8 Hz，可以发现ESP-Ⅱ的响应速率高于其他两种国际代表性土压力计。综上，ESP-Ⅱ型已达到国际通用的动力测试水平。

图 5 0.1g正弦波下土压力变化规律图

Figure 5. Variation of earth pressure under 0.1g sine waves

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3.2 动态土压力增量分析

图 6给出了拱腰位置测点3种土压力计地震前后的动土压力时程，整体上可以看出ESP-Ⅱ动力响应处土压力连续性较好，变化规律一致，而其余两种土压力计动力响应处土压力数据出现了不同程度的跳变。进一步分析数据容易发现，ESP-Ⅱ和PDA的土压力增量显示出相似的变化规律：首次振动土压力增量都产生较大变化，中间两次振动后土压增量逐渐变小，此时拱腰测点附近土体密实度不发生变化，最后一次振动后，土压增量再次变大，而数值存在一定差异，该现象产生的主要原因是土体具有较强结构性，但EPL-D1的土压力增量呈现“负-正”往复变化趋势，与现有认知不符。

图 6 连续振动荷载下土压力测量结果

Figure 6. Time histories of earth pressure under continuous vibration loads

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3.3 卸荷影响分析

图 7（a）给出了离心力卸载过程中拱腰位置3种土压力计时程曲线，观察可发现，在图中标记的E1、E2处，PDA和EPL-D1土压力曲线都出现了较大的偏折、跳变，EPL-D1偏折尤其明显，而ESP-Ⅱ土压力测量曲线维持了较好的测试连贯性，说明软接触式设计能实现土压力计与土体接触更加稳定。卸载过程3种土压力计测量值随离心加速度变化响应曲线如图 7（b）所示，不难看出3种土压力计测量曲线都呈现出不同程度的“滞后”，即非线性变化特征，主要原因为卸载时土体还保留着上级荷载残余的土压力。

图 7 卸载过程3种土压力计测量结果

Figure 7. Measured results of three types of earth pressure cells during unloading process

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4. 结论

（1）静力荷载下，ESP-Ⅱ、PDA、EPL-D1线性误差分别为19.36%，12.7%，21.0%，平均幅值误差为5.79%，48.2%，22.6%，证明ESP-Ⅱ土压力计相比国际两种土压计具有较好静力测试性能。

（2）动力荷载下，ESP-Ⅱ、PDA、EPL-D1土压力计的平均响应速率分别为67.1，51.5，65.8 Hz，ESP-Ⅱ的响应速率略高于其他两种土压力计，具有良好的响应频率；序列地震动荷载下ESP-Ⅱ、PDA测得土压力与EPL-D1不同，呈现一致增量规律，而数值存在一定差异，表明土体具有较强结构性。

（3）卸载过程中，3种土压力计测得数据均呈现不同程度的非线性变化特征，PDA和EPL-D1土压力时程曲线产生了偏折、跳变现象，而ESP-Ⅱ土压力测量曲线保持了较好数据连续性，一定程度说明软接触式设计能实现土压力计与土体的良好接触。

图 1 双屈服面模型

Figure 1. Double-yield surface model

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图 2 $(k - k_{t})$ 与 $W^{p}$ 关系图

Figure 2. Relationship between $(k - k_{t})$ and $W^{p}$

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图 3 $\ln (W^{vp2})$ 与 $l n [(24 + t_{e}) / 24]$ 关系图

Figure 3. Relationship between $\ln (W^{vp2})$ and $l n [(24 + t_{e}) / 24]$

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图 4 等效时间线示意图

Figure 4. Schematic diagram of equivalent time line

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图 5 $\ln (W^{vp2})$ 与 $l n (t_{a} / t_{r})$ 关系图

Figure 5. Relationship between $\ln (W^{vp2})$ and $l n (t_{a} / t_{r})$

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图 6 Fortran程序框图

Figure 6. Flow chart of Fortran

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图 7 实测与预测结果对比

Figure 7. Comparison between measured and predicted results

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图 8 剪应变与时间关系图

Figure 8. Relationship between shear strain and time

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图 9 $p^{'}$ - $q$ 空间有效应力路径图

Figure 9. Effective stress paths in $p^{'}$ - $q$ space

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图 10 剪应变与时间关系图

Figure 10. Relationship between shear strain and time

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图 11 $p^{'}$ - $q$ 空间有效应力路径图

Figure 11. Effective stress paths in $p^{'}$ - $q$ space

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表 1 试样的物理特性指标^[23]

Table 1 Physical properties of sample

土样	重度/(kN·m^-3)	含水率/%	饱和度/%	土粒相对密度	比容V₀	泊松比 $ν$
CB	16.46	22.3	99.4	2.70	1.609	0.3

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表 2 部分模型参数^[23]

Table 2 Part of model parameters

$φ^{'}$ /(°)	$λ / V_{0}$	$κ / V_{0}$	$ψ / V_{0}$	${p^{'}}_{mo}$ /kPa	t₀/h	$ε_{vo}^{vp1}$
15	0.05	0.025	0.0025	1900.77	24	0

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表 3 模型参数

Table 3 Model parameters

m	(k-k_t)_ult	E_i	A	t_r/h
0.02018	0.7658	0.0317	0.42	24

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表 4 试样物理特性指标

Table 4 Physical properties of sample

土样	含水率/%	饱和度/%	土粒相对密度	比容V₀	泊松比 $ν$
RHKMD	48.3	98	2.66	2.216	0.3

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表 5 模型参数

Table 5 Model parameters

$λ / V_{0}$	$κ / V_{0}$	$ψ / V_{0}$	${p^{'}}_{mo}$ /kPa	t₀/h	$ε_{vo}^{vp1}$
0.0793	0.018	0.0025	15.2	24	0
$φ^{'}$	m	${(k - k_{t})}_{ult}$	E_i	A	t_r/h
31.5°	0.0328	4.003	0.2565	0.58	24

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